2022年四川省遂宁中学初中数学毕业考试模拟冲刺卷含解析

这是一份2022年四川省遂宁中学初中数学毕业考试模拟冲刺卷含解析，共22页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列各式计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．下列图形是轴对称图形的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点B、C的坐标分别为点B（﹣3，1）、C（0，﹣1），若将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C，则点B对应点B1的坐标是（　　）

A．（3，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（3，0）
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′，连接CC′.若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是( )

A．32° B．64° C．77° D．87°
4．在刚过去的2017年，我国整体经济实力跃上了一个新台阶，城镇新增就业1351万人，数据“1351万”用科学记数法表示为（ ）
A．13.51×106 B．1.351×107 C．1.351×106 D．0.1531×108
5．关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的众数是6 B．这组数据的中位数是1
C．这组数据的平均数是6 D．这组数据的方差是10
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）

A． B． C．5 D．
7．郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：
成绩（单位：米）
2.10
2.20
2.25
2.30
2.35
2.40
2.45
2.50
人数
2
3
2
4
5
2
1
1
则下列叙述正确的是（　　）
A．这些运动员成绩的众数是 5
B．这些运动员成绩的中位数是 2.30
C．这些运动员的平均成绩是 2.25
D．这些运动员成绩的方差是 0.0725
8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（　　）

A． B． C． D．
9．如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
10．下列各式计算正确的是( )
A． B． C． D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放,则图中阴影部分的面积为_________.

12．的相反数是_____．
13．如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形 ACD 和 BCE， 连结 DE， 则 DE 长的最小值是_____．

14．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为_____．

15．2017年端午小长假的第一天，永州市共接待旅客约275 000人次，请将275 000用科学记数法表示为___________________．
16．如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是_____．
17．三人中有两人性别相同的概率是_____________.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．求证：BC是⊙O的切线；若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．

19．（5分）正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．

（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是______；
（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．
20．（8分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

21．（10分）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为-10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）数轴上点B对应的数是______．经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？

22．（10分）如图，已知三角形ABC的边AB是0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E,
(1)求证：CB平分∠ACE；
(2)若BE=3，CE=4，求O的半径.

23．（12分）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G．
（1）求四边形OEBF的面积；
（2）求证：OG•BD=EF2；
（3）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，求AE的长．

24．（14分）已知抛物线y＝ax2﹣bx．若此抛物线与直线y＝x只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点（3，1）．
①求此抛物线的解析式；
②以y轴上的点P（1，n）为中心，作该抛物线关于点P对称的抛物线y'，若这两条抛物线有公共点，求n的取值范围；若a＞1，将此抛物线向上平移c个单位（c＞1），当x＝c时，y＝1；当1＜x＜c时，y＞1．试比较ac与1的大小，并说明理由．



参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解析】
试题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．
解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．
故轴对称图形有4个．
故选C．
考点：轴对称图形．
2、B
【解析】
作出点A、B绕点C按顺时针方向旋转90°后得到的对应点，再顺次连接可得△A1B1C，即可得到点B对应点B1的坐标．
【详解】
解：如图所示，△A1B1C即为旋转后的三角形，点B对应点B1的坐标为（2，2）．

故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点位置是解题关键． 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
3、C
【解析】
试题分析：由旋转的性质可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故选C．
考点：旋转的性质．
4、B
【解析】
根据科学记数法进行解答.
【详解】
1315万即13510000，用科学记数法表示为1.351×107.故选择B.
【点睛】
本题主要考查科学记数法，科学记数法表示数的标准形式是a×10n（1≤│a│＜10且n为整数）.
5、A
【解析】
根据方差、算术平均数、中位数、众数的概念进行分析.
【详解】
数据由小到大排列为1，2，6，6，10，
它的平均数为（1+2+6+6+10）=5，
数据的中位数为6，众数为6，
数据的方差= [（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=10.1．
故选A．
考点：方差；算术平均数；中位数；众数．
6、D
【解析】
解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB=S矩形ABCD，∴ AB•h=AB•AD，∴h=AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE= ==，即PA+PB的最小值为．故选D．

7、B
【解析】
根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】
由表格中数据可得：
A、这些运动员成绩的众数是2.35，错误；
B、这些运动员成绩的中位数是2.30，正确；
C、这些运动员的平均成绩是 2.30，错误；
D、这些运动员成绩的方差不是0.0725，错误；
故选B．
【点睛】
考查了方差、平均数、中位数和众数，熟练掌握定义和计算公式是本题的关键，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
8、B
【解析】
试题解析：如图所示：

