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初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试作业ppt课件
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试作业ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了名师点睛，易错分析，课时2旋转作图，知识点旋转作图，易错疑难集训，2中心对称，课时1中心对称，归纳总结，课时2中心对称图形，策略点拨等内容，欢迎下载使用。
23.1 图形的旋转
课时1 旋转的概念及性质
1.[2021河南安阳期中]数学来源于生活,下列生活中的运动属于旋转的是 ( )A.国旗上升的过程B.球场上足球滚动的过程C.风力发电机叶片工作的过程D.传输带运输东西的过程
1.C 【解析】 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转.由此可知A,B,D项不属于旋转,C项属于旋转.故选C.
知识点 1 旋转的相关概念
2.原创题 2022年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的.下面四个选项中,能由如图所示的图形经过旋转得到的是 ( ) A B C D
3.如图,将△ABC绕点O按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEF,则旋转中心和旋转角分别是 ( )A.点B,∠ABOB.点O,∠AOBC.点B,∠BOED.点O,∠AOD
3.D 【解析】 △ABC绕点O按逆时针方向旋转,则点O是旋转中心,点A与点D是对应点,则∠AOD是旋转角.故选D.
对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角,在旋转过程中,旋转角不是唯一的.
4.[2020河南漯河实验中学月考]如图,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列结论不正确的是 ( )A.BC=DEB.∠E=∠CC.∠EAC=∠BADD.∠B=∠E
4.D 【解析】 ∵△ABC绕点A旋转后得到△ADE,∴△ABC≌△ADE,∴AB=AD,AC=AE,BC=DE,∠C=∠E,∠B=∠D,∠CAB=∠EAD.△ABC中每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,∴∠EAC=∠BAD.易知D项结论不正确.故选D.
知识点 2 旋转的性质
5.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转50°后得到△A'B'C.若∠A=40°,∠B'=110°,则∠BCA'的度数是 ( )A.90° B.80°C.50°D.30°
5.B 【解析】 根据旋转的性质,可得∠B=∠B'=110°,又∠A=40°,∴∠ACB=30°.∵将△ABC绕点C顺时针旋转50°后得到△A'B'C,∴∠ACA'=50°,∴∠BCA'=∠ACB+∠ACA'=30°+50°=80°.故选B.
6.[2020辽宁大连中考]如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC',使点C的对应点C'恰好落在边AB上,则∠CAA'的度数是 ( )A.50°B.70°C.110°D.120°
7.易错题 [2020上海杨浦区期末]已知在直线l上有A,B两点,AB=1,以AB为边作正方形ABCD,连接BD,将BD绕点B旋转,使点D落在直线l上的点E处,那么AE= .
本题的易错之处是忽略分类讨论,因为题中没有明确旋转方向和旋转角度,所以需要分BD绕点B顺时针旋转135°和BD绕点B逆时针旋转45°两种情况求解.
8.如图,OA⊥OB,△CDE的边CD在OB上,∠ECD=45°,CE=4,若将△CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,则OC的长度为 .
9.[2021河北唐山期中]如图,在△ABC中,∠B=15°,∠ACB=30°,AB=4,△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合,且点C恰好为AD的中点.(1)指出旋转中心,并求出旋转的度数;(2)求出∠BAE的度数和AE的长.
1.[2020重庆西南大学附中开学考试]如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,且∠EBC=15°,将△EBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△FDC,连接EF,则∠EFD的度数为 ( )A.15°B.20°C.25°D.30°
1.D 【解析】 ∵将△EBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△FDC,∴∠DCF=∠BCE=90°,∠CDF=∠EBC=15°,EC=CF,∴△CEF为等腰直角三角形,∴∠CEF=45°.∵∠CEF=∠CDF+∠EFD,∴∠EFD=45°-15°=30°.故选D.
2.[2021山东滨州期中]如图,将等边三角形ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC,连接AD,BD.给出下列结论:①AC=AD;②BD⊥AC;③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3
2.D 【解析】 ∵将等边三角形ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC,∴∠ACE=120°,∠DCE=60°,AC=CE=DE=CD,∴∠ACD=60°,∴△ACD是等边三角形,∴AC=AD,故①正确;易知四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,故②正确;易知AC=AD=DE=CE,∴四边形ACED是菱形,故③正确.故选D.
3.[2020山东济南外国语学校期中]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=1,△A'B'C由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A'与点A、点B'与点B是对应点,连接AB'.若A,B',A'在同一条直线上,则AA'的长为 .
3.3 【解析】 ∵∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠BAC=30°,∴AB=2BC=2.由旋转的性质,得A'B'=AB=2,B'C=BC=1,A'C=AC,∠A'=∠BAC=30°,∠A'B'C=∠B=60°,∴∠CAA'=∠A'=30°,∴∠B'CA=30°,∴∠CAB'=∠B'CA,∴B'A=B'C=1,∴AA'=AB'+A'B'=2+1=3.
4.易错题 如图,在△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)得到△A'B'C,A'C与AB交于点D,连接AA',若△AA'D是等腰三角形,则旋转角α的度数为 .
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,BC与AD,DE分别交于点G,F.(1)求∠AGC的度数;(2)求证:四边形ABFE是菱形.
6.【解析】 (1)∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=40°.∵将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,∴∠BAG=40°,∴∠AGC=∠B+∠BAG=80°.(2)∵将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,∴∠D=∠B=40°,∠DAE=∠BAC=100°,AE=AC,∠BAD=40°,∴∠D=∠BAD=40°,∴AB∥DE.由(1)知∠AGC=80°,∴∠DAE+∠AGC=180°,∴AE∥BF,∴四边形ABFE是平行四边形.∵AB=AC,AE=AC,∴AB=AE,∴四边形ABFE是菱形.
素养提升7.[2021福建厦门莲花中学期中]已知等边三角形ABC,D为BC上一点,连接AD.(1)若E是AC上一点,且CE=BD,连接BE交AD于点P,在图1中根据题意补全图形,并直接写出∠APE的大小;(2)将AD绕点A逆时针旋转120°得到AF,连接BF交AC于点Q,在图2中根据题意补全图形,用等式表示线段AQ和CD的数量关系,并证明.
1.如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是 ( )ABCD
2.如图,请作出△ABC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到的图形.
2.【解析】 如图,△A'B'C'即所求.
3.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(-2,0),点B在y轴的正半轴上,且OB=2OA,将线段AB绕点A顺时针旋转90°,使点B落在点C处.(1)求点B、点C的坐标;(2)在x轴上有一点D,使得△ACD的面积为3,求点D的坐标.
4.[2021甘肃金昌期中]如图,在平面直角坐标系中,△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(4,1),B(4,4).(1)画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1,并写出点A1的坐标;(2)画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2,并写出点A2的坐标.
4.【解析】 (1)△OA1B1如图所示,点A1的坐标为(-4,1).(2)△OA2B2如图所示,点A2的坐标为(1,-4).
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标是A(-7,1),B(1,1),C(1,7),线段DE的端点坐标是D(7,-1),E(-1,-7).(1)试说明如何平移线段AC,使其与线段ED重合;(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转,使AC的对应边为DE,请直接写出点B的对应点F的坐标;(3)画出(2)中的△DEF,并和△ABC同时绕坐标原点O逆时针旋转90°,画出旋转后的图形.
5.【解析】 (1)将线段AC先向右平移6个单位长度,再向下平移8个单位长度.(或先向下平移8个单位长度,再向右平移6个单位长度)(2)F(-1,-1).(3)△DEF如图所示.△ABC和△DEF分别绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△A'B'C'和△D'E'F',如图所示.
专项 旋转在几何问题中的应用
2.[2020北京八中期中]如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转50°后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC=130°,则∠C的度数是 ( )A.25°B.30°C.35°D.40°
4.[2020河南漯河实验中学月考]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,点M,M'分别是AB,A'B'的中点.若AC=4,BC=2,则线段MM'的长为 .
6.如图,在等边三角形ABC中,点D为△ABC内的一点,∠ADB=120°,∠ADC=90°,将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE,连接DE.(1)求证:AD=DE.(2)求∠DCE的度数.(3)若BD=1,求AD,CD的长.
7.[2021福建莆田期中]在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转a(0°
1.C 【解析】 如图,旋转中心有A,B,线段AB的中点O及EF与IJ的延长线的交点S,HG与DC的延长线的交点T,共5个.故选C.
易错点 1 不能准确确定旋转中心
本题容易忽视点S,T也是旋转中心,从而错选B.
2.[2021安徽合肥期末]如图,在小正方形的边长均为1的网格中,A(1,7),B(5,5),C(7,5),D(5,1),线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段,则这个旋转中心的坐标为 .
2.(3,3)或(6,6) 【解析】 如图,旋转中心P的坐标为(3,3)或(6,6).
在找旋转中心时,对应点不明确,要注意可能存在多种情况,需分类讨论.
3.如图,在正方形ABCD中,E是边AD上一点,△ABE旋转后能与△DAF重合,旋转中心是哪一点?△ABE是怎样旋转得到△DAF的?
