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2022年中考数学真题分类汇编：几何题翻折类(含答案)
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这是一份2022年中考数学真题分类汇编：几何题翻折类(含答案)，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2022年中考数学真题分类汇编
几何题翻折类
一、选择题
1. (2022·浙江省湖州市)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF.则下列结论不正确的是( )
A. BD=10 B. HG=2 C. EG//FH D. GF⊥BC
2. (2022·西藏)如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'上，连接DB'.已知∠C=120°，∠BAE=50°，则∠AB'D的度数为( )
A. 50° B. 60° C. 80° D. 90°
3. (2022·四川省达州市)如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD=3BF，BE=4，则AD的长为( )
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
4. (2022·江苏省连云港市)如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF//EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG.其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③④
5. (2022·黑龙江省牡丹江市)下列图形是黄金矩形的折叠过程：
第一步，如图(1)，在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图(2)，把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图(3)中所示的AD处；
第四步，如图(4)，展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．
则下列线段的比中：①CDDE，②DEAD，③DEND，④ACAD，比值为5-12的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③
6. (2022·台湾省)如图1为一张正三角形纸片ABC，其中D点在AB上，E点在BC上．今以DE为折线将B点往右折后，BD、BE分别与AC相交于F点、G点，如图2所示．若AD=10，AF=16，DF=14，BF=8，则CG的长度为多少？( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
7. (2021·四川省凉山彝族自治州)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为( )
A. 198
B. 2
C. 254
D. 74
8. (2021·四川省遂宁市)如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是( )
A. 1 B. 43 C. 32 D. 53
9. (2021·浙江省丽水市)如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为( )
A. 259 B. 258 C. 157 D. 207
10. (2020·重庆A卷)如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG=GE，AF=3，BF=2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为( )
A. 55 B. 255 C. 455 D. 433
11. (2020·重庆市B卷)如图，在△ABC中，AC=22，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD.过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为( )
A. 6 B. 3 C. 23 D. 4
12. (2020·江苏省无锡市)如图，在四边形ABCD中(AB>CD)，∠ABC=∠BCD=90°，AB=3，BC=3，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED=32，则线段DE的长度( )
A. 63 B. 73 C. 32 D. 275
13. (2020·四川省资阳市)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，连接BF，使tan∠ABF=2，则DE的长是( )
A. 1
B. 65
C. 43
D. 53
二、填空题
14. (2022·辽宁省盘锦市)如图，四边形ABCD为矩形，AB=2,AD=3，点E为边BC上一点，将△DCE沿DE翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD于点G，交直线BC于点H.若点G是边AD的三等分点，则FG的长是______．
15. (2022·江苏省苏州市)如图，在矩形ABCD中，ABBC=23.动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN.动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1
16. (2022·广西壮族自治区南宁市)如图，在正方形ABCD中，AB=42，对角线AC，BD相交于点O.点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H'恰好落在BD上，得到△EFH'.若点F为CD的中点，则△EGH'的周长是______．
17. (2022·贵州省铜仁市)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为______．
18. (2022·辽宁省)如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是______．
19. (2022·甘肃省兰州市)如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE=3cm，AF=2EF，则AB=______cm．
20. (2021·辽宁省盘锦市)如图，四边形ABCD为矩形，AB=23，AD=22，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'，连接AA'，AA'交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连接AQ，MQ，则AQ+MQ的最小值是______．
21. (2021·四川省成都市)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE=3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A'恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B'，则线段BF的长为______ ；
第二步，分别在EF，A'B'上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为______ ．
22. (2021·江苏省无锡市)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=6，点E在线段AC上，且AE=1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF= ______ ．
23. (2021·辽宁省大连市)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB'E，点B的对应点是点B'.若AB'⊥BD，BE=2，则BB'的长是______ ．
24. (2021·辽宁省大连市)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB'E，点B的对应点是点B'.若AB'⊥BD，BE=2，则BB'的长是___．
25. (2021·重庆市)如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF=4，CF=6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合.若DE//BC，AF=EF，则四边形ADFE的面积为______ ．
26. (2020·黑龙江省牡丹江市)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F.若A'E⊥AE，cosA=45，则A'FBF=______．
27. (2020·辽宁省盘锦市)如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E和点F分别为AD，CD上的点，将△DEF沿EF翻折，使点D落在BC上的点M处，过点E作EH//AB交BC于点H，过点F作FG//BC交AB于点G.若四边形ABHE与四边形BCFG的面积相等，则CF的长为______．
三、解答题
28. (2022·重庆市A卷)如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；
(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN.在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ.在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出PQBC的值．
29. (2022·黑龙江省齐齐哈尔市)综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH.将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．
当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)图③中，AB=2，BC=3，则GHCE=______；
(3)当AB=m，BC=n时，GHCE=______．
剪一剪、折一折：(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为______．
