2021-2022学年北京十二中高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年北京十二中高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京十二中高二（下）期末数学试卷 题号一二三总分得分      一、单选题（本大题共12小题，共60分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 已知实数，则下列结论正确的是(    )A.  B.  C.  D. 下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为(    )
高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数；
一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离；
某同学射击次，命中的次数；
某电子元件的寿命；A.  B.  C.  D. 已知数列的首项为，且满足，则此数列的第项是(    )A.  B.  C.  D. 下列命题中，正确的是(    )A. 若等比数列的公比，则为递增数列
B. 若等比数列的公比，为递减数列
C. 常数列既是等差数列又是等比数列
D. 若是等差数列，则是等比数列．随机变量的分布列如表：其中，，成等差数列，则(    )A.  B.  C.  D. 已知的导数存在，的图象如图所示，则在区间上(    )A. 的最大值是，最小值是
B. 的最大值是，最小值是
C. 的最大值是，最小值是
D. 的最大值，最小值是
 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 已知等差数列的前项和为若，且，则的的最大值是(    )A.  B.  C.  D. 已知数列的通项为，则“”是“，”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件甲乙丙三人参加年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记为三人选中的赛区个数，为三人没有选中的赛区个数，则(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，设函数，则下列命题中的真命题是(    )
是奇函数；
当时，；
是周期函数；
存在无数个零点．A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共30分）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为______．已知点为抛物线的焦点，则点坐标为______；若双曲线的一个焦点与点重合，则该双曲线的离心率为______．某厂有甲、乙两条生产线，甲生产线产出“高品质产品”的概率为，乙生产线产出“高品质产品”的概率为，已知两条生产线产量相同，现从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为______．已知，为正实数，直线将圆平分，则的最小值是______．已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是______．刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有多年的历史．小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分．它的设计方法是：先画一个边长为的正三角形，取正三角形各边的三等分点，，，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，，，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则______；图中螺旋形图案的面积为______．
  三、解答题（本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，，，分别是，的中点．
求证：平面；
若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
本小题分
为减少环境污染、保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了名学生，对他们的成绩百分制进行了整理和分析后得到如下信息：
高一年级成绩分布表等级成绩人数从高一样本中抽取一人，求该人成绩不低于分的概率；
从高二全体学生中抽取人，这人中成绩不低于分的人数记为，用频率估计概率，求的分布列和数学期望；
学校为提高对垃圾分类知识的了解水平，计划在高一或高二开展一场讲座，已知两个年级学生人数相同，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个等级，那么为使两个年级的整体平均分尽可提高，应该在高一讲座还是在高二讲座？直接写出结论
本小题分
已知椭圆过点，离心率为．
求椭圆的方程；
已知直线在轴上方交椭圆于，异于点两个不同的点，直线，分别与轴交于点、，为坐标原点，求的值．本小题分
若函数．
求曲线在点处的切线的方程；
判断方程解的个数，并说明理由；
当，设，求的单调区间．本小题分
已知集合，，，，，对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义约定．
若，求；
若满足，，，，且，求的所有可能结果；
是否存在正整数使得对任意都有？若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，，
．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，当，时，满足，但，A错误，
，当，时，满足，但，B错误，
，当，时，满足，但，C错误，
，在上为增函数，，，D正确，
故选：．
利用举实例法判断，利用指数函数的单调性判断．
本题考查指数函数的单调性，举实例法的应用，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：对于，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故是离散型随机变量；
对于，沿直线进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故不是离散型随机变量；
对于，某同学射击次，命中的次数可以一一列举出来，故是离散型随机变量；
对于，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故不是离散型随机变量．
故选：．
根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答．
本题考查离散型随机变量的概念，是基础题．
 4.【答案】 【解析】解：数列的首项为，且满足，
，
，
故选：．
直接根据递推关系式把，代入即可求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力．
 5.【答案】 【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，当首项时，等比数列的公比，则为递减数列，A错误；
对于，当首项时，等比数列的公比，为递增数列，B错误；
对于，非零的常数列既是等差数列又是等比数列，C错误；
对于，若是等差数列，设其公差为，则有，是常数，则数列是等比数列，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查等比数列的性质和应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查随机变量的分布列、等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力能力，属于基础题．
利用随机变量的分布列、等差数列的性质直接求解．【解答】解：由题意得：，解得，
．
故选：．  7.【答案】 【解析】解：由导数的几何意义，即曲线在该点处的切线的斜率可知，
，，，
且在区间上，逐渐减小，
则在区间上，的最大值是，最小值是．
故选：．
由导数的几何意义，数形结合得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数形结合思想，是基础题．
 8.【答案】 【解析】解：由，得，
函数在上单调递增，
在上恒成立，即在上恒成立，
在上单调递增，，
可得．
实数的取值范围是．
故选：．
求出原函数的导函数，把问题转化为在上恒成立，由单调性求得的最小值，即可得到实数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
 9.【答案】 【解析】解：根据题意可知等差数列的公差小于零，
由得，得，
所以，所以的的最大值是．
故选：．
根据题意可知等差数列的公差小于零，由得，得，以此可解决此题．
本题考查等差数列性质应用，考查数学运算能力及推理能力，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
“，”恒成立
，
，恒成立，
当时，最小
，
故”是“，”的充分不必要条件．
故选：
由“”可得，推出“”由“”不能推出“”，由此得出结论．
本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，数列的单调性的判断方法，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：由题意得的可能取值为，，，
则，，，
所以，
，
的可能取值为，，，
则，
，
，
，．
故选：．
的可能取值为，，，分别求出相应的概率，从而求出，进而求出；的可能取值为，，，分别求出相应的概率，从而求出，进而求出，由此能求出结果．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：对，，所以是奇函数，故正确；
对，令，，则，又，所以在单调递减，
因为，，所以存在，使，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，
所以，所以，故正确；
对，假设的周期为，则对一切成立，
取时，得，，，
再取时，，得，，．
显然无解，故不是周期函数，故错误；
对，令，解得，，
取，则，解得或，，所以有无数个零点，故正确．
故选：．
对，根据奇偶性的定义化简计算即可判断；对，令，，利用导数求出的范围即可判断；
对，假设周期为，化简判断可得；对，求解方程即可判断．
本题考查与三角函数有关的复合函数，属于中档题，利用导数研究是关键点．
 13.【答案】 【解析】解：，是假命题，
，是真命题，
，或，
实数的取值范围为，
故答案为：．
根据命题与它的否定一真一假，写出该命题的否定，再利用判别式，求出的取值范围．
本题考查了命题与它的否定的应用问题，一元二次不等式的性质，是基础题．
 14.【答案】  【解析】解：点为抛物线的焦点，，即，
由焦点坐标，即有，
双曲线的一个焦点与点重合，
可得，可得，
所以双曲线的离心率．
故答案为：；．
由开口向右的抛物线的焦点坐标可得所求焦点；由题意可得，可求双曲线的离心率．
本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：由题意，因为两条生产线产量相同，故从该厂产品中任取一件，抽取到甲、乙两条生产线的概率均为，
故从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为，
故答案为：．
根据全概率公式求解即可．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：由题意，圆心，在直线上，则，
则，
当且仅当时，即，时等号成立，
故答案为：．
由题意，圆心在直线上，代入直线方程，再利用均值不等式求解即可，
本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
 17.【答案】 【解析】解：因为函数有四个零点，
所以方程有个不同的解，
所以函数的图象与直线有个不同的交点，
当时，，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，有最大值，
当时，，当时，
当时，，当时，有最小值，
所以的图象如图所示：