3.【解析】 旋转中心是线段AB和AD的垂直平分线的交点,即正方形ABCD的中心.将△ABE绕正方形的中心顺时针旋转90°得到△DAF,或△ABE绕正方形的中心逆时针旋转270°得到△DAF.
判断旋转中心的方法 首先看该点是否在图形上,若在图形上,旋转过程中位置没有改变的点即旋转中心,若不在图形上,对应点所连线段垂直平分线的交点就是旋转中心,对于有公共顶点的两个图形,有时会将该公共顶点误认为是旋转中心,如本题中点A虽然是两个三角形的公共顶点,但不是对应点,因此,点A不是旋转中心.
4.在平面直角坐标系中,把点P(-5,3)向右平移8个单位长度得到点P1,再将点P1绕原点旋转90°得到点P2,则点P2的坐标是 ( )A.(3,-3) B.(-3,3)C.(3,3)或(-3,-3)D.(-3,3)或(3,-3)
4.D 【解析】 ∵把点P(-5,3)向右平移8个单位长度得到点P1,∴点P1的坐标为(3,3).如图,①若将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P'2,则点P'2的坐标为(-3,3);②若将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P2″,则点P2″的坐标为(3,-3).故点P2的坐标为(-3,3)或(3,-3).故选D.
易错点 2 忽视分类讨论
旋转的三要素为旋转中心、旋转角和旋转方向.旋转方向有逆时针和顺时针两种,当题目中未指明旋转方向时,要注意进行分类讨论.
7.如图,在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD.把△ABC绕点D逆时针旋转m°(0
在旋转过程中,每一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角,观察旋转前后的图形,正确找到旋转角是解决此类题的关键.当旋转角为60°,90°时,常结合旋转过程中对应线段相等,得到等边三角形、等腰直角三角形等特殊图形,利用特殊图形的性质解决有关几何计算和证明问题.
8.[2020重庆万州区期末]如图1,是一副直角三角尺,∠F=30°,将这副三角尺按如图2所示方式放置,点B,D,C,F在同一直线上,点A在DE上,△ABC固定不动,在△EDF绕点D逆时针旋转180°的过程中(不含180°),当旋转角为多少时,EF与△ABC的边垂直?
8.【解析】 当AC⊥EF时,如图1,∵∠F=30°,∴∠GHF=60°,∴∠DHC=60°.∵∠HCD=45°,∴∠FDC=75°,∴当旋转角为75°时,EF⊥AC. 当BC⊥EF时,如图2,∵∠F=30°,∴∠GDF=60°,∴∠FDC=120°,∴当旋转角为120°时,EF⊥BC.
当AB⊥EF时,如图3,∵∠F=30°,∴∠GHF=60°,∴∠AHD=60°.∵∠BAD=45°,∴∠ADH=75°,∴∠FDC=75°+90°=165°,∴当旋转角为165°时,EF⊥AB.综上,当旋转角为75°,120°或165°时,EF与△ABC的边垂直.
1.下列选项中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是 ( ) A B C D
知识点 1 中心对称的定义
2.下列四组图形中成中心对称的有 ( ) A.①②B.③④C.①②③D.①②③④
2.C 【解析】 根据中心对称的定义,知①②③成中心对称;④显然不成中心对称.故选C.
3.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列结论不一定成立的是 ( )A.∠ABC=∠A'C'B'B.OA=OA'C.BC=B'C'D.OC=OC'
3.A 【解析】 对称点所连线段被对称中心平分,所以B,D正确;中心对称的两个图形是全等图形,所以对应线段相等,所以C正确.故选A.
知识点 2 中心对称的性质
4.原创题 如图,正方形ABCD与正方形GHEF成中心对称,则下列关于对称中心的描述不正确的是 ( )A.对称中心是线段CE的中点B.对称中心是线段DF的中点C.对称中心是点ED.对称中心是线段AG与DF的交点
4.C 【解析】 因为正方形ABCD与正方形GHEF成中心对称,所以点A和点G、点B和点H、点C和点E、点D和点F是对应点,一组对应点连线的中点或两组对应点连线的交点是对称中心,故A,B,D项描述正确,C项描述不正确.故选C.
6.[2020河南平顶山期末]如图,△ABC和△DEC关于点C成中心对称,若AC=1,AB=2,∠BAC=90°,则AE的长是 .
7.如图,△ABO与△CDO关于点O成中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:FD=BE.
8.如图,已知点M是△ABC的边BC的中点,点O是△ABC外一点.(1)画△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC关于点M成中心对称;(2)画△A″B″C″,使△A″B″C″与△ABC关于原点O成中心对称.
8.【解析】 (1)△A'B'C'如图所示.(2)△A″B″C″如图所示.
知识点 3 利用中心对称的性质作图
1.易错题[2021江西南昌新建五中期中]下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有 ( )A.1组B.2组C.3组D.4组
1.C 【解析】 根据中心对称的概念,可知(2)(3)(4)中左边的图形与右边的图形成中心对称.故选C.
2.如图,在平面直角坐标系中,若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称,则点E的坐标是 ( )A.(3,-1)B.(0,0)C.(2,-1)D.(1,-3)
2.A 【解析】 如图,连接AA1,CC1,则AA1与CC1的交点就是对称中心E.易知点E的坐标是(3,-1).故选A.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC与△FEC关于点C成中心对称,连接AE,BF,要使四边形ABFE为矩形,则∠ACB= °.
3.60 【解析】 ∵△ABC与△FEC关于点C成中心对称,∴CB=CE,CA=CF,∴四边形ABFE为平行四边形.当AF=BE,即AC=BC时,平行四边形ABFE为矩形,∵AB=AC,∴AB=BC=AC,∴△ABC为等边三角形,∴要使四边形ABFE为矩形,∠ACB=60°.
4.[2021山东济宁期中]如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,1),(-1,0).一个电动玩具从坐标原点O出发,第一次跳跃到点P1,点P1与点O关于点A成中心对称;第二次跳跃到点P2,点P2与点P1关于点B成中心对称;第三次跳跃到点P3,点P3与点P2关于点C成中心对称;第四次跳跃到点P4,点P4与点P3关于点A成中心对称;第五次跳跃到点P5,点P5与点P4关于点B成中心对称……照此规律重复下去,则点P2 020的坐标为 .
4.(2,2) 【解析】 由题意,知P0(0,0),P1(2,0),P2(-2,2),P3(0,-2),P4(2,2),P5(-2,0),P6(0,0),P7(2,0),…,∴P6n(0,0),P6n+1(2,0),P6n+2(-2,2),P6n+3(0,-2),P6n+4(2,2),P6n+5(-2,0)(n为自然数).∵2 020=6×336+4,∴点P2 020的坐标为(2,2).
5.[2020湖南岳阳期末]如图,D是△ABC边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD,连接BE.(1)哪两个图形成中心对称?(2)已知△ADC的面积为4,求△ABE的面积.(3)已知AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
6.已知△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C;(2)将△A1B1C向右平移4个单位长度,作出平移后的△A2B2C2;(3)在x轴上求作一点P,使PA1+PC2的值最小,并写出点P的坐标.
对于网格中的画图问题,要充分利用网格的特殊性找对应点,再通过数网格找准坐标,不需要测量.对于最小值问题,若两点在某直线的同侧,必须先找到其中一点关于该直线的对称点,再将这个对称点与另一点相连,与该直线的交点就是满足最小值的点.
素养提升7.如图,已知△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,△ABE与△DCE关于点E成中心对称,点E,D,M都在线段AF上,BM的延长线交CF于点P.(1)求证:AC=CD.(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
7.【解析】 (1)∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,∴△ABM≌△ACM,∴AB=AC.∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称,∴△ABE≌△DCE,∴AB=CD,∴AC=CD.(2)∠F=∠MCD.理由如下:由(1)得AC=CD=AB,∴∠BAE=∠CAE=∠CDE,∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,
∴CM=BM,∴∠CMA=∠BMA.∵∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF,∴设∠MPC=α,则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α,设∠BMA=β,则∠PMF=∠CMA=β,∴∠F=∠CPM-∠PMF=α-β,∠MCD=∠CDE-∠DMC=α-β,∴∠F=∠MCD.
1.[2020广东佛山三水区期末]区环卫科正开展“垃圾分类”知识宣传活动,下列图标(不包含文字)是中心对称图形的是 ( )ABCD
1.B 【解析】 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形.由此可知B项是中心对称图形.故选B.
知识点 1 中心对称图形
2.[2020山东烟台中考]下列关于数字变换的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )ABCD
2.A 【解析】 A项,是中心对称图形,不是轴对称图形;B项,不是中心对称图形,是轴对称图形;C项,既不是中心对称图形,也不是轴对称图形;D项,既是轴对称图形,也是中心对称图形.故选A.
3.下列图案中,既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是 ( )ABCD
3.C 【解析】 A项,是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;B项,不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;C项,不是轴对称图形,也不是中心对称图形,符合题意;D项,既是轴对称图形又是中心对称图形,不符合题意.故选C.
