2020-2021学年第二十三章 旋转综合与测试课时练习

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1．如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(4，－1)．
(1)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)以点A1为旋转中心，画出把△A1B1C1逆时针旋转90°得到的△A1B2C2，并写出点C2的坐标；
(3)若△ABC绕某点顺时针旋转一定角度得到△A1B2C2，请确定旋转中心D的坐标以及旋转角度；
(4)连接C1B2，五边形A1B1C1B2C2是轴对称图形吗？请求出五边形A1B1C1B2C2的面积．
2．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.
(1)边BA绕点B顺时针旋转角α得到线段BP，连接PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D.
①如图(a)，若α＝60°，求∠DPC的度数；
②如图(b)，若α＝30°，求∠DPC的度数；
③如图(c)，若α＝150°，依题意补全图形，并求∠DPC的度数．
(2)如图(d)，已知D，E分别是AB，AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转角α(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′(如图(e))．
①探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
②当DB′∥AE时，求此时旋转角α的度数；
③如图(f)，在旋转过程中，设AC′与DE所在直线交于点P，当△ADP成为等腰三角形时，求此时的旋转角α的度数(直接写出结果)．
3．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，将△ABC绕点C旋转角α(0°＜α＜180°)得到△A′B′C，在旋转过程中，若A′B′垂直于AC所在的直线，则α＝______________．
4．【猜想】如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，D是BC的中点，作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.试猜想线段BG和AE的数量关系是________；
【探究】将正方形DEFG绕点D逆时针旋转角α(0°＜α＜360°)，如图②，试判断你猜想的结论是否仍然成立，请利用图②证明你的结论；
【应用】在图②中，BC＝DE＝4，当AE取最大值时，直接写出AF的值为________．
5．如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．
【探究证明】
(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(△AOP)是等边三角形；
(2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′.
【归纳猜想】
(3)图①、图②中的“叠弦角”的度数分别为________，________；
(4)图④中，“叠弦三角形”________等边三角形(填“是”或“不是”)；
(5)图④中，“叠弦角”的度数为________(用含n的式子表示)．


答案
1．解：(1)△A1B1C1如图所示．C1(－4，1)．
(2)△A1B2C2如图所示．C2(2，1)．
(3)如图所示，D(4，1)为旋转中心，旋转角为90°.
(4)不是轴对称图形．
五边形A1B1C1B2C2的面积＝7×4－eq \f(1,2)×1×3－eq \f(1,2)×1×3－1×1－eq \f(1,2)×1×3－eq \f(1,2)×3×3＝18.
2．解：(1)①∵边BA绕点B顺时针旋转角α得到线段BP，∴BA＝BP.
∵α＝60°，∴△ABP是等边三角形，
∴∠BAP＝60°，AP＝AB＝AC.
又∵∠BAC＝90°，
∴∠PAC＝30°，∴∠ACP＝75°.
∵PD⊥AC于点D，
∴∠DPC＝90°－75°＝15°.
②如图甲，过点A作AE⊥BP于点E.
∵∠1＝30°，AB＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝75°，∠BAE＝60°，
∴∠2＝15°.
又∵∠3＝90°－75°＝15°，
∴∠APD＝∠BPA＝75°，
易得AE＝AD.
又AE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)AC，
∴AD＝eq \f(1,2)AC＝DC.
又∵PD⊥AC，
∴AP＝CP，
∴∠DPC＝∠APD＝75°.