设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，
作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD=；
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM是解决问题的关键.
9、A
【解析】
分析：根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN=x，则DN=NE=8﹣x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
详解：设CN=xcm，则DN=（8﹣x）cm，
由折叠的性质知EN=DN=（8﹣x）cm，
而EC=BC=4cm，
在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，
即（8﹣x）2=16+x2，
整理得16x=48，
所以x=1．
故选：A．
点睛：此题主要考查了折叠问题，明确折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题．
10、B
【解析】
A选项中，∵不是同类二次根式，不能合并，∴本选项错误；
B选项中，∵，∴本选项正确；
C选项中，∵，而不是等于，∴本选项错误；
D选项中，∵，∴本选项错误；
故选B.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、1a1．
【解析】
结合图形，发现：阴影部分的面积=大正方形的面积的+小正方形的面积-直角三角形的面积．
【详解】
阴影部分的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-直角三角形的面积
=（1a）1+a1-×1a×3a
=4a1+a1-3a1
=1a1．
故答案为：1a1．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，关键是列出求阴影部分面积的式子．
12、
【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】
的相反数是−.
故答案为−.
【点睛】
本题考查的知识点是相反数，解题的关键是熟练的掌握相反数.
13、2
【解析】
试题分析：由题意得，；C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，AD=CD；CE=BE；由勾股定理得，解得；而AC+BC=AB=4，，∵=16；，∴，，得出
考点：不等式的性质
点评：本题考查不等式的性质，会用勾股定理，完全平方公式，不等关系等知识，它们是解决本题的关键
14、2+4
【解析】
如图作CH∥BD，使得CH＝EF＝2，连接AH交BD由F，则△CEF的周长最小．
【详解】
如图作CH∥BD，使得CH＝EF＝2，连接AH交BD由F，则△CEF的周长最小．
∵CH＝EF，CH∥EF，
∴四边形EFHC是平行四边形，
∴EC＝FH，
∵FA＝FC，
∴EC+CF＝FH+AF＝AH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∵CH∥DB，
∴AC⊥CH，
∴∠ACH＝90°，
在Rt△ACH中，AH＝＝4，
∴△EFC的周长的最小值＝2+4，
故答案为：2+4．

【点睛】
本题考查轴对称﹣最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
15、1．75×2
【解析】
试题解析：175 000=1．75×2．
考点：科学计数法----表示较大的数
16、a＞1　
【解析】
根据二次函数的图像，由抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，知a＞1，
故答案为a＞1．
17、1
【解析】分析：
由题意和生活实际可知：“三个人中，至少有两个人的性别是相同的”即可得到所求概率为1.
详解：
∵三人的性别存在以下可能：（1）三人都是“男性”；（2）三人都是“女性”；（3）三人的性别是“2男1女”；（4）三人的性别是“2女1男”，
∴三人中至少有两个人的性别是相同的，
∴P（三人中有二人性别相同）=1.
点睛：列出本题中所有的等可能结果是解题的关键.

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）详见解析；（2）BD=9.6.
【解析】
试题分析：(1)连接OB，由垂径定理可得BE=DE，OE⊥BD， ，再由圆周角定理可得 ，从而得到∠ OBE＋∠ DBC＝90°，即 ，命题得证.
(2)由勾股定理求出OC，再由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长.
试题解析：(1)证明：如下图所示，连接OB.
∵ E是弦BD的中点，∴ BE＝DE，OE⊥ BD，，
∴∠ BOE＝∠ A，∠ OBE＋∠ BOE＝90°.
∵∠ DBC＝∠ A，∴∠ BOE＝∠ DBC，
∴∠ OBE＋∠ DBC＝90°，∴∠ OBC＝90°，即BC⊥OB，∴ BC是⊙ O的切线．

(2)解：∵ OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴ ,
∵ ，∴ ，
∴.
点睛：本题主要考查圆中的计算问题，解题的关键在于清楚角度的转换方式和弦长的计算方法.
19、（1）CH=AB．；（2）成立，证明见解析；（3）
【解析】
（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．
（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．
（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK＜AC+AK，据此判断出当C、A、K三点共线时，CK的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK≌△DEH，即可判断出DK=DH，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK≌△DCH，即可判断出AK=CH=AB；最后根据CK=AC+AK=AC+AB，求出线段CK长的最大值是多少即可．
【详解】
解：（1）如图1，连接BE，
，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵点E是DC的中点，DE=EC，
∴点F是AD的中点，
∴AF=FD，
∴EC=AF，
在△ABF和△CBE中，