由图可知，当时，函数的图象与直线有个不同的交点，
所以实数的取值范围是，
故答案为：．
由于函数有四个零点，所以有个不同的根，所以函数的图象与直线有个不同的交点，所以画出函数图象，利用图象求解即可．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．
 18.【答案】  【解析】解：设正三角形的边长为，后续各正三角形的边长依次为，，，，
设第一个阴影三角形面积为，后续阴影三角形面积为，，，，
由题意知，，
，是以为首项，为公比的等比数列，
，，
，
，
，是以为首项，以为公比的等比数列，
图中阴影部分面积为：
．
故答案为：；．
根据余弦定理得到等边三角形边长为等比数列，即可得的长度，再根据三角形的面积公式，求出各个阴影三角形面积成等比数列，能求出结果．
本题考查螺旋形图案的面积的求法，考查等比数列的性质、简单的归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 19.【答案】证明：如图所示，以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

由题得，，，
，，，，
设平面的法向量为，
所以，，
所以，
因为平面，所以平面．
解：由题得，，，
设直线与平面，所成角为，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】根据长方体的几何特征，以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明；
利用向量法求直线与平面所成角的正弦值．
本题考查了线面平行的证明以及直线与平面所成的角的计算，属于基础题．
 20.【答案】解：从高一样本中抽取一人，这个人的成绩不低于分的概率，
从高二样本中抽取一人，这个人的成绩不低于分的概率为，
因此，从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于分的概率为．
由题意可知，随机变量的可能取值有，，，，
则，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示： ．
由于高一年级低分段的人数相比高二年级要少得多，需要在高二讲座． 【解析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；
分析可知，随机变量的可能取值有，，，，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；
根据高一年级低分段的人数相比高二年级要少得多，可得出结论．
本题考查频率分布直方图和离散型随机变量的概率分布列及期望，是中档题．
 21.【答案】解：由题意知：，则，，
则椭圆的方程为；
联立直线与椭圆，
整理得，
，
即，又直线在轴上方交椭圆于，异于点两点，则；
设，，则，，，，，
易得直线，斜率必然存在，则，
令，得，则，
同理可得，且，
则． 【解析】直接由点坐标及离心率求得椭圆方程即可；
联立直线与椭圆求得，再表示出直线，的方程，求得、坐标，再计算即可．
本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 22.【答案】解：，
，又，
曲线在点处的切线的方程为；
，
令，解得：，故在上递增，在上递减，
且，的最大值为，则与的图象仅有一个交点，
故仅有一个实数解；
当时，，
，
令，解得：或，
当时，，
此时令，解得：或者，
故的单调增区间为，，单调减区间为，
当时，令时，解得，
故的单调增区间为，递减区间为．
综上所述：当时，的单调增区间为，，单调减区间为；
当时，单调增区间为，递减区间为． 【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的斜截式得答案；
对函数求导后直接判断出函数单调性，从而得出函数在处取得极值，即可判断函数的解得个数；
对函数求导，根据未知数的不同范围判断函数单调增减区间．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力，是中档题．
 23.【答案】解：由题意，，，，
由且，，，，

当或时，，
同理，或时，，
或时，，
或时，，
所以等价于，则，，
当，，则为满足；
当，，则为满足，
当，，则为满足，
当，，则为满足，
综上，的所有可能结果、、、．
存在正整数使且，理由如下：
由，则，
所以，
若，，
所以，
若，则，，，
所以，对都有，
当时，恒成立，
综上，所有取值为使成立． 【解析】根据定义写出，即可得结果．
由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果；
由定义得，依次写出直到即可判断存在性，并确定的所有取值．
本题考查集合的新定义，考查学生的分析运算能力，属于中档题．