2022-2023学年人教B版2019必修四第十一章 立体几何初步 单元测试卷(word版含答案)
展开第十一章 立体几何初步 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)
1、(4分)若圆台的上、下底面面积分别为4，16，则圆台的中截面的面积为( ).
A.10 B.8 C.9 D.
2、(4分)已知圆锥的顶点为S ，两条母线为SA,SB ，若 的面积为 与圆锥的底面所成的角为 ，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3、(4分)在中，已知.现将绕边旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）
A. B. C. D.
4、(4分)利用斜二测画法可以得到:
①三角形的直观图是三角形;
②平行四边形的直观图是平行四边形;
③正方形的直观图是正方形;
④菱形的直观图是菱形.
以上结论正确的有( )
A. ①② B.① C. ③④ D. ①②③④
5、(4分)已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的区域的面积为( )
A. B.π C. D.
6、(4分)2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感源自威尔—弗兰泡沫，威尔—弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进.开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形）.已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体的表面积是( )
A. B. C. D.
7、(4分)如图，三棱锥的四个面都为直角三角形，平面ABC,，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥内的概率为( )
A. B. C. D.
8、(4分)如图，正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体中必有( )
A.平面EFG B.平面EFG
C.平面SEF D.平面SEF
9、(4分)在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( )
A. B.2 C. D.4
10、(4分)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面ABC，点C是圆上的任意一点，图中有____________对平面与平面垂直( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(共25分)
11、(5分)已知三棱锥的所有棱长都是2,四个顶点都在球的球面上,记球的表面积是,过棱的平面被球截得的截面面积的最小值为,则的值为__________.
12、(5分)如图，矩形中，，平面，若在线段上至少存在一个点满足，则的取值范围是________.
13、(5分)已知矩形ABCD的边，，平面ABCD.若BC边上有且只有一点M，使，则a的值为_________________.
14、(5分)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点P,Q,若线段PQ的最小值为,则正方体的棱长为_________；正方体的外接球的表面积为_______.
15、(5分)三棱锥的顶点均在球O的球面上，且，，，则三棱锥体积的最大值为__________.
三、解答题(共35分)
16、(8分)如图所示多面体中, 底面 是边长为 3 的正方形, 上平面 是 上一点,.
(1)求证: 平面;
(2)求此多面体的体积.
17、(9分)已知正方体，中，M是的中点，N是的中点.
求证：平面平面ANC.
18、(9分)如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形
(2)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形.
19、(9分)如图所示，和的对应顶点的连线交于同一点O，且.
(1)求证.
(2)求的值.
参考答案
1、答案：C
解析：设圆台的上、下底面半径分别为、，圆台中截面的半径为，则，，解得，，所以，所以.
2、答案：B
解析：
3、答案：D
解析：
4、答案：A
解析：根据斜二测画法可知,只有平行于x轴的线段长度和方向都不变,平行于y轴的线段倾斜或者,并且长度减半,所以①三角形的直观图和原三角形相比只是面积变小了,它还是三角形;②平行四边形的直观图还是平行四边形;③正方形的直观图是平行四边形;④菱形的直观图是平行四边形.所以①②正确.故选A.
5、答案：B
解析：设O为的中心，连接PO，AO，在正三角形ABC中，，在中，，当时，连接OQ，根据勾股定理可得，易知Q的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，由于集合，故集合T表示的区每的面积为π，故选B.
6、答案：C
解析：本题考查多面体表面积的求解.边长为1的正方形的面积为，正六边形的面积为.因为每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形，该多面体有24个顶点，所以该多面体中正方形有（个），正六边形有（个），所以该多面体的表面积为，故选C.
7、答案：D
解析：根据题意，可以将三棱锥补全为长方体，其中长方体的底面是边长为1的正方形，高为.设三棱锥外接球的半径为R，所以三棱锥外接球的直径为长方体的体对角线，即，所以.由于三棱锥的体积，三棱锥外接球的体积，所以在球O内任取一点，该点取自三棱锥内的概率.
8、答案：A
解析：
9、答案：A
解析：
10、答案：C
解析：
11、答案：6
解析：由题意知,三棱锥是正三棱锥,取的中点,连接,如图所示：
设点在底面内的投影是,球的半径为,
由于是边长为2的等边三角形,则,
,,
所以,解得,
所以球的表面积是.
易知当棱是截面圆的直径时,过棱的平面被球截得的截面面积取最小值,所以.
故答案为：6.
12、答案：
解析：由，得：。
设 ，则由勾股定理可计算：，，，
代入整理得： ，
因为，方程解得的值有两个，
所以，。
13、答案：
解析：平面ABCD，平面ABCD，.边上存在点M，使，且，平面PAM.平面PAM，，以AD为直径的圆和BC相交.，圆的半径为.点M是唯一的，和以AD的中点为圆心，半径为的圆相切，，即.
14、答案：4
解析：
15、答案：2
解析：
16、答案：(1)见解析(2)
解析：(1) 证明: 过点 作, 交 于点, 则
因为, 所以, 且, 所以四边形 为平行四边形,所以. 又 平面 丈平面, 所以 平面.
(2) 因为 平面 平面, 所以, 因为, 所以 平面.
所以, ,
即此多面体的体积为
17、答案：见解析.
解析：如图，连接MN.
因为M，N分别是所在棱的中点，
所以四边形和四边形MNCD是平行四边形.
所以.
又因为平面平面，
所以平面，
同理可证平面，
又因为平面ANC，平面ANC，
所以平面平面ANC.
18、答案：(1)见解析.
(2).
解析：(1)在中，E，F分别是边AB，BC的中点，
所以，且，
同理有，且，
所以且，
故四边形EFGH是平行四边形.
(2)当AC与BD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，理由如下：
若，则有，
又因为四边形EFGH是平行四边形，
所以四边形EFGH是菱形.
若，则，所以菱形EFGH是正方形.
19、答案：(1)见解析.
(2).
解析：(1)因为，
且，
所以，所以，
所以，同理.
(2)因为且AB和，AC和方向相反，
所以.
同理，
，
所以且，
所以.