30. (2022·广东省深圳市)(1)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
(2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6.将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长．
(3)拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60°.将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
31. (2022·贵州省贵阳市)小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD中，AN为BC边上的高，ADAN=m，点M在AD边上，且BA=BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．
(1)问题解决：如图①，当∠BAD=60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则AMAN=______；
(2)问题探究：
如图②，当∠BAD=45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF//BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；
(3)拓展延伸：
当∠BAD=30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE=MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．
32. (2022·重庆市B卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
(1)如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
(2)如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求证：AM+AF=2AE；
(3)如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B'EH，连接B'G，直接写出线段B'G的长度的最小值．
33. (2022·江苏省无锡市)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．
34. (2022·浙江省绍兴市)如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E.P是边BC上的动点(不与B，C重合)，连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．
(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．
(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
35. (2021·湖南省湘潭市)如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．
(1)证明：△AEF≌△CEF；
(2)若AB=3，求折痕AE的长度．
36. (2021·四川省达州市)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则DECF的值为______ ；
(2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则CEBD的值为______ ；
【类比探究】
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE⋅AB=CF⋅AD；
【拓展延伸】
(4)如图4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=9，tan∠ADB=13，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求DECF的值；
②连接BF，若AE=1，直接写出BF的长度．
37. (2021·湖北省荆州市)在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
(1)如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC=90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
(2)如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF=90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．
38. (2021·黑龙江省齐齐哈尔市)综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
(1)∠EAF= ______ °，写出图中两个等腰三角形：______ (不需要添加字母)；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
(2)线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为______ ；
(3)连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则CQBM= ______ ；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
(4)求证：BM2+DN2=MN2．
39. (2020·湖北省宜昌市)菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，0°<∠ABO≤60°，点G是射线OD上一个动点，过点G作GE//DC交射线OC于点E，以OE，OG为邻边作矩形EOGF．
(1)如图1，当点F在线段DC上时，求证：DF=FC；
(2)若延长AD与边GF交于点H，将△GDH沿直线AD翻折180°得到△MDH．
①如图2，当点M在EG上时，求证：四边形EOGF为正方形；
②如图3，当tan∠ABO为定值m时，设DG=k⋅DO，k为大于0的常数，当且仅当k>2时，点M在矩形EOGF的外部，求m的值．
40. (2022·四川省成都市)在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
(1)如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
(2)如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；
(3)如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求ABBC的值．
41. (2020·四川省资阳市)在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F．
(1)如图1，当DE=DA时，求证：AF=EF；
(2)如图2，点E在运动过程中DEEF的值是否发生变化？请说明理由；
(3)如图3，若点F为AB的中点，连接DF交AC于点G，将△GEF沿EF翻折得到△HEF，连接DH交EF于点K，当AD=2，CD=23时，求KH的长．
42. (2020·湖南省长沙市)在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
(1)求证：△ABF∽△FCE；
(2)若AB=23，AD=4，求EC的长；
(3)若AE-DE=2EC，记∠BAF=α，∠FAE=β，求tanα+tanβ的值．
1.D
2.C
3.C
4.B
5.B
6.C
7.D
8.D
9.D
10.B
11.C
12.B
13.C
14.33或63
15.35
16.5+5
17.85
18.55-5
19.35
20.42
21.1；5
22.263
23.22
24.22
25.53
26.13
27.38
28.解：(1)如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK=BE，
在△BCE和△CBK中，
BC=CB∠BCK=∠CBEBE=CK，
∴△BCE≌△CBK(SAS)，
∴BK=CE，∠BEC=∠BKD，
∵CE=BD，
∴BD=BK，
∴∠BKD=∠BDK=∠ADC=∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF=180°，
∴∠ADF+∠AEF=180°，
∴∠A+∠EFD=180°，
∵∠A=60°，
∴∠EFD=120°，
∴∠CFE=180°-120°=60°；
(2)结论：BF+CF=2CN．
理由：如图2中，∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=CB，∠A=∠CBD=60°，
∵AE=BD，
∴△ABE≌△BCD(SAS)，
∴∠BCF=∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF=60°，
∴∠BFC=120°，
如图2-1中，延长CN到Q，使得NQ=CN，连接FQ，
∵NM=NF，∠CNM=∠FNQ，CN=NQ，
∴△CNM≌△QNF(SAS)，
∴FQ=CM=BC，
延长CF到P，使得PF=BF，则△PBF是等边三角形，
∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°，
∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC，
∵PB=PF，
∴△PFQ≌△PBC(SAS)，
∴PQ=PC，∠CPB=∠QPF=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴BF+CF=PC=QC=2CN．
(3)由(2)可知∠BFC=120°，
∴点F的运动轨迹为红色圆弧(如图3-1中)，
∴P，F，O三点共线时，PF的值最小，
此时tan∠APK=AOAP=23，
∴∠HPK>45°，
∵QK⊥PF，
∴∠PKH=∠QKH=45°，
如图3-2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL=LK=2，PL=3，PH=7，KH=22，
∵S△PHK=12⋅PK⋅HL=12⋅KH⋅PJ，
∴PQ=2PJ=2×2(2+3)22=22+6
