数学人教B版 (2019)第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.1 空间几何体与斜二测画法达标测试

这是一份数学人教B版 (2019)第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.1 空间几何体与斜二测画法达标测试，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
11.1空间几何体人教  B版（2019）高中数学必修第四册同步练习第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）某组合体的三视图如图所示，则该组合体的表面积是(    )
A.  B.  C.  D. 如图，某校教学楼可看作由一个半球与两个长方体拼接而成的几何体，若半球的半径为米，米，米，米，米，米，由于该楼年久失修，需要用涂料刷满其外表面不计地面，则需要刷涂料(    )
A. 平方米 B. 平方米
C. 平方米 D. 平方米已知正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积相等，它们的表面积分别为，，，则下列不正确的是  (    )A.  B.
C.  D. 已知四棱锥的高为，其底面水平放置时的斜二测画法直观图如图所示，已知，，则四棱锥的体积为(    )
A.  B.  C.  D. 下列说法正确的是(    )A. 等腰直角三角形绕其一边旋转一周所得的几何体一定是圆锥
B. 过球心的平面截球面所得的圆面的圆周的半径等于球的半径
C. 棱锥的侧棱一定相等
D. 正三角形的平面直观图一定是等腰三角形半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成如图所示若它所有棱的长都为，则(    )A. 平面
B. 该二十四等边体的体积为
C. 与所成的角为
D. 该二十四等边体的外接球的表面积为
 若等边圆柱轴截面是正方形、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是(    )A.  B.
C.  D. 长方体的一个顶点上的三条棱长分别为、、，且它的个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(    )A.  B.  C.  D. 都不对 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）已知圆台上、下底面的半径分别为和，母线长为正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则(    )A. 与底面所成的角为
B. 二面角小于
C. 正四棱台的外接球的表面积为
D. 设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是(    )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若为线段上的动点，则的最小值为如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是(    )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是(    )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若为线段上的动点，则的最小值为第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知圆锥的底面半径为，侧面积是，在其内部有一个正方体可以任意转动，则正方体的体积的最大值是__________．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的体积为_________．已知各棱长都相等的直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱所有顶点都在球的表面上．若球的表面积为，则该三棱柱的侧面积为          ．已知各棱长都相等的直三棱柱的所有顶点都在球的表面上若球的表面积为，则该三棱柱的侧面积为                  四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）如图所示，在多面体中，已知是边长为的正方形，，，且，直线、均垂直于平面内任意一条直线．
求该多面体的体积；点为棱的中点，求从点到点沿多面体表面的最短距离．已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，求正四棱锥的侧面积；求其外接球的表面积．如图，在等腰直角三角形中，，，在三角形内挖去一个半圆圆心在边上，半圆与分别相切于点，，与交于点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕旋转一周．求阴影部分形成的几何体的表面积．求阴影部分形成的几何体的体积．如图，正四棱锥底面正方形的边长为，侧棱长为．

求该几何体的表面积
求该几何体外接球的体积．某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥的高是长方体高的，且底面正方形的边长为，
求的长及该长方体的外接球的体积
求正四棱锥的斜高和体积．

 

