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初中数学湘教版九年级上册1.1 反比例函数优质课教学设计及反思
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这是一份初中数学湘教版九年级上册1.1 反比例函数优质课教学设计及反思，共10页。教案主要包含了三象限，四象限，考点讲练，巩固提高，课堂小结，升华知识，反馈检查，完善自我等内容，欢迎下载使用。
＊ 第一章 《反比例函数》小结与复习
本课（章节）需 6 课时 ，本节课为第 6 课时，为本学期总第6 课时
教
学
目
标
1、知识与技能
理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，能画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题，体会函数的应用价值。
2、过程与方法
回顾反比例函数的概念、性质、图象的过程，把数学与实际问题相结合。
3.情感与价值观：
（1）理解反比例函数的概念；
（2）画反比例函数的图像，并从图像中获取信息；
（3）对从反比例函数增减性的理解；
（4）反比例函数的应用。
重点
（1）能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题；
（2）掌握反比例函数的图象特点及性质。
难点
（1）理解反比例函数的概念；
（2）画反比例函数的图像，并从图像中获取信息；
（3）对从反比例函数增减性的理解；
（4）反比例函数的应用。
主备教师
教具
多媒体、三角尺
课型
复习
教 学 过 程
个案修改
回顾知识，要点梳理
1. 反比例函数的概念
定义：形如________ (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数．
三种表达式方法： 或 xy＝kx 或y＝kx－1 (k≠0)．
防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
2. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数(k≠0)图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形.反比例函数的两条对称轴为直线 y=x和y=-x；对称中心是：原点.
(2) 反比例函数的性质
图象
所在象限
性质
(k≠0)
k＞0
一、三象限(x，y同号)
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
k＜0
二、四象限(x，y异号)
在每个象限内，y 随 x 的增大而增大
(3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义
k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐
标轴所围成的矩形的面积为常数.
规律：过双曲线上任意一点，向一坐标轴作垂线，该点与垂足、原点所构成的三角形的面积为常数．
反比例函数的应用
◑利用待定系数法确定反比例函数：
① 根据两变量之间的反比例关系，设；
② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出k的值；
③ 写出解析式.
◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线(k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组.
◑利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取正值.
二、全章建构，形成体系
实际问题
建立反比例函数模型实际问题
反比例函数的应用
反比例函数的图象与性质
三、考点讲练，巩固提高
考点一 反比例函数的概念
例1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?
①；② y =2 x+1；③x y =3；④；⑤y =3 x；⑥y =2x-1；⑦y =x2；⑧y =k x.
【解答】④⑤是正比例函数，①③⑥是反比例函数。
【针对训练】
1.已知点P(－2，3) 在反比例函数的图象上，则k的值是 ( )
A. 6 B. －6 C. D.
【解答】由题意得：，解得：k=－6,故选B.
2. 若是反比例函数，则 m 的值为 ( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
【解答】由题意得：，解得：m=－2,故选B.
考点二 反比例函数的图象和性质
例2.若点A(-2，y1)，B(-1，y2)，C(3，y3)都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3由小到大的顺序是__________________．
【解析】：（方法一：直接计算法）：由题意可得：
⸫
（方法二：函数性质法）：∵，∴的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大，∵，∴，故.
（方法三：数形结合法）：如图，画出反比例函数图象的草图,在函数草图上绘出A、B、C三点的大致位置.则由图可知：.
【方法总结】：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内
根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比
较，函数值的大小只能根据特征确定．另外，也可以利用函数
图象来解题。
【针对训练】
3.已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A.图象经过点（－1，－1） B.图象在第一、三象限
C.当时， D.当时，随着的增大而增大
4.已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反比例函数 (k<0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .
【解答】根据“同号相除得正，异号相除得负”可知：⸪x1＜0＜x2且k<0 ⸫y1>0>y2.
故y1>y2.
考点三 与反比例函数 k有关的问题
如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA ⊥ x 轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为 .
【解析】根据反比例函数k的几何意义可知：
⸫S△AOB＝1，S△AOP＝2，故S△POB＝S△AOP-S△AOB＝1.
