2022-2023学年北师大2019必修一第五章 函数应用 单元测试卷(word版含答案)

第五章 函数应用 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分(   )

A.8次 B.9次 C.10次 D.11次

2、(4分)若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列函数_________的零点.(   )

A. B. C. D.

3、(4分)若函数的零点为1，则实数a的值为(   ).

A.-2 B. C. D.2

4、(4分)在用二分法求方程在内近似根的过程中，已经得到，，，则方程的根落在区间(   ).

A. B. C. D.不能确定

5、(4分)中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了（    ）  

A.10％                B. 20％ C. 30％ D. 50％

6、(4分)设，函数，若在区间内恰有4个零点，则a的取值范围是(   )

A.   B.

C.   D.

7、(4分)函数，在下列区间中，包含函数零点的区间为(   )

A. B. C. D.

8、(4分)已知函数为偶函数，则函数的零点之和为(   )

A. B. C. D.0

9、(4分)螃蟹素有“一盘蟹，顶桌菜”的民谚，它不但味美，且营养丰富，是一种高蛋白的补品，假设某池塘里的螃蟹繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为，假设该池塘第一年繁殖数量有200只，则第3年它们繁殖数量为(   )

A.400 B.600 C.800 D.1600

10、(4分)已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的顺序为(   ).

A. B. C. D.

二、填空题(共25分)

11、(5分)已知函数若函数有两个零点，则实数k的取值范围是__________.

12、(5分)已知函数，若，则函数的所有零点构成的集合是________；若方程有两个解，则实数m的取值范围是________.

13、(5分)土壤沙化危害严重，影响深远，因沙漠化每年给我国造成的直接经济损失达540亿元，而间接经济损失更是直接经济损失的2～3倍，甚至10倍以上，若某一块绿地，每经过一年，沙漠吞噬其绿地面积的，经过x年，该绿地被沙漠吞噬了原来面积的，则x为__________.

14、(5分)某桶装水经营部每天的固定成本为420元，每桶水的进价为5元，若日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的关系式为，则该桶装水经营部要使日利润最大，销售单价应定为_____________元.

15、(5分)设函数那么函数的零点的个数为_______.

三、解答题(共35分)

16、(8分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

(1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；

(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

17、(9分)春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.

（1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；

（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?

18、(9分)已知函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围.

19、(9分)已知函数的两个零点分别为1和2.

（1）求实数m、n的值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：本题考查二分法求方程近似值的过程.设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2，则第n次二等分后区间长为，依题意得，，，所以.

2、答案：A

解析：是奇函数，，又是的一个零点，，，把分别代入下面四个选项.

对于A，，故A正确；

对于B，，当时不为0，故B不正确；

对于C，，故C不正确；

对于D，，故D不正确.故选A.

3、答案：B

解析：因为函数的零点为1，所以，解得.故选B.

4、答案：B

解析：设，，，，在R上连续且单调递增，在区间内，函数存在一个零点，又，，同理可知，在区间内，函数存在一个零点，由此可得方程的根落在区间内，故选B.

5、答案：C

解析：

6、答案：A

解析：由题意在上有零点.

而的对称轴为，

故有，解得.

注意到.

（1）当时，即时，在上有两个零点.

（事实上，在上有两个零点）

此时，，且在上有两个零点.

又，，

故在上有两个零点.

所以，当时，在区间内恰有4个零点

（2）当时，即时，在上有一个零点.

要是在区间内恰有4个零点，则必在区间上.

从而，解得.

又区间的长度大于6，得.此时，.

（注：当时，在，，上各有一个零点）

故当时，在区间内恰有4个零点.

而，

解得.

所以，当时，在区间内恰有4个零点.

（3）当时，即时，易知在内仅有2个零点，不符.

综上，.

7、答案：C

解析：

8、答案：B

解析：

9、答案：C

解析：本题考查指数函数模型的应用.由题意得，，，则第3年数量.

10、答案：B

解析：函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，

函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，

函数的零点为函数与的图象交点的横坐标.

在同一平面直角坐标系内分别作出函数，，与的图象如图所示：

由图可知，，，，所以.故选B.

11、答案：

解析：有两个零点，即有两个根，即函数的图象与直线有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，故k的取值范围为.

12、答案：；

解析：本题考查分段函数的零点问题.当时，，令，得；当时，，令，得或（舍去）.故的零点为-1和2.根据函数的示意图（如图）可知或.

13、答案：3

解析：本题考查指数函数在生活中的应用.先求绿地剩余面积y随时间x（年）变化的函数关系式，设绿地最初的面积为1，则经过1年，，经过2年，，…，那么经过x年，则.依题意得，解得.

14、答案：10

解析：设该桶装水经营部的利润为元，则，所以当时，取得最大值330，即该桶装水经营部要使日利润最大，销售单价应定为10元.

15、答案：2

解析：当时，；

当时，；

当时，.

所以由得或4，即函数有两个零点.

16、答案：(1)

(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.

解析：(1)当时，；

当时，，

所以

(2)若，

当时，万元.

若，，

当且仅当时，即时，万元.

则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.

17、答案：（1）当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人

（2）时，需要提供的矿泉水瓶数最少

解析：（1）当时，设，，则，
.
，
故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.
（2），
①当时，，
仅当时等号成立.

②当时，，
又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.

18、答案：

解析：，则，令，解得或（舍去），
所以在区间上必有一个解，则，
所以实数a的取值范围是.

19、答案：（1）

（2）

解析：（1）由函数的两个零点分别为1和2，可得

解得

（2）由（1）可得，

由不等式在上恒成立，可得不等式在上恒成立，可将化为，

所以在上的最小值为，所以.