4.[2020山东济南中考]古钱币是我国悠久的历史文化遗产,以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )ABCD
4.D 【解析】 A项,是轴对称图形,不是中心对称图形;B项,是轴对称图形,不是中心对称图形;C项,不是轴对称图形,也不是中心对称图形;D项,既是轴对称图形又是中心对称图形.故选D.
5.易错题 图甲所示的四张牌,若只将其中一张牌旋转180°后得到图乙,则旋转的牌是 .(填“梅花5”“黑桃5”“红桃5”或“方块5”)
5.方块5 【解析】 根据题中图形,可知方块5是中心对称图形,所以只将方块5旋转180°后得到图乙.
6.如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.若菱形的两条对角线长分别为6和18,则阴影部分的面积为 .
知识点 2 中心对称图形的性质
7.如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=3,O是▱ABCD的对称中心,O'是菱形ABEF的对称中心,若OO'=d,则d的取值范围是 .
解题的关键是学会添加辅助线,利用三角形的三边关系解决最值问题.
8.[2020江苏南通新桥中学月考]如图,方格纸中有A,B,C三点,要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上,且四边形的顶点在方格的顶点上.(1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;(2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形;(3)在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
8.【解析】 (1)如甲图:平行四边形.(答案不唯一)(2)如乙图:等腰梯形.(答案不唯一)(3)如丙图:正方形.(答案不唯一)
知识点 3 利用中心对称图形的性质作图
课时3 关于原点对称的点的坐标
1.[2020江苏淮安中考]在平面直角坐标系中,点(3,2)关于原点对称的点的坐标是 ( )A.(2,3)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(-2,-3)
知识点 1 关于原点对称的点的坐标
2.在平面直角坐标系中,已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是(-5,6),则点P关于原点的对称点P2的坐标是 ( )A.(-5,-6)B.(-5,6)C.(5,-6)D.(5,6)
2.D 【解析】 ∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是(-5,6),∴P(-5,-6),则点P关于原点的对称点P2的坐标是(5,6).故选D.
3.[2020福建厦门九中期中]在平面直角坐标系中,将△AOB 绕原点 O 顺时针旋转 180°后得到△A1OB1,若点B的坐标为(2,1),则点B的对应点B1的坐标为 ( )A.(1,2)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(-2,-1)
3.D 【解析】 由题意可知△A1OB1与△AOB关于原点O成中心对称,∵点B的坐标为(2,1),∴点B1的坐标为(-2,-1).故选D.
4.如图的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,若以MN所在直线为y轴(向上为正方向),以小正方形的边长为1个单位长度建立平面直角坐标系,使点A与点B关于原点对称,则此时点C的坐标是( )A.(1,3)B.(2,-1)C.(2,1)D.(3,1)
4.B 【解析】 连接AB,则AB与MN的交点为坐标原点,以MN所在直线为y轴(向上为正方向),过原点与MN垂直的直线为x轴(向右为正方向)建立平面直角坐标系,可得点C的坐标是(2,-1).故选B.
5.[2021辽宁盘锦大洼区期初考试]若点P(a+1,a-2)关于原点对称的点位于第二象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )A BC D
5.C 【解析】 ∵点P(a+1,a-2)关于原点对称的点在第二象限,∴点P在第四象限,∴a+1>0,a-2<0,∴-1
6.1 【解析】 ∵点A(a,2 020)与点A'(-2 021,b)关于原点对称,∴a=2 021,b=-2 020,∴a+b=2 021+(-2 020)=1.
7.若点A(-2,n)在x轴上,则点B(n-1,n+1)关于原点对称的点的坐标为 .
7.(1,-1) 【解析】 因为点A(-2,n)在x轴上,所以n=0,所以点B的坐标为(-1,1),所以点B关于原点对称的点的坐标为(1,-1).
8.已知点P(x2+2x,3)在第二象限,且与点Q(x+2,y)关于原点对称,试求x+2y的值.
8.【解析】 根据题意,得(x2+2x)+(x+2)=0,y=-3.解方程(x2+2x)+(x+2)=0,得x1=-1,x2=-2.当x=-1时,x2+2x=-1,点P(-1,3)在第二象限,符合题意.当x=-2时,x2+2x=0,与点P在第二象限矛盾,不符合题意,舍去.∴x=-1,y=-3,∴x+2y=-7.
9.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(-2,4).(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标;(2)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标.
9.【解析】 (1)△A1B1C1如图所示,点B1的坐标为(1,-3).(2)△A2B2C2如图所示,点A2的坐标为(1,2).
知识点 2 作已知图形关于原点对称的图形
10.[2020广东湛江二中开学考试]如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-1,5),B(-4,2),C(-2,2).(1)平移△ABC,使点B移动到点B1(1,1),画出平移后的△A1B1C1,并写出点A1,C1的坐标;(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2;(3)线段AA1的长度为 .
1.在平面直角坐标系中,已知点P在x轴下方,在y轴右侧,且点P到x轴的距离为1,到y轴的距离为3,则点P关于原点的对称点的坐标为 ( )A.(3,-1)B.(-3,1)C.(1,-3)D.(-1,3)
1.B 【解析】 因为点P在x轴下方,在y轴右侧,且点P到x轴的距离为1,到y轴的距离为3,所以点P的坐标是(3,-1),所以点P关于原点的对称点的坐标为(-3,1).故选B.
3.[2020江苏南京二模]已知点P(-1,m2+1)与点Q关于原点对称,则点Q一定在 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.D 【解析】 ∵点P(-1,m2+1)与点Q关于原点对称,∴Q(1,-m2-1).∵-m2-1≤-1,∴点Q一定在第四象限.故选D.
4.[2020天津南开翔宇学校月考]在平面直角坐标系中,将点A(-2,3)向右平移a个单位长度,再向下平移b个单位长度,平移后对应的点为A',且点A和点A'关于原点对称,则a+b= .
5.在平面直角坐标系中,已知A(2,3),B(0,1),C(3,1),若线段AC与BD互相平分,则点D关于坐标原点对称的点的坐标为 .
5.(-5,-3) 【解析】 根据题意,画出图形如图所示,∵线段AC与BD互相平分,∴点D的坐标为(5,3),∴点D关于坐标原点对称的点的坐标为(-5,-3).
6.[2020浙江绍兴柯桥区期中]在平面直角坐标系中,已知A(3,2),作点A关于y轴的对称点A1,点A1关于原点的对称点A2,点A2关于x轴的对称点A3,A3关于y轴的对称点A4……按此规律,则点A2 021的坐标为 .
6.(3,-2) 【解析】 根据题意,得点A1的坐标为(-3,2),点A2的坐标为(3,-2),点A3的坐标为(3,2),点A4的坐标为(-3,2)……由此可知每3次变换为一循环,因为2 021÷3=673……2,所以点A2 021的坐标为(3,-2).
7.[2021江西南昌竞晖学校期中]在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系,△ABC的顶点都在格点上,请解答下列问题:(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1,并写出点C1的坐标;(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标;(3)已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为(-4,-2),请直接写出直线l的函数解析式.
7.【解析】 (1)△A1B1C1如图所示,点C1的坐标为(-1,2).(2)△A2B2C2如图所示,点C2的坐标为(-3,-2).(3)直线l的函数解析式为y=-x.
23.3 课题学习 图案设计
1.下列各组图形中,由图形甲变成图形乙,既能用平移,又能用旋转的是 ( )ABCD
1.C 【解析】 A项,不能通过平移得到,故A不符合题意;B项,不能通过旋转得到,故B不符合题意;C项,既能通过平移得到,又能通过旋转得到,故C符合题意;D项,能通过旋转得到,但不能通过平移得到,故D不符合题意.故选C.
知识点 1 图形的变换
2.以图1(以O为圆心,半径为1的半圆)作为“基本图形”,分别经历如下变换,其中不能得到图2的是 .(填序号) ①只向右平移1个单位长度;②先以直线AB为对称轴进行翻折,再向右平移1个单位长度;③先绕着点O旋转180°,再向右平移1个单位长度;④绕着OB的中点旋转180°即可.
3.[2020浙江宁波中考]图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中,分别按下列要求选取一个涂上阴影:(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形;(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.(请将两个小题依次作答在图1,图2中,均只需画出符合条件的一种情形)
3.【解析】 (1)轴对称图形如图1所示.(答案不唯一)(2)中心对称图形如图2所示.(答案不唯一)
知识点 2 图案的设计
4.如图是一个4×4的正方形网格,每个小正方形的边长均为1.请你在网格中以左上角的三角形为“基本图形”,通过平移、轴对称或旋转变换,设计一个精美图案,使其满足:①既是轴对称图形,又是以点O为对称中心的中心对称图形;②所作图案用阴影标识,且阴影部分的面积为4.
4.【解析】 如图所示,答案不唯一.