∴PQBC=22+627=214+4214．
29.13 m2n 3135
30.(1)证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形，
∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°，
∴∠BFG=90°=∠C，
∵AB=BC=BF，BG=BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)；
(2)解：延长BH，AD交于Q，如图：
设FH=HC=x，
在Rt△BCH中，BC2+CH2=BH2，
∴82+x2=(6+x)2，
解得x=73，
∴DH=DC-HC=113，
∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，
∴△BFG∽△BCH，
∴BFBC=BGBH=FGHC，即68=BG6+73=FG73，
∴BG=254，FG=74，
∵EQ//GB，DQ//CB，
∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，
∴BCDQ=CHDH，即8DQ=736-73，
∴DQ=887，
设AE=EF=m，则DE=8-m，
∴EQ=DE+DQ=8-m+887=1447-m，
∵△EFQ∽△GFB，
∴EQBG=EFFG，即1447-m254=m74，
解得m=92，
∴AE的长为92；
(3)解：(Ⅰ)当DE=13DC=2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，如图：
设DQ=x，QE=y，则AQ=6-x，
∵CP//DQ，
∴△CPE∽△QDE，
∴CPDQ=CEDE=2，
∴CP=2x，
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴EF=DE=2，AF=AD=6，∠QAE=∠FAE，
∴AE是△AQF的角平分线，
∴AQAF=QEEF，即6-x6=y2①，
∵∠D=60°，
∴DH=12DQ=12x，HE=DE-DH=2-12x，HQ=3DH=32x，
在Rt△HQE中，HE2+HQ2=EQ2，
∴(1-12x)2+(32x)2=y2②，
联立①②可解得x=34，
∴CP=2x=32；
(Ⅱ)当CE=13DC=2时，延长FE交AD延长线于Q'，过D作DN⊥AB交BA延长线于N，如图：
同理∠Q'AE=∠EAF，
∴AQ'AF=Q'EEF，即6+x6=y4，
由HQ'2+HD2=Q'D2得：(32x)2+(12x+4)2=y2，
可解得x=125，
∴CP=12x=65，
综上所述，CP的长为32或65．
31.233
32.(1)解：如图1，连接CP，
由旋转知，CF=CG，∠FCG=90°，
∴△FCG为等腰直角三角形，
∵点P是FG的中点，
∴CP⊥FG，
∵点D是BC的中点，
∴DP=12BC，
在Rt△ABC中，AB=AC=22，
∴BC=2AB=4，
∴DP=2；
(2)证明：如图2，
过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，
∴∠AEH=90°，
由旋转知，EG=EF，∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠AEH，
∴∠AEG=∠HEF，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，
∴∠H=90°-∠CAD=45°=∠CAD，
∴AE=HE，
∴△EGA≌△EFH(SAS)，
∴AG=FH，∠EAG=∠H=45°，
∴∠EAG=∠BAD=45°，
∵∠AMF=180°-∠BAD-∠AFM=135°-∠AFM，
∵∠AFM=∠EFH，
∴∠AMF=135°-∠EFH，
∵∠HEF=180°-∠EFH-∠H=135°-∠EFH，
∴∠AMF=∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG=∠HEF，
∵∠AGN=∠AEG，
∴∠AGN=∠HEF，
∴∠AGN=∠AMF，
∵GN=MF，
∴△AGN≌△AMF(AAS)，
∴AG=AM，
∵AG=FH，
∴AM=FH，
∴AF+AM=AF+FH=AH=2AE；
(3)解：∵点E是AC的中点，
∴AE=12AC=2，
根据勾股定理得，BE=AE2+AB2=10，
由折叠直，BE=B'E=10，
∴点B'是以点E为圆心，10为半径的圆上，
由旋转知，EF=EG，
∴点G是以点E为圆心，EG为半径的圆上，
∴B'G的最小值为B'E-EG，
要B'G最小，则EG最大，即EF最大，
∵点F在AD上，
∴点在点A或点D时，EF最大，最大值为2，
∴线段B'G的长度的最小值10-2．
33.解：(1)∵CE=AE，
∴∠ECA=∠EAC，
根据翻折可得：∠ECA=∠FCA，∠BAC=∠CAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DA//CB，
∴∠ECA=∠CAD，
∴∠EAC=∠CAD，
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAF=90°，
设CE=AE=x，则BE=4-x，
在△BAE中，根据勾股定理可得：
BA2+BE2=AE2，
即：(22)2+(4-x)2= x2，
解得：x=3，
在Rt△EAF中，EF=AF2+AE2=17．
(2)过点F作FG⊥BC交BC于点G，
设CG=x，则GB=3-x，
∵FC=4，FE=17，
∴FG2=FC2-CG2=FE2-EG2，
即：16-x2=17-(3-x)2，
解得：x=43，
∴FG=FC2-CG2=823，
∴sin∠CEF=FGEF=83451．
34.解：(1)∵∠B=40°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=50°，
∵AE平分∠BAC，P与E重合，
∴D在AB边上，AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=(180°-∠BAC)÷2=65°，
∴α=∠ACB-∠ACD=25°；
答：α的度数为25°；
(2)①当点P在线段BE上时，如图：
∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC=AD，
∵∠BCD=α，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACD=90°-α，
又∵∠ADC+∠BAD=∠B+∠BCD，∠BAD=β，∠B=40°，
∴(90°-α)+β=40°+α，
∴2α-β=50°，
②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：
∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC=AD，
∵∠BCD=α，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACD=90°-α，
又∵∠ADC=∠AFC+∠BCD，∠AFC=∠ABC+∠BAD，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD+∠BCD=40°+β+α，
∴90°-α=40°+α+β，
∴2α+β=50°；
综上所述，当点P在线段BE上时，2α-β=50°；当点P在线段CE上时，2α+β=50°．
35.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上，
∴∠AFE=∠B=90°，AF=CF，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠CFE=180°-∠AFE=90°，
在△AEF和△CEF中，
AF=CF∠AFE=∠CFEEF=EF，
∴△AEF≌△CEF(SAS)．
(2)由(1)知，△AEF≌△CEF，
∴∠EAF=∠ECF，
由折叠性质得，∠BAE=∠EAF，
∴∠BAE=∠EAF=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°，
∴3∠BAE=90°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，AB=3，∠B=90°，
∴AE=ABcos30∘=332=2．
36.解：(1)如图1，设DE与CF交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
在△AED和△DFC中，
∠A=∠FDC∠CFD=∠AEDAD=CD，
∴△AED≌△DFC(AAS)，
∴DE=CF，
∴DECF=1；
(2)如图2，设DB与CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠EDC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC=90°，
∴∠CDG+∠ECD=90°，∠ADB+∠CDG=90°，
∴∠ECD=∠ADB，
∵∠CDE=∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴CEBD=DCAD=47，
故答案为：47．
(3)证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，
∵CG⊥EG，
∴∠G=∠H=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB=CH，∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠FCH=∠FDG=∠ADE，∠A=∠H=90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴DECF=ADCH，
∴DECF=ADAB，
∴DE⋅AB=CF⋅AD；
(4)①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，
∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG=∠CFG+∠ADE=90°，
∴∠FCG=∠ADE，∠BAD=∠CGF=90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴DECF=ADCG，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=13，AD=9，
∴AB=3，
在Rt△ADH中，tan∠ADH=13，
∴AHDH=13，
设AH=a，则DH=3a，
∵AH2+DH2=AD2，
∴a2+(3a)2=92，