∴△ABF≌△CBE，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB=BC，
∴CH=AB．
（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．
如图2，连接BE，
，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵AD=CD，DE=DF，
∴AF=CE，
在△ABF和△CBE中，

∴△ABF≌△CBE，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB=BC，
∴CH=AB．
（3）如图3，
，
∵CK≤AC+AK，
∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，
∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，
∴∠KDF=∠HDE，
∵∠DEH+∠DFH=360°-∠ADC-∠EHF=360°-90°-90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，
∴∠DFK=∠DEH，
在△DFK和△DEH中，

∴△DFK≌△DEH，
∴DK=DH，
在△DAK和△DCH中，

∴△DAK≌△DCH，
∴AK=CH
又∵CH=AB，
∴AK=CH=AB，
∵AB=3，
∴AK=3，AC=3，
∴CK=AC+AK=AC+AB=，
即线段CK长的最大值是．
考点：四边形综合题．
20、（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE
【解析】
(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.
【详解】
(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；
(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E， 即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)、AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中， 又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE
考点：三角形全等的证明
21、（1）1；（2）经过2秒或2秒，点M、点N分别到原点O的距离相等
【解析】
试题分析：（1）根据OB=3OA，结合点B的位置即可得出点B对应的数；
（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，找出点M、N对应的数，再分点M、点N在点O两侧和点M、点N重合两种情况考虑，根据M、N的关系列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
试题解析：（1）∵OB=3OA=1，
∴B对应的数是1．
（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，
此时点M对应的数为3x-2，点N对应的数为2x．
①点M、点N在点O两侧，则
2-3x=2x，
解得x=2；
②点M、点N重合，则，
3x-2=2x，
解得x=2．
所以经过2秒或2秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．
22、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．
（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果．
（1）证明：如图1，连接OB，

∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，

∵CE丄AB，
∴∠E=90°，
∴BC===5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴，
∴BC2=CD•CE，
∴CD==，
∴OC==，
∴⊙O的半径=．
考点：切线的性质．
23、（1）；（2）详见解析；（3）AE=．
【解析】
（1）由四边形ABCD是正方形，直角∠MPN，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可证得S四边形OEBF=S△BOC=S正方形ABCD；
（2）易证得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG•OB=OE2，再利用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论；
（3）首先设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得AE的长．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，

∴△BOE≌△COF（ASA），
∴S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD
（2）证明：∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB=OG：OE，
∴OG•OB=OE2，
∵
∴OG•BD=EF2；
（3）如图，过点O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴
设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF=BE•BF+CF•OH
∵
∴当时，S△BEF+S△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，

【点睛】
本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．
24、（1）①；②n≤1；（2）ac≤1，见解析.
【解析】
（1）①△＝1求解b＝1，将点（3，1）代入平移后解析式，即可；
②顶点为（1，）关于P（1，n）对称点的坐标是（﹣1，2n﹣），关于点P中心对称的新抛物线y'＝（x+1）2+2n﹣＝x2+x+2n，联立方程组即可求n的范围；
（2）将点（c，1）代入y＝ax2﹣bx+c得到ac﹣b+1＝1，b＝ac+1，当1＜x＜c时，y＞1. ≥c，b≥2ac，ac+1≥2ac，ac≥1；
【详解】
解：（1）①ax2﹣bx＝x，ax2﹣（b+1）x＝1，
△＝（b+1）2＝1，b＝﹣1，
平移后的抛物线y＝a（x﹣1）2﹣b（x﹣1）过点（3，1），
∴4a﹣2b＝1，
∴a＝﹣，b＝﹣1，
原抛物线：y＝﹣x2+x，
②其顶点为（1，）关于P（1，n）对称点的坐标是（﹣1，2n﹣），
∴关于点P中心对称的新抛物线y'＝（x+1）2+2n﹣＝x2+x+2n．
由得：x2+2n＝1有解，所以n≤1．
（2）由题知：a＞1，将此抛物线y＝ax2﹣bx向上平移c个单位（c＞1），
其解析式为：y＝ax2﹣bx+c过点（c，1），
∴ac2﹣bc+c＝1 （c＞1），
∴ac﹣b+1＝1，b＝ac+1，
且当x＝1时，y＝c，
对称轴：x＝，抛物线开口向上，画草图如右所示．
由题知，当1＜x＜c时，y＞1．
∴≥c，b≥2ac，
∴ac+1≥2ac，ac≤1；

【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数图象平移时改变位置，而a的值不变是解题的关键．