第五章 导数恒成立问题（专题训练卷）-【单元测试】2022-2023学年高二数学尖子生选拔卷（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章 导数恒成立问题专题训练卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•沙坪坝区月考）“当，1]时，不等式恒成立”的一个必要不充分条件为　　A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】当时，不等式即为恒成立；当时，不等式可化为，令，则在，上恒成立，在，上单调递增，则（1）；当时，不等式可化为，易知，当时，，单调递减，；综上，实数的取值范围为，，，是“当，时，不等式恒成立”的一个必要不充分条件．故选B．2．（2021秋•沙坪坝区月考）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为　　A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】原不等式等价于，设，，则，又，当且仅当时等号成立，故，，问题可转化为函数在上单调递减，即在上恒成立，，即实数的取值范围为，．故选B．3．（2021•三明模拟）已知函数是定义在上的单调递增函数，，当时，恒成立，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】是定义在上的单调递增函数，可得时，递增，即有，且，可得，又，即，可得，可排除选项，又，由当时，恒成立，可得（e）（e），即，可得，即有．进而排除，．故选C．4．（2021•吉林模拟）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为　　A． B． C． D．【答案】C【解析】因实数，在区间内，所以 和在区间内．不等式恒成立，即恒成立，上式表示点，与点，连线斜率的相反数小于1，即函数在内任意两点的斜率满足，即．因为函数的导数为，即有在恒成立．即在内恒成立．由于函数，当且仅当时取“”，所以 在上的最大值为，所以的取值范围是，，即的最小值为．故选C．5．（2020•哈尔滨模拟）设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为　　A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，即，当时，，恒成立，当时，构造函数，恒成立，当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即，恒成立，，设，，在，上递增，在，递减，（e），故选A．6．（2020•福田区模拟）已知函数在上的图象是连续不断的，其导函数为，且，若对于，不等式恒成立，则实数的最小值为　　A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，令，则，故函数在上单调递增，，，又，不等式恒成立，所以在恒成立．从而，即在恒成立．令，，令，则，所以在单调递增，在单调递减．所以，故．则实数的最小值为，故选B．7．（2019春•台州期末）若关于的不等式对任意的恒成立，则，可以是　　A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】对任意的恒成立，若，可得，当时，不成立；若，可得，当时，不成立；若，可得，当时，不成立；若，可得，设，，可得，在递增，可得，即递增，可得，递增，即，则，成立．故选D．8．（2018•齐齐哈尔三模）若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是　　A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】当时，，恒成立；当，，令，，则时，，递减；时，，递增，则的最小值为（1），即有，可得的最大值为3．故选B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021秋•葫芦岛月考）定义在[0，上的函数的导函数为，且恒成立，则必有　　A．（3）（1） B．（2）（5） C．（1）（5） D．（3）（7）【答案】ACD【解析】设函数，，则，因为恒成立，所以，所以在，上单调递减，所以（1）（2）（3）（5）（7），即，则必有（3）（1），（2）（5），（1）（5），（3）（7），又在，上单调递减，则，从而，，所以，又（3）（7），所以（3）（7）．故选ACD．10．（2021•山东模拟）已知为函数的导函数，，且，若，求使得恒成立的值可能为　　A． B． C．0 D．【答案】BCD【解析】，可设，又，故，从而，，则的定义域是，则可化为，即，设，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减，故当时，取得最大值，要使恒成立，则即可，故选BCD．11．（2021•湛江模拟）定义在上的函数的导函数为，且对恒成立．下列结论正确的是　　A．（2）（1） B．若（1），，则 C．（3）（1） D．若（1），，则【答案】CD【解析】设函数，则因为，所以；则在上单调递减，从而（1）（2）（3），整理得：（2）（1），（3）（1）；所以错误，正确；当时，若（1），因为，在上单调递减，所以当时，（1），即，即，所以正确，则错误；故选CD．12．（2020秋•赫山区月考）已知不等式对任意恒成立，则　　A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 1 D．的最大值为 2【答案】AC【解析】不等式对任意恒成立，即为在恒成立，由，可得，，当且仅当时，上式取得等号，则，解得，可得的最小值为，的最大值为1，故选AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021秋•西湖区期中）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 　　．【答案】【解析】因为对任意的，不等式恒成立，所以对任意的，不等式恒成立，令，，则在上单调递增．