例3 图 第5题图
【针对训练】
5.如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为 ．
【解析】由反比例函数的对称性可知：OA＝OC，OB＝OD，
根据反比例函数k的几何意义可知：
⸫S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD＝2，
故S四边形ABCD＝8.
考点四 反比例函数与一次函数的综合应用
例4 .如右上图，已知 A (－4，)，B (－1，2) 是反比例函数 (m＜0) 与 一次函数y =kx+b 图象的两个交点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D．
(1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(2) 求一次函数解析式及 m 的值；
(3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 坐标.
【解答】：（1）由图可知：
当－4＜ x ＜－1时，一次函数的值大于
反比例函数的值.
（2）：把A(－4，)，B(－1，2)代入 y = kx + b中，得
，解得：
所以一次函数的解析式为.
设点 P 的坐标为 ( t， t + )，P点到直线 AC 的 距离为 t－(－4)，P 点到直线 BD 的距离为2－(t+)
∵ △PCA面积和△PDB面积相等，
∴ AC·[t－(－4)]=BD·[2－[ 2－(t+)]，
解得：t =.
∴ 点 P 的坐标为 (，)．
【针对训练】
6.如图，函数和函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，2），直线AB与x轴交于C点，与y轴交于D点，以下结论：①反比例函数的图象一定过点（-1，-4）；②当x>2时，y2>y1；③S∆OCD=1；④点B的坐标为（-2，-2）.其中正确结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】把点A的坐标（2，2）函数可得k=4,
⸪(-1)×(-4)=4, ⸫①正确；由图可判断②正确；由函数可求得：C（0,1），D（-2,0）,⸫S∆OCD=1,故正确③；当
考点五 反比例函数在实际问题中的应用
例5. 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
(1) 求当 0 ≤ x ≤2 时，y与x的函数解析式；
(2) 求当x > 2时，y与x的函数解析式；
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治
疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
【解析】（1）当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 成正比例函数关系．
设 y ＝kx，由于点 (2，4) 在线段上，
所以 4＝2k，
⸫k＝2，
⸫ y＝2x.
当 x > 2时，y与x成反比例函数关系，设
⸪点 (2，4) 在反比例函数的图象上，
⸫，解得k＝8.
⸫
当 0≤x≤2 时，含药量不低于2毫克，即 2x≥2，解得x≥1，
∴1≤x≤2；当x>2 时，含药量不低于2毫克，
即≥ 2，解得 x≤4. ∴2< x≤4.
⸫服药一次，治疗疾病的有效时间是:1＋2＝3 (小时)．
【针对训练】
7.当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是( )
【解析】当矩形面积一定时，它的长y是宽x的反比例函数，又由于x>0,y>0,所以对应的函数图象只在第一象限，故选B.
四、课堂小结，升华知识
1.学习本章时，应注意从概念、图象和性质等各方面对正比例函数和反比
例函数进行研究比较，以形成对“比例”函数的完整认识。
2.在学习反比例函数（k≠0）的图象与性质时，要注意从k>0与k<0两种情况来讨论，从而全面掌握反比例函数的图象与性质。
3.反比例函数（k≠0）由比例系数k决定，自变量与对应函数值的乘
积都等于k，因此知道函数图象上一点的坐标，就能求出k，进而确定一个反比例函数的表达式.
4.在利用反比例函数解决某些实际问题时，可利用反比例函数的图象与性
质来说明.
