初中数学人教版九年级上册第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教学ppt课件

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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教学ppt课件，共56页。PPT课件主要包含了回顾旧知，导入新知，素养目标，探究新知，方法一描点法，方法二平移法，巩固练习，yax2+bx+c，二次函数的顶点式，二次函数的一般表达式等内容，欢迎下载使用。

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
当xh时，y随着x的增大而增大.
当xh时，y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质?
3. 能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.
1. 会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.
2. 能熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
画出二次函数y=ax2+bx+c的图象
想一想：配方的方法及步骤是什么？
怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
【提示】配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
【思考4】如何画二次函数的图象？
1. 利用图象的对称性列表
2.然后描点画图，得到图象如右图.
【思考5】结合二次函数的图象，说出其性质.
当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.
画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的性质
然后描点、连线，得到图象如下图：
由图象可知，这个函数具有如下性质：开口方向：向下顶点坐标：（1，-2）对称轴：x=1最值：x=1时，y最大值=-2当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.
. 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？
对称轴为 .
因此，抛物线的对称轴是，顶点是 .
二次函数y=ax2+bx+c的图象：
指出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质
例2 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（　　）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（1，4）C．开口向上，顶点坐标为（1，4）D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0， ∴函数图象开口向上， ∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
方法点拨：把函数的一般式化为顶点式，再由顶点式确定开口方向、对称轴、顶点及其他性质.
二次函数字母系数与图象的关系
一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　)A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值
二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列选项中正确的是（）A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D． ac>0
解析根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0，所以ac<0，D错误．
如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
A. y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
2. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；（3） 4a+b=0；（4）当y=–2时，x的值只能取0；其中正确的是.
3. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（）
A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
1.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 时，y有最大值 .2.已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（）
y=ax2+bx+c（a ≠0)(一般式)
待定系数法求二次函数的解析式
用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），所以
解得 k=3，b=-6
一次函数的解析式为y=3x-6.
【思考】如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？
2.灵活应用三点式、顶点式、交点式求二次函数的解析式.
1.会用待定系数法求二次函数的解析式.
【思考】回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？
用三点式求二次函数的解析式
我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式.
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
a-b+c=10a+b+c=4
三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？
第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)，求这个函数的解析式.
a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7
三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？
将a=2，b=-3代入①可得：
a=2, b=-3, c=5.
例1 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这个函数的解析式.
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3).∴ 解得a＝1，b＝-2，c＝-3.∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.
利用三点式求二次函数的解析式
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。若已知条件是二次函数图像上三个点的坐标，可设解析式为y=ax2+bx+c,列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
任意两点的连线不与y轴平行
三点式求二次函数的解析式
已知一个二次函数的图象过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9)三点，求这个函数的解析式.
第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步:解方程组。
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9).∴ 解得a＝4，b＝5，c＝0.∴抛物线的解析式为y＝4x2+5x.
0=c-1=a-b+c9=a+b+c
用交点式y=a(x-x1) (x-x2) 求二次函数解析式
两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？
交点式求二次函数的解析式：若已知抛物线与x轴的两交点坐标，可设解析式为y=a（x-x1）（x-x2），把另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程.
例2 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.
解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0) ∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3) ∵图象过点C(0,3) ∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
利用交点式求二次函数的解析式
已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
因此所求的抛物线解析式为
解: ∵图象与x轴交于A(-1,0)，B(1,0) ∴设函数解析式为y＝a(x+1)(x-1) ∵图象过点M(0,1) ∴1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1. ∴二次函数解析式为y=-1(x+1)(x-1)
【思考】图象顶点为(h, k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？
用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式
利用顶点式求二次函数的解析式
例3 已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.解：∵抛物线顶点为(1,-4) ∴设其解析式为y=a(x-1)2-4，又抛物线过点(2,-3)，则-3=a(2-1)2-4，则a=1. ∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
若已知顶点坐标和一点，可设解析式为y=a(x-h)2+k，将另一点坐标代入解关于a的一元一次方程.
顶点式求二次函数的解析式
已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），求该函数的关系式.
解：设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4 y=﹣x2﹣2x+3
1. 如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( ) A. y=x2+2 B. y=(x-2)2+2 C. y=(x-2)2-2 D. y=(x+2)2-22. 已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为 .
y=-7(x-3)2+4.
如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.
解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3, 知抛物线一定过点(-2,0). 设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8), ∵抛物线过点(0,4),
∴4=a(0+2)(0-8),
已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0), 设解析式为y=a(x-5)(x+3), ∵抛物线过点(1,16) ∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1. ∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.