人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数巩固练习

4.4 对数函数

1．对数函数的定义

一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

[知识点拨]　(1)由于指数函数y＝ax中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.

(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.

2．对数函数的图象和性质

一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：

3.反函数

对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

4．对数型复合函数的单调性

复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.

对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．

5．对数型复合函数的值域

对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：

(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；

(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；

(3)求u的取值范围；

(4)利用y＝logau的单调性求解．

题型一 对数函数的判断

【例1】（1）（全国高一课时练习）给出下列函数：

①；②；③；④.

其中是对数函数的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

（2）．（全国高一课时练习）若函数为对数函数，则（    ）

A． B． C． D．

【题型专练】

1．（全国高一课时练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（    ）

①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（全国高一课时练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（    ）

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

3．（全国高一课时练习）若函数是对数函数，_________.

题型二 对数函数的解析式或函数值

【例2】（1）（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ）

A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x

（2）（全国高一课前预习）设（且），若，则（    ）.

A．2 B． C． D．

【题型专练】

1．（全国高一课时练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ）

A． B．

C．或 D．不确定

2．（全国高一课时练习）若函数的图像过点，则的值为（    ）

A． B．2 C． D．

题型三 对数函数的定义域

【例3】（1）（奉新县第一中学高一月考）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

（2）．（江苏）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

（3）（全国高一课前预习）若函数的定义域为，则（    ）

A．1 B．－1

C．2 D．无法确定

【题型专练】

1．（全国）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

2．（四川自贡·）函数的定义域是（     ）

A． B． C． D．

3．（陕西宝鸡市·高一期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ）

A． B． C． D．

4（全国高一课时练习）求下列函数的定义域

（1）；

（2）函数

（3）

题型四 对数函数的定点

【例4】（四川高一开学考试）函数（，且）的图象一定经过的点是（    ）

A． B． C． D．

【题型专练】

1．（镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（    ）

A． B． C． D．

2．（全国）函数的图象必过的点是（    ）

A． B． C． D．

3．（湖北高一开学考试）已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（    )

A． B．2 C．1 D．

题型五 对数函数的值域（最值）

【例5】（1）（浙江高一单元测试）已知，则函数的值域是          。

（2）（上海高一课时练习）函数的值域为_________．

（3）．（重庆高一期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是      。

（4）（全国高一课时练习）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是          

【题型专练】

1．（全国高一课前预习）已知函数，则f（x）的值域是（　　）

A． B．[﹣，2] C．[0，2] D．[0，]

2．（安徽芜湖一中高一月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（河北秦皇岛一中高一期末）已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．（广东阳江·高一期末）函数的值域为R，则的取值范围是________.

5．（全国高一单元测试）已知函数的值域是R，则实数的最大值是___________；

题型六 对数函数的单调性

【例6】（1）（湖南省邵东市第三中学高一月考）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

（2）．（全国高一课时练习）函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

（3）（新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

（4）（全国高一专题练习）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C．或 D．或

【题型专练】

1．（广东高一单元测试）下列函数在其定义域内为减函数的是（   ）

A． B．

C． D．

2．（四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）函数的单调递减区间为___________.

3．（云南高一期末）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．

4．（全国高一专题练习）已知函数（，且）在上是减函数，则实数a的取值范围是________．

题型七 对数函数比较大小

【例7】（1）（全国）已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

（2）．（广西南宁三中）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为

A． B． C． D．

【题型专练】

1．（江苏高一开学考试）已知，，，则，，的大小关系为

A． B． C． D．

2．（河北沧州市一中高一开学考试）已知，，，则的大小关系为

A． B．

C． D．

3．（河南郑州市·郑州十一中高一期中）已知，，，则x，y，z的大小关系是　　

A． B． C． D．

4．（重庆）设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

题型八 解对数不等式

【例8】（1）（全国高一专题练习）不等式log(5＋x)<log(1－x)的解集为________．

（2）（运城市新康国际实验学校高一开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【题型专练】

1．（全国高一课时练习）“”是“”的（    ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要

2．不等式<的解集为(　　)

A．(－∞，3)   B.

C.   D.

3．若loga<1，则实数a的取值范围是(　　)

A.∪(1，＋∞)   B.

C.   D.

4．（安徽省亳州市第一中学高一月考）已知函数是奇函数，则的解集为_______．

题型九 图像问题

【例9】（全国）图中曲线分别表示的图像，，的关系是（    ）

A． B．

C． D．

【题型专练】

1．（全国高一课时练习）已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

2．（广东广州·高一期末）已知函数，，的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

3．（全国高一专题练习）设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（    ）.

A． B．

C． D．

题型十 反函数

【例10】（1）（陕西西安市第三中学高一期末）已知函数图像与函数的图像关于对称，则____.

（2）（上海高一专题练习）若函数的图像与的图像关于直线对称，则___________.

【题型专练】

1．（宝山·上海交大附中）已知（且），若函数的反函数为．若，则__________．

2．（宝山·上海交大附中）若函数，没有反函数，则的取值范围是__________．

3．（上海高一期末）已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a的值为__________