2021-2022学年湖北省武汉市常青联合体高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市常青联合体高一（下）期末数学试卷（Word解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2021-2022学年湖北省武汉市常青联合体高一（下）期末数学试卷  第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知，若有为虚数单位，则(    )A.  B.  C.  D. 正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积(    )A.  B.  C.  D. 如图，在四边形中，，为边的中点，若，则(    )A.  B.  C.  D. 已知的部分图象如图所示，则的表达式为(    )A.
B.
C.
D. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是(    )A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则已知，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：
；
与成角；
与成异面直线且；
若与面所成角为，则．
其中正确的个数是(    )A.  B.  C.  D. 已知函数，周期，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）设向量，，则(    )A.  B.
C.  D. 与的夹角为设函数，给出下列命题，不正确的是(    )A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象
D. 的最小正周期为，且在上为增函数下列结论正确的是(    )A. 在中，若，则
B. 已知，则
C. 在中，若，则
D. 正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的体积是在正方体中，棱长为，点为线段上的动点包含线段端点，则下列结论正确的是(    )A. 当时，平面
B. 当为中点时，四棱锥的外接球表面为
C. 的最小值为
D. 当时，点是的重心第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知是虚数单位，复数的共轭复数，，求______．已知为一个单位向量，与的夹角是若在上的投影向量为，则______．在中，，边上的高等于，则          ．已知四棱锥的底面是矩形，其中，，侧棱底面，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球体积为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
如图，在正方体中，为的中点，求证：
Ⅰ平面；
Ⅱ平面．
本小题分
已知函数，在中，角，，所对的边分别为，，．
求函数的最大值，并求出此时的值；
若，且，求的值．本小题分
如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，．
证明：平面平面；
求二面角的大小．
本小题分
在，，，在三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析．已知在中，内角，，的对边分别为，，，且______．
求角；
若，求的取值范围．本小题分
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足其中求摩天轮转动一周的解析式；
游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到米？
若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值．本小题分
如图，三棱锥中，侧面是边长为的正三角形，，平面平面，把平面沿旋转至平面的位置，记点旋转后对应的点为不在平面内，，分别是、的中点．
求证：；
当三棱锥的体积最大值时，求三棱锥的体积．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，解得，
故选：．
根据复数模的定义得到关于的方程，再解出即可．
本题考查了复数模的定义，考查方程思想，是基础题．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查四棱锥的侧面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．属于中档题．
作出正四棱锥的高，斜高，底面边心距组成直角由此能求出结果．
【解答】解：如图，
正四棱锥的高，斜高，底面边心距组成直角．，，斜高，
．
故选A．  3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查平面向量的线性运算及其平面向量的基本定理，属于基础题．
根据平面向量线性运算法则将用表示，再结合平面向量基本定理即可得答案．
【解答】
解：连接，因为为的中点，

所以，
又因为，根据平面向量基本定理可得
，于是．
故选：．  4.【答案】 【解析】解：函数的周期为，

又函数的最大值是，相应的值为
，其中
取，得
因此，的表达式为，
故选：．
设函数的周期等于，根据图象可得与的距离等于，得到，利用公式可求出的值，将此代入表达式，再墱函数当时取得最大值，由正弦函数最值的结论，可求出值，从而得到函数的表达式．
本题以一个特殊函数求解析式为例，考查由的部分图象确定其解析式、三角函数的图象与性质，周期与相位等概念，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
对于，与相交、平行或异面；对于，与平行或异面；对于，不一定垂直；对于，由面面垂直的判定定理得．【解答】解：三条不同的直线，，和两个不同的平面，，
对于，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
对于，若，，则与平行或异面，故B错误；
对于，若，，则不一定垂直，故C错误；
对于，若，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确．
故选：．  6.【答案】 【解析】解：已知，．
故，
故选：．
由题意利用查诱导公式、二倍角公式，求得的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知与不平行，故错误；

