2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若，则下列式子中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 剪纸艺术是中华民族的瑰宝，下面四幅剪纸作品中，是中心对称图形的为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 不变 D. 扩大倍

4. 一个多边形的每个外角是，则该多边形边数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，将绕着点顺时针旋转，得到点落在外，若，，则最小旋转角度是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列命题是假命题的是(    )

A. 等腰三角形底边上的中线垂直于底边
B. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长为
C. 若代数式有意义，则的取值范围是
D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形

9. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交的延长线于点，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图中，，，点是延长线上一点，过点作，交延长线于点，点是的中点，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 约分： ______ ．
12. 若，，则 ______ ．
13. 如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则的长为______．

14. 如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集是______．

15. 如图，在平行四边形中，，、相交于点过点作，交于点，若平行四边形的周长为，则的周长为______．
16. 如图，，，若，则线段长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 因式分解：
    ；
    ．
18. 解不等式组，并写出不等式组的非负整数解．
19. 在疫情期间，学校购买甲、乙两种消毒液，已知购买桶甲种消毒液和桶乙种消毒液共需元，购买桶乙种消毒液比购买桶甲种消毒液少用元．
    求购买甲、乙两种消毒液每桶各需多少元？
    若要购买甲、乙两种消毒液共桶，且总费用不超过元，求至多可购进甲种消毒液多少桶？
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，四边形中，，相交于点，点是的中点，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，且，求的长．

22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
    将沿轴方向向左平移个单位，画出平移后得到的点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为；
    将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，此时四边形的形状是______ ；
    在平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点的坐标是______ ．

23. 定义有一组对角是直角的四边形是垂美四边形．
    理解如图，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形，每个三角尺三个内角的度数都是、和四边形是______四边形，______度；
    探究如图，四边形是垂美四边形．，是边延长线上一点，求和的度数．
    应用如图，四边形是垂美四边形，，和分别是和的平分线，交、于点、试说明．
     

24. 深圳某学校为做好课后延时服务工作，购买了一批数量相等的象棋和围棋供参加这些社团的学生使用，其中购买象棋用了元，购买围棋用了元，已知每副围棋比每副象棋贵元．
    求每副围棋和象棋分别是多少元？
    自课后延时服务后，该校发现想参加象棋和围棋社团的人越来越多，决定再次购买同种围棋和象棋共副，其中购买象棋的数量不超过围棋的数量的倍，该校再次购买象棋和围棋各多少副，才能使总费用最小？最小费用是多少元？
25. 如图，和都是等腰直角三角形，．
    猜想：如图，点在上，点在上，线段与的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
    探究：把绕点旋转到如图的位置，连接，，中的结论还成立吗？说明理由；
    拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______ ．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、在不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，原变形正确，故此选项符合题意．
B、在不等式的两边同时加上，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意．
C、在不等式的两边同时乘以，不等号的方向改变，即，原变形错误，故此选项不符合题意．
D、在不等式的两边同时除以，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质解答．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，得

，即分式的值不变．
故选：．
先根据题意得出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
本题考查了分式的基本型性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故这个多边形是六边形．
故选：．
根据多边形的边数等于除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解，无法分解因式，故此选项不合题意；
B.，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；
C.，无法分解因式，故此选项不合题意；
D.，无法分解因式，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用平方差公式：，进而分解因式判断即可．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
，
故选：．
先求出不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上表示出不等式组的解集，最后得出选项即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，注意：不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
将绕着点顺时针旋转，得到，
旋转角为．
故选：．
直接利用已知得出的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．
此题主要考查了旋转的性质，正确得出的度数是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、等腰三角形底边上的中线垂直于底边，是真命题，故不符合题意；
B、等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长为，是假命题，故符合题意；
C、若代数式有意义，则的取值范围是，是真命题，故不符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故不符合题意；
故选：．
根据等腰三角形的性质，分式有意义的条件，平行四边形的判定定理判断即可．
本题考查了等腰三角形的性质，分式有意义的条件，平行四边形的判定定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作法可知，平分，则，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
故选：．
利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得，，接着证明得到，然后计算即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作已知角的角平分线也考查了平行四边形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：延长交于，