∴a=91010(负值舍去)，
∴AH=91010，DH=271010，
∴AC=2AH=9510，
∵S△ADC=12AC⋅DH=12AD⋅CG，
∴12×9510×271010=12×9CG，
∴CG=275，
∴DECF=ADCG=9275=53；
②∵AC=9510，CG=275，∠AGC=90°，
∴AG=AC2-CG2=(9510)2-(275)2=95，
由①得：△DEA∽△CFG，
∴CFDE=FGAE，
又∵DECF=53，AE=1，
∴FG=35，
∴AF=AG-FG=95-35=65，
∴BF=AB2+AF2=32+(65)2=3529．
37.(1)如图1，
①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠GAH=90°，
∴∠DCG+∠DGC=90°，
∵∠FGC=90°，
∴∠AGH+∠DGC=90°，
∴∠DCG=∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
②由翻折得∠EGF=∠EAF，
∴∠AGH=∠DAC=∠DCG，
∵CD=AB=2，AD=4，
∴DGCD=AHAG=CDAD=tan∠DAC=24=12，
∴DG=12CD=12×2=1，
∴GA=4-1=3，
∵△CDG∽△GAH，
∴CGGH=CDGA，
∴tan∠GHC=CGGH=CDGA=23．
(2)不全等，理由如下：
∵AD=4，CD=2，
∴AC=42+22=25，
∵∠GCF=90°，
∴CGAC=tan∠DAC=12，
∴CG=12AC=12×25=5，
∴AG=(25)2+(5)2=5，
∴EA=12AG=52，
∴EF=EA⋅tan∠DAC=52×12=54，
∴AF=(52)2+(54)2=554，
∴CF=25-554=354，
∵∠GCF=∠AEF=90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF与△AEF不全等．
38.(1)解：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=90°，
∴ABC，△ADC都是等腰三角形，
∵∠BAE=∠CAE，∠DAF=∠CAF，
∴∠EAF=12(∠BAC+∠DAC)=45°，
∵∠BAE=∠DAF=22.5°，∠B=∠D=90°，AB=AD，
∴△BAE≌△DAF(ASA)，
∴BE=DF，AE=AF，
∵CB=CD，
∴CE=CF，
∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，
故答案为：45；△AEF，△EFC，△ABC，△ADC(任写2个即可)．
(2)解：结论：PQ=BP+DQ．
理由：如图2中，延长CB到T，使得BT=DQ．
∵AD=AB，∠ADQ=∠ABT=90°，DQ=BT，
∴△ADQ≌△ABT(SAS)，
∴AT=AQ，∠DAQ=∠BAT，
∵∠PAQ=45°，
∴∠PAT=∠BAP+∠BAT=∠BAP+∠DAQ=45°，
∴∠PAT=∠PAQ=45°，
∵AP=AP，
∴△PAT≌△PAQ(SAS)，
∴PQ=PT，
∵PT=PB+BT=PB+DQ，
∴PQ=BP+DQ．
故答案为：PQ=BP+DQ．
(3)解：如图3中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM=∠ACQ=∠BAC=45°，AC=2AB，
∵∠BAC=∠PAQ=45°，
∴∠BAM=∠CAQ，
∴△CAQ∽△BAM，
∴CQBM=ACAB=2，
故答案为：2．
(4)证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∵∠DAN=∠BAR，
∴∠BAM+∠BAR=45°，
∴∠MAR=∠MAN=45°，
∵AR=AN，AM=AM，
∴△AMR≌△AMN(SAS)，
∴RM=MN，
∵∠D=∠ABR=∠ABD=45°，
∴∠RBM=90°，
∴RM2=BR2+BM2，
∵DN=BR，MN=RM，
∴BM2+DN2=MN2
39.证明(1)∵四边形EOGF是矩形，
∴EO//GF，GO//EF，
∵GE//DC，
∴四边形GEFD是平行四边形，四边形GECF是平行四边形，
∴GE=DF，GE=CF，
∴DF=FC；
(2)①如图1，由折叠的性质知，∠GDH=∠MDH，DH⊥GM，
∵GE//CD，
∴∠DGM=∠BDC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠BDC，∠COD=90°，
∵∠ADB=∠GDH，
∴∠DGM=∠GDH，
∵DH⊥GM，
∴∠DGM=45°，
∴∠OEG=45°，
∴OE=OG，
∵四边形EOGF是矩形，
∴四边形EOGF是正方形；
②如图2，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB，
∵GE//CD，
∴∠DGE=∠CDB，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠DGE=∠CDB，
∴∠GDM=2∠ABD，
∵tan∠ABO=m(m为定值)，
∴点M始终在固定射线DM上并随k的增大向上运动，
∵当且仅当k>2时，M点在矩形EOGF的外部，
∴k=2时，M点在矩形EOGF上，即点M在EF上，
设OB=b，则，OA=OC=mb，DG=DM=kb=2b，OG=(k+1)b=3b，OE=m(k+1)b=3mb，GH=HM=mkb=2mb，
∴FH=OE-GH=m(k+1)b-mkb=mb，
过点D作DN⊥EF于点N，
∵∠FHM+∠FMH=∠FMH+∠DMN，
∴∠FHM=∠DMN，
∵∠F=∠DNM=90°，
∴△MFH∽△DNM，
∴FHMN=MHDM，
∴mbMN=2mb2b，
∴MN=b，
∵DM2=DN2+MN2，
∴(2b)2=(3mb)2+b2，
解得，m=33，或m=-33(舍)，
故m=33．
40.解：(1)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，
∵BC=2AB，
∴BF=2AB，
∴∠AFB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF=30°，
∴∠CBE=12∠FBC=15°；
(2)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，
又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AFB=∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴AFDE=ABDF，
∴AF⋅DF=AB⋅DE，
∵AF⋅DF=10，AB=5，
∴DE=2，
∴CE=DC-DE=5-2=3，
∴EF=3，
∴DF=EF2-DE2=32-22=5，
∴AF=105=25，
∴BC=AD=AF+DF=25+5=35．
(3)过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF=AN+FD，
∴NF=12AD=12BC，
∵BC=BF，
∴NF=12BF，
∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴NGAB=FGFA=NFBF=12，
设AN=x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN=NG=x，AB=BG=2x，
设FG=y，则AF=2y，
∵AB2+AF2=BF2，
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，
解得y=43x.
∴BF=BG+GF=2x+43x=103x.
∴ABBC=ABBF=2x103x=35．
41.(1)证明：如图，连接DF，在矩形ABCD中，∠DAF=90°，
又∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∵AD=DE，DF=DF，
∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL)，
∴AF=EF；
(2)解：DEEF的值不变；
如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
∴四边形ANEM是矩形，
∴EN=AM，
∵∠EAM=∠CAD，∠EMA=∠CDA．
∴△EAM∽△CAD，
∴AMAD=EMCD，即EMEN=CDAD①，
∵∠DEF=∠MEN=90°，
∴∠DEM=∠FEN，
又∵∠DME=∠ENF=90°，
∴△DME∽△FNE，
∴DEEF=EMEN②，
由①②可得DEEF=DCAD，
∵AD与DC的长度不变，
∴DEEF的长度不变；
(3)连接GH交EF于点I，
∵点F是AB的中点，
∴AF=3，
在Rt△ADF中，DF=DA2+AF2=22+(3)2=7，
由(2)知DEEF=DCAD=232=3，
∴DE=3EF，
在Rt△DEF中，EF=72，DE=212，
又∵AB//DC，
∴△AGF∽△CGD，
∴DGGF=DCAF=2，
∴GFDF=13，
由折叠的性质可知GI=IH，GH⊥EF，
又∵DE⊥EF，
∴GH//DE，
∴△GFI∽△DFE，
∴GIDE=FIEF=GFDF=13，
∴EI=23EF=73，GI=IH=216，
又∵GH//DE，
∴△DEK∽△HIK，
∴KIEK=IHDE=13，
∴KI=14EI=712，
∴HK=IH2+KI2=9112．
42.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
由翻折可知，∠D=∠AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，∠EFC+∠CEF=90°，
∴∠AFB=∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．
(2)设EC=x，
由翻折可知，AD=AF=4，
∴BF=AF2-AB2=16-12=2，
∴CF=BC-BF=2，
∵△ABF∽△FCE，
∴ABCF=BFEC，
∴232=2x，
∴x=233，
∴EC=233．
(3)∵△ABF∽△FCE，
∴AFEF=ABCF，
∴tanα+tanβ=BFAB+EFAF=BFAB+CFAB=BF+CFAB=BCAB，
设AB=CD=a，BC=AD=b，DE=x，
∴AE=DE+2CE=x+2(a-x)=2a-x，
∵AD=AF=b，DE=EF=x，∠B=∠C=∠D=90°，
∴BF=b2-a2，CF=x2-(a-x)2=2ax-a2，
∵AD2+DE2=AE2，
∴b2+x2=(2a-x)2，
∴a2-ax=14b2，
∵△ABF∽△FCE，
∴ABCF=BFEC，
∴ax2-(a-x)2=b2-a2a-x，
∴a2-ax=b2-a2⋅2ax-a2，
