突破4.3对数（课时训练）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破4.3 对数A组 基础巩固1．（2021·广东高一单元测试）已知，则的值为（ ）A．3 B．6 C．9 D．【答案】A【分析】直接由对数与指数的互化公式求解即可【详解】解：由，得，故选：A2．（2021·全国高一单元测试）（ ）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据对数的运算性质可得选项.【详解】因为，所以，故选：D.3．（2021·全国高一专题练习）已知，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】指数式化为对数式求，再利用换底公式及对数运算性质变形.【详解】，，．故选：B．4．（2021·全国高一专题练习）若，则有（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数式与对数式的互化即可求解.【详解】若，则.故选：D5．（2021·全国高一专题练习）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的（ ）A．倍 B．倍 C．10倍 D．倍【答案】C【分析】由题设中的定义，将音量值代入，计算出声音强度与声音强度的值，再计算出倍数．【详解】由得，所以，，所以，所以70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的10倍.故选：C6．（2021·全国高一课时练习）若lg2＝a，lg3＝b，则等于（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题先化简整理得到，再将lg2＝a，lg3＝b代入即可得到答案.【详解】解：有题意：∵lg2＝a，lg3＝b，∴.故选：D.【点睛】本题考查对数的运算，是基础题.7．（2022·上海高三专题练习）若，，则等于（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数的换底公式可将用、表示.【详解】根据对数的换底公式得，，故选：C．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中是题目的一个难点和易错点.8．（2020·全国）如果方程的两个根为，那么的值为A． B． C． D．-6【答案】C【分析】分解因式得或即可求解【详解】则故即或或，则的值为故选：C【点睛】本题考查对数方程的求解，考查计算能力，是基础题9．（2019·全国高一课时练习）等于(　　)A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数的运算公式和运算性质，即可求解，得到答案.【详解】由对数的运算性质，可得，故选A.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．（2020·全国高一课时练习）若函数定义域为 ，则的取值范围是A． B．且 C． D．【答案】B【分析】由题意可得x2﹣ax+1＞0恒成立，故有 ，由此解得a的范围．【详解】由题意可得：要使f（x）的定义域为R，则对任意的实数x都有x2﹣ax+1＞0恒成立，故有解得0＜a＜1，或1＜a＜2，即a的范围为（0，1）∪（1，2）．故选：B.【点睛】本题考查了对数函数的定义域和性质的综合应用，也考查了二次函数的性质，属于中档题．11．（2020·全国）若且，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】设，则，，故选B．12．（2022·全国高三专题练习）设x、y、z为正数，且，则A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z【答案】D【详解】令，则，，∴，则，，则，故选D.点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.13．（多选题）若，，则下列说法不正确的是（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】根据对数的真数必须为正数对四个选项逐个分析可得答案.【详解】A选项，若,则，说法正确；B选项，时不满足条件，说法错误；C选项，若，则，不一定，说法错误；D选项，时不满足要求，说法错误；故选 ：BCD【点睛】关键点点睛：掌握对数的真数必须为正数是本题解题关键.14．（多选题）下列各式正确的有（ ）A．lg(lg 10)=0 B．lg(ln e)=0C．若10=lg x，则x=10 D．若，则x=±5.【答案】AB【分析】根据，可得A正确；根据，可得B正确；由对数式化指数式可知CD错误；【详解】对于A，因为lg(lg 10)=lg 1=0，所以A正确；对于B，因为lg(ln e)=lg 1=0，所以B正确；对于C，因为10=lg x，所以x=1010，所以C错误；对于D，因为，所以.所以D错误.故选：AB.【点睛】本题考查了底数的常用对数和自然对数，考查了1的常用对数和自然对数，考查了对数式化指数式，属于基础题.15．（多选题）若，且，则下列等式中不正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】AB【分析】根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假．【详解】对于A，时， ，但是无意义，该等式不正确；对于B，时， ，但是无意义，该等式不正确；对于C，，按照对数的运算法则，该等式正确；对于D，由换底公式得，，该等式正确．故选AB．【点睛】本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用．16．（2021·全国高一课前预习）在中，实数的取值范围为______.