5.阅读下列材料,按要求完成相应的任务.几何中,平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形,大家对于它们的性质都非常熟悉,生活中还有一种特殊的四边形——筝形,所谓筝形,它的形状与我们生活中风筝的骨架相似.定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图,四边形ABCD是筝形,其中AB=AD,CB=CD.判定:①两组邻边分别相等的四边形是筝形;②其中一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形.显然,菱形是特殊的筝形,就一般筝形而言,它与菱形有许多相同点和不同点.如果只研究一般的筝形(不包括菱形),请根据以上材料完成下列任务:(1)请分别写出两条筝形和菱形的相同点和不同点;
(2)请仿照图1的画法,在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案,具体要求如下:①顶点都在格点上;②既是轴对称图形又是中心对称图形;③将新图案中的四个筝形都涂上阴影. 图1 图2
5.【解析】 (1)相同点:①两组邻边分别相等;②有一组对角相等;③一条对角线垂直平分另一条对角线;④有一条对角线平分一组对角;⑤都是轴对称图形;⑥面积等于对角线乘积的一半.(任意写出两条即可)不同点:①菱形的对角线互相平分,筝形的对角线不互相平分;②菱形的四边都相等,筝形的两组邻边分别相等;③菱形的两组对边分别平行,筝形的对边不平行;④菱形的两组对角分别相等,筝形只有一组对角相等;⑤菱形的邻角互补,筝形的邻角不互补;⑥菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,筝形是轴对称图形不是中心对称图形.(任意写出两条即可)
(2)如图所示,答案不唯一.
1.[2020湖南娄底中考]我国汽车工业迅速发展,国产汽车技术成熟,下列汽车图标是中心对称图形的是 ( )ABCD
2.[2020天津中考]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点B的对应点E恰好落在边AC上,点A的对应点为D,延长DE交AB于点F,则下列结论一定正确的是( )A.AC=DEB.BC=EFC.∠AEF=∠DD.AB⊥DF
2.D 【解析】 由旋转的性质可知,AC=DC,AB=DE,∠DCE=∠ACB=90°.在Rt△ABC中,ACCD,BD>DF,∴BD-CD>DF-DE,即BC>EF,故选项B中的结论不正确.故选D.
5.[2020四川眉山中考]如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置,点B1恰好落在边BC的中点处,则CC1的长为 .
6.[2020广西桂林中考]如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,3),B(4,4),C(2,1).(1)把△ABC向左平移4个单位长度后得到对应的△A1B1C1,请画出平移后的△A1B1C1;(2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2,请画出旋转后的△A2B2C2;(3)观察图形可知,△A1B1C1与△A2B2C2关于点( , )中心对称.
6.【解析】 (1)△A1B1C1如图所示.(2)△A2B2C2如图所示.
7.[2019浙江绍兴中考]如图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.(1)在旋转过程中:①当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长;②当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长;(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2,如图2,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长. 图1 图2
满分:100分 建议用时:90分钟
一、选择题(每小题3分,共30分)1.[2021辽宁营口一中沿海分校期中]下列关于防范“新冠肺炎”的标志中(不包含汉字),既是轴对称图形,又是中心对称图形的是ABCD
2.如图,在平面直角坐标系中,把点A(3,4)绕点O逆时针旋转90°,则点A可以到达的位置是 ( )A.点MB.点NC.点PD.点Q
2.A 【解析】 把点A(3,4)绕点O逆时针旋转90°得到点(-4,3),所以点A可以到达的位置是点M.故选A.
3.原创题 在平面直角坐标系中,若点M(m,n)与点Q((π-3.14)0,2)关于原点对称,则点P(m+n,n)所在的象限是 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.C 【解析】 ∵点M(m,n)与点Q((π-3.14)0,2)关于原点对称,∴m=-(π-3.14)0=-1,n=-2,∴m+n=-1-2=-3,∴点P的坐标为(-3,-2),∴点P在第三象限.故选C.
4. 如图,△ABC与△A'B'C'成中心对称,ED是△ABC的中位线,E'D'是△A'B'C'的中位线,已知BC=4,则E'D'= ( )A.1.5B.2C.3D.4
5.如图,正方形EFGH是由正方形ABCD绕某点旋转得到的,则可以作为旋转中心的是 ( )A.M,O或NB.E,O或CC.E,O或ND.M,O或C
5.A 【解析】 以M为旋转中心,把正方形ABCD顺时针旋转90°可得到正方形EFGH;以点O为旋转中心,把正方形ABCD旋转180°可得到正方形EFGH;以点N为旋转中心,把正方形ABCD逆时针旋转90°可得到正方形EFGH.故选A.
6.[2021河南平顶山期中]如图,把△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB1C1,点B,C的对应点分别为B1,C1,若∠BCC1=95°,则∠B1C1C的度数为 ( )A.35°B.40°C.45°D.50°
6.A 【解析】 ∵把△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB1C1,∴∠CAC1=50°,AC=AC1,∴∠AC1C=∠ACC1=65°,又∠BCC1=95°,∴∠ACB=30°,∴∠AC1B1=∠ACB=30°,∴∠B1C1C=65°-30°=35°.故选A.
二、填空题(每小题3分,共18分)11.将如图所示的图案绕中心旋转,当此图案第一次与自身重合时,旋转角的大小为 .
11.72° 【解析】 该图案被平分成5部分,旋转72°的整数倍,就可以与自身重合,故当此图案第一次与自身重合时,其旋转角的大小为72°.
12.如图,在平面直角坐标系中,▱MNEF的两条对角线ME,NF交于原点O,点F的坐标为(3,2),则点N的坐标为 .
12.(-3,-2) 【解析】 ∵四边形MNEF是平行四边形,∴点N与点F关于原点O成中心对称.∵点F的坐标为(3,2),∴点N的坐标为(-3,-2).
13.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=50°.将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置,连接CC'.若AB∥CC',则旋转角的度数为 .
13.100° 【解析】 ∵AB∥CC',∴∠ABC+∠C'CB=180°.∵∠B=90°,∴∠C'CB=90°,∴∠ACC'=90°-∠ACB=90°-50°=40°.由旋转的性质,得AC=AC',∴∠AC'C=∠ACC'=40°,∴∠C'AC=180°-40°-40°=100°,∴旋转角的度数为100°.
14.[2021黑龙江哈尔滨香坊区月考]如图,在等边三角形ABC中,AC=10,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上,则AP的长是 .
16.如图,在等边三角形ABC中,AB=2,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB,点E是△ABC某边上的一点,当△ABE为直角三角形时,连接DE,作BF⊥DE于点F,那么BF的长是 .
三、解答题(共52分)17.(6分)[2021福建厦门思明区期末]如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC,连接BM交AC于点E.(1)∠ACM= ; (2)求BM的长度及∠MBC的度数.
18.(8分)[2020吉林长春宽城区期末]在如图所示的正方形网格中,△ABC的顶点都在格点上,在图中按要求画出图形,并回答问题:(1)将△ABC平移,使点A平移到图中点D的位置,点B,C的对应点分别为点E,F,画出△DEF;(2)画出△ABC关于点D成中心对称的△A1B1C1;(3)△DEF与△A1B1C1是否关于某个点成中心对称?如果是,请在图中画出这个对称中心,并记作点O.
18.【解析】 (1)△DEF如图所示.(2)△A1B1C1如图所示.(3)△DEF与△A1B1C1关于点O成中心对称,点O的位置如图所示.
19.(8分)[2021江苏南通东洲国际学校月考]如图,在等边三角形ABC中,D为△ABC内一点,将△CAD绕点C按逆时针方向旋转60°得到△CBE,点A,D的对应点分别为点B,E,且A,D,E三点在同一直线上.(1)求∠CDE的度数;(2)过点C作CF⊥AE于点F,探究线段CF,AE,BE之间的数量关系,并证明你的结论.
20.(8分)[2021内蒙古呼和浩特期中]如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上两点,且∠EAF=45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ,连接EQ.(1)求证:EA是∠QED的平分线.(2)已知BE=1,DF=3,求EF的长.
21.(10分)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.(1)如图,当点E在BD上时,求证:FD=CD.(2)当α为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.
21.【分析】 (1)连接AF,结合旋转和矩形的性质证明四边形BDFA是平行四边形,进而得到FD=CD.(2)由题分析可知,当点G位于BC的垂直平分线上时,GC=GB.分点G位于BC所在直线的左边和右边两种情况讨论即可.【解析】 (1)如图1,连接AF.由旋转及矩形的性质,可得CD=AB=AE,BD=AF,∠EAF=∠ABD.∵AB=AE,∴∠ABD=∠AEB,∴∠EAF=∠AEB,∴BD∥AF,∴四边形BDFA是平行四边形,∴FD=AB.∵AB=CD,∴FD=CD.图1
(2)当α=60°或300°时,GC=GB.理由如下:由题分析可知,当点G位于BC的垂直平分线上时,GC=GB.分两种情况讨论.①如图2,当点G在BC所在直线的右边时,易知点G也是AD的垂直平分线上的点,连接DG,则DG=AG.又AG=AD,∴△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°,∴α=60°.②如图3,当点G在BC所在直线的左边时,连接DG,同理,△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°.此时α=360°-60°=300°.综上所述,当α=60°或300°时,GC=GB.图2 图3
22.(12分)【问题背景】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DE,DC,BE,点P为DC的中点,连接AP.(1)【观察猜想】观察图1,猜想线段AP与BE的数量关系是 ,位置关系是 . (2)【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请给出证明,否则写出新的结论并说明理由.(3)【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若DE=4,BC=8,请直接写出线段AP的取值范围. 图1 图2
23.1 图形的旋转
课时1 旋转的概念及性质
1.[2021河南安阳期中]数学来源于生活,下列生活中的运动属于旋转的是 ( )A.国旗上升的过程B.球场上足球滚动的过程C.风力发电机叶片工作的过程D.传输带运输东西的过程
1.C 【解析】 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转.由此可知A,B,D项不属于旋转,C项属于旋转.故选C.