∴14b2=b2-a2⋅a2-12b2，
整理得，16a4-24a2b2+9b4=0，
∴(4a2-3b2)2=0，
∴ba=233，
∴tanα+tanβ=BCAB=233．
2020-2022年中考数学真题分类汇编
几何题翻折类
一、选择题
1. (2022·浙江省湖州市)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF.则下列结论不正确的是( )
A. BD=10 B. HG=2 C. EG//FH D. GF⊥BC
2. (2022·西藏)如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'上，连接DB'.已知∠C=120°，∠BAE=50°，则∠AB'D的度数为( )
A. 50° B. 60° C. 80° D. 90°
3. (2022·四川省达州市)如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD=3BF，BE=4，则AD的长为( )
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
4. (2022·江苏省连云港市)如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF//EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG.其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③④
5. (2022·黑龙江省牡丹江市)下列图形是黄金矩形的折叠过程：
第一步，如图(1)，在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图(2)，把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图(3)中所示的AD处；
第四步，如图(4)，展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．
则下列线段的比中：①CDDE，②DEAD，③DEND，④ACAD，比值为5-12的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③
6. (2022·台湾省)如图1为一张正三角形纸片ABC，其中D点在AB上，E点在BC上．今以DE为折线将B点往右折后，BD、BE分别与AC相交于F点、G点，如图2所示．若AD=10，AF=16，DF=14，BF=8，则CG的长度为多少？( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
7. (2021·四川省凉山彝族自治州)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为( )
A. 198
B. 2
C. 254
D. 74
8. (2021·四川省遂宁市)如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是( )
A. 1 B. 43 C. 32 D. 53
9. (2021·浙江省丽水市)如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为( )
A. 259 B. 258 C. 157 D. 207
10. (2020·重庆A卷)如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG=GE，AF=3，BF=2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为( )
A. 55 B. 255 C. 455 D. 433
11. (2020·重庆市B卷)如图，在△ABC中，AC=22，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD.过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为( )
A. 6 B. 3 C. 23 D. 4
12. (2020·江苏省无锡市)如图，在四边形ABCD中(AB>CD)，∠ABC=∠BCD=90°，AB=3，BC=3，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED=32，则线段DE的长度( )
A. 63 B. 73 C. 32 D. 275
13. (2020·四川省资阳市)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，连接BF，使tan∠ABF=2，则DE的长是( )
A. 1
B. 65
C. 43
D. 53
二、填空题
14. (2022·辽宁省盘锦市)如图，四边形ABCD为矩形，AB=2,AD=3，点E为边BC上一点，将△DCE沿DE翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD于点G，交直线BC于点H.若点G是边AD的三等分点，则FG的长是______．
15. (2022·江苏省苏州市)如图，在矩形ABCD中，ABBC=23.动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN.动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1
16. (2022·广西壮族自治区南宁市)如图，在正方形ABCD中，AB=42，对角线AC，BD相交于点O.点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H'恰好落在BD上，得到△EFH'.若点F为CD的中点，则△EGH'的周长是______．
17. (2022·贵州省铜仁市)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为______．
18. (2022·辽宁省)如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是______．
19. (2022·甘肃省兰州市)如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE=3cm，AF=2EF，则AB=______cm．
20. (2021·辽宁省盘锦市)如图，四边形ABCD为矩形，AB=23，AD=22，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'，连接AA'，AA'交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连接AQ，MQ，则AQ+MQ的最小值是______．
21. (2021·四川省成都市)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE=3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A'恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B'，则线段BF的长为______ ；
第二步，分别在EF，A'B'上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为______ ．
22. (2021·江苏省无锡市)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=6，点E在线段AC上，且AE=1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF= ______ ．
23. (2021·辽宁省大连市)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB'E，点B的对应点是点B'.若AB'⊥BD，BE=2，则BB'的长是______ ．
24. (2021·辽宁省大连市)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB'E，点B的对应点是点B'.若AB'⊥BD，BE=2，则BB'的长是___．
25. (2021·重庆市)如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF=4，CF=6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合.若DE//BC，AF=EF，则四边形ADFE的面积为______ ．
26. (2020·黑龙江省牡丹江市)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F.若A'E⊥AE，cosA=45，则A'FBF=______．
27. (2020·辽宁省盘锦市)如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E和点F分别为AD，CD上的点，将△DEF沿EF翻折，使点D落在BC上的点M处，过点E作EH//AB交BC于点H，过点F作FG//BC交AB于点G.若四边形ABHE与四边形BCFG的面积相等，则CF的长为______．
三、解答题
28. (2022·重庆市A卷)如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；
(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN.在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ.在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出PQBC的值．
29. (2022·黑龙江省齐齐哈尔市)综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH.将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．
当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)图③中，AB=2，BC=3，则GHCE=______；
(3)当AB=m，BC=n时，GHCE=______．
剪一剪、折一折：(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为______．
30. (2022·广东省深圳市)(1)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
