2022年浙江省宁波余姚市重点中学中考数学五模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．a＜0，b＜0，c＞0

B．﹣=1

C．a+b+c＜0

D．关于x的方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根

2．港珠澳大桥目前是全世界最长的跨海大桥，其主体工程“海中桥隧”全长35578米，数据35578用科学记数法表示为（　　）

A．35.578×103 B．3.5578×104

C．3.5578×105 D．0.35578×105

3．如图，甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是(    )

A．仅有甲和乙相同 B．仅有甲和丙相同

C．仅有乙和丙相同 D．甲、乙、丙都相同

4．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=60°，则∠2的度数是（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°

5．已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．如果t>0,那么a+t与a的大小关系是(      )

A．a+t>a    B．a+t<a    C．a+t≥a    D．不能确定

7．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（　　）

A．5 B．10 C．10 D．15

8．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（　　）

A．23 B．75 C．77 D．139

9．如图，AB是⊙O的切线，半径OA=2，OB交⊙O于C，∠B=30°，则劣弧的长是（　　）

A．π B． C．π D．π

10．如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为(   )

A． B． C．3 D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是_________．

12．今年“五一”节日期间，我市四个旅游景区共接待游客约303000多人次，这个数据用科学记数法可记为_____．

13．如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=28°，则∠C的度数为____．

14．等腰中，是BC边上的高，且，则等腰底角的度数为__________.

15．分解因式：3x2-6x+3=__．

16．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分） “春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“汤圆”的习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅（A）、豆沙馅 （B）、菜馅（C）、三丁馅 （D）四种不同口味汤圆的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：

（1）本次参加抽样调查的居民人数是　   　人；

（2）将图 ①②补充完整；（ 直接补填在图中）

（3）求图②中表示“A”的圆心角的度数；

（4）若居民区有8000人，请估计爱吃D汤圆的人数．

18．（8分）某中学举行室内健身操比赛，为奖励优胜班级，购买了一些篮球和足球，篮球单价是足球单价的1.5倍，购买篮球用了2250元，购买足球用了2400元，购买的篮球比足球少15个，求篮球、足球的单价．

19．（8分）如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．

（1）求直线AB的解析式；

（2）根据图象写出当y1＞y2时，x的取值范围；

（3）若点P在y轴上，求PA+PB的最小值．

20．（8分）观察规律并填空.

______（用含n的代数式表示，n 是正整数，且 n ≥ 2）

21．（8分）自学下面材料后，解答问题。

分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如： <0等。那么如何求出它们的解集呢?

根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为：

若a>0,b>0,则>0;若a<0,b<0,则>0；

若a>0,b<0,则<0;若a<0,b>0,则<0.

反之：若>0,则 或 ，

（1）若<0，则___或___.

（2）根据上述规律,求不等式 >0的解集.

22．（10分）（本题满分8分）如图，四边形ABCD中，,E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

23．（12分）某校航模小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需10秒，A在地面C的北偏东12°方向，B在地面C的北偏东57°方向．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

24．如图，四边形ABCD，AD∥BC，DC⊥BC于C点，AE⊥BD于E，且DB＝DA．求证：AE＝CD．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

试题分析：根据图像可得：a＜0，b＞0，c＜0，则A错误；，则B错误；当x=1时，y=0，即a+b+c=0，则C错误；当y=－1时有两个交点，即有两个不相等的实数根，则正确，故选D．

2、B

【解析】
科学计数法是a×，且，n为原数的整数位数减一．

【详解】

解：35578= 3.5578×，

故选B．

【点睛】

本题主要考查的是利用科学计数法表示较大的数，属于基础题型．理解科学计数法的表示方法是解题的关键．

3、B

【解析】

试题分析：根据分析可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；则主视图相同的是甲和丙．

考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．

4、D

【解析】
由EF⊥BD，∠1=60°，结合三角形内角和为180°即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．

【详解】

解：在△DEF中，∠1=60°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=30°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=30°．
故选D．

【点睛】

本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°,解题关键是根据平行线的性质，找出相等、互余或互补的角．

5、B

【解析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．

【详解】

A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；

B. 符合向量的长度及方向，正确；

C. 得出的是a的方向不是单位向量，故错误；

D. 左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误.

故答案选B.

【点睛】

本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.

6、A

【解析】

试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果.

t＞0，

∴a＋t＞a，

故选A.

考点：本题考查的是不等式的基本性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变.

