2021-2022学年河南省平顶山市汝州市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年河南省平顶山市汝州市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 分式有意义的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 不等式变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，将▱沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列分式：；；；，其中的最简分式有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 已知不等式的解是，下列有可能是函数的图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 下列说法错误的是(    )

A. “对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题
B. 中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
C. 用若干正六边形能镶嵌整个平面
D. 解分式方程时，产生增根，则

8. 如图，点在边上，，点，在边上，，若，的面积为，则(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，连接，则的度数(    )

A. 随着的增大而增大 B. 随着的增大而减小
C. 不变 D. 随着的增大，先增大后减小

10. 如图，▱的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接下列结论：；；；，成立的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 化简：______．
12. 若关于的不等式只有个正整数解，则的取值范围为______ ．
13. 我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如：，根据上述方法，解决问题：已知、、是的三边，且满足，则的形状是______．
14. 如图，▱的顶点为，点在轴的正半轴上，，延长交轴于点，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为______．
15. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、，，，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：
    分解因式：；
    解不等式组，并将解集表示在数轴上．
17. 本小题分
    老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
    接力中，自己负责的一步出现错误的是______
    A.只有乙甲和丁乙和丙乙和丁
    请你书写正确的化简过程，并在“，，，”中选择一个合适的数求值．
     

18. 本小题分
    如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且．
    求证：四边形是平行四边形；
    连接，若平分，，，求平行四边形的周长．

19. 本小题分
    如图，在直角坐标系中，将平移后得到，它们的三个顶点坐标如表所示：

______，______．
画出．
求的面积．
在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 本小题分
    问题呈现：下面是小明复习等边三角形时遇到的一个问题，请仔细阅读：

请借鉴小明的思路写出证明过程．

21. 本小题分
    为加强“新型冠状病毒”防控，某小区居委会计划购买甲、乙两种品牌的消毒液，乙品牌消毒液的单价比甲品牌消毒液的单价的倍少元，已知用元购买甲品牌消毒液的数量和用元购买乙品牌消毒液的数量相同，设甲品牌消毒液的单价为每瓶元．
    乙品牌消毒液的价格是每瓶______元用含的代数式表示；
    求甲、乙两种品牌消毒液的单价各是多少元？
    若该小区居委会从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒液共瓶，且总费用不超过元，那么至少要购买甲消毒液多少瓶？
22. 本小题分
    如图，是的平分线，点在射线上，，是直线上的两动点，点在点的右侧，且，作线段的垂直平分线，分别交直线，于点，点，连接，．
    如图，当，两点都在射线上时，则线段与的数量关系是______．
    如图，当，两点都在射线的反向延长线上时，线段，是否还存在中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
     

23. 本小题分
    【问题情境】
    在综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的剪拼”为主题开展数学活动，如图，在平行四边形纸片中，，沿该纸片对角线剪开，得到和．
    【操作发现】
    将图中的以为旋转中心，逆时针方向旋转角，使，得到如图所示的，分别延长和交于点，请判四边形的形状，并说明理由；
    创新小组将图中的以为旋转中心，按逆时针方向旋转角，得到如图所示的平行四边形，且，请判断此时与的数量关系．并说明理由；
    【实践探究】
    缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图中，，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故选：．
根据不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A不合题意；
B.，故选项B不合题意；
C.，故选项C不合题意；
D.，故选项D符合题意．
故选：．
利用整式乘法和因式分解的关系，逐个计算得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握整式乘法与因式分解的关系是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
将▱沿对角线折叠，使点落在点处，
，，，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得，再利用翻折得和的度数，最后利用三角形内角和定理得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
是最简分式，符合题意；
，故此选项不合题意；
是最简分式，符合题意；
故选：．
直接利用最简分式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式的解是，
直线与轴交点为且随增大而减小，
故选：．
由不等式的解是可得直线与轴交点为且随增大而减小，进而求解．
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．解题关键是将不等式问题转化为图象求解．
 

7.【答案】 

【解析】解：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题，故A正确，不符合题意；
中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，故B正确，不符合题意；
用若干正六边形能镶嵌整个平面，故C正确，不符合题意；
解分式方程时，产生增根，则，故D错误，符合题意；
故选：．
由平行四边形判定，中心对称的性质，镶嵌的规律，解分式方程的方法逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

，的面积为，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
过点作于点，由三角形的面积求得，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质求得，进而根据线段和差关系求得结果．
本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，关键在于构造直角三角形．
 