(2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6.将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长．
(3)拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60°.将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
31. (2022·贵州省贵阳市)小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD中，AN为BC边上的高，ADAN=m，点M在AD边上，且BA=BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．
(1)问题解决：如图①，当∠BAD=60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则AMAN=______；
(2)问题探究：
如图②，当∠BAD=45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF//BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；
(3)拓展延伸：
当∠BAD=30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE=MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．
32. (2022·重庆市B卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
(1)如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
(2)如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求证：AM+AF=2AE；
(3)如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B'EH，连接B'G，直接写出线段B'G的长度的最小值．
33. (2022·江苏省无锡市)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．
34. (2022·浙江省绍兴市)如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E.P是边BC上的动点(不与B，C重合)，连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．
(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．
(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
35. (2021·湖南省湘潭市)如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．
(1)证明：△AEF≌△CEF；
(2)若AB=3，求折痕AE的长度．
36. (2021·四川省达州市)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则DECF的值为______ ；
(2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则CEBD的值为______ ；
【类比探究】
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE⋅AB=CF⋅AD；
【拓展延伸】
(4)如图4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=9，tan∠ADB=13，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求DECF的值；
②连接BF，若AE=1，直接写出BF的长度．
37. (2021·湖北省荆州市)在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
(1)如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC=90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
(2)如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF=90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．
38. (2021·黑龙江省齐齐哈尔市)综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
(1)∠EAF= ______ °，写出图中两个等腰三角形：______ (不需要添加字母)；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
(2)线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为______ ；
(3)连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则CQBM= ______ ；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
(4)求证：BM2+DN2=MN2．
39. (2020·湖北省宜昌市)菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，0°<∠ABO≤60°，点G是射线OD上一个动点，过点G作GE//DC交射线OC于点E，以OE，OG为邻边作矩形EOGF．
(1)如图1，当点F在线段DC上时，求证：DF=FC；
(2)若延长AD与边GF交于点H，将△GDH沿直线AD翻折180°得到△MDH．
①如图2，当点M在EG上时，求证：四边形EOGF为正方形；
②如图3，当tan∠ABO为定值m时，设DG=k⋅DO，k为大于0的常数，当且仅当k>2时，点M在矩形EOGF的外部，求m的值．
40. (2022·四川省成都市)在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
(1)如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
(2)如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；
(3)如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求ABBC的值．
41. (2020·四川省资阳市)在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F．
(1)如图1，当DE=DA时，求证：AF=EF；
(2)如图2，点E在运动过程中DEEF的值是否发生变化？请说明理由；
(3)如图3，若点F为AB的中点，连接DF交AC于点G，将△GEF沿EF翻折得到△HEF，连接DH交EF于点K，当AD=2，CD=23时，求KH的长．
42. (2020·湖南省长沙市)在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
(1)求证：△ABF∽△FCE；
(2)若AB=23，AD=4，求EC的长；
(3)若AE-DE=2EC，记∠BAF=α，∠FAE=β，求tanα+tanβ的值．
1.D
2.C
3.C
4.B
5.B
6.C
7.D
8.D
9.D
10.B
11.C
12.B
13.C
14.33或63
15.35
16.5+5
17.85
18.55-5
19.35
20.42
21.1；5
22.263
23.22
24.22
25.53
26.13
27.38
28.解：(1)如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK=BE，
在△BCE和△CBK中，
BC=CB∠BCK=∠CBEBE=CK，
∴△BCE≌△CBK(SAS)，
∴BK=CE，∠BEC=∠BKD，
∵CE=BD，
∴BD=BK，
∴∠BKD=∠BDK=∠ADC=∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF=180°，
∴∠ADF+∠AEF=180°，
∴∠A+∠EFD=180°，
∵∠A=60°，
∴∠EFD=120°，
∴∠CFE=180°-120°=60°；
(2)结论：BF+CF=2CN．
理由：如图2中，∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=CB，∠A=∠CBD=60°，
∵AE=BD，
∴△ABE≌△BCD(SAS)，
∴∠BCF=∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF=60°，
∴∠BFC=120°，
如图2-1中，延长CN到Q，使得NQ=CN，连接FQ，
∵NM=NF，∠CNM=∠FNQ，CN=NQ，
∴△CNM≌△QNF(SAS)，
∴FQ=CM=BC，
延长CF到P，使得PF=BF，则△PBF是等边三角形，
∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°，
∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC，
∵PB=PF，
∴△PFQ≌△PBC(SAS)，
∴PQ=PC，∠CPB=∠QPF=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴BF+CF=PC=QC=2CN．
(3)由(2)可知∠BFC=120°，
∴点F的运动轨迹为红色圆弧(如图3-1中)，
∴P，F，O三点共线时，PF的值最小，
此时tan∠APK=AOAP=23，
∴∠HPK>45°，
∵QK⊥PF，
∴∠PKH=∠QKH=45°，
如图3-2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL=LK=2，PL=3，PH=7，KH=22，
∵S△PHK=12⋅PK⋅HL=12⋅KH⋅PJ，
∴PQ=2PJ=2×2(2+3)22=22+6
∴PQBC=22+627=214+4214．
29.13 m2n 3135
30.(1)证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形，
∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°，
∴∠BFG=90°=∠C，
∵AB=BC=BF，BG=BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)；
(2)解：延长BH，AD交于Q，如图：
设FH=HC=x，
在Rt△BCH中，BC2+CH2=BH2，
∴82+x2=(6+x)2，
解得x=73，
∴DH=DC-HC=113，
∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，
∴△BFG∽△BCH，
∴BFBC=BGBH=FGHC，即68=BG6+73=FG73，
∴BG=254，FG=74，
∵EQ//GB，DQ//CB，
∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，
∴BCDQ=CHDH，即8DQ=736-73，
∴DQ=887，
设AE=EF=m，则DE=8-m，
∴EQ=DE+DQ=8-m+887=1447-m，
∵△EFQ∽△GFB，
∴EQBG=EFFG，即1447-m254=m74，
解得m=92，
∴AE的长为92；
(3)解：(Ⅰ)当DE=13DC=2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，如图：
设DQ=x，QE=y，则AQ=6-x，
∵CP//DQ，
∴△CPE∽△QDE，
∴CPDQ=CEDE=2，
∴CP=2x，
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴EF=DE=2，AF=AD=6，∠QAE=∠FAE，
∴AE是△AQF的角平分线，
∴AQAF=QEEF，即6-x6=y2①，
∵∠D=60°，
∴DH=12DQ=12x，HE=DE-DH=2-12x，HQ=3DH=32x，
在Rt△HQE中，HE2+HQ2=EQ2，
∴(1-12x)2+(32x)2=y2②，
联立①②可解得x=34，
∴CP=2x=32；
(Ⅱ)当CE=13DC=2时，延长FE交AD延长线于Q'，过D作DN⊥AB交BA延长线于N，如图：
同理∠Q'AE=∠EAF，
∴AQ'AF=Q'EEF，即6+x6=y4，
由HQ'2+HD2=Q'D2得：(32x)2+(12x+4)2=y2，
可解得x=125，
∴CP=12x=65，
综上所述，CP的长为32或65．
31.233
32.(1)解：如图1，连接CP，
由旋转知，CF=CG，∠FCG=90°，
∴△FCG为等腰直角三角形，
∵点P是FG的中点，
∴CP⊥FG，
∵点D是BC的中点，
∴DP=12BC，
在Rt△ABC中，AB=AC=22，
∴BC=2AB=4，
∴DP=2；
(2)证明：如图2，
过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，
∴∠AEH=90°，
由旋转知，EG=EF，∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠AEH，
∴∠AEG=∠HEF，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，
∴∠H=90°-∠CAD=45°=∠CAD，
∴AE=HE，
∴△EGA≌△EFH(SAS)，
∴AG=FH，∠EAG=∠H=45°，
∴∠EAG=∠BAD=45°，
∵∠AMF=180°-∠BAD-∠AFM=135°-∠AFM，
∵∠AFM=∠EFH，
∴∠AMF=135°-∠EFH，
∵∠HEF=180°-∠EFH-∠H=135°-∠EFH，
∴∠AMF=∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG=∠HEF，
∵∠AGN=∠AEG，
∴∠AGN=∠HEF，
∴∠AGN=∠AMF，
∵GN=MF，
∴△AGN≌△AMF(AAS)，
∴AG=AM，
∵AG=FH，
∴AM=FH，
∴AF+AM=AF+FH=AH=2AE；
(3)解：∵点E是AC的中点，
∴AE=12AC=2，
根据勾股定理得，BE=AE2+AB2=10，
由折叠直，BE=B'E=10，
∴点B'是以点E为圆心，10为半径的圆上，
由旋转知，EF=EG，
∴点G是以点E为圆心，EG为半径的圆上，
∴B'G的最小值为B'E-EG，
要B'G最小，则EG最大，即EF最大，
∵点F在AD上，
∴点在点A或点D时，EF最大，最大值为2，
∴线段B'G的长度的最小值10-2．
33.解：(1)∵CE=AE，
∴∠ECA=∠EAC，
根据翻折可得：∠ECA=∠FCA，∠BAC=∠CAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DA//CB，
∴∠ECA=∠CAD，
∴∠EAC=∠CAD，
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAF=90°，
设CE=AE=x，则BE=4-x，
在△BAE中，根据勾股定理可得：
BA2+BE2=AE2，
即：(22)2+(4-x)2= x2，
解得：x=3，
在Rt△EAF中，EF=AF2+AE2=17．
(2)过点F作FG⊥BC交BC于点G，
设CG=x，则GB=3-x，
∵FC=4，FE=17，
∴FG2=FC2-CG2=FE2-EG2，
即：16-x2=17-(3-x)2，
解得：x=43，
∴FG=FC2-CG2=823，
∴sin∠CEF=FGEF=83451．
34.解：(1)∵∠B=40°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=50°，
∵AE平分∠BAC，P与E重合，
∴D在AB边上，AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=(180°-∠BAC)÷2=65°，
∴α=∠ACB-∠ACD=25°；
答：α的度数为25°；
(2)①当点P在线段BE上时，如图：
∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC=AD，
∵∠BCD=α，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACD=90°-α，
又∵∠ADC+∠BAD=∠B+∠BCD，∠BAD=β，∠B=40°，
∴(90°-α)+β=40°+α，
∴2α-β=50°，
②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：
∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC=AD，
∵∠BCD=α，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACD=90°-α，
又∵∠ADC=∠AFC+∠BCD，∠AFC=∠ABC+∠BAD，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD+∠BCD=40°+β+α，
∴90°-α=40°+α+β，
∴2α+β=50°；
综上所述，当点P在线段BE上时，2α-β=50°；当点P在线段CE上时，2α+β=50°．
35.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上，
∴∠AFE=∠B=90°，AF=CF，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠CFE=180°-∠AFE=90°，
在△AEF和△CEF中，
AF=CF∠AFE=∠CFEEF=EF，
∴△AEF≌△CEF(SAS)．
(2)由(1)知，△AEF≌△CEF，
∴∠EAF=∠ECF，
由折叠性质得，∠BAE=∠EAF，
∴∠BAE=∠EAF=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°，
∴3∠BAE=90°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，AB=3，∠B=90°，
∴AE=ABcos30∘=332=2．
36.解：(1)如图1，设DE与CF交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
在△AED和△DFC中，
∠A=∠FDC∠CFD=∠AEDAD=CD，
∴△AED≌△DFC(AAS)，
∴DE=CF，
∴DECF=1；
(2)如图2，设DB与CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠EDC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC=90°，
∴∠CDG+∠ECD=90°，∠ADB+∠CDG=90°，
∴∠ECD=∠ADB，
∵∠CDE=∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴CEBD=DCAD=47，
故答案为：47．
(3)证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，
∵CG⊥EG，
∴∠G=∠H=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB=CH，∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠FCH=∠FDG=∠ADE，∠A=∠H=90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴DECF=ADCH，
∴DECF=ADAB，
∴DE⋅AB=CF⋅AD；
(4)①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，
∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG=∠CFG+∠ADE=90°，
∴∠FCG=∠ADE，∠BAD=∠CGF=90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴DECF=ADCG，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=13，AD=9，
∴AB=3，
在Rt△ADH中，tan∠ADH=13，
∴AHDH=13，
设AH=a，则DH=3a，
∵AH2+DH2=AD2，
∴a2+(3a)2=92，
∴a=91010(负值舍去)，
∴AH=91010，DH=271010，
∴AC=2AH=9510，
∵S△ADC=12AC⋅DH=12AD⋅CG，
∴12×9510×271010=12×9CG，
∴CG=275，
∴DECF=ADCG=9275=53；