五、反馈检查，完善自我
课本P24 复习题1第12、14题。
教
学
反
思
本节课复习是按知识点复习，目的是落实知识点和考点，让学生掌握一些基本的题型，因此每个知识点都设计了例题与针对性习题，通过练习，学生的解题技巧、方法、思维都得到了训练。在反比例函数的性质教学时，紧紧抓住关键词语，突破难点。性质强调“在同一象限内”，而我们学生往往忽略这个问题，无论是怎样的两点，都直接用性质，对此，采用讨论的观点，结合图像观察，让学生看到理解到：在同一象限内可直接用性质，不在同一象限内，一、二象限的点的纵坐标永远大于三、四象限内点的纵坐标。这样，非常明了的让学生把最容易混淆的知识分清了，突破难点的同时及时总结出这其中体现出的数学思想方法：分类讨论和数形结合的思想方法。
＊ 第一章 《反比例函数》小结与复习
本课（章节）需 6 课时 ，本节课为第 6 课时，为本学期总第6 课时
教
学
目
标
1、知识与技能
理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，能画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题，体会函数的应用价值。
2、过程与方法
回顾反比例函数的概念、性质、图象的过程，把数学与实际问题相结合。
3.情感与价值观：
（1）理解反比例函数的概念；
（2）画反比例函数的图像，并从图像中获取信息；
（3）对从反比例函数增减性的理解；
（4）反比例函数的应用。
重点
（1）能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题；
（2）掌握反比例函数的图象特点及性质。
难点
（1）理解反比例函数的概念；
（2）画反比例函数的图像，并从图像中获取信息；
（3）对从反比例函数增减性的理解；
（4）反比例函数的应用。
主备教师
教具
多媒体、三角尺
课型
复习
教 学 过 程
个案修改
回顾知识，要点梳理
1. 反比例函数的概念
定义：形如________ (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数．
三种表达式方法： 或 xy＝kx 或y＝kx－1 (k≠0)．
防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
2. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数(k≠0)图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形.反比例函数的两条对称轴为直线 y=x和y=-x；对称中心是：原点.
(2) 反比例函数的性质
图象
所在象限
性质
(k≠0)
k＞0
一、三象限(x，y同号)
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
k＜0
二、四象限(x，y异号)
在每个象限内，y 随 x 的增大而增大
(3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义
k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐
标轴所围成的矩形的面积为常数.
规律：过双曲线上任意一点，向一坐标轴作垂线，该点与垂足、原点所构成的三角形的面积为常数．
反比例函数的应用
◑利用待定系数法确定反比例函数：
① 根据两变量之间的反比例关系，设；
② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出k的值；
③ 写出解析式.
◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线(k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组.
◑利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取正值.
二、全章建构，形成体系
实际问题
建立反比例函数模型实际问题
反比例函数的应用
反比例函数的图象与性质
三、考点讲练，巩固提高
考点一 反比例函数的概念
例1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?
①；② y =2 x+1；③x y =3；④；⑤y =3 x；⑥y =2x-1；⑦y =x2；⑧y =k x.
【解答】④⑤是正比例函数，①③⑥是反比例函数。
【针对训练】
1.已知点P(－2，3) 在反比例函数的图象上，则k的值是 ( )
A. 6 B. －6 C. D.
【解答】由题意得：，解得：k=－6,故选B.
2. 若是反比例函数，则 m 的值为 ( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
【解答】由题意得：，解得：m=－2,故选B.
考点二 反比例函数的图象和性质
例2.若点A(-2，y1)，B(-1，y2)，C(3，y3)都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3由小到大的顺序是__________________．
【解析】：（方法一：直接计算法）：由题意可得：
⸫
（方法二：函数性质法）：∵，∴的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大，∵，∴，故.
（方法三：数形结合法）：如图，画出反比例函数图象的草图,在函数草图上绘出A、B、C三点的大致位置.则由图可知：.
【方法总结】：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内
根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比
较，函数值的大小只能根据特征确定．另外，也可以利用函数
图象来解题。
【针对训练】
3.已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A.图象经过点（－1，－1） B.图象在第一、三象限
C.当时， D.当时，随着的增大而增大
4.已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反比例函数 (k<0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .
【解答】根据“同号相除得正，异号相除得负”可知：⸪x1＜0＜x2且k<0 ⸫y1>0>y2.
故y1>y2.
考点三 与反比例函数 k有关的问题
如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA ⊥ x 轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为 .
【解析】根据反比例函数k的几何意义可知：
⸫S△AOB＝1，S△AOP＝2，故S△POB＝S△AOP-S△AOB＝1.
例3 图 第5题图
【针对训练】
5.如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为 ．
【解析】由反比例函数的对称性可知：OA＝OC，OB＝OD，
根据反比例函数k的几何意义可知：
⸫S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD＝2，
故S四边形ABCD＝8.