点是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
故选：．
延长交于，利用证明≌，得，，在中，利用勾股定理求得的长，即可得出答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明≌是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
分子分母约去公因式即可．
本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
此题只需先对进行因式分解得，再将和的值代入即可得到结果．
本题考查了因式分解的应用，关键是提取公因式，比较简单．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
点，分别是，的中点，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得．
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：观察图象得：当时，，
即不等式的解集为．
故答案为：．
观察图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
、互相平分，
是的中点，
又，
为线段的中垂线，
，
又的周长，
的周长，
又▱ 的周长为，
，
的周长，
故答案为：．
先证为线段的中垂线，得出，求出的周长，再由▱ 的周长为，得出，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、中垂线性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

，，，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌
，
，
，
．
故答案为．
过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由直角三角形的性质可证，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式；

原式． 

【解析】直接提取公因式，进而利用公式法分解因式即可；
直接提取公因式，进而利用公式法分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得，
则不等式组的解集为，
不等式组的非负整数解为、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：设购买甲种消毒液每桶需要元，购买乙种消毒液每桶需要元，
由题意可得：，
解得，
答：购买甲种消毒液每桶需要元，购买乙种消毒液每桶需要元；
设购进甲种消毒液桶，则购进乙种消毒液桶，
由题意可得：，
解得，
的最大值为，
答：至多可购进甲种消毒液桶． 

【解析】根据购买桶甲种消毒液和桶乙种消毒液共需元，购买桶乙种消毒液比购买桶甲种消毒液少用元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
根据中的结果和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式，找出等量关系，列出相应的方程组．
 

20.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
 

21.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
． 

【解析】由已知条件易证≌，由此可得，进而可证明四边形是平行四边形；
根据平行四边形的性质得出，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明四边形是平行四边形，属于中考常考题型．
 

22.【答案】如图，，即为所求．

平行四边形；
或或． 

【解析】解：见答案．
如图，，即为所求．四边形的形状是平行四边形．

的坐标是或或．
故答案为：或或．
根据平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
根据中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可．
有三种情形，画出平行四边形，可得结论．
本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，正确作出图形，属于中考常考题型．
 

23.【答案】垂美   

【解析】解：理解如图中，，
四边形是垂美四边形，

故答案为垂美，；

探究如图中，四边形是垂美四边形，
，
，且，
，
，
，

应用如图中，由探究可知，，
和分别是和的平分线，
，，
，
，
，
，
．
理解根据垂美四边形的定义即可解决问题；
探究根据垂美四边形的定义，四边形内角和定理即可解决问题；
应用利用等角的余角相等，证明即可解决问题；
本题考查四边形综合题、四边形内角和定理、垂美四边形的定义，角平分线的定义，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：设每副围棋元，则每副象棋元，
根据题意，得，
解得．
经检验是所列方程的根，并符合题意．
所以．
答：每副围棋元，则每副象棋元；

设购买围棋副，则购买象棋副，
根据题意，得．
解得．
故最小值是．
因为每副围棋的单价高于每副象棋的单价，
所以当该校再次购买象棋副，围棋副，才能使总费用最小，最小费用是：元． 

【解析】设每副围棋元，则每副象棋元，根据元购买象棋数量元购买围棋数量列出方程并解答；
设购买围棋副，则购买象棋副，根据题意列出不等式并解答．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：  ；
中结论仍然成立，理由：
由旋转知，，
，，
在与中

≌，
，，
如图，与的交点记作点，与的交点记作点，
，
，
，
，
，
，
；
或． 

【解析】解：和都是等腰直角三角形，，
，，
，
，
点在上，点在上，且，
，
故答案为，；

见答案．

当点在线段上时，如图，
过点作于，
是等腰直角三角形，且，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
；
当点在线段的延长线上时，如图，
过点作于，
是等腰直角三角形，且，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
；
综上，的长为或，
故答案为或．
利用等腰直角三角形的性质得出，，在做差，得出，再用，即可得出结论；
先由旋转的旋转得出，进而判断出≌，得出，，与的交点记作点，与的交点记作点，进而得出，即可得出结论；
分两种情况，当点在线段上时，过点作于，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论；
当点在线段的延长线上时，过点作于，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．