2022-2023学年苏教版2019必修二第十三章 立体几何初步 单元测试卷(word版含答案)

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第十三章 立体几何初步 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)1、(4分)在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角为(   )A. B. C. D.2、(4分)下列说法正确的是(   )A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
3、(4分)若圆台的上、下底面面积分别为4，16，则圆台的中截面的面积为(   ).A.10 B.8 C.9 D.4、(4分)已知圆锥的顶点为S ，两条母线为SA,SB ，若 的面积为 与圆锥的底面所成的角为 ，则圆锥的体积为(   )
A.  B.  C.  D. 5、(4分)已知三棱锥中,分别是的平分线,平面,则直线所成角的余弦值为(   )A. B. C. D.6、(4分)在中，已知.现将绕边旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（   ）A. B. C. D.7、(4分)已知圆锥的底面半径为2,高为1,经过圆锥顶点的平面α截此圆锥所得的截面面积为,则平面α与底面所成的锐二面角的正切值为(   )A. B.1 C.或 D.或18、(4分)已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的区域的面积为(   )A. B.π C. D.9、(4分)在长方体中，已知与平面ABCD和平面所成的角均为30°，则(   )A.  B.AB与平面所成的角为30°C.  D.与平面所成的角为45°10、(4分)如图，某圆锥的轴截面ABC是等边三角形，点D是线段AB的中点，点E在底面圆的圆周上，且的长度是长度的两倍，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是(   )A. B. C. D.二、填空题(共25分)11、(5分)如图，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，，，D是的中点，点F在线段上，当____________时，平面.12、(5分)已知矩形中，，，是边的中点．现以为折痕将折起，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为__________．13、(5分)三棱锥的顶点均在球O的球面上，且，，，则三棱锥体积的最大值为__________.14、(5分)已知是某球面上不共面的四点，与垂直，则此球的体积为_______________.15、(5分)在四面体中，与都是边长为2的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的体积为_____________.三、解答题(共35分)16、(8分)如图，四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PA上一点，且.（Ⅰ）证明：平面平面PAC；（Ⅱ）求三棱锥的体积.17、(9分)如图所示多面体中, 底面 是边长为 3 的正方形, 上平面 是 上一点,.
(1)求证: 平面;
(2)求此多面体的体积.18、(9分)如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形(2)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形.19、(9分)如图所示，和的对应顶点的连线交于同一点O，且.(1)求证.(2)求的值.
参考答案1、答案：D解析：，是直线PB与所成的角（或所成角的补角），设正方体的棱长为2，则，，，，，直线PB与所成的角为.故选：D.2、答案：D解析：等腰三角形的两底角相等，但在直观图不相等，故A错误．
正方形的两邻边相等, 但在直观图中不相等，故B,C错误. 故选D3、答案：C解析：设圆台的上、下底面半径分别为、，圆台中截面的半径为，则，，解得，，所以，所以.4、答案：B解析：5、答案：D解析：本题考查空间线面的位置关系、空间角的计算.因为平面平面,所以.又平面,故平面,所以, ,又,故.同理可得,,又,所以,故三棱锥为正四面体.如图,取的中点G,连接,则,故即为与所成角或其补角,设,则,,在中,由余弦定理得,故直线所成角的余弦值为,故选D.6、答案：D解析：7、答案：D解析：如图,设圆锥的顶点为P,底面圆的圆心为O,平面α与圆O的交点分别为,过点P作于点H,连接.由题意可知,平面α截此圆锥所得的截面为等腰三角形,且点H为的中点.设,则在中,,在中,,所以的面积.整理,得,解得或(负值已舍去).因为平面α与底面所成的锐二面角即为,所以或.故选D.8、答案：B解析：设O为的中心，连接PO，AO，在正三角形ABC中，，在中，，当时，连接OQ，根据勾股定理可得，易知Q的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，由于集合，故集合T表示的区每的面积为π，故选B.9、答案：D解析：如图，连接BD，易知是直线与平面ABCD所成的角，所以在中，，设，，.易知是直线与平面所成的角，所以在中，，因为，所以，，所以在中，，所以A项错误.易知是直线AB与平面所成的角，所以在中，，所以，所以B项错误.在中，，而，所以C项错误.易知是直线与平面所成的角，因为在中，，所以，所以D项正确.故选D.10、答案：B解析：如图，取BC的中点O，连接OD，OE，OA.取OB的中点F，连接DF，EF，设，则，，.因为的长度是长度的两倍，所以，则.因为D，F分别是AB，OB的中点，所以，则.因为D，O分别是AB，BC的中点，所以，所以是异面直线DE与AC所成的角，则.11、答案：a或2a解析：由已知得是等腰直角三角形，，D是的中点，.平面平面，平面平面，平面.又平面，.若平面，则.设，则，，，，解得或2a.12、答案： 解析：在矩形ABCD中，，，E是CD边中点，，中，，，是正三角形.面积为定值.只有平面平面ABCE时三棱锥的高最大.此时体积最大.取AE的中点F.连接FB.在正中，面ABE和面ADE交于AE.平面ADE，即是.正的中心为O在中O点到三棱锥四个顶点的距离是，O是外接球球心，是半径，三棱锥外接球体积.13、答案：2解析：14、答案：解析：15、答案：解析：取 的外心为, 设 为球心, 连接, 则 平面. 取 的中点, 连接, 过 做 于点, 易知四边形 为矩形. 连接, 设. 连接, 则 三点共线, 易知, 所以. 在和中, , 即, 所以, 得, 所以 16、答案：（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）解析：（Ⅰ）平面ABCD，平面ABCD，在直角梯形ABCD中，，，，，，，，又.平面PAC，平面EBC，平面平面PAC；（Ⅱ），
由（Ⅰ）可知平面PCE，
所以三棱锥的高为，
，，，
.17、答案：(1)见解析(2) 解析：(1) 证明: 过点 作, 交 于点, 则 因为, 所以, 且, 所以四边形 为平行四边形,所以. 又 平面 丈平面, 所以 平面.(2) 因为 平面 平面, 所以, 因为, 所以 平面.
所以, ,
即此多面体的体积为18、答案：(1)见解析.(2).解析：(1)在中，E，F分别是边AB，BC的中点，所以，且，同理有，且，所以且，故四边形EFGH是平行四边形.(2)当AC与BD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，理由如下：若，则有，又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形.若，则，所以菱形EFGH是正方形.19、答案：(1)见解析.(2).解析：(1)因为，且，所以，所以，所以，同理.(2)因为且AB和，AC和方向相反，所以.同理，，所以且，所以.