高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算优秀单元测试复习练习题

第五章 导数极值点偏移专题

专题训练卷

1．（2021秋•南明区月考）已知函数，（其中为自然对数的底数，为常数）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当函数有极大值，且极大值为时，若方程为常数）有两个不等实根，，则．

【答案】（1）由题意可得，

①当时，在上恒成立，

所以函数在上单调递减；

②当时，令得，

令得，

所以函数在上单调递增，在．上单调递减，

综上所述：当时，函数在上单调递减；

当时，函数在上单调递增，在．上单调递减．

（2）证明：由（1）可知，当时，函数有极大值，

且，

解得，

此时，，

所以，

令得，

得，

图象如图所示，

因为方程为常数）有两个不等实根，，

所以，，

设，则，

令，

对成立，

所以在单调递减，

因为（1），

所以，

即，

即，

因为，

所以，

即：．

2．已知函数的极大值为．为自然对数的底数）

求的值；

（Ⅱ）若且，求证：．

【答案】（1），

令，解得； 令，解得 或，

所以函数 在 上单调递减，在 上单调递减，

于是，

解得 或 （舍，

即的值为 2．

（2）证明：由（1）知，，

因为 且，

所以 且，

要证，即证，

令，

则，

于是函数 在区间上单调递增，

所以（1），

即，

那么，

证毕．

3．（2021秋•南平月考）已知函数．

（1）求的单调区间与极值．

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．

【答案】（1），

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，取得极大值，

综上，的单调递增区间为，递减区间为，极大值为，无极小值；

（2）证明：由（1）知，时，，时，，

，，

由得，

又，同理，，

与是的两个正根，其中，，，

要证明，

只需证明：，即证，

又在单调递增，

只需证，

令，

则，

（2）（2）（2），

，即结论成立．

4．（2021秋•相城区月考）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围；

（3）满足（2）的条件下，记两个零点分别为，，证明：

【答案】（1）函数的定义域为，

若时，恒成立，所以在上单调递减；

若时，令得，

当时；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增．

（2）若时，由（1）知至多有一个零点，

若时，由（1）知当时，取得最小值，最小值为

①当时，由于，故只有一个零点，

②当时，，即，故没有零点，

③当时，，即，

又，由（1）知在上有一个零点．

又，由（1）知在有一个零点．

所以在上有两个零点．

综上，的取值范围为．

（3）证明：由（2）知，当时，在上有两个零点，，不妨设，

则由（2）知，，且，

令，

有，

由于（且仅当等号成立），

所以当时，，当时，，

所以在单调递减，又，

所以，即，

又，所以，

又由于，且在上单调递增，

所以，

所以．

5．（2021秋•沧州月考）已知函数，．

（1）若，求的单调区间；

（2）若有两个不同的零点，，证明：．

【答案】（1）当时，，，则’ ．

因为时，’ ，单调递减，

时，’ ，单调递增，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）证明：，是的两个不同的零点，

等价于，是方程 的两个不同的根，

也是方程 的两个不同的根，

由，可知，．

要证，只需证，只需证，即证．

令，则，

所以时，’ ，单调递增；

时，’ ，单调递减．

不妨设，则，，

令，

则，所以时，，单调递增，

又（1），所以时，，即．

因为时，单调递减，

所以，即．

故原结论正确，即．

6．（2021秋•河北月考）已知，．

（1）若，求的取值范围；

（2）若，且，证明：．

【答案】（1）解：函数，，

令，则，

所以函数，

则，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

所以当时，取得最小值（a），

因为恒成立，即恒成立，

所以，解得，

故实数的取值范围为；

（2）证明：由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，

不失一般性，设，则，

要证明，即证明，即证明，

则只需证明即可，

因为，即，

则只需证明即可，

令，，

则，

所以在，上单调递减，

则（a），

由题意可知，

所以，

即，

所以，

故．

7．（2021春•浙江期中）已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数有两个零点，．

（ⅰ）求的范围；

（ⅱ）若，求证：．

【答案】（Ⅰ）解：函数，定义域为，

则，

①当时，在定义域内恒成立，则单调递增；

②当时，当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增；