连接、将平移到，则与所成角，即可，故正确；
同理与成角，故错误；
与面所成角为，故正确．
故选：．
首先还原几何体，再根据线线的位置关系，判断选项．
本题考查线面角及异面直线所成的角，考查学生的推理能力，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：，其中，
处取得最大值，
，即，
，，，
，
，
得，
，
即，解得，或，
若，则，
，
，
，
，这与矛盾，故应舍去．
当时，则，
，
，
，
，
又，，．
使得不等式恒成立即使得不等式恒成立
要使最小，则，此时最小为，
所以，，
所以实数的最小值为．
故选：．
先根据已知求出，或，通过分析舍去，再分析得到，且，即得解．
本题考查三角恒等变换和同角三角函数关系，三角函数的图象与性质，属于难题．
 9.【答案】 【解析】【分析】本题考查了根据向量的坐标求向量长度的方法，向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
可以求出，从而判断A错误；容易得出，从而判断B错误，C正确；可以求出，从而判断D正确．【解答】解：，A错误；
，，，B错误，C正确；
，且，
与的夹角为，D正确．
故选：．  10.【答案】 【解析】解：对于选项A，令，，则，，
函数的图象关于直线，对称，即选项A不正确；
对于选项B，令，，则，，
函数的图象关于点对称，即选项B不正确；
对于选项C，把的图象向左平移个单位长度，
得到是偶函数，即选项C正确；
对于选项D，最小正周期，
令，，则，，
函数的单调递增区间为，，
当时，函数的增区间为，而不是的子区间，即选项D不正确．
故选：．
根据正弦函数的中心对称、轴对称、周期性和单调性可分别判断选项A，和；选项C，由函数图象的平移变换法则可判断选项C．
本题考查三角函数的图象与性质，以及图象的平移变换，熟练掌握正弦函数的对称性、周期性和单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：在中，，则，，故A正确；
因为，则
，故B错误；
因为，又，
所以，即，又，
所以，故C正确；
正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，
设正六棱台的高为，则，
正六棱台的上、下底面面积分别为，
故它的体积是，故D错误．
故选：．
利用大角对大边及正弦定理可判断，利用两角差的正切公式可判断，利用正余弦定理，面积公式及特殊角的三角函数可判断，利用正六棱台的性质及体积公式可判断．
本题主要考查正弦定理及其应用，两角和差的正切公式，余弦定理的应用，台体体积的计算等知识，属于中等题．
 12.【答案】 【解析】解：对于，连接，，
则，，，
设点到平面的距离为，则，解得，所以，
则当时，为与平面的交点，
又，平面，平面，所以平面，
同理可证平面，，，平面，
所以平面平面，平面，所以平面，
对于，当点为的中点时，四棱锥为正四棱锥，
设平面的中心为，四棱锥的外接球半径为，则，解得，
所以四棱锥的外接球表面积为，
对于，连接，，则，所以，
由等面积法可得，的最小值为，所以的最小值为，
对于，由以上分析可得，当时，即三棱锥的高，
所以平面，又三棱锥为正三棱锥，所以点是的重心，
故选：．
利用等体积法求出点到平面的距离与的关系，利用面面平行的性质定理，即可判断选项A，当时，即三棱锥的高，即可判断选项D，当点为的中点时，四棱锥为正四棱锥，求出外接球的半径，即可判断选项B，由等面积法即可判断选项C．
本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面的位置关系，外接球面积的计算，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：由题意得，，
因为在上的投影向量为，
所以．
故答案为：．
由已知结合向量数量积的定义及性质即可求解．
本题主要考查了向量数量积的定义及投影的定义，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】【分析】本题考查解三角形中，作出图形，令，利用两角和的余弦求是关键，属于中档题．
作出图形，令，依题意，可求得，，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设中角、、、对应的边分别为、、，于，令，