9.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转，得到，
，
，，
，，，
，
，
，
的度数是定值，
故选：．
由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内接和定理可求，由外角的性质可求，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
平分，

是等边三角形，
，
，
，
，
，故正确；
，
，故正确，
，，
，
，故错误；
，，
，
，故正确．
故选：．
由四边形是平行四边形，得到，，根据平分，得到推出是等边三角形，由于，得到，得到是直角三角形，于是得到，故正确；由于，得到，故正确，根据，，且，得到，故错误；根据三角形的中位线定理得到，于是得到，故正确．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式


．
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找各分母的最简公分母．
 

12.【答案】 

【解析】解：不等式，
解得：，
不等式只有个正整数解，即正整数解为，，
的范围是．
故答案为：．
表示出不等式的解集，根据解集中只有个正整数解，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集是解本题的关键．
 

13.【答案】等腰三角形 

【解析】解：，
，
，
、、是的三边，，
，
，
的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
根据平方差公式和提取公因式分解因式，再提取公因式，得到，根据、、是的三边，，得到，从而，的形状是等腰三角形．
本题考查了因式分解的应用，掌握是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：延长交轴于点，延长，由题意的延长线经过点，如图，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
由题意得：≌，
，，，，，
则，平分，
为等腰三角形，
，，
，，
∽，
，
，
．
．
故答案为：．
延长交轴于点，延长，由题意的延长线经过点，已知，则，进而求出，，求出，，由题意：≌，可得对应部分相等；利用，平分，可得为等腰三角形，可得，；利用∽，得到比例式可求线段，则点坐标可得．
本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形相似的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是的平分线，，，
，，，
在和中，，
≌，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，，
≌，
，
，
，，
，
故答案为：．
由是的平分线，，，得出，，，由证得≌得出，由是的垂直平分线得出，由证得≌，得出，则，即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、垂直平分线等知识，熟练掌握角平分线定义与垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

16.【答案】解：


；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
 

【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答；
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查了因式分解和解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：乙在计算时，把变换成没有添加符号，丁在计算时，正确的结果应该是，
自己负责的一步出现错误的是乙和丙，
故选：；
正确的化简过程如下：




，
当时，．
根据分式的加减运算以及乘除运算法则逐步分析即可；
先根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握分式的加减运算以及乘除运算法则时解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
≌，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长． 

【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可；
由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再求出，求解即可．
此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：由题意，向左平移个单位，再向上平移个单位得到．
，，，
，，
故答案为：，；

如图，即为所求；
；
设，则有，
解得，或，
或．
利用表格信息，判定平移的规律，可得结论；
根据点的坐标画出图形即可；
利用三角形的面积公式求解；
设，构建方程求解即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：过点作，交于点，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
≌． 

【解析】根据等边三角形的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，然后再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，以及等边三角形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：购买乙品牌消毒液的价格是每瓶：元，
故答案为：；
设甲品牌消毒剂每瓶的价格为元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合实际意义，
，
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为元，乙品牌消毒剂每瓶的价格为元；
设购买甲种品牌的消毒剂瓶，则购买乙种品牌的消毒剂瓶，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最小值为，
答：至少要购买甲消毒液瓶．
根据题意列出代数式即可；
设甲品牌消毒剂每瓶的价格为元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为元，由题意列出分式方程，解方程即可；
设购买甲种品牌的消毒剂瓶，则购买乙种品牌的消毒剂瓶，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】 

【解析】解：．
理由：如图中，连接．

垂直平分，
，
，
平分，
，
，
≌，
，
故答案为：．

存在，
理由：如图中，连接．

垂直平分，
，
，
平分，，
，
，
，
≌，
．
连接，只要证明≌即可解决问题；
存在．证明方法类似．
本题考查了线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：四边形是菱形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，即，
，
，
，
，即，
，，
，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是菱形．
，理由如下：
如图，过点作于点，

，
，即，
，
，
，
，
，
．
．
如图，过点作于点，

，
，
在中，，
，，
∽，
：：，即：：，
，
，，
． 

【解析】利用旋转的性质结合菱形的性质得出，，，，进而利用菱形的判定方法得出结论；
过点作于点，由，可得，即，由，可得，所以，则，由此可得出结论；
过点作于点，易证∽，所以：：，即：：，可得，所以．
此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定方法等知识，正确利用相似三角形的判定与性质得出的长是解题关键．