知识点 1 旋转的相关概念
2.原创题 2022年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的.下面四个选项中,能由如图所示的图形经过旋转得到的是 ( ) A B C D
3.如图,将△ABC绕点O按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEF,则旋转中心和旋转角分别是 ( )A.点B,∠ABOB.点O,∠AOBC.点B,∠BOED.点O,∠AOD
3.D 【解析】 △ABC绕点O按逆时针方向旋转,则点O是旋转中心,点A与点D是对应点,则∠AOD是旋转角.故选D.
对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角,在旋转过程中,旋转角不是唯一的.
4.[2020河南漯河实验中学月考]如图,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列结论不正确的是 ( )A.BC=DEB.∠E=∠CC.∠EAC=∠BADD.∠B=∠E
4.D 【解析】 ∵△ABC绕点A旋转后得到△ADE,∴△ABC≌△ADE,∴AB=AD,AC=AE,BC=DE,∠C=∠E,∠B=∠D,∠CAB=∠EAD.△ABC中每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,∴∠EAC=∠BAD.易知D项结论不正确.故选D.
知识点 2 旋转的性质
5.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转50°后得到△A'B'C.若∠A=40°,∠B'=110°,则∠BCA'的度数是 ( )A.90° B.80°C.50°D.30°
5.B 【解析】 根据旋转的性质,可得∠B=∠B'=110°,又∠A=40°,∴∠ACB=30°.∵将△ABC绕点C顺时针旋转50°后得到△A'B'C,∴∠ACA'=50°,∴∠BCA'=∠ACB+∠ACA'=30°+50°=80°.故选B.
6.[2020辽宁大连中考]如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC',使点C的对应点C'恰好落在边AB上,则∠CAA'的度数是 ( )A.50°B.70°C.110°D.120°
7.易错题 [2020上海杨浦区期末]已知在直线l上有A,B两点,AB=1,以AB为边作正方形ABCD,连接BD,将BD绕点B旋转,使点D落在直线l上的点E处,那么AE= .
本题的易错之处是忽略分类讨论,因为题中没有明确旋转方向和旋转角度,所以需要分BD绕点B顺时针旋转135°和BD绕点B逆时针旋转45°两种情况求解.
8.如图,OA⊥OB,△CDE的边CD在OB上,∠ECD=45°,CE=4,若将△CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,则OC的长度为 .
9.[2021河北唐山期中]如图,在△ABC中,∠B=15°,∠ACB=30°,AB=4,△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合,且点C恰好为AD的中点.(1)指出旋转中心,并求出旋转的度数;(2)求出∠BAE的度数和AE的长.
1.[2020重庆西南大学附中开学考试]如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,且∠EBC=15°,将△EBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△FDC,连接EF,则∠EFD的度数为 ( )A.15°B.20°C.25°D.30°
1.D 【解析】 ∵将△EBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△FDC,∴∠DCF=∠BCE=90°,∠CDF=∠EBC=15°,EC=CF,∴△CEF为等腰直角三角形,∴∠CEF=45°.∵∠CEF=∠CDF+∠EFD,∴∠EFD=45°-15°=30°.故选D.
2.[2021山东滨州期中]如图,将等边三角形ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC,连接AD,BD.给出下列结论:①AC=AD;②BD⊥AC;③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3
2.D 【解析】 ∵将等边三角形ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC,∴∠ACE=120°,∠DCE=60°,AC=CE=DE=CD,∴∠ACD=60°,∴△ACD是等边三角形,∴AC=AD,故①正确;易知四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,故②正确;易知AC=AD=DE=CE,∴四边形ACED是菱形,故③正确.故选D.
3.[2020山东济南外国语学校期中]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=1,△A'B'C由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A'与点A、点B'与点B是对应点,连接AB'.若A,B',A'在同一条直线上,则AA'的长为 .
3.3 【解析】 ∵∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠BAC=30°,∴AB=2BC=2.由旋转的性质,得A'B'=AB=2,B'C=BC=1,A'C=AC,∠A'=∠BAC=30°,∠A'B'C=∠B=60°,∴∠CAA'=∠A'=30°,∴∠B'CA=30°,∴∠CAB'=∠B'CA,∴B'A=B'C=1,∴AA'=AB'+A'B'=2+1=3.
4.易错题 如图,在△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)得到△A'B'C,A'C与AB交于点D,连接AA',若△AA'D是等腰三角形,则旋转角α的度数为 .
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,BC与AD,DE分别交于点G,F.(1)求∠AGC的度数;(2)求证:四边形ABFE是菱形.
6.【解析】 (1)∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=40°.∵将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,∴∠BAG=40°,∴∠AGC=∠B+∠BAG=80°.(2)∵将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,∴∠D=∠B=40°,∠DAE=∠BAC=100°,AE=AC,∠BAD=40°,∴∠D=∠BAD=40°,∴AB∥DE.由(1)知∠AGC=80°,∴∠DAE+∠AGC=180°,∴AE∥BF,∴四边形ABFE是平行四边形.∵AB=AC,AE=AC,∴AB=AE,∴四边形ABFE是菱形.
素养提升7.[2021福建厦门莲花中学期中]已知等边三角形ABC,D为BC上一点,连接AD.(1)若E是AC上一点,且CE=BD,连接BE交AD于点P,在图1中根据题意补全图形,并直接写出∠APE的大小;(2)将AD绕点A逆时针旋转120°得到AF,连接BF交AC于点Q,在图2中根据题意补全图形,用等式表示线段AQ和CD的数量关系,并证明.
1.如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是 ( )ABCD
2.如图,请作出△ABC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到的图形.
2.【解析】 如图,△A'B'C'即所求.
3.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(-2,0),点B在y轴的正半轴上,且OB=2OA,将线段AB绕点A顺时针旋转90°,使点B落在点C处.(1)求点B、点C的坐标;(2)在x轴上有一点D,使得△ACD的面积为3,求点D的坐标.
4.[2021甘肃金昌期中]如图,在平面直角坐标系中,△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(4,1),B(4,4).(1)画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1,并写出点A1的坐标;(2)画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2,并写出点A2的坐标.
4.【解析】 (1)△OA1B1如图所示,点A1的坐标为(-4,1).(2)△OA2B2如图所示,点A2的坐标为(1,-4).
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标是A(-7,1),B(1,1),C(1,7),线段DE的端点坐标是D(7,-1),E(-1,-7).(1)试说明如何平移线段AC,使其与线段ED重合;(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转,使AC的对应边为DE,请直接写出点B的对应点F的坐标;(3)画出(2)中的△DEF,并和△ABC同时绕坐标原点O逆时针旋转90°,画出旋转后的图形.
5.【解析】 (1)将线段AC先向右平移6个单位长度,再向下平移8个单位长度.(或先向下平移8个单位长度,再向右平移6个单位长度)(2)F(-1,-1).(3)△DEF如图所示.△ABC和△DEF分别绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△A'B'C'和△D'E'F',如图所示.
专项 旋转在几何问题中的应用
2.[2020北京八中期中]如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转50°后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC=130°,则∠C的度数是 ( )A.25°B.30°C.35°D.40°
4.[2020河南漯河实验中学月考]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,点M,M'分别是AB,A'B'的中点.若AC=4,BC=2,则线段MM'的长为 .
6.如图,在等边三角形ABC中,点D为△ABC内的一点,∠ADB=120°,∠ADC=90°,将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE,连接DE.(1)求证:AD=DE.(2)求∠DCE的度数.(3)若BD=1,求AD,CD的长.
7.[2021福建莆田期中]在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转a(0°
1.C 【解析】 如图,旋转中心有A,B,线段AB的中点O及EF与IJ的延长线的交点S,HG与DC的延长线的交点T,共5个.故选C.
易错点 1 不能准确确定旋转中心
本题容易忽视点S,T也是旋转中心,从而错选B.
2.[2021安徽合肥期末]如图,在小正方形的边长均为1的网格中,A(1,7),B(5,5),C(7,5),D(5,1),线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段,则这个旋转中心的坐标为 .
2.(3,3)或(6,6) 【解析】 如图,旋转中心P的坐标为(3,3)或(6,6).
在找旋转中心时,对应点不明确,要注意可能存在多种情况,需分类讨论.
3.如图,在正方形ABCD中,E是边AD上一点,△ABE旋转后能与△DAF重合,旋转中心是哪一点?△ABE是怎样旋转得到△DAF的?