在中，，边上的高，
，，
在中，，故，
．
故答案为．  16.【答案】 【解析】解：如图，因为，故或其补角为异面直线与所成的角，

因为平面，平面，故，
故为锐角，故，故，故．
将该四棱锥补成如图所示的长方体：

则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为，
故外接球的体积为．
故答案为：．
利用异面直线所成的角可求的长度，将四棱锥补成长方体后可求外接球的直径，从而可求外接球的体积．
本题考查球的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 17.【答案】证明：Ⅰ在正方体中可得四边形为正方形，所以，
又可得面，面，
所以，
而，
所以平面；
Ⅱ连接，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以，且，
又因为为的中点，为的中点，
所以四边形为平行四边形，
所以，
而面，面，
所以面 【解析】Ⅰ在正方体中可得面的对角线互相存在，侧棱垂直于底面，可得侧棱垂直于面内的直线，由直线与平面垂直的判定定理可证得线面垂直；
Ⅱ由正方体的平行平面的对角线平行及线段的中点可得为平行四边形，可得对边平行，再由线面平行的判定定理可证得线面的平行．
本题考查线面垂直，平行的判定定理的应用，属于中档题．
 18.【答案】解：，
，则，
当时，即当时，取得最大值．
，
所以，，则，
则，即
因为，则，
即，
所以，
因为为锐角，则，解得． 【解析】函数由二倍角公式及恒等变形可得解析式，由三角形的内角的范围，可得的最大值；
由及题意可得，由正弦定理及同角三角函数的基本关系可得的值．
本题考查三角函数的恒等变换及诱导公式的应用，属于基础题．
 19.【答案】证明：如图所示，连接，

由是菱形且，知是等边三角形．
因为是的中点，所以．
又，所以．
又因为平面，
平面，
所以而，
因此平面．
又平面，
所以平面平面；
解：由知，平面，平面，
所以又，
所以是二面角的平面角．
在中，，
则．
故二面角的大小是． 【解析】连接，证明推出证明平面，得到然后证明平面平面．
说明是二面角的平面角．在中，求解二面角的大小即可．
本题考查直线与平面垂直以及平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力．
 20.【答案】解：若选条件，则有，
根据正弦定理得，
所以，
因为，
所以．
若选条件，根据正弦定理得，
所以，
所以
因为，，
所以，
解得，
因为，
所以．
若选条件，则有，
所以，
则，
因为，
所以
由正弦定理知，
所以，
因为，
所以，
所以，
则，
所以的取值范围为． 【解析】选条件时，直接利用三角函数关系式的变换和余弦定理，进一步求出的值；
选条件时，利用三角函数关系式的变换和正弦定理及三角函数的值的应用求出的值；
选条件时，利用余弦定理，进一步转换为，最后求出的值．
利用正弦定理整理得，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 21.【答案】解：因为关于的函数关系式为，
且摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，
所以，解得，，
又因为函数周期为分钟，所以，，
又因为，
所以，因为，所以．
所以．
因为，
所以，解得，
又因为，所以，解得，
所以第一次达到米用时分钟．
经过分钟后甲距离地面的高度为，
乙与甲间隔的时间为分钟，
所以乙距离地面的高度为，
所以两人离地面的高度差，，
因为，所以当或时，得或分钟时，取最大值为米． 【解析】根据题意，求出、和、的值，即可写出函数解析式．
令，求出的值，即可得出第一次达到米的时间．
求出乙与甲间隔的时间，写出甲、乙距离地面的高度差，利用三角恒等变换求出它的最大值即可．
本题考查了三角函数的模型与应用问题，也考查了数学建模应用问题，是中档题．
 22.【答案】证明：如图，连接，，
侧面是边长为的正三角形，
，又是的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，，
为边长为的正三角形，，
又，由勾股定理可得，，
为直角三角形，且，
又，分别，的中点，，
；
解：如图，连接，，
三棱锥与三棱锥为同一个三棱锥，且的面积为定值，
当三棱锥的体积最大时，平面平面，
，则，为的中点，
则，又，，
平面平面，平面平面，平面，平面，
，
平面，平面，
平面与平面为同一个平面，
，
又，
在中，，，
，
由知，平面，平面，平面，
． 【解析】首先证明平面，再利用垂直关系，以及勾股定理证明；
当满足平面平面，此时三棱锥的体积最大，利用等体积转化求三棱锥的体积．
本题主要考查了空间中的垂直关系以及几何体体积的计算，属于中档题．