考点四 反比例函数与一次函数的综合应用
例4 .如右上图，已知 A (－4，)，B (－1，2) 是反比例函数 (m＜0) 与 一次函数y =kx+b 图象的两个交点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D．
(1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(2) 求一次函数解析式及 m 的值；
(3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 坐标.
【解答】：（1）由图可知：
当－4＜ x ＜－1时，一次函数的值大于
反比例函数的值.
（2）：把A(－4，)，B(－1，2)代入 y = kx + b中，得
，解得：
所以一次函数的解析式为.
设点 P 的坐标为 ( t， t + )，P点到直线 AC 的 距离为 t－(－4)，P 点到直线 BD 的距离为2－(t+)
∵ △PCA面积和△PDB面积相等，
∴ AC·[t－(－4)]=BD·[2－[ 2－(t+)]，
解得：t =.
∴ 点 P 的坐标为 (，)．
【针对训练】
6.如图，函数和函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，2），直线AB与x轴交于C点，与y轴交于D点，以下结论：①反比例函数的图象一定过点（-1，-4）；②当x>2时，y2>y1；③S∆OCD=1；④点B的坐标为（-2，-2）.其中正确结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】把点A的坐标（2，2）函数可得k=4,
⸪(-1)×(-4)=4, ⸫①正确；由图可判断②正确；由函数可求得：C（0,1），D（-2,0）,⸫S∆OCD=1,故正确③；当
考点五 反比例函数在实际问题中的应用
例5. 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
(1) 求当 0 ≤ x ≤2 时，y与x的函数解析式；
(2) 求当x > 2时，y与x的函数解析式；
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治
疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
【解析】（1）当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 成正比例函数关系．
设 y ＝kx，由于点 (2，4) 在线段上，
所以 4＝2k，
⸫k＝2，
⸫ y＝2x.
当 x > 2时，y与x成反比例函数关系，设
⸪点 (2，4) 在反比例函数的图象上，
⸫，解得k＝8.
⸫
当 0≤x≤2 时，含药量不低于2毫克，即 2x≥2，解得x≥1，
∴1≤x≤2；当x>2 时，含药量不低于2毫克，
即≥ 2，解得 x≤4. ∴2< x≤4.
⸫服药一次，治疗疾病的有效时间是:1＋2＝3 (小时)．
【针对训练】
7.当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是( )
【解析】当矩形面积一定时，它的长y是宽x的反比例函数，又由于x>0,y>0,所以对应的函数图象只在第一象限，故选B.
四、课堂小结，升华知识
1.学习本章时，应注意从概念、图象和性质等各方面对正比例函数和反比
例函数进行研究比较，以形成对“比例”函数的完整认识。
2.在学习反比例函数（k≠0）的图象与性质时，要注意从k>0与k<0两种情况来讨论，从而全面掌握反比例函数的图象与性质。
3.反比例函数（k≠0）由比例系数k决定，自变量与对应函数值的乘
积都等于k，因此知道函数图象上一点的坐标，就能求出k，进而确定一个反比例函数的表达式.
4.在利用反比例函数解决某些实际问题时，可利用反比例函数的图象与性
质来说明.
五、反馈检查，完善自我
课本P24 复习题1第12、14题。
教
学
反
思
本节课复习是按知识点复习，目的是落实知识点和考点，让学生掌握一些基本的题型，因此每个知识点都设计了例题与针对性习题，通过练习，学生的解题技巧、方法、思维都得到了训练。在反比例函数的性质教学时，紧紧抓住关键词语，突破难点。性质强调“在同一象限内”，而我们学生往往忽略这个问题，无论是怎样的两点，都直接用性质，对此，采用讨论的观点，结合图像观察，让学生看到理解到：在同一象限内可直接用性质，不在同一象限内，一、二象限的点的纵坐标永远大于三、四象限内点的纵坐标。这样，非常明了的让学生把最容易混淆的知识分清了，突破难点的同时及时总结出这其中体现出的数学思想方法：分类讨论和数形结合的思想方法。
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