②∵AC=9510，CG=275，∠AGC=90°，
∴AG=AC2-CG2=(9510)2-(275)2=95，
由①得：△DEA∽△CFG，
∴CFDE=FGAE，
又∵DECF=53，AE=1，
∴FG=35，
∴AF=AG-FG=95-35=65，
∴BF=AB2+AF2=32+(65)2=3529．
37.(1)如图1，
①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠GAH=90°，
∴∠DCG+∠DGC=90°，
∵∠FGC=90°，
∴∠AGH+∠DGC=90°，
∴∠DCG=∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
②由翻折得∠EGF=∠EAF，
∴∠AGH=∠DAC=∠DCG，
∵CD=AB=2，AD=4，
∴DGCD=AHAG=CDAD=tan∠DAC=24=12，
∴DG=12CD=12×2=1，
∴GA=4-1=3，
∵△CDG∽△GAH，
∴CGGH=CDGA，
∴tan∠GHC=CGGH=CDGA=23．
(2)不全等，理由如下：
∵AD=4，CD=2，
∴AC=42+22=25，
∵∠GCF=90°，
∴CGAC=tan∠DAC=12，
∴CG=12AC=12×25=5，
∴AG=(25)2+(5)2=5，
∴EA=12AG=52，
∴EF=EA⋅tan∠DAC=52×12=54，
∴AF=(52)2+(54)2=554，
∴CF=25-554=354，
∵∠GCF=∠AEF=90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF与△AEF不全等．
38.(1)解：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=90°，
∴ABC，△ADC都是等腰三角形，
∵∠BAE=∠CAE，∠DAF=∠CAF，
∴∠EAF=12(∠BAC+∠DAC)=45°，
∵∠BAE=∠DAF=22.5°，∠B=∠D=90°，AB=AD，
∴△BAE≌△DAF(ASA)，
∴BE=DF，AE=AF，
∵CB=CD，
∴CE=CF，
∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，
故答案为：45；△AEF，△EFC，△ABC，△ADC(任写2个即可)．
(2)解：结论：PQ=BP+DQ．
理由：如图2中，延长CB到T，使得BT=DQ．
∵AD=AB，∠ADQ=∠ABT=90°，DQ=BT，
∴△ADQ≌△ABT(SAS)，
∴AT=AQ，∠DAQ=∠BAT，
∵∠PAQ=45°，
∴∠PAT=∠BAP+∠BAT=∠BAP+∠DAQ=45°，
∴∠PAT=∠PAQ=45°，
∵AP=AP，
∴△PAT≌△PAQ(SAS)，
∴PQ=PT，
∵PT=PB+BT=PB+DQ，
∴PQ=BP+DQ．
故答案为：PQ=BP+DQ．
(3)解：如图3中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM=∠ACQ=∠BAC=45°，AC=2AB，
∵∠BAC=∠PAQ=45°，
∴∠BAM=∠CAQ，
∴△CAQ∽△BAM，
∴CQBM=ACAB=2，
故答案为：2．
(4)证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∵∠DAN=∠BAR，
∴∠BAM+∠BAR=45°，
∴∠MAR=∠MAN=45°，
∵AR=AN，AM=AM，
∴△AMR≌△AMN(SAS)，
∴RM=MN，
∵∠D=∠ABR=∠ABD=45°，
∴∠RBM=90°，
∴RM2=BR2+BM2，
∵DN=BR，MN=RM，
∴BM2+DN2=MN2
39.证明(1)∵四边形EOGF是矩形，
∴EO//GF，GO//EF，
∵GE//DC，
∴四边形GEFD是平行四边形，四边形GECF是平行四边形，
∴GE=DF，GE=CF，
∴DF=FC；
(2)①如图1，由折叠的性质知，∠GDH=∠MDH，DH⊥GM，
∵GE//CD，
∴∠DGM=∠BDC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠BDC，∠COD=90°，
∵∠ADB=∠GDH，
∴∠DGM=∠GDH，
∵DH⊥GM，
∴∠DGM=45°，
∴∠OEG=45°，
∴OE=OG，
∵四边形EOGF是矩形，
∴四边形EOGF是正方形；
②如图2，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB，
∵GE//CD，
∴∠DGE=∠CDB，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠DGE=∠CDB，
∴∠GDM=2∠ABD，
∵tan∠ABO=m(m为定值)，
∴点M始终在固定射线DM上并随k的增大向上运动，
∵当且仅当k>2时，M点在矩形EOGF的外部，
∴k=2时，M点在矩形EOGF上，即点M在EF上，
设OB=b，则，OA=OC=mb，DG=DM=kb=2b，OG=(k+1)b=3b，OE=m(k+1)b=3mb，GH=HM=mkb=2mb，
∴FH=OE-GH=m(k+1)b-mkb=mb，
过点D作DN⊥EF于点N，
∵∠FHM+∠FMH=∠FMH+∠DMN，
∴∠FHM=∠DMN，
∵∠F=∠DNM=90°，
∴△MFH∽△DNM，
∴FHMN=MHDM，
∴mbMN=2mb2b，
∴MN=b，
∵DM2=DN2+MN2，
∴(2b)2=(3mb)2+b2，
解得，m=33，或m=-33(舍)，
故m=33．
40.解：(1)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，
∵BC=2AB，
∴BF=2AB，
∴∠AFB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF=30°，
∴∠CBE=12∠FBC=15°；
(2)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，
又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AFB=∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴AFDE=ABDF，
∴AF⋅DF=AB⋅DE，
∵AF⋅DF=10，AB=5，
∴DE=2，
∴CE=DC-DE=5-2=3，
∴EF=3，
∴DF=EF2-DE2=32-22=5，
∴AF=105=25，
∴BC=AD=AF+DF=25+5=35．
(3)过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF=AN+FD，
∴NF=12AD=12BC，
∵BC=BF，
∴NF=12BF，
∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴NGAB=FGFA=NFBF=12，
设AN=x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN=NG=x，AB=BG=2x，
设FG=y，则AF=2y，
∵AB2+AF2=BF2，
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，
解得y=43x.
∴BF=BG+GF=2x+43x=103x.
∴ABBC=ABBF=2x103x=35．
41.(1)证明：如图，连接DF，在矩形ABCD中，∠DAF=90°，
又∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∵AD=DE，DF=DF，
∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL)，
∴AF=EF；
(2)解：DEEF的值不变；
如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
∴四边形ANEM是矩形，
∴EN=AM，
∵∠EAM=∠CAD，∠EMA=∠CDA．
∴△EAM∽△CAD，
∴AMAD=EMCD，即EMEN=CDAD①，
∵∠DEF=∠MEN=90°，
∴∠DEM=∠FEN，
又∵∠DME=∠ENF=90°，
∴△DME∽△FNE，
∴DEEF=EMEN②，
由①②可得DEEF=DCAD，
∵AD与DC的长度不变，
∴DEEF的长度不变；
(3)连接GH交EF于点I，
∵点F是AB的中点，
∴AF=3，
在Rt△ADF中，DF=DA2+AF2=22+(3)2=7，
由(2)知DEEF=DCAD=232=3，
∴DE=3EF，
在Rt△DEF中，EF=72，DE=212，
又∵AB//DC，
∴△AGF∽△CGD，
∴DGGF=DCAF=2，
∴GFDF=13，
由折叠的性质可知GI=IH，GH⊥EF，
又∵DE⊥EF，
∴GH//DE，
∴△GFI∽△DFE，
∴GIDE=FIEF=GFDF=13，
∴EI=23EF=73，GI=IH=216，
又∵GH//DE，
∴△DEK∽△HIK，
∴KIEK=IHDE=13，
∴KI=14EI=712，
∴HK=IH2+KI2=9112．
42.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
由翻折可知，∠D=∠AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，∠EFC+∠CEF=90°，
∴∠AFB=∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．
(2)设EC=x，
由翻折可知，AD=AF=4，
∴BF=AF2-AB2=16-12=2，
∴CF=BC-BF=2，
∵△ABF∽△FCE，
∴ABCF=BFEC，
∴232=2x，
∴x=233，
∴EC=233．
(3)∵△ABF∽△FCE，
∴AFEF=ABCF，
∴tanα+tanβ=BFAB+EFAF=BFAB+CFAB=BF+CFAB=BCAB，
设AB=CD=a，BC=AD=b，DE=x，
∴AE=DE+2CE=x+2(a-x)=2a-x，
∵AD=AF=b，DE=EF=x，∠B=∠C=∠D=90°，
∴BF=b2-a2，CF=x2-(a-x)2=2ax-a2，
∵AD2+DE2=AE2，
∴b2+x2=(2a-x)2，
∴a2-ax=14b2，
∵△ABF∽△FCE，
∴ABCF=BFEC，
∴ax2-(a-x)2=b2-a2a-x，
∴a2-ax=b2-a2⋅2ax-a2，
∴14b2=b2-a2⋅a2-12b2，
整理得，16a4-24a2b2+9b4=0，
∴(4a2-3b2)2=0，
∴ba=233，
∴tanα+tanβ=BCAB=233．
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