初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试知识点教学设计

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知识点一：旋转的相关概念及性质
旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角. 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角. 在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点. 旋转方向有顺时针和逆时针两种.
注意：初中阶段研究的平移、轴对称和旋转都是针对平面内的图形变换，它们是平面图形的全等变换. 描述旋转时不能忽略“平面内”. 旋转的角度一般小于360°.
对应元素：一个图形绕旋转中心旋转一定角度后得到旋转后的图形.
如图：△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A′B′C′，在这一旋转中，点O是旋转中心，∠AOA′，∠BOB′，∠COC′都是旋转角，点A，B，C分别与点A′，B′，C′是对应点，∠ABC，∠ACB，∠BAC分别与∠A′B′C′，∠A′C′B′，∠B′A′C′是对应角，线段AB，BC，CA分别与线段A′B′，B′C′，C′A′是对应边.
旋转的性质
旋转中心的确定
根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.
【例1】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△ADE处，使得点C恰好在线段DE上. 若∠ACB＝80°，则旋转角的度数为____________.

【例1】【解析】本题主要考查旋转的性质. 由旋转的性质得AE＝AC，∠E＝∠ACB＝80°，进而∠ACE＝∠E＝80°，所以在△ACE中，∠CAE＝180°－80°－80°＝20°，即旋转角为20°.
【答案】20°
【巩固】
1. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，则下列说法中，不正确的是（ ）
A. AB＝AB′ B. ∠BAB′＝∠CAC′
C. △ABC≌△AB′C′D. ∠CAB′＝60°
2. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为____________.
【巩固答案】
1. D
2. 5
知识点二：旋转作图
作图依据
旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，每组对应点都旋转相同的角度.
旋转作图的一般步骤
确定旋转中心、旋转方向和旋转角.
找出图形的关键点，一般是图形中的转折点.
作旋转后的对应点，方法如下：
①连：连接图形的每个关键点与旋转中心；
②转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）；
③截：在作得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点.
按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形.
写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形.
【例2】如图.（1）请画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2BC2.
【例2】【解析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、C的对应点A2、C2即可.
【答案】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（2，－4）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求.
【巩固】
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（－1，0），AC＝2，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标是（ ）
A. （2，2）B. （1，2）C. （－1，2）D. （2，－1）
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）.
将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2.
【巩固答案】
A
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求.
知识点三：中心对称
中心对称的定义
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心. 这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.
中心对称与轴对称的关系
中心对称的性质
中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
中心对称的两个图形是全等图形.
确定对称中心的方法
方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心.
方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心.
中心对称的作图步骤
分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接；
将以上连线延长找对称点，使得对称点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等；
将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形.
【例3】已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. AO＝BO B. BO＝EO
C. 点A关于点O的对称点是点DD. 点D在BO的延长线上
【例3】【解析】根据中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，可得AO＝EO，BO＝DO，所以A，B选项错误；点A关于点O的对称点是点E，所以C选项错误；因为点B关于点O的对称点是点D，所以点D在BO的延长线上，故选项D正确.
【答案】D
【巩固】
下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是（ ）

A. B.

C. D.
2. 如图，△ABC与△DEF成中心对称，则下列关于对称中心的描述不正确的是（ ）
A. 对称中心是线段BE的中点 B. 对称中心是线段FC的中点
C. 对称中心是点C D. 对称中心是线段AD与BE的交点
【巩固答案】
A
C
知识点四：中心对称图形
中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
中心对称图形的性质
中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分. 即过对称中心的直线与中心对称图形所交的两个对应交点是对称点.
过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）.
中心对称与中心对称图形的区别和联系
【例4】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.
【例4】【解析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形，只需把原图形倒置，观察有无变化，没变化就是中心对称图形. 选项A既是轴对称图形，又是中心对称图形；选项B是中心对称图形，但不是轴对称图形；选项C是轴对称图形，但不是中心对称图形；选项D是轴对称图形，但不是中心对称图形；故选A.
【答案】A
【巩固】
下列图形：①平行四边形；②抛物线；③等边三角形；④矩形；⑤圆. 其中是中心对称图形的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3 D. 4
下列图形中是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.
【巩固答案】
1. C
2. C
知识点五：关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（－x，－y）.
关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的区别
【例5】已知A（x，y－4）与点B（1－y，2x）关于原点对称，求的值.
【例5】【解析】由点A与点B关于原点对称，可知点A与点B的横、纵坐标分别互为相反数，由此列方程组求解即可.
【答案】
解：∵点A（x，y－4）与点B（1－y，2x）关于原点对称，
∴
解得
∴＝21＝2.
【巩固】
1. 点P（－2019，2020）关于原点的对称点P′在（ ）
第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 在平面直角坐标系中，已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（－5，6），则点P关于原点的对称点P2的坐标是____________.
3. 如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，作出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标.
【巩固答案】
D
（5，6）
如图所示，△A1B1C1即为所求；
A1，B1，C1的坐标为A1（2，－2），B1（3，0），C1（1，1）.
性质
示意图
对应点到旋转中心的距离相等.
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
旋转前、后的图形全等.
OA＝OA′，
OB＝OB′，
OC＝OC′，
OP＝OP′.
∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′＝∠POP′.
△ABC≌△A′B′C′.
中心对称
轴对称
区别
有一个对称中心
有一条对称轴
图形绕对称中心旋转180°
图形沿对称轴折叠
旋转后与另一个图形重合
折叠后与另一个图形重合
相同点
都是两个图形之间的关系，并且变换前、后的两个图形全等
中心对称
中心对称图形
区别
是针对两个图形而言的；
是指两个图形的（位置）关系；
对称点在两个图形上；
对称中心可能在两个图形的外部，也可能在图形的内部或图形上.
是针对一个图形而言的；
是指具有某种性质的一个图形；
对称点在一个图形上；
对称中心在图形内部.
联系
（1）都是根据把图形旋转180°后能重合定义的.（2）两者可以相互转化，若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称.
名称
区别
表达式
关于坐标轴对称
关于x轴对称
横坐标相同，纵坐标互为相反数.
P（a，b）关于x轴的对称点为P1（a，－b）.
关于y轴对称
横坐标互为相反数，纵坐标相同.
P（a，b）关于y轴的对称点为P2（－a，b）.
关于原点对称
横、纵坐标分别互为相反数.
P（a，b）关于原点的对称点为P3（－a，－b）.