3.【解析】 旋转中心是线段AB和AD的垂直平分线的交点,即正方形ABCD的中心.将△ABE绕正方形的中心顺时针旋转90°得到△DAF,或△ABE绕正方形的中心逆时针旋转270°得到△DAF.
判断旋转中心的方法 首先看该点是否在图形上,若在图形上,旋转过程中位置没有改变的点即旋转中心,若不在图形上,对应点所连线段垂直平分线的交点就是旋转中心,对于有公共顶点的两个图形,有时会将该公共顶点误认为是旋转中心,如本题中点A虽然是两个三角形的公共顶点,但不是对应点,因此,点A不是旋转中心.
4.在平面直角坐标系中,把点P(-5,3)向右平移8个单位长度得到点P1,再将点P1绕原点旋转90°得到点P2,则点P2的坐标是 ( )A.(3,-3) B.(-3,3)C.(3,3)或(-3,-3)D.(-3,3)或(3,-3)
4.D 【解析】 ∵把点P(-5,3)向右平移8个单位长度得到点P1,∴点P1的坐标为(3,3).如图,①若将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P'2,则点P'2的坐标为(-3,3);②若将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P2″,则点P2″的坐标为(3,-3).故点P2的坐标为(-3,3)或(3,-3).故选D.
易错点 2 忽视分类讨论
旋转的三要素为旋转中心、旋转角和旋转方向.旋转方向有逆时针和顺时针两种,当题目中未指明旋转方向时,要注意进行分类讨论.
7.如图,在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD.把△ABC绕点D逆时针旋转m°(0
在旋转过程中,每一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角,观察旋转前后的图形,正确找到旋转角是解决此类题的关键.当旋转角为60°,90°时,常结合旋转过程中对应线段相等,得到等边三角形、等腰直角三角形等特殊图形,利用特殊图形的性质解决有关几何计算和证明问题.
8.[2020重庆万州区期末]如图1,是一副直角三角尺,∠F=30°,将这副三角尺按如图2所示方式放置,点B,D,C,F在同一直线上,点A在DE上,△ABC固定不动,在△EDF绕点D逆时针旋转180°的过程中(不含180°),当旋转角为多少时,EF与△ABC的边垂直?
8.【解析】 当AC⊥EF时,如图1,∵∠F=30°,∴∠GHF=60°,∴∠DHC=60°.∵∠HCD=45°,∴∠FDC=75°,∴当旋转角为75°时,EF⊥AC. 当BC⊥EF时,如图2,∵∠F=30°,∴∠GDF=60°,∴∠FDC=120°,∴当旋转角为120°时,EF⊥BC.
当AB⊥EF时,如图3,∵∠F=30°,∴∠GHF=60°,∴∠AHD=60°.∵∠BAD=45°,∴∠ADH=75°,∴∠FDC=75°+90°=165°,∴当旋转角为165°时,EF⊥AB.综上,当旋转角为75°,120°或165°时,EF与△ABC的边垂直.
1.下列选项中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是 ( ) A B C D
知识点 1 中心对称的定义
2.下列四组图形中成中心对称的有 ( ) A.①②B.③④C.①②③D.①②③④
2.C 【解析】 根据中心对称的定义,知①②③成中心对称;④显然不成中心对称.故选C.
3.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列结论不一定成立的是 ( )A.∠ABC=∠A'C'B'B.OA=OA'C.BC=B'C'D.OC=OC'
3.A 【解析】 对称点所连线段被对称中心平分,所以B,D正确;中心对称的两个图形是全等图形,所以对应线段相等,所以C正确.故选A.
知识点 2 中心对称的性质
4.原创题 如图,正方形ABCD与正方形GHEF成中心对称,则下列关于对称中心的描述不正确的是 ( )A.对称中心是线段CE的中点B.对称中心是线段DF的中点C.对称中心是点ED.对称中心是线段AG与DF的交点
4.C 【解析】 因为正方形ABCD与正方形GHEF成中心对称,所以点A和点G、点B和点H、点C和点E、点D和点F是对应点,一组对应点连线的中点或两组对应点连线的交点是对称中心,故A,B,D项描述正确,C项描述不正确.故选C.
6.[2020河南平顶山期末]如图,△ABC和△DEC关于点C成中心对称,若AC=1,AB=2,∠BAC=90°,则AE的长是 .
7.如图,△ABO与△CDO关于点O成中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:FD=BE.
8.如图,已知点M是△ABC的边BC的中点,点O是△ABC外一点.(1)画△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC关于点M成中心对称;(2)画△A″B″C″,使△A″B″C″与△ABC关于原点O成中心对称.
8.【解析】 (1)△A'B'C'如图所示.(2)△A″B″C″如图所示.
知识点 3 利用中心对称的性质作图
1.易错题[2021江西南昌新建五中期中]下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有 ( )A.1组B.2组C.3组D.4组
1.C 【解析】 根据中心对称的概念,可知(2)(3)(4)中左边的图形与右边的图形成中心对称.故选C.
2.如图,在平面直角坐标系中,若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称,则点E的坐标是 ( )A.(3,-1)B.(0,0)C.(2,-1)D.(1,-3)
2.A 【解析】 如图,连接AA1,CC1,则AA1与CC1的交点就是对称中心E.易知点E的坐标是(3,-1).故选A.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC与△FEC关于点C成中心对称,连接AE,BF,要使四边形ABFE为矩形,则∠ACB= °.
3.60 【解析】 ∵△ABC与△FEC关于点C成中心对称,∴CB=CE,CA=CF,∴四边形ABFE为平行四边形.当AF=BE,即AC=BC时,平行四边形ABFE为矩形,∵AB=AC,∴AB=BC=AC,∴△ABC为等边三角形,∴要使四边形ABFE为矩形,∠ACB=60°.
4.[2021山东济宁期中]如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,1),(-1,0).一个电动玩具从坐标原点O出发,第一次跳跃到点P1,点P1与点O关于点A成中心对称;第二次跳跃到点P2,点P2与点P1关于点B成中心对称;第三次跳跃到点P3,点P3与点P2关于点C成中心对称;第四次跳跃到点P4,点P4与点P3关于点A成中心对称;第五次跳跃到点P5,点P5与点P4关于点B成中心对称……照此规律重复下去,则点P2 020的坐标为 .
4.(2,2) 【解析】 由题意,知P0(0,0),P1(2,0),P2(-2,2),P3(0,-2),P4(2,2),P5(-2,0),P6(0,0),P7(2,0),…,∴P6n(0,0),P6n+1(2,0),P6n+2(-2,2),P6n+3(0,-2),P6n+4(2,2),P6n+5(-2,0)(n为自然数).∵2 020=6×336+4,∴点P2 020的坐标为(2,2).
5.[2020湖南岳阳期末]如图,D是△ABC边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD,连接BE.(1)哪两个图形成中心对称?(2)已知△ADC的面积为4,求△ABE的面积.(3)已知AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
6.已知△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C;(2)将△A1B1C向右平移4个单位长度,作出平移后的△A2B2C2;(3)在x轴上求作一点P,使PA1+PC2的值最小,并写出点P的坐标.
对于网格中的画图问题,要充分利用网格的特殊性找对应点,再通过数网格找准坐标,不需要测量.对于最小值问题,若两点在某直线的同侧,必须先找到其中一点关于该直线的对称点,再将这个对称点与另一点相连,与该直线的交点就是满足最小值的点.
素养提升7.如图,已知△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,△ABE与△DCE关于点E成中心对称,点E,D,M都在线段AF上,BM的延长线交CF于点P.(1)求证:AC=CD.(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
7.【解析】 (1)∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,∴△ABM≌△ACM,∴AB=AC.∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称,∴△ABE≌△DCE,∴AB=CD,∴AC=CD.(2)∠F=∠MCD.理由如下:由(1)得AC=CD=AB,∴∠BAE=∠CAE=∠CDE,∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,
∴CM=BM,∴∠CMA=∠BMA.∵∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF,∴设∠MPC=α,则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α,设∠BMA=β,则∠PMF=∠CMA=β,∴∠F=∠CPM-∠PMF=α-β,∠MCD=∠CDE-∠DMC=α-β,∴∠F=∠MCD.
1.[2020广东佛山三水区期末]区环卫科正开展“垃圾分类”知识宣传活动,下列图标(不包含文字)是中心对称图形的是 ( )ABCD
1.B 【解析】 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形.由此可知B项是中心对称图形.故选B.
知识点 1 中心对称图形
2.[2020山东烟台中考]下列关于数字变换的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )ABCD
2.A 【解析】 A项,是中心对称图形,不是轴对称图形;B项,不是中心对称图形,是轴对称图形;C项,既不是中心对称图形,也不是轴对称图形;D项,既是轴对称图形,也是中心对称图形.故选A.
3.下列图案中,既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是 ( )ABCD
3.C 【解析】 A项,是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;B项,不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;C项,不是轴对称图形,也不是中心对称图形,符合题意;D项,既是轴对称图形又是中心对称图形,不符合题意.故选C.
4.[2020山东济南中考]古钱币是我国悠久的历史文化遗产,以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )ABCD
4.D 【解析】 A项,是轴对称图形,不是中心对称图形;B项,是轴对称图形,不是中心对称图形;C项,不是轴对称图形,也不是中心对称图形;D项,既是轴对称图形又是中心对称图形.故选D.