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查空间几何体的三视图，几何体的表面积问题，考查学生的空间想象能力和计算能力，属于基础题．
根据三视图可知该几何体是一个正方体与两个半圆柱以及一个半球的组合体，从而根据面积公式即可求解．
【解答】
解：由三视图可知，该几何体是一个正方体与两个半圆柱以及一个半球的组合体，
所以该几何体的表面积是．
故选D．  2.【答案】 【解析】【分析】本题考查简单组合体的表面积与体积，棱柱的侧面积和表面积，球的表面积，属于较易题．
根据长方体的表面积，球的表面积，结合简单组合体的结构特征，分别计算各部分需要刷涂料的面积，求和即可得出外表面一共需要刷涂料的面积．【解答】解：前面和后面需涂料的面积皆为平方米，
左侧和右侧需刷涂料的面积皆为平方米，
上面除去球面需刷涂料的面积为平方米，
半球面需刷涂料的面积为平方米，
故外表面一共需要刷涂料的面积为平方米．
故选：．  3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．利用正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，即可得出结论．
【解答】
解：正方体的棱长为，体积，，
等边圆柱轴截面是正方形的高为，体积，，
球的半径为，体积，，
，
故选C．  4.【答案】 【解析】【分析】本题考查棱锥体积计算，考查斜二测画法，属于基础题．
由直观图可得四棱锥底面是一个边长为，宽为的矩形，再由四棱锥的体积公式可得答案．【解答】解：四边形是一个平行四边形，其中，，，四棱锥底面 是一个边长为，宽为的矩形，则四棱锥的底面面积为：，
所以四棱锥的体积为：．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查了圆锥、棱锥的结构特，平面直观图以及几何体中的截面问题，属于基础题．
根据各相关概念逐项分析，即可得出答案．【解答】解：对于，当绕等腰直角三角形的斜边旋转一周所得为两个圆锥的组合体，故A错误；对于，过球心的截面圆半径最大，即为球的半径，故B正确；对于，棱锥的侧面是有公共的顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故C错误；对于，正三角形的直观图中高为原来的一半且与底面成，其不为等腰三角形，故D错误．  6.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查简单几何体、球和正方体的结构特征，棱柱和棱锥的体积球的表面积，异面直线所成角，属于较难题．
假设平面，可得，又六边形为正六边形，可得，可判定；补齐八个角为正方体，根据正方体的体积减去个角的体积，即可计算体积，判断选项B；根据图形可知，，所以或其补角是与所成的角，求出，根据余弦定理可求得的值，即可判定；取正方形对角线交点，根据题意可知为直径，为该二十四等边体外接球的球心，球的即求得半径，求得球的表面积，判定．【解答】解：对于，假设平面，又平面，于是，
即，由对称性可知，六边形为正六边形，所以，
可得矛盾，故A错误；
对于，因为多面体的所有棱的长都为，所以补齐八个角构成棱长为的正方体，
则该二十四等边体的体积为，故B错误；


对于：根据图形可知，，所以或其补角是与所成的角；
如图，根据正方体的棱长为，所以，
所以，
又，根据余弦定理得，
，
根据，所以，
所以与所成的角为，故C错误；


对于：取正方形对角线交点，根据正方体和球的结构特征可知，
为该二十四等边体外接球的球心，为直径，
因为，
所以该二十四等边体外接球的半径为，其表面积为，所以D正确；
   7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查几何体的体积和面积，考查计算能力，属于中档题．
设等边圆柱底面圆半径为，球半径为，正方体棱长为，根据体积公式得出，，的关系，进而得到其比值，
然后根据面积公式求得各几何体的面积之比，与比较大小，即得答案．
【解答】
解：设等边圆柱底面圆半径为，球半径为，正方体棱长为，
则，，，
，，，
 ，
 ．
故选A．  8.【答案】 【解析】【分析】
本题考查长方体体对角线、球的表面积公式、长方体与球的关系，属于中档题．
此题中正解判断出长方体与球的位置关系是关键，利用长方体的体对角线与球的直径相等是构建等量关系的基础，注意多个公式的运用．
【解答】
解：根据题意知：球实际上就是长方体的外接球，这样球的直径就等于长方体的体对角线，
长方体中：，
所以，故．
故选B．  9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了圆台、正四棱台的结构，考查了直线与平面所成的角、二面角，考查了球的表面积与圆台、棱台体积，属于中档题．
对于，求出即得；对于，作出该二面角的平面角，在直角三角形中用正切值进行判断即得；对于，由为外接球的球心即得；对于，分别计算两个台体的体积即得．
【解答】
解：易知，、、、均为圆台的母线，设在底面内的投影为，连接、、，则在线段上，由直角梯形的性质，，，所以圆台的高，则，解得，此角即与底面所成的角，故A正确；
B.过作于，连接，则，所以，又即二面角的平面角，故B错误；
C.易得，为等边三角形，故，由正四棱台的结构，正四棱台的外接球的球心即为底面中心，半径为，故其表面积为，故C正确；
D.，
又正四棱台上底正方形边长为，下底正方形边长为，
所以，
所以，故D错误．  10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查圆锥的结构特征，圆锥的侧面积，三棱锥的体积，多面体上的最短距离，余弦定理的应用，属中档题．
由圆锥的结构特征结合侧面积公式计算可判定当点位于圆弧中点时体积最大即可判定利用余弦定理即可判定将沿翻折至与共面，由结合余弦定理计算即可判定．
【解答】
解：对于，由题意圆锥的高为，底面圆半径为，则母线长为所以圆锥的侧面积为，故A错误；
对于，因为点是圆上异于，的动点，又因为为直径，所以当点位于圆弧中点，即时，三角形面积最大，即，又因为三棱锥的高即为圆锥的高，所以三棱锥体积的最大值为，故B正确
对于，由圆锥的结构特征可得，因为点是圆上异于，的动点，所以，所以，所以的取值范围是，故C错误
对于，若，则位于圆弧中点，即，所以，所以为正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，如图：
将沿翻折至与共面，因为为线段上的动点，所以，故D正确．
故选：．  11.【答案】 【解析】【分析】
本题考查旋转体及其特征，考查剪展问题最值的求法，考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力及思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
由已知求出圆锥侧面积判断求出三棱锥体积的最大值判断由极限观点求解的取值范围判断利用剪展问题求得的最小值判断．
【解答】
解：在中，，则圆锥的母线长，半径，
对于选项A：圆锥的侧面积为：，故选项A正确；
对于选项B：当时，的面积最大，此时，
则三棱锥体积的最大值为：，故选项B正确；
对于选项C：当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，，达到最大值，又因为与不重合，则，
又，可得，故选项C不正确；
对于选项D：由，得，又，
则为等边三角形，则，将以为轴旋转到与共面，得到，