①当时，（a），即恒成立，则恒成立，所以，解得；②当时，不等式恒成立，符合题意；③当时，（a），即可恒成立，所以恒成立，因为在上单调递减，所以当时，（a），解得．综上所述，实数的取值范围为．故答案为：．14．（2021秋•苏州月考）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为 　　．【答案】，【解析】令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值，，即，对恒成立，为上的增函数，恒成立，，即实数的取值范围为，，故答案为：，15．（2021•辽宁开学）已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是 　　．【答案】，【解析】由，得，得恒成立，设，则，对于，，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，所以，当且仅当，即，时，取“”号，故，的取值范围是，，故答案为：，．16．（2021春•鲤城区期末）已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为 　　．【答案】【解析】原式可变为对任意恒成立，设，则原式转化为，则，当，，所以单调递减，当时，，所以单调递增，因为求得最小值，考虑的情况，此时，所以，只需要，两边取对数，得，由，所以，，设，，由，令，，所以，当时，，单调递减，当，，单调递增所以，当时，取最小值，，由，则大于等于的最大值，所以的最大值为，所以；所以的最小值为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021秋•湛江月考）已知函数（其中，为实数）的图象在点，处的切线方程为．（1）求实数，的值；（2）求函数的最小值；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）函数，则，因为的图象在点，处的切线方程为，则，解得，；（2）由（1）可知，，则函数，所以，令，则，①当时，由，，则，所以在上单调递减，则，故无最小值；②当时，由，，则，所以在，上单调递增，故，则在，上单调递增，所以．综上所述，的最小值为1；（3）对分情况讨论如下：①当时，对任意的，不等式恒成立；②当时，不等式等价于，即，令，则，当时，由（2）可知，，所以单调递增，则，满足题意；当时，由（2）可知，在上单调递增，因为，故，从而，又，所以存在唯一的实数，使得，当时，，则单调递减，所以当时，，不符合题意；③当时，不等式等价于，同上，令，则，当时，由（2）可知，，所以单调递增，故，满足题意．综上所述，的取值范围为．18．（2021秋•秦都区期中）已知函数是定义在区间，上的奇函数，且（1），若对于任意的，，有．（1）判断并证明函数的单调性；（2）解不等式；（3）若对于任意的，，，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）函数在区间，上是增函数．证明：由题意可知，对于任意的，，有，可设，，则，即，当时，都有，所以函数在区间，上是增函数；（2）由（1）知函数在区间，上是增函数，又由，得，解得，所以原不等式的解集为，；（2）函数在区间，上是增函数，且（1），要使得对于任意的，，，都有恒成立，只需对任意的，时（1），即恒成立，令，此时可以看做的一次函数，且在，时恒成立，因此只需要，解得，所以实数的取值范围为．19．（2021秋•龙湾区期中）已知函数对任意，，总有，且当时，都有成立，．（1）求证：函数是奇函数；（2）利用函数的单调性定义证明在上单调递减；（3）若不等式对任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）证明：令，得，所以，令，得，即，所以，所以函数是上的奇函数．（2）在上的单调递减．理由：任取，，且，则，因为当时，，而，即，所以，所以，所以在上的单调递减．（3）由（1）知是上的奇函数，所以，所以，所以，所以不等式可化为（2），即（2），所以，由（2）知，在上的单调递减，所以，故问题转化为对于任意的，恒成立，即对于任意的，恒成立，令则，所以对任意的恒成立，令，其对称轴为，所以，所以，即的取值范围是．20．（2021秋•焦作期中）已知定义域为的函数是奇函数．（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）判断的单调性，并用单调性的定义证明；（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）因为函数是定义域为的奇函数，则，所以，又（1），所以，当，时，，此时，所以为奇函数，故，；（Ⅱ）函数在上单调递增，证明如下：因为，设，则，因为，所以，，故，所以在上单调递增；（Ⅲ）因为为奇函数，所以不等式可变形为，又在上单调递增，所以，即对任意，有恒成立，令，则，所以，，故（3），所以，故实数的取值范围为．21．（2021秋•成都月考）已知函数，，其中．（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）由题意知，，（1），即切点为，，（1），故切线方程为，即；（2）由题意知，不等式对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，设，，，，，，①当，即时，，为增函数，（1），即，此时满足；②当，即时，，为减函数，，即，此时满足；③当，即时，当，时，，当，时，，只需，即．设（a），其中，（a）在上为单调递减函数，（a）．（a），故，．综上所述，．22．（2021秋•浙江期中）已知函数．（1）若函数在处的切线斜率为1，求的值；（2）若有两个极值点为，，且，①求实数的取值范围；②若不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），依题意，，解得；（2）①，有两个极值点，，有两正根，，且，解得，实数的取值范围为；②由，可得，同理，而不等式可化为，又，则，，，又，，且，则，只需，，，，令，则，设，则，设，则，在上单调递增，则（1），在上恒成立，则在上单调递减，则（1），又，，则，实数的取值范围为，．