5.易错题 图甲所示的四张牌,若只将其中一张牌旋转180°后得到图乙,则旋转的牌是 .(填“梅花5”“黑桃5”“红桃5”或“方块5”)
5.方块5 【解析】 根据题中图形,可知方块5是中心对称图形,所以只将方块5旋转180°后得到图乙.
6.如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.若菱形的两条对角线长分别为6和18,则阴影部分的面积为 .
知识点 2 中心对称图形的性质
7.如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=3,O是▱ABCD的对称中心,O'是菱形ABEF的对称中心,若OO'=d,则d的取值范围是 .
解题的关键是学会添加辅助线,利用三角形的三边关系解决最值问题.
8.[2020江苏南通新桥中学月考]如图,方格纸中有A,B,C三点,要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上,且四边形的顶点在方格的顶点上.(1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;(2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形;(3)在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
8.【解析】 (1)如甲图:平行四边形.(答案不唯一)(2)如乙图:等腰梯形.(答案不唯一)(3)如丙图:正方形.(答案不唯一)
知识点 3 利用中心对称图形的性质作图
课时3 关于原点对称的点的坐标
1.[2020江苏淮安中考]在平面直角坐标系中,点(3,2)关于原点对称的点的坐标是 ( )A.(2,3)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(-2,-3)
知识点 1 关于原点对称的点的坐标
2.在平面直角坐标系中,已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是(-5,6),则点P关于原点的对称点P2的坐标是 ( )A.(-5,-6)B.(-5,6)C.(5,-6)D.(5,6)
2.D 【解析】 ∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是(-5,6),∴P(-5,-6),则点P关于原点的对称点P2的坐标是(5,6).故选D.
3.[2020福建厦门九中期中]在平面直角坐标系中,将△AOB 绕原点 O 顺时针旋转 180°后得到△A1OB1,若点B的坐标为(2,1),则点B的对应点B1的坐标为 ( )A.(1,2)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(-2,-1)
3.D 【解析】 由题意可知△A1OB1与△AOB关于原点O成中心对称,∵点B的坐标为(2,1),∴点B1的坐标为(-2,-1).故选D.
4.如图的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,若以MN所在直线为y轴(向上为正方向),以小正方形的边长为1个单位长度建立平面直角坐标系,使点A与点B关于原点对称,则此时点C的坐标是( )A.(1,3)B.(2,-1)C.(2,1)D.(3,1)
4.B 【解析】 连接AB,则AB与MN的交点为坐标原点,以MN所在直线为y轴(向上为正方向),过原点与MN垂直的直线为x轴(向右为正方向)建立平面直角坐标系,可得点C的坐标是(2,-1).故选B.
5.[2021辽宁盘锦大洼区期初考试]若点P(a+1,a-2)关于原点对称的点位于第二象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )A BC D
5.C 【解析】 ∵点P(a+1,a-2)关于原点对称的点在第二象限,∴点P在第四象限,∴a+1>0,a-2<0,∴-1
6.1 【解析】 ∵点A(a,2 020)与点A'(-2 021,b)关于原点对称,∴a=2 021,b=-2 020,∴a+b=2 021+(-2 020)=1.
7.若点A(-2,n)在x轴上,则点B(n-1,n+1)关于原点对称的点的坐标为 .
7.(1,-1) 【解析】 因为点A(-2,n)在x轴上,所以n=0,所以点B的坐标为(-1,1),所以点B关于原点对称的点的坐标为(1,-1).
8.已知点P(x2+2x,3)在第二象限,且与点Q(x+2,y)关于原点对称,试求x+2y的值.
8.【解析】 根据题意,得(x2+2x)+(x+2)=0,y=-3.解方程(x2+2x)+(x+2)=0,得x1=-1,x2=-2.当x=-1时,x2+2x=-1,点P(-1,3)在第二象限,符合题意.当x=-2时,x2+2x=0,与点P在第二象限矛盾,不符合题意,舍去.∴x=-1,y=-3,∴x+2y=-7.
9.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(-2,4).(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标;(2)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标.
9.【解析】 (1)△A1B1C1如图所示,点B1的坐标为(1,-3).(2)△A2B2C2如图所示,点A2的坐标为(1,2).
知识点 2 作已知图形关于原点对称的图形
10.[2020广东湛江二中开学考试]如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-1,5),B(-4,2),C(-2,2).(1)平移△ABC,使点B移动到点B1(1,1),画出平移后的△A1B1C1,并写出点A1,C1的坐标;(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2;(3)线段AA1的长度为 .
1.在平面直角坐标系中,已知点P在x轴下方,在y轴右侧,且点P到x轴的距离为1,到y轴的距离为3,则点P关于原点的对称点的坐标为 ( )A.(3,-1)B.(-3,1)C.(1,-3)D.(-1,3)
1.B 【解析】 因为点P在x轴下方,在y轴右侧,且点P到x轴的距离为1,到y轴的距离为3,所以点P的坐标是(3,-1),所以点P关于原点的对称点的坐标为(-3,1).故选B.
3.[2020江苏南京二模]已知点P(-1,m2+1)与点Q关于原点对称,则点Q一定在 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.D 【解析】 ∵点P(-1,m2+1)与点Q关于原点对称,∴Q(1,-m2-1).∵-m2-1≤-1,∴点Q一定在第四象限.故选D.
4.[2020天津南开翔宇学校月考]在平面直角坐标系中,将点A(-2,3)向右平移a个单位长度,再向下平移b个单位长度,平移后对应的点为A',且点A和点A'关于原点对称,则a+b= .
5.在平面直角坐标系中,已知A(2,3),B(0,1),C(3,1),若线段AC与BD互相平分,则点D关于坐标原点对称的点的坐标为 .
5.(-5,-3) 【解析】 根据题意,画出图形如图所示,∵线段AC与BD互相平分,∴点D的坐标为(5,3),∴点D关于坐标原点对称的点的坐标为(-5,-3).
6.[2020浙江绍兴柯桥区期中]在平面直角坐标系中,已知A(3,2),作点A关于y轴的对称点A1,点A1关于原点的对称点A2,点A2关于x轴的对称点A3,A3关于y轴的对称点A4……按此规律,则点A2 021的坐标为 .
6.(3,-2) 【解析】 根据题意,得点A1的坐标为(-3,2),点A2的坐标为(3,-2),点A3的坐标为(3,2),点A4的坐标为(-3,2)……由此可知每3次变换为一循环,因为2 021÷3=673……2,所以点A2 021的坐标为(3,-2).
7.[2021江西南昌竞晖学校期中]在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系,△ABC的顶点都在格点上,请解答下列问题:(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1,并写出点C1的坐标;(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标;(3)已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为(-4,-2),请直接写出直线l的函数解析式.
7.【解析】 (1)△A1B1C1如图所示,点C1的坐标为(-1,2).(2)△A2B2C2如图所示,点C2的坐标为(-3,-2).(3)直线l的函数解析式为y=-x.
23.3 课题学习 图案设计
1.下列各组图形中,由图形甲变成图形乙,既能用平移,又能用旋转的是 ( )ABCD
1.C 【解析】 A项,不能通过平移得到,故A不符合题意;B项,不能通过旋转得到,故B不符合题意;C项,既能通过平移得到,又能通过旋转得到,故C符合题意;D项,能通过旋转得到,但不能通过平移得到,故D不符合题意.故选C.
知识点 1 图形的变换
2.以图1(以O为圆心,半径为1的半圆)作为“基本图形”,分别经历如下变换,其中不能得到图2的是 .(填序号) ①只向右平移1个单位长度;②先以直线AB为对称轴进行翻折,再向右平移1个单位长度;③先绕着点O旋转180°,再向右平移1个单位长度;④绕着OB的中点旋转180°即可.
3.[2020浙江宁波中考]图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中,分别按下列要求选取一个涂上阴影:(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形;(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.(请将两个小题依次作答在图1,图2中,均只需画出符合条件的一种情形)
3.【解析】 (1)轴对称图形如图1所示.(答案不唯一)(2)中心对称图形如图2所示.(答案不唯一)
知识点 2 图案的设计
4.如图是一个4×4的正方形网格,每个小正方形的边长均为1.请你在网格中以左上角的三角形为“基本图形”,通过平移、轴对称或旋转变换,设计一个精美图案,使其满足:①既是轴对称图形,又是以点O为对称中心的中心对称图形;②所作图案用阴影标识,且阴影部分的面积为4.
4.【解析】 如图所示,答案不唯一.