则为等边三角形，，
如图：则，
因为，
，
则，故选项D正确；
选：．  12.【答案】 【解析】【分析】
本题考查圆锥的结构特征，圆锥的侧面积，三棱锥的体积，多面体上的最短距离，余弦定理的应用，属中档题．
由圆锥的结构特征结合侧面积公式计算可判定当点位于圆弧中点时体积最大即可判定利用余弦定理即可判定将沿翻折至与共面，由结合余弦定理计算即可判定．
【解答】
解：对于，由题意圆锥的高为，底面圆半径为，
则母线长为．
所以圆锥的侧面积为，故A错误；
对于，因为点是圆上异于，的动点，又因为为直径，
所以当点位于圆弧中点，即时，三角形面积最大，即．
又因为三棱锥的高即为圆锥的高，
所以三棱锥体积的最大值为，故B正确
对于，由圆锥的结构特征可得，因为点是圆上异于，的动点，
所以，所以，
所以的取值范围是，故C错误
对于，若，则位于圆弧中点，即，所以，
所以为正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，如图：

将沿翻折至与共面，因为为线段上的动点，
所以


，故D正确．
故选：．  13.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查圆锥的内接正方体的体积的求法，考查空间想象能力，转化思想与计算能力，属于中档题．
由题意，求出该圆锥的母线，则可得其轴截面是一个边长为的等边三角形，从而要使正方体可以在圆锥内任意转动且体积最大，由此进一步求解即可．
【解答】
解：则正方体的外接球恰为圆锥的内切球，
解：设该圆锥的母线长为，则，解得：，
则其轴截面是一个边长为的等边三角形，
轴截面的内切圆的半径等于圆锥的内切球的半径，为，要使正方体可以在圆锥内任意转动且体积最大，
则正方体的外接球恰为圆锥的内切球，此时正方体的棱长为，
体积．
故答案为．  14.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查棱锥与球的位置关系及几何体的体积计算，属于中档题．
求出棱锥的最大高度，利用勾股定理计算外接圆的半径，从而得出球的体积．
【解答】
解：是等腰直角三角形，
为截面圆的直径，故外接球的球心在截面中的射影为的中点，
当，，共线且，位于截面同一侧时棱锥的体积最大，
棱锥的最大高度为，
， 解得，
设外接球的半径为，则，，
在中，，
由勾股定理得：，解得．
外接球的体积．
故答案为．  15.【答案】 【解析】【分析】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．
通过球的内接体，说明几何体的中心是球的球心，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得，然后得三棱柱的侧面积．【解答】解：如图，