7、B

【解析】

作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示，

∵AE=CG，BE=BE′，

∴E′G′=AB=10，

∵GG′=AD=5，

∴E′G=，

∴C四边形EFGH=2E′G=10，

故选B．

【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，矩形的性质等，根据题意正确添加辅助线是解题的关键．

8、B

【解析】
由图可知：上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，上边的数为连续的奇数，左边的数为21，22，23，…26，由此可得a，b．

【详解】

∵上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，左边的数为21，22，23，…，∴b=26=1．

∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，∴a=11+1=2．

故选B．

【点睛】

本题考查了数字变化规律，观察出上边的数与左边的数的和正好等于右边的数是解题的关键．

9、C

【解析】
由切线的性质定理得出∠OAB=90°，进而求出∠AOB=60°，再利用弧长公式求出即可．

【详解】

∵AB是⊙O的切线，

∴∠OAB=90°，

∵半径OA=2,OB交⊙O于C,∠B=30°，

∴∠AOB=60°，

∴劣弧ACˆ的长是：=，

故选：C.

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算，解题的关键是先求出角度再用弧长公式进行计算.

10、A

【解析】

∵∠AED=∠B，∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB

∴，

∵DE=6，AB=10，AE=8，

∴，

解得BC＝.

故选A.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、．

【解析】
先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．

【详解】

解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，

∴AB==1．

∵CD⊥AB，

∴CD=．

∵AD•BD=CD2，

设AD=x，BD=1-x．

解得x=，

∴点A在圆外，点B在圆内，

r的范围是，

故答案为．

【点睛】

本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．

12、3.03×101

【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于303000有6位整数，所以可以确定n=6-1=1．

详解：303000=3.03×101，

故答案为：3.03×101．

点睛：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n的值是解题的关键．

13、22°

【解析】
由AE∥BD，根据平行线的性质求得∠CBD的度数，再由对顶角相等求得∠CDB的度数，继而利用三角形的内角和等于180°求得∠C的度数．

【详解】

解：∵AE∥BD，∠1=130°，∠2=28°，

∴∠CBD=∠1=130°，∠CDB=∠2=28°，

∴∠C=180°﹣∠CBD﹣∠CDB=180°﹣130°﹣28°=22°．

故答案为22°

【点睛】

本题考查了平行线的性质，对顶角相等及三角形内角和定理．熟练运用相关知识是解决问题的关键．

14、，，

【解析】
分三种情况：①点A是顶角顶点时，②点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，③点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时，再结合直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求解.

【详解】

①如图，若点A是顶角顶点时，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，∵,

∴AD=BD=CD，

在Rt△ABD中，∠B=∠BAD=

；

②如图，若点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，

∵，AC=BC，

∴，

∴∠ACD=30°，

∴∠BAC=∠ABC=×30°=15°；

③如图，若点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时，

∵，AC=BC，

∴，

∴∠C=30°，

∴∠BAC=∠ABC=（180°-30°）=75°；

综上所述，△ABC底角的度数为45°或15°或75°；

故答案为，，．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是要分情况讨论.

15、3(x-1)2

【解析】
先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【详解】

.

故答案是：3(x-1)2.

【点睛】

考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

16、（，0）

【解析】

试题解析：过点B作BD⊥x轴于点D，

∵∠ACO+∠BCD=90°，

∠OAC+∠ACO=90°，

∴∠OAC=∠BCD，

在△ACO与△BCD中，

，

∴△ACO≌△BCD（AAS）

∴OC=BD，OA=CD，

∵A（0，2），C（1，0）

∴OD=3，BD=1，

∴B（3，1），

∴设反比例函数的解析式为y=，

将B（3，1）代入y=，

∴k=3，

∴y=，

∴把y=2代入y=，

∴x=，

当顶点A恰好落在该双曲线上时，

此时点A移动了个单位长度，

∴C也移动了个单位长度，

此时点C的对应点C′的坐标为（，0）

故答案为（，0）.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）600；（2）120人，20%；30%；（3）108°（4）爱吃D汤圆的人数约为3200人

【解析】

试题分析：

（1）由两幅统计图中的信息可知，喜欢B类的有60人，占被调查人数的10%，由此即可计算出被调查的总人数为60÷10%=600（人）；

（2）由（1）中所得被调查总人数为600人结合统计图中已有的数据可得喜欢C类的人数为：600-180-60-240=120（人），喜欢C类的占总人数的百分比为：120÷600×100%=20%，喜欢A类的占总人数的百分比为：180÷600×100%=30%，由此即可将统计图补充完整；