5.阅读下列材料,按要求完成相应的任务.几何中,平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形,大家对于它们的性质都非常熟悉,生活中还有一种特殊的四边形——筝形,所谓筝形,它的形状与我们生活中风筝的骨架相似.定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图,四边形ABCD是筝形,其中AB=AD,CB=CD.判定:①两组邻边分别相等的四边形是筝形;②其中一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形.显然,菱形是特殊的筝形,就一般筝形而言,它与菱形有许多相同点和不同点.如果只研究一般的筝形(不包括菱形),请根据以上材料完成下列任务:(1)请分别写出两条筝形和菱形的相同点和不同点;
(2)请仿照图1的画法,在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案,具体要求如下:①顶点都在格点上;②既是轴对称图形又是中心对称图形;③将新图案中的四个筝形都涂上阴影. 图1 图2
5.【解析】 (1)相同点:①两组邻边分别相等;②有一组对角相等;③一条对角线垂直平分另一条对角线;④有一条对角线平分一组对角;⑤都是轴对称图形;⑥面积等于对角线乘积的一半.(任意写出两条即可)不同点:①菱形的对角线互相平分,筝形的对角线不互相平分;②菱形的四边都相等,筝形的两组邻边分别相等;③菱形的两组对边分别平行,筝形的对边不平行;④菱形的两组对角分别相等,筝形只有一组对角相等;⑤菱形的邻角互补,筝形的邻角不互补;⑥菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,筝形是轴对称图形不是中心对称图形.(任意写出两条即可)
(2)如图所示,答案不唯一.
1.[2020湖南娄底中考]我国汽车工业迅速发展,国产汽车技术成熟,下列汽车图标是中心对称图形的是 ( )ABCD
2.[2020天津中考]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点B的对应点E恰好落在边AC上,点A的对应点为D,延长DE交AB于点F,则下列结论一定正确的是( )A.AC=DEB.BC=EFC.∠AEF=∠DD.AB⊥DF
2.D 【解析】 由旋转的性质可知,AC=DC,AB=DE,∠DCE=∠ACB=90°.在Rt△ABC中,AC
5.[2020四川眉山中考]如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置,点B1恰好落在边BC的中点处,则CC1的长为 .
6.[2020广西桂林中考]如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,3),B(4,4),C(2,1).(1)把△ABC向左平移4个单位长度后得到对应的△A1B1C1,请画出平移后的△A1B1C1;(2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2,请画出旋转后的△A2B2C2;(3)观察图形可知,△A1B1C1与△A2B2C2关于点( , )中心对称.
6.【解析】 (1)△A1B1C1如图所示.(2)△A2B2C2如图所示.
7.[2019浙江绍兴中考]如图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.(1)在旋转过程中:①当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长;②当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长;(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2,如图2,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长. 图1 图2
满分:100分 建议用时:90分钟
一、选择题(每小题3分,共30分)1.[2021辽宁营口一中沿海分校期中]下列关于防范“新冠肺炎”的标志中(不包含汉字),既是轴对称图形,又是中心对称图形的是ABCD
2.如图,在平面直角坐标系中,把点A(3,4)绕点O逆时针旋转90°,则点A可以到达的位置是 ( )A.点MB.点NC.点PD.点Q
2.A 【解析】 把点A(3,4)绕点O逆时针旋转90°得到点(-4,3),所以点A可以到达的位置是点M.故选A.
3.原创题 在平面直角坐标系中,若点M(m,n)与点Q((π-3.14)0,2)关于原点对称,则点P(m+n,n)所在的象限是 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.C 【解析】 ∵点M(m,n)与点Q((π-3.14)0,2)关于原点对称,∴m=-(π-3.14)0=-1,n=-2,∴m+n=-1-2=-3,∴点P的坐标为(-3,-2),∴点P在第三象限.故选C.
4. 如图,△ABC与△A'B'C'成中心对称,ED是△ABC的中位线,E'D'是△A'B'C'的中位线,已知BC=4,则E'D'= ( )A.1.5B.2C.3D.4
5.如图,正方形EFGH是由正方形ABCD绕某点旋转得到的,则可以作为旋转中心的是 ( )A.M,O或NB.E,O或CC.E,O或ND.M,O或C
5.A 【解析】 以M为旋转中心,把正方形ABCD顺时针旋转90°可得到正方形EFGH;以点O为旋转中心,把正方形ABCD旋转180°可得到正方形EFGH;以点N为旋转中心,把正方形ABCD逆时针旋转90°可得到正方形EFGH.故选A.
6.[2021河南平顶山期中]如图,把△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB1C1,点B,C的对应点分别为B1,C1,若∠BCC1=95°,则∠B1C1C的度数为 ( )A.35°B.40°C.45°D.50°
6.A 【解析】 ∵把△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB1C1,∴∠CAC1=50°,AC=AC1,∴∠AC1C=∠ACC1=65°,又∠BCC1=95°,∴∠ACB=30°,∴∠AC1B1=∠ACB=30°,∴∠B1C1C=65°-30°=35°.故选A.
二、填空题(每小题3分,共18分)11.将如图所示的图案绕中心旋转,当此图案第一次与自身重合时,旋转角的大小为 .
11.72° 【解析】 该图案被平分成5部分,旋转72°的整数倍,就可以与自身重合,故当此图案第一次与自身重合时,其旋转角的大小为72°.
12.如图,在平面直角坐标系中,▱MNEF的两条对角线ME,NF交于原点O,点F的坐标为(3,2),则点N的坐标为 .
12.(-3,-2) 【解析】 ∵四边形MNEF是平行四边形,∴点N与点F关于原点O成中心对称.∵点F的坐标为(3,2),∴点N的坐标为(-3,-2).
13.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=50°.将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置,连接CC'.若AB∥CC',则旋转角的度数为 .
13.100° 【解析】 ∵AB∥CC',∴∠ABC+∠C'CB=180°.∵∠B=90°,∴∠C'CB=90°,∴∠ACC'=90°-∠ACB=90°-50°=40°.由旋转的性质,得AC=AC',∴∠AC'C=∠ACC'=40°,∴∠C'AC=180°-40°-40°=100°,∴旋转角的度数为100°.
14.[2021黑龙江哈尔滨香坊区月考]如图,在等边三角形ABC中,AC=10,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上,则AP的长是 .
16.如图,在等边三角形ABC中,AB=2,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB,点E是△ABC某边上的一点,当△ABE为直角三角形时,连接DE,作BF⊥DE于点F,那么BF的长是 .
三、解答题(共52分)17.(6分)[2021福建厦门思明区期末]如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC,连接BM交AC于点E.(1)∠ACM= ; (2)求BM的长度及∠MBC的度数.
18.(8分)[2020吉林长春宽城区期末]在如图所示的正方形网格中,△ABC的顶点都在格点上,在图中按要求画出图形,并回答问题:(1)将△ABC平移,使点A平移到图中点D的位置,点B,C的对应点分别为点E,F,画出△DEF;(2)画出△ABC关于点D成中心对称的△A1B1C1;(3)△DEF与△A1B1C1是否关于某个点成中心对称?如果是,请在图中画出这个对称中心,并记作点O.
18.【解析】 (1)△DEF如图所示.(2)△A1B1C1如图所示.(3)△DEF与△A1B1C1关于点O成中心对称,点O的位置如图所示.
19.(8分)[2021江苏南通东洲国际学校月考]如图,在等边三角形ABC中,D为△ABC内一点,将△CAD绕点C按逆时针方向旋转60°得到△CBE,点A,D的对应点分别为点B,E,且A,D,E三点在同一直线上.(1)求∠CDE的度数;(2)过点C作CF⊥AE于点F,探究线段CF,AE,BE之间的数量关系,并证明你的结论.
20.(8分)[2021内蒙古呼和浩特期中]如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上两点,且∠EAF=45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ,连接EQ.(1)求证:EA是∠QED的平分线.(2)已知BE=1,DF=3,求EF的长.
21.(10分)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.(1)如图,当点E在BD上时,求证:FD=CD.(2)当α为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.
21.【分析】 (1)连接AF,结合旋转和矩形的性质证明四边形BDFA是平行四边形,进而得到FD=CD.(2)由题分析可知,当点G位于BC的垂直平分线上时,GC=GB.分点G位于BC所在直线的左边和右边两种情况讨论即可.【解析】 (1)如图1,连接AF.由旋转及矩形的性质,可得CD=AB=AE,BD=AF,∠EAF=∠ABD.∵AB=AE,∴∠ABD=∠AEB,∴∠EAF=∠AEB,∴BD∥AF,∴四边形BDFA是平行四边形,∴FD=AB.∵AB=CD,∴FD=CD.图1
(2)当α=60°或300°时,GC=GB.理由如下:由题分析可知,当点G位于BC的垂直平分线上时,GC=GB.分两种情况讨论.①如图2,当点G在BC所在直线的右边时,易知点G也是AD的垂直平分线上的点,连接DG,则DG=AG.又AG=AD,∴△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°,∴α=60°.②如图3,当点G在BC所在直线的左边时,连接DG,同理,△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°.此时α=360°-60°=300°.综上所述,当α=60°或300°时,GC=GB.图2 图3
22.(12分)【问题背景】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DE,DC,BE,点P为DC的中点,连接AP.(1)【观察猜想】观察图1,猜想线段AP与BE的数量关系是 ,位置关系是 . (2)【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请给出证明,否则写出新的结论并说明理由.(3)【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若DE=4,BC=8,请直接写出线段AP的取值范围. 图1 图2
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