【答案】【分析】根据对数的概念与性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，要使式子有意义，则满足，解得或，即实数的取值范围为.故答案为：.17．（2021·全国高一课前预习）计算：__________．【答案】10【分析】根据对数的运算性质及对数恒等式计算可得；【详解】解：故答案为：18．（2021·上海）已知，则___________．【答案】【分析】由，通过对数运算得出，即可求得结果.【详解】∵，∴，解得，∴．故答案为：4.19．（2020·九龙坡·重庆市育才中学高三开学考试）=______．【答案】【详解】试题分析：．考点：对数的运算．20．（2020·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）________.【答案】4【分析】结合对数的基本运算化简求值即可.【详解】解：.故答案为：4.【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质，熟记公式，熟练运用对数的化简、对数恒等式是最基本的要求，属于基础题型.21．（2019·全国高一课时练习）求值：__________.【答案】16【分析】根据对数的换底公式以及运算法则，将各式化成以10为底的对数式，即可求出．【详解】原式．故答案为16．【点睛】本题主要考查对数的运算法则和换底公式的应用．22．（2020·全国高一单元测试）函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.23．（2021·全国高一课时练习）计算（1）；（2）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据指数幂的运算性质与对数运算性质求解即可；（2）根据对数运算法则求解即可.【详解】解：（1）；（2）.24．（2021·全国高一课时练习）计算：（1）；（2）.【答案】（1）2；（2）－.【分析】利用对数的运算法则结合对数的性质求解.【详解】（1）原式＝＝＝2.（2）原式＝＝＝＝.【点睛】本题主要考查对数的运算与性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.B组 能力提升25．（2020·河北正定中学高三月考）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了()（ ）A．10% B．30% C．60% D．90%【答案】B【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；【详解】解：当时，，当时，，∴，∴ 约增加了30%.故选：B26．（2022·全国高三专题练习）设，，则A． B．C． D．【答案】B【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．详解：.,即又即故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．27．（2020·全国高三专题练习）（多选题）设都是正数，且，那么（ ）A． B． C． D． E.【答案】AD【分析】将指数式化为对数式,并结合五个选项逐个分析,可选出答案.【详解】由题意,设,则,,,对于选项A,由,可得,因为,故A正确,B错误;对于选项C,,,故,即C错误;对于选项D,,,故,即D正确;对于选项E,,,故,即E错误.故选:AD.【点睛】本题考查了对数的运算性质,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.28．（2020·全国高一课时练习）设实数x满足，且，则______.【答案】【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为，解方程求得或，进而结合的范围求得结果.【详解】 即，解得：或 或 故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.29．（2020·上海高一课时练习）计算下列各题：（1）；（2）．【答案】（1）0；（2）【分析】（1）根据幂的运算法则和对数的运算法则计算；（2）根据对数运算法则和幂的运算法则计算．【详解】（1）原式＝＝；（2）原式＝．【点睛】本题考查幂的运算法则和对数运算法则，考查学生的运算求解能力，转化与化归能力．30．（2020·全国高一单元测试）计算：（1）（2）.【答案】（1）110（2）－7【分析】（1）利用指数函数的性质、根式和分数指数幂的转化等运算法则求解；（2）利用对数函数的性质、运算法则直接求解.【详解】解：（1）原式.（2）原式==7.【点睛】本题考查指数式和对数式化简求值，涉及指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力．31．（2020·浙江高一课时练习）设、、为正数，且满足.（1）求证：；（2）若，，求、、的值.【答案】（1）证明见解析；（2），，．【分析】（1）利用对数的运算性质以及平方差公式可证明左边等于右边；（2）将题干中的对数式化为指数式，结合条件可得出关于、、的方程组，即可解出这三个正数的值.【详解】（1）左边右边；（2）由，即，得，①由，得 ，②由题设知 ，③由①②③及、、为正数，可得，，．【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数式的互化，同时也考查了方程思想的应用，考查计算能力，属于中等题.32．（2019·全国高一课时练习）（1）已知均为正数， ，求证：；（2）若正数满足.试猜想之间的一个等量关系（不必证明）.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1），取常用对数即可运算求值（2）根据（1）的特点可猜想；当时，有，故时，也有此结论,故当时，猜测.【详解】（1）由，得∴，∴∴，即.（2）猜想：.【点睛】本题主要考查了对数的运算，归纳猜想的能力，属于中档题.