2022年中考数学真题汇编：最值问题1(含解析)

这是一份2022年中考数学真题汇编：最值问题1(含解析)，共47页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学真题分类练习：最值问题
一、选择题
1.（2022广东）点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ）
A. B. C. D.
2.（2022贺州）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.（2022安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ）
A. B. C. D.
4.（2022梧州）如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ）

A. B. 若实数，则
C. D. 当时，
5.（2022北京）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
6.（2022贵港）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D. 最小值为
二、填空题
7.（2022甘肃武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s．

8.（2022贺州）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．

三、解答题
9.（2022北京）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为
（1）当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；
（2）点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．


10.（2022广东）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值，并求此时P点坐标．


11.（2022福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．


12.（2022海南）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．

（1）当点P是的中点时，求证：；
（2）将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，求周长的最小值；
③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．


13.（2022贵港）如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）若轴交于点E，求的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．


14.（2022甘肃武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．

（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；
（3）连接．
①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，当时，求的最小值．


15.（2022北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．

某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
3.（2022安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】解：如图，

，，
∴
=
=
=
==，
∴，
设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，
则，
，
∴，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
，
∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的直线上，
∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，
过O作OE⊥BC于E，
∴，
∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE=
∴OC=2OE
∵，
∴，
解得OE=，
∴OC=，
∴OP=CP-OC=．
故选B．
4.（2022梧州）如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ）

A. B. 若实数，则
C. D. 当时，
【答案】解：∵抛物线的对称轴是，
∴，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∴，故A说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，，
∴当实数，则，
∴当实数时，，故B说法正确，不符合题意；
∵当时，，
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；
∵，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴，故D说法正确，不符合题意；
故选C．
5.（2022北京）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该图象表示；
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为，
则矩形的面积为：，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
6.（2022贵港）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D. 最小值为
【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，
∴DF=CE，故A项答案正确，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，
∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴，
∵，
∴，故C项答案正确，
∵，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，

∵△ABC是等边三角形，BC=1，
∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D项错误，
故应选：D
二、填空题
7.（2022甘肃武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s．

【答案】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
8.（2022贺州）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．

【答案】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，

在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∵DG平分∠ADC，
∴DG垂直平分EH，
∴PE=PH，
∴的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，
∴当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴AE=DE=DH=3，AF=4，
∴EF=5，
∵FK⊥CD，
∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，
∴四边形ADKF为矩形，
∴DK=AF=4，FK=AD=6，
∴HK=1，
∴，
∴FH+EF=，即的周长最小为．
故答案为：
三、解答题
9.（2022北京）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为
（1）当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；
（2）点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．
【答案】（1）（0，2）；2
（2）的取值范围为，的取值范围为
【解析】
【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．
（1）解：当时，，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵，
∴点关于对称轴为对称，
∴；
（2）解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，
∵1＜3，
∴2t＞3，即（不合题意，舍去），
当点在对称轴左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，
此时点到对称轴距离大于点到对称轴的距离，
∴，解得：，
∵1＜3，
∴2t＞3，即，
∴，
∵，，对称轴为，
∴，
∴，解得：，
∴的取值范围为，的取值范围为．
10.（2022广东）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】
（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，
顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，
∵P在线段AB上，
∴，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则


∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
11.（2022福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．

所以


．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
（3）


记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点

，




，
设
直线AB的解析式为．
设，则




整理得






时，取得最大值，最大值为
12.（2022海南）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．

（1）当点P是的中点时，求证：；
（2）将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，求周长的最小值；
③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】
（1）解：如图9-1，在矩形中，，


即，
∴．
∵点P是的中点，
∴．
∴．
（2）①证明：如图9-2，在矩形中，，


∴．
由折叠可知，
∴．
∴．
在矩形中，，
∵点P是的中点，
∴．
由折叠可知，．
设，则．
∴．
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
即．
②解：如图9-3，由折叠可知，．


∴．
由两点之间线段最短可知，
当点恰好位于对角线上时，最小．
连接，在中，，
∴，
∴，
∴．
③解：与的数量关系是．
理由是：如图9-4，由折叠可知．


过点作，交于点M，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴点H是中点．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵点G为中点，点H是中点，
∴．
∴．
∴．
∴．
13.（2022贵港）如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）若轴交于点E，求的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．
【答案】
（1）解：（1）∵抛物线经过和两点，
∴
解得：，，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴直线表达式为，
∵直线与x轴交于点C，
∴点C的坐标为，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
则，
设点P的坐标为，其中，
则点D的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，且最大值为．
（3）解：根据题意，
在一次函数中，令，则，
∴点C的坐标为（2，0）；
当∽时，如图

此时点D与点C重合，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：，
∴点P的坐标为（2，3）；
当∽时，如图，则，

设点，则点P为，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，点P的坐标为；
∴满足条件的点P，点D的坐标为或，．
14.（2022甘肃武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．

（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；
（3）连接．
①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，当时，求的最小值．
【答案】
（1）解：∵在抛物线上，
∴，解得，
∴，即；
（2）在中，令，得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）①连接交于点，如图1所示：

∵与关于轴对称，
∴，，
设，则，
，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得（舍去），，
∴；
②在下方作且，连接，，如图2所示：

∵，
∴，
∴，
∴当，，三点共线时，最小，最小为，
过作，垂足为，
∵，，
∴，，
∵，
，，
，
∴

，
即的最小值为．
15.（2022北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．

某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“