③如图乙，过点A作AE⊥PB交PB的延长线于点E，则∠AEB＝90°.
∵∠ABP＝150°，
∴∠1＝30°，∴∠BAE＝60°.
又∵BA＝BP，∴∠2＝∠3＝eq \f(1,2)∠1＝15°，
∴∠PAE＝75°.
∵∠BAC＝90°，∴∠4＝75°，∴∠PAE＝∠4.
∵PD⊥AC于点D，∴∠AEP＝∠ADP＝90°.
又AP＝AP，∴△APE≌△APD，∴AE＝AD.
在Rt△ABE中，∵∠1＝30°，∴AE＝eq \f(1,2)AB.
又∵AB＝AC，∴AE＝AD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)AC，
∴AD＝CD.
又∵PD⊥AC，∴PA＝PC，
∴∠DCP＝∠4＝75°，
∴∠DPC＝15°.
(2)①DB′＝EC′.
证明：∵AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝AE.
∵∠B′AC′＝∠DAE＝90°，
∴∠B′AD＝∠C′AE＝90°－∠DAC′.
又∵AB′＝AC′，
∴△B′AD≌△C′AE(SAS)，
∴DB′＝EC′.
②∵DB′∥AE，
∴∠ADB′＝∠EAD＝90°.
又∵△B′AD≌△C′AE，
∴∠AEC′＝∠ADB′，∴∠AEC′＝90°，
即△AEC′为直角三角形．
又∵AE＝eq \f(1,2)AC′，∴∠AC′E＝30°，∴α＝60°.
③分为两种情况：
第一种情况：当点P在DE上时，
(ⅰ)若AP＝DP，∵∠ADP＝45°，
∴∠DAP＝∠ADP＝45°，∴α＝90°－45°＝45°；
(ⅱ)若AD＝AP，点P和点E重合，即α＝0°，舍去；
(ⅲ)若AD＝DP，∵∠ADP＝45°，∴∠DAP＝∠DPA＝eq \f(1,2)(180°－∠ADP)＝eq \f(1,2)×(180°－45°)＝67.5°，∴α＝90°－67.5°＝22.5°.
第二种情况：当点P在ED的延长线上时，
∵∠ADP＝180°－45°＝135°，
∴此时只能AD＝PD，
∴∠APD＝∠PAD＝eq \f(1,2)∠ADE＝22.5°，
∴α＝90°＋22.5°＝112.5°.
综上所述，旋转角α的度数为22.5°，45°或112.5°.
3．50°或130° 如图，∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠A＝180°－70°－70°＝40°.
∵△ABC绕点C旋转角α(0°＜α＜180°)得到△A′B′C，∴∠A＝∠A′＝40°.
若顺时针旋转，当A′B′垂直于AC所在的直线时，设垂足为D，有∠A′DC＝90°，则∠A′CA＝α＝90°－40°＝50°.
若逆时针旋转，当A″B″垂直于AC所在的直线时，设垂足为E，有∠A″EC＝90°，则∠A″CE＝50°，则∠A″CA＝α＝180°－50°＝130°.
4．解：【猜想】BG＝AE
【探究】成立．
证明：如图①，连接AD.
∵在Rt△ABC中，D为斜边BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠ADG＋∠BDG＝90°.
∵四边形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，
∴∠ADG＋∠ADE＝90°，
∴∠BDG＝∠ADE.
在△BDG和△ADE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BD＝AD，,∠BDG＝∠ADE，,DG＝DE，))
∴△BDG≌△ADE(SAS)，∴BG＝AE.
【应用】∵BG＝AE，
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．
如图②，当旋转角为270°时，BG取得最大值．
∵BC＝DE＝4，∴BG＝2＋4＝6.
∵BG＝AE，∴AE＝6.
在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF＝eq \r(AE2＋EF2)＝2 eq \r(13).
5．解：(1)选择图①进行证明．
证明：∵四边形ABCD是正方形，结合旋转的性质知AD＝AD′，∠D＝∠D′＝90°，∠DAD′＝∠OAP＝60°，∴∠DAP＝∠D′AO，
∴△APD≌△AOD′(ASA)，∴AP＝AO.
又∵∠OAP＝60°，
∴△AOP是等边三角形．
(2)证明：如图，作AM⊥DE，交DE的延长线于点M，作AN⊥CB，交CB的延长线于点N.
∵五边形ABCDE是正五边形，结合旋转的性质知AE＝AE′，∠AED＝∠AE′D′＝108°，∠EAE′＝∠OAP＝60°，
∴∠PAE＝∠OAE′，
∴△APE≌△AOE′(ASA)，
∴AP＝AO.
在△AEM和△ABN中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠M＝∠N＝90°，,∠AEM＝∠ABN＝72°，,AE＝AB，))
∴△AEM≌△ABN(AAS)，
∴∠EAM＝∠BAN，AM＝AN.
在Rt△APM和Rt△AON中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AP＝AO，,AM＝AN，))
∴Rt△APM≌Rt△AON(HL)，
∴∠PAM＝∠OAN，∴∠PAE＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠OAE′.
(3)15° 24° (4)是 (5)60°－eq \f(180°,n)