2022年浙江省杭州市富阳区富春中学中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(     )

A．k<5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5

2．在解方程－1＝时，两边同时乘6，去分母后，正确的是(　　)

A．3x－1－6＝2(3x＋1) B．(x－1)－1＝2(x＋1)

C．3(x－1)－1＝2(3x＋1) D．3(x－1)－6＝2(3x＋1)

3．计算(－ab2)3÷(－ab)2的结果是(　　)

A．ab4    B．－ab4    C．ab3    D．－ab3

4．二次函数的最大值为（     ）

A．3 B．4

C．5 D．6

5．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且他们的顶点相距10个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y=+6x+m，则m的值是                    （    ）

A．-4或-14 B．-4或14 C．4或-14 D．4或14

6．如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（    ）

A．k>－ B．k>－且 C．k<－ D．k－且

7．在实数，有理数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．某市2017年实现生产总值达280亿的目标，用科学记数法表示“280亿”为（　　）

A．28×109 B．2.8×108 C．2.8×109 D．2.8×1010

9．在中，，，，则的值是（    ）

A． B． C． D．

10．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（　　）

A．（x﹣20）（50﹣）＝10890 B．x（50﹣）﹣50×20＝10890

C．（180+x﹣20）（50﹣）＝10890 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝10890

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么cosA=________．

12．不等式组的解集为______．

13．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是___．

14．如图，已知是的高线，且，，则_________.

15．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于____度．

16．某物流仓储公司用如图A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，设B型机器人每小时搬运x kg物品，列出关于x的方程为_____．

17．用4块完全相同的长方形拼成正方形(如图)，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可得到1个关于的等式为________.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．

（1）求出m的值并画出这条抛物线；

（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；

（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？

（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？

19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．

（1）证明：∠BAC=∠DAC．

（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．

20．（8分）已知．化简；如果、是方程的两个根，求的值．

21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．

（1）求证：ED为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，ED=4，EO的延长线交⊙O于F，连DF、AF，求△ADF的面积．

22．（10分）张老师在黑板上布置了一道题：计算：2(x+1)2﹣(4x﹣5)，求当x＝和x＝﹣时的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由．

23．（12分）我市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．A、B两种奖品每件各多少元？现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？

24．（14分）某校对学生就“食品安全知识”进行了抽样调查（每人选填一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）。请根据图中信息，解答下列问题：

（1）根据图中数据，求出扇形统计图中的值，并补全条形统计图。

（2）该校共有学生900人，估计该校学生对“食品安全知识”非常了解的人数.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

试题解析：∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．

2、D

【解析】

解： ，∴3（x﹣1）﹣6=2（3x+1），故选D．

点睛：本题考查了等式的性质，解题的关键是正确理解等式的性质，本题属于基础题型．

3、B

【解析】

根据积的乘方的运算法则，先分别计算积的乘方，然后再根据单项式除法法则进行计算即可得，

(-ab2)3÷(-ab)2

=-a3b6÷a2b2

=-ab4，

故选B.

4、C

【解析】

试题分析：先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+1，然后根据二次函数的最值问题求解．

解：y=﹣（x﹣1）2+1，

∵a=﹣1＜0，

∴当x=1时，y有最大值，最大值为1．

故选C．

考点：二次函数的最值．

5、D

【解析】
根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于m的方程，解方程即可求得．

【详解】

∵一条抛物线的函数表达式为y=x2+6x+m，

∴这条抛物线的顶点为（-3，m-9），

∴关于x轴对称的抛物线的顶点（-3，9-m），

∵它们的顶点相距10个单位长度．

∴|m-9-（9-m）|=10，

∴2m-18=±10，

当2m-18=10时，m=1，

当2m-18=-10时，m=4，

∴m的值是4或1．

故选D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，坐标和线段长度之间的转换，关于x轴对称的点和抛物线的关系．

6、B

【解析】
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：

（1）二次项系数不为零；

（2）在有两个实数根下必须满足△=b2-4ac≥1．

【详解】

由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．

因此可求得k＞且k≠1．

故选B．

【点睛】

本题考查根据根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键.

7、D

【解析】

试题分析：根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案：

是有理数，故选D．

考点：有理数．

8、D

【解析】
根据科学计数法的定义来表示数字，选出正确答案.

【详解】

解：把一个数表示成a（1≤a<10，n为整数）与10的幂相乘的形式，这种记数法叫做科学记数法，280亿用科学计数法表示为2.8×1010，所以答案选D.

【点睛】

本题考查学生对科学计数法的概念的掌握和将数字用科学计数法表示的能力.

9、D

【解析】
首先根据勾股定理求得AC的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．

【详解】

∵∠C=90°，BC=1，AB=4，
∴，

∴，

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．

10、C

【解析】
设房价比定价180元増加x元,根据利润=房价的净利润×入住的房同数可得.

【详解】

解：设房价比定价180元增加x元，

根据题意，得（180+x﹣20）（50﹣）＝1．

故选：C．

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用问题，主要在于找到等量关系求解.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】

∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=，

∵sinA=，∴c=2a，∴b= ，

∴cosA=，

故答案为.

12、1＜x≤1

【解析】

解不等式x﹣3（x﹣2）＜1，得：x＞1，

解不等式，得：x≤1，

所以不等式组解集为：1＜x≤1，

故答案为1＜x≤1．

13、12

【解析】
根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出线段长度解答．

【详解】

根据题意观察图象可得BC=5，点P在AC上运动时，BPAC时，BP有最小值，观察图象可得，BP的最小值为4，即BPAC时BP=4，又勾股定理求得CP=3，因点P从点C运动到点A，根据函数的对称性可得CP=AP=3，所以的面积是=12.