（3）由（2）中所得数据可得扇形统计图中A类所对应的圆心角度数为：360°×30%=108°；

（4）由扇形统计图中的信息：喜欢D类的占总人数的40%可得：8000×40%=3200（人）；

试题解析：

（1）本次参加抽样调查的居民的人数是：60÷10%=600（人）；

故答案为600；

（2）由题意得：C的人数为600﹣（180+60+240）=600﹣480=120（人），C的百分比为120÷600×100%=20%；A的百分比为180÷600×100%=30%；

将两幅统计图补充完整如下所示：

（3）根据题意得：360°×30%=108°，

∴图②中表示“A”的圆心角的度数108°；

（4）8000×40%=3200（人），

即爱吃D汤圆的人数约为3200人．

18、足球单价是60元，篮球单价是90元．

【解析】
设足球的单价分别为x元，篮球单价是1.5x元，列出分式方程解答即可．

【详解】

解：足球的单价分别为x元，篮球单价是1.5x元，

可得：，

解得：x=60，

经检验x=60是原方程的解，且符合题意，

1.5x=1.5×60=90，

答：足球单价是60元，篮球单价是90元．

【点睛】

本题考查分式方程的应用，利用题目等量关系准确列方程求解是关键，注意分式方程结果要检验．

19、（1）y=﹣x+4；（2）1＜x＜1；（1）2．

【解析】
（1）依据反比例函数y2= (x＞0)的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点，即可得到A（1，1）、B（1，1），代入一次函数y1=kx+b，可得直线AB的解析式；

（2）当1＜x＜1时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即可得到当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜1；

（1）作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，利用勾股定理即可得到BC的长．

【详解】

（1）A（1，m）、B（n，1）两点坐标分别代入反比例函数y2= (x＞0)，可得

m=1，n=1，

∴A（1，1）、B（1，1），

把A（1，1）、B（1，1）代入一次函数y1=kx+b，可得

，解得，

∴直线AB的解析式为y=-x+4；

（2）观察函数图象，发现：

当1＜x＜1时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，

∴当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜1．

（1）如图，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，

过C作y轴的平行线，过B作x轴的平行线，交于点D，则

Rt△BCD中，BC=，

∴PA+PB的最小值为2．

【点睛】

本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，得出不等式的取值范围是解答此题的关键．

20、

【解析】
由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果．

【详解】

=

=

=．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．

21、（1） 或；（2）x>2或x<−1.

【解析】
（1）根据两数相除，异号得负解答；

（2）先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．

【详解】

(1)若>0,则 或 ；

故答案为： 或；

（2）由上述规律可知,不等式转化为或，

所以，x>2或x<−1.

【点睛】

此题考查一元一次不等式组的应用，解题关键在于掌握掌握运算法则.

22、（1）见解析；（2）6或

【解析】

试题分析：（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；

（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积．

试题解析：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°

∴AF∥BC

∴∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE

∵E是边CD的中点

∴CE=DE

∴△BCE≌△FDE（AAS）

∴BE=EF

∴四边形BDFC是平行四边形

（2）若△BCD是等腰三角形

①若BD=DC

在Rt△ABD中，AB=

∴四边形BDFC的面积为S=×3=6；

②若BD=DC

过D作BC的垂线，则垂足为BC得中点，不可能；

③若BC=DC

过D作DG⊥BC,垂足为G

在Rt△CDG中，DG=

∴四边形BDFC的面积为S=．

考点：三角形全等，平行四边形的判定，勾股定理，四边形的面积

23、29.8米．

【解析】
作，，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数定义求出与的长度，由求出的长度，即可求出的长度．

【详解】

解：如图，作，，

由题意得：

米，

米，

则米，

答：这架无人飞机的飞行高度为米．

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

24、证明见解析.

【解析】
由AD∥BC得∠ADB＝∠DBC,根据已知证明△AED≌△DCB（AAS）,即可解题.

【详解】

解：∵AD∥BC

∴∠ADB＝∠DBC

∵DC⊥BC于点C，AE⊥BD于点E

∴∠C＝∠AED＝90°

又∵DB＝DA

∴△AED≌△DCB（AAS）

∴AE＝CD

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定和性质,属于简单题,证明三角形全等是解题关键.