三棱柱的所有棱长都相等，个顶点都在球的球面上，
三棱柱为正三棱柱，则其中心为球的球心，设为，
再设球的半径为，
球的表面积为，
，
．
设三棱柱的底面边长为，
则上底面所在圆的半径为，
且球心到上底面中心的距离，
设直三棱柱高为，底面周长为，
，
，
，
三棱柱的侧面积为．
故答案为：．  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查球的内接几何体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．
通过球的内接体，说明几何体的中心是球的球心，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得，然后得三棱柱的侧面积．【解答】解：如图，

三棱柱的所有棱长都相等，个顶点都在球的球面上，
三棱柱为正三棱柱，其中心为球的球心，设为，
再设球的半径为，由球的表面积为，得，
．
设三棱柱的底面边长为，则上底面所在圆的半径为，且球心到上底面中心的距离，直三棱柱高为，底面周长为，
，即，，
，，
则三棱柱的侧面积为，
故答案为：．  17.【答案】解：如图所示，分别过，作的垂线，，垂足分别为，，连接，，
容易求得，
所以，
，


点为棱的中点，求从点到点沿多面体表面的最短距离：
先过三角形，再过四边形，，
先过四边形，再过四边形，
先过四边形，再过四边形，，
综上，从点到点沿多面体表面的最短距离为．
 【解析】本题考查简单多面体的结构特征和体积的求法，以及多面体上的最短距离  折叠与展开图 ，属于中档题．
根据题意分别过，作的垂线，，垂足分别为，，连接，，得到，进而得到，即可求解该多面体的体积；
根据该多面体的结构特征，画出其展开图，进而得到点到点沿多面体表面的最短距离．
 18.【答案】解：如图，在正四棱锥中，连接，，交于点，

连接，过点作于点，连接，
则正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成一个．
，，斜高，

设外接球的球心为，半径为，，
则解得，
所以外接球的表面积． 【解析】本题考查棱柱的侧面积和外接球的表面积，属于中档题．
求出棱锥的斜高，即可求得侧面等腰三角形的面积，得到侧面积；
利用外接球球心在高线上，到顶点和底面顶点的距离相等，求得外接球半径，再由球的面积公式求解．
 19.【答案】解：连接，则， ，在中，，解得，所以该几何体中间一个空心球的表面积的；  由已知 ，
图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积球
=．
  【解析】本题考查旋转体的表面积与体积的计算．属于中档题．
根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径，再利用面积公式计算即可．
 根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径与长，再利用体积公式计算即可．
 20.【答案】解：由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，，
，．
故所求几何体的表面积为；，
，
所求几何体体积为． 【解析】本题考查旋转体及其结构特征，球的体积和表面积，圆台的侧面积和体积，属于中档题．由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，分别去除，，，即可得解所求几何体的表面积；求出圆台和半球的体积即可得解阴影部分形成的几何体的体积．
 21.【答案】解：取中点，连，则，
从而，


连，连，在上取一点，使，
在中，，
又在中，，即，
得，从而．
 【解析】本题主要考查了四棱柱的表面积，球的体积．
取中点，连，则，可求得，再直接由四棱柱的表面积公式求解即可；
连，连，在上取一点，使，在中，求得，再在中，可得，即，可求得球的半径，再由球的体积公式求解即可．
 22.【答案】解：为长方体且，，
，
记长方体外接球的半径为，线段就是其外接球直径，
则，，
外接球的体积为．
如图，设，交于点，连结，
四棱锥为正四棱椎，为正四棱锥的高，
又长方体的高为，，
取的中点，连结、，则为正四棱锥的斜高，
在中，，，
，
，，
，
正四棱锥的斜高为，体积为．
 【解析】本题考查立体几何中球的切接问题与棱锥的斜高与体积
长方体体对角线即为外接球直径，即可求得外接球体积
找到正四棱锥的高，利用勾股定理求得斜高，再计算体积即可