【点睛】

本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型．

14、4cm

【解析】
根据三角形的高线的定义得到，根据直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】

解:∵是的高线，

∴，

∵，，

∴.

故答案为:4cm.

【点睛】

本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，含30°角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．

15、30

【解析】

试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AE=CE，根据折叠可得：BC=CE，则BC=AE=BE=AB，则∠A=30°.

考点：折叠图形的性质

16、

【解析】
设B型机器人每小时搬运x kg物品，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg物品，根据“A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等”可列方程．

【详解】

设B型机器人每小时搬运x kg物品，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg物品，

根据题意可得，

故答案为．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出关于x的分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．

17、（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab

【解析】
根据长方形面积公式列①式，根据面积差列②式，得出结论．

【详解】

S阴影＝4S长方形＝4ab①，

S阴影＝S大正方形﹣S空白小正方形＝（a+b）2﹣（b﹣a）2②，

由①②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．

故答案为（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．

【点睛】

本题考查了完全平方公式几何意义的理解，此题有机地把代数与几何图形联系在一起，利用几何图形的面积公式直接得出或由其图形的和或差得出．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）；（2），；（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，1）得：m=1．

∴抛物线为y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2．

列表得：

图象如下．

（2）由﹣x2+2x+1=0，得：x1=﹣1，x2=1．

∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0）．

∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2

∴抛物线顶点坐标为（1，2）．

（1）由图象可知：

当﹣1＜x＜1时，抛物线在x轴上方．

（2）由图象可知：

当x＞1时，y的值随x值的增大而减小

考点: 二次函数的运用

19、证明见解析

【解析】

试题分析：由AB=AD，CB=CD结合AC=AC可得△ABC≌△ADC，由此可得∠BAC=∠DAC，再证△ABF≌△ADF即可得到∠AFB=∠AFD，结合∠AFB=∠CFE即可得到∠AFD=∠CFE；

（2）由AB∥CD可得∠DCA=∠BAC结合∠BAC=∠DAC可得∠DCA=∠DAC，由此可得AD=CD结合AB=AD，CB=CD可得AB=BC=CD=AD，即可得到四边形ABCD是菱形.

试题解析：

（1）在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中，
∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFB=∠AFD．
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠ACD=∠CAD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形．

20、 (1) ；（2）-4.

【解析】
（1）先通分，再进行同分母的减法运算，然后约分得到原式

（2）利用根与系数的关系得到 然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：（1）

．

（2）∵、是方程，

∴，

∴

【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程 的两根时，， 也考查了分式的加减法．

21、（1）见解析；（2）△ADF的面积是．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，CD，求出∠BDC=90°，根据OE∥AB和OA=OC求出BE=CE，推出DE=CE，根据SSS证△ECO≌△EDO，推出∠EDO=∠ACB=90°即可；
（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，求出OM=FN，求出BC、AC、AB的值，根据sin∠BAC＝，求出OM，根据cos∠BAC＝，求出AM，根据垂径定理求出AD，代入三角形的面积公式求出即可．

试题解析：

（1）证明：连接OD，CD，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠CDA=90°=∠BDC，

∵OE∥AB，CO=AO，

∴BE=CE，

∴DE=CE，

∵在△ECO和△EDO中

，

∴△ECO≌△EDO，

∴∠EDO=∠ACB=90°，

即OD⊥DE，OD过圆心O，

∴ED为⊙O的切线．

（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，

则OM∥FN，∠OMN=90°，

∵OE∥AB，

∴四边形OMFN是矩形，

∴FN=OM，

∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5，

∴AC=2OC=6，

∵OE∥AB，

∴△OEC∽△ABC，

∴，

∴，

∴AB=10，

在Rt△BCA中，由勾股定理得：BC==8，

sin∠BAC=，

即 ，

OM==FN，

∵cos∠BAC=，

∴AM=

由垂径定理得：AD=2AM=，

即△ADF的面积是AD×FN=××=．

答：△ADF的面积是．

【点睛】考查了切线的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，垂径定理，直角三角形的斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．

22、小亮说的对,理由见解析

【解析】
先根据完全平方公式和去括号法则计算，再合并同类项，最后代入计算即可求解.

【详解】

2（x+1）2﹣（4x﹣5）

=2x2+4x+2﹣4x+5，

=2x2+7，

当x=时，原式=+7=7；

当x=﹣时，原式=+7=7．

故小亮说的对．

【点睛】

本题考查完全平方公式和去括号，解题的关键是明确完全平方公式和去括号的计算方法.

23、（1）A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．（2）A种奖品最多购买41件．

【解析】

【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．

【详解】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，

根据题意得：，

解得：，

答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元；

（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，

根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，

解得：a≤，

∵a为整数，

∴a≤41，

答：A种奖品最多购买41件．

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据不等关系，正确列出不等式.

24、（1）,补全条形统计图见解析；（2）该校学生对“食品安全知识”非常了解的人数为135人。

【解析】

试题分析：

（1）由统计图中的信息可知，B组学生有32人，占总数的40%，由此可得被抽查学生总人数为：32÷40%=80（人），结合C组学生有28人可得：m%=28÷80×100%=35%，由此可得m=35；由80-32-28-8=12（人）可知A组由12人，由此即可补全条形统计图了；

（2）由（1）中计算可知，A组有12名学生，占总数的12÷80×100%=15%，结合全校总人数为900可得900×15%=135（人），即全校“非常了解”“食品安全知识”的有135人.

试题解析：

（1）由已知条件可得：被抽查学生总数为32÷40%=80（人），

∴m%=28÷80×100%=35%，

∴m=35，

A组人数为：80-32-28-8=12（人），

将图形统计图补充完整如下图所示：

（2）由题意可得：900×(12÷80×100%)=900×15%=135（人）.

答：全校学生对“食品安全知识”非常了解的人数为135人.