2021-2022学年高二物理竞赛课件：原胞法

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原胞法　原胞法是维格纳和赛兹于1933年研究碱金属结合能时提出的，适合于单价金属导带的最低能量状态的计算，是历史上第一个定量计算能带的方法。　维格纳－赛兹原胞：以格点为中心，做该原子与近邻以及次近邻原子连线的垂直平分面，由这些平面所围成的多面体，即为维格纳－赛兹原胞。其体积与正点阵的固体物理原胞体积相等，整个晶体可以看成是由各原子的W-S原胞堆积而成的。　　bcc—截角八面体　　fcc－－菱十二面体　在对称化原胞面上给予适当的边界条件，可将能带计算问题简化为在一个W-S原胞内求解薛定谔方程问题。
要求波函数及其导数在W-S多面体上任一点　　　　　为连续，加上布洛赫定理
给出原胞法的边界条件为
负号是由于在　　　和　　　　所在面的法线方向相反。
　原胞法的基本近似是假定在W-S原胞内晶体势场具有球对称性，即则
可以利用数值解法求解。难点是在W-S原胞上每一点都要满足边界条件。
缀加平面波法　为了克服原胞法在W-S多面体上满足边界条件的困难，斯莱特建议用糕模势（丸盒势）（muffin-tin ptential）模型处理问题。 所谓糕模势即假定W-S原胞中球对称势仅限于离子实周围半径为ri的球体内，这些球彼此不相交（称为M-T球），在M-T球外的原胞势场则假定为常数场。　适当选择能量零点，可将W-S原胞内的丸盒势写为
　糕模势模型将M-T球外的势场取为常数，此处薛定谔方程的解为平面波，平面波在W-S多面体上能自动满足边界条件。　在每个M-T球内，由于是球对称的势场，薛定谔方程的解可用径向波函数与球谐函数的乘积展开
Rl满足径向薛定谔方程
平面波与球内的球函数展开式相衔接，波函数在r=ri处连续，将平面波用球谐函数展开
其中，　　　是矢径r的方位角，　　　　是k的方位角，jl为球贝塞尔函数，利用在ri处波函数连续的条件得：
将其代回波函数表达式，所组成的波函数称为缀加平面波。晶体中单电子的布洛赫函数可由APW作基函数展开。
赫令注意到，对于固体中运动的电子，原胞中的离子实内区与外区是两种性质上不同的区域，当导带或价带中的电子处在离子实外区时，仅受到弱势场作用，波函数在空间平滑变化，这时波函数像平面波，在离子实内区时，由于有很强的局域势场作用，电子波函数表现出原子波函数的急剧振荡特征。因此，最好采用平面波与壳层能带波函数的某种线性组合来描述布洛赫函数。
将　　　　　　作用于上式
将布洛赫函数的正交化平面波展开式写为