③当时，当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增．

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在，上单调递增．

（Ⅱ）（ⅰ）解：由（Ⅰ）可知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

又由幂函数和对数函数的增减性特征可知，

当时，，当时，，

所以此时要使有两个零点，必须且只需，解得；

当时，在上单调递减，在，上单调递增，

同样由幂函数和对数函数的增减性特征可知，

当时，，当时，，

所以此时要使得有两个零点，必须且只需，解得．

综上所述，实数的取值范围为；

（ⅱ）证明：由知，当时，的两个零点一个在内，另一个在，内，

不妨设，，设函数，，

由于，所以，当时，可知，故成立，

当时，设，，

，

所以为单调递增函数，又因，所以恒成立，

即，

又因，

所以，

又因在，上单调递增，

所以，所以成立，

综上，成立．

8．（2021•昆山市开学）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，且，证明：．

【答案】（1）解：因为函数，，

则，，

令，解得，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在，上单调递减；

（2）证明：因为，且，

由（1）可知，不妨设，

要证，只需证明，

而，在，上单调递减，

故只需证明，

又，

所以只需证明，

令，

则，

当时，，，故，

所以在上单调递增，

故在上，，

所以成立，

故．

9．（2021•辽宁开学）已知，．

（1）若函数，，求的单调区间；

（2）若过点能作函数的两条切线，求实数的取值范围；

（3）设，且，求证：．

【答案】（1）由，所以，

①当时，令，解得或，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增；

②当时，令，解得或，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增．

③当时，，所以在区间内单调递增．

综上可知，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，

当时，在区间内单调递增，没有单调递减区间；

当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增；

（2）设切点坐标为，，因为，所以，

所以切线方程为，且过点，所以，

因为过点能做两条切线，

所以直线和函数的图像有两个交点，

因为，令，解得，

所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，

所以，

因此，

所以实数的取值范围；

（3）证明：由，则，所以，

所以在区间内单调递增，在区间内单调递减．

不妨设，则，

欲证明，则，因为，，在区间内单调递减，

所以只需证明，即，即，

即，设，

则，因为，所以恒成立，

所以在区间内单调递增，所以，所以，

所以原不等式成立，

故．

因为，，在区间内单调递减．

所以只需证明，即，即，

因为，即证，显然成立，所以原不等式成立，

所以．

10．（2021秋•恩施州月考）已知函数．

（1）判断的单调性；

（2）设方程的两个根为，，求证：．

【答案】（1）解：，，那么，，

，，，，函数是增函数，

所以在单调递减，在单调递增．

（2）证明：令，，

则，在单调递减，单调递增，又（e），不妨设

先证明．只要证明，即只要证明．

因为，

令，，则

在单调递减，所以（e）．

从而必有

下面证明．

因为，，所以，

又，所以，

令，，，

令，，在上单调递增，在，上单调递减，

故．

综上，．

11．（2021•东湖区开学）已知函数．

（1）判断的单调性；

（2）若，求证：．

【答案】（1）函数的定义域为，

因为，令，

所以，

所以当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增，

则当时，取得极小值，也是它的最小值，

所以（1），所以，

则在上单调递增．

（2）证明：因为（1），所以不妨设，所以要证，

只需证．

因为，，所以只需证，

只需证，只需证．

设，，

则，

令，

则，

所以当时，在上单调递减，则（1），

所以在上单调递增，则（1），

即，

所以．

12．（2021秋•江苏月考）已知函数有两个零点．

（1）证明：．

（2）若的两个零点为，，且，证明：．

【答案】证明：（1）由，，

所以，

当时，，则在上单调递增，不符合题意；

当时，令，解得，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

所以当时，取得极小值（a），

又因为函数有两个零点，

所以（a），可得．

综上所述，．

（2）由（1）可知，的极小值点，则，

设，，

可得，，

所以在上单调递增，

则（a），

即，

则，，

所以当时，且，

因为当时，单调递增，

所以，即，

设，，则，

即，即，

所以，

故，

又因为，

则，

故在上单调递减，

所以，

故，即．

综上所述，．