高中数学湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数课后作业题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数课后作业题，共9页。

1．下列函数中，增长速度最慢的是( )
A．y＝6x B．y＝lg6x
C．y＝x6 D．y＝6x
2．有一组数据如下表：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A.v＝lg2tB．v＝lg12t
C.v＝ eq \f(t2－1,2) D．v＝2t－2
3．以下四种说法中，正确的是( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0，xn>lgax
C.对任意的x>0，ax>lgax
D.不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>lgax
4．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常(正常体温为37 ℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是( )
5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好的反映销售量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )
A.y＝100xB．y＝50x2－50x＋100
C.y＝50×2x D．y＝100x
6．(多选)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲，乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息，其中正确的是( )
A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h
B.骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动
C.骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者
D.骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
7．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．
8．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
9．画出函数f(x)＝ eq \r(x)与函数g(x)＝x－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
10．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝lga(t＋1)来刻画h与t的关系．你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
[提能力]
11．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是( )
A.竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B.我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C.如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D.信件的邮资与其重量间的函数关系
12．(多选)某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]内的平均气温，不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有( )
13．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
(注：地震强度是指地震时释放的能量)地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝a lg x＋b(其中a，b为常数).利用散点图可知a的值等于______．(取lg 2 ＝0.3进行计算)
14．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．
有以下说法：
①第4个月时，剩留量就会低于 eq \f(1,5)；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当剩留量为 eq \f(1,2)， eq \f(1,4)， eq \f(1,8)时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确说法的序号是________．
15．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80 km/h(不含80 km/h).经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的下列数据：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
M(v)＝ eq \f(1,40)v3＋bv2＋cv，M(v)＝1 000 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))v＋a，
M(v)＝300lgav＋b.
(1)当0≤v<80时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是200 km的国道，后一段是50 km的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位：Wh)与速度的关系是：N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v))＝2v2－10v＋200 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(80≤v≤120))，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
[培优生]
16．2006年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2018年已经上涨到每亩120万元，现给出两种地价增长方式，其中P1：f(t)＝at＋b(a，b∈R)是按直线上升的地价，P2：g(t)＝clg2(d＋t)(c，d∈R)是按对数增长的地价，t是2006年以来经过的年数.2006年对应的t值为0.
(1)求f(t)，g(t)的解析式；
(2)2018年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2022年的地价相对于2018年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型．(参考数据：lg210≈3.32)
课时作业(三十五) 几种函数增长快慢的比较
1．解析：对数函数的增长速度越来越慢．
答案：B
2．解析：从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D.
答案：C
3．解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C，当01，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>lgax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不成立．
答案：D
4．解析：观察图象A，体温逐渐降低，不符合题意；图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”；图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”．综上，只有C是正确的．
答案：C
5．解析：对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大；对于B中的函数，当x＝3或4时，误差也较大；对于C中的函数，当x＝1，2，3时，误差为0，当x＝4时，误差为10，误差较小；对于D中的函数，当x＝2，3，4时，据函数关系式得到的结果与实际值相差很远，综上，只有C中的函数误差最小．
答案：C
6．解析：看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故C正确，D错误．
答案：ABC
7．解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
答案：甲
8．解析：线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．
答案：f(x)>g(x)
9．解析：函数f(x)与g(x)的图象如图．
根据图象易得：当0≤x<4时，
f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x>4时，f(x)10．解析：据表中数据作出散点图如图．
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
将(2，1)代入到h＝lga(t＋1)中，得1＝lga3，解得a＝3.
即h＝lg3(t＋1).
当t＝8时，h＝lg3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
11．解析：A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．
答案：B
12．解析：由题图知，当t＝6时，C(t)＝0，故C不正确；当t＝12时，C(t)＝10，故D不正确；在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃，故B不正确．
答案：BCD
13．解析：由模拟函数及散点图得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a lg 1.6＋b＝5，,a lg 3.2＋b＝5.2，))
两式相减得a(lg 3.2－lg 1.6)＝0.2，alg 2＝0.2，a＝ eq \f(2,3).
答案： eq \f(2,3)
14．解析：由于函数的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(4,9)))，故函数的关系式为y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(t).
当t＝4时，y＝ eq \f(16,81)< eq \f(1,5)，故①正确；当t＝1时，y＝ eq \f(2,3)，减少 eq \f(1,3)，当t＝2时，y＝ eq \f(4,9)，减少 eq \f(2,9)，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝ eq \f(1,2)， eq \f(1,4)， eq \f(1,8)，解得t1＝lg eq \f(2,3) eq \f(1,2)，t2＝lg eq \f(2,3) eq \f(1,4)，t3＝lg eq \f(2,3) eq \f(1,8)，t1＋t2＝t3，故③正确．
答案：①③
15．解析：(1)对于M(v)＝300lgav＋b，当v＝0时，它无意义，所以不合题意；
对于M(v)＝1 000 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))v＋a，它显然是个减函数，这与M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(40))故选择M(v)＝ eq \f(1,40)v3＋bv2＋cv.
根据提供的数据，有
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,40)×103＋b·102＋c·10＝1 325,\f(1,40)×403＋b·402＋c·40＝4 400))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－2,c＝150))，
当0≤v<80时，M(v)＝ eq \f(1,40)v3－2v2＋150v.
(2)国道路段长为200 km，所用时间为 eq \f(200,v)h，
所耗电量为f(v)＝ eq \f(200,v)·M(v)＝ eq \f(200,v)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.025v3－2v2＋150v))＝5× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v2－80v＋6 000))
＝5×(v－40)2＋22 000，
因为0≤v<80，当v＝40时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v))min＝22 000 Wh；
高速路段长为50 km，所用时间为 eq \f(50,v)h，
所耗电量为g(v)＝ eq \f(50,v)·N(v)＝ eq \f(50,v)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2v2－10v＋200))＝100× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v＋\f(100,v)－5))
＝100× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v＋\f(100,v)))－500，
由对勾函数的性质可知，g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v))在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(80，120))上单调递增，
所以g(v)min＝g(80)＝100× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(80＋\f(100,80)))－500＝7 625 Wh；
故当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h，在高速路上的行驶速度为80 km/h时，该车从A地到B地的总耗电量最少，最少为22 000＋7 625＝29 625 Wh.
16．解析：(1)由题意可知：f(0)＝60，f(12)＝120，
所以b＝60，且12a＋b＝120，解得a＝5，b＝60，
所以f(t)＝5t＋60，
又g(0)＝60，g(12)＝120，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(clg2d＝60,clg2（d＋12）＝120))，解得c＝30，d＝4，
所以g(t)＝30lg2(t＋4)，
(2)若按照模型P1：f(t)＝5t＋60，到2022年时，t＝16，f(16)＝140，
直线上升是增长率为 eq \f(140－120,120)≈16.7%＞10%，不符合要求，
若按照模型P2：g(t)＝30lg2(t＋4)，到2022年时，t＝16，g(16)＝30lg220≈129.6，
对数增长的增长率为 eq \f(129.6－120,120)<10%，符合要求，
综上，应该选择模型P2.t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
v
0
10
40
60
M
0
1325
4400
7200