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初中数学第四章 几何图形初步4.2 直线、射线、线段优秀同步测试题
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这是一份初中数学第四章 几何图形初步4.2 直线、射线、线段优秀同步测试题，文件包含专题42直线射线线段讲练-2022-2023学年七年级上册同步讲练解析版人教版docx、专题42直线射线线段讲练-2022-2023学年七年级上册同步讲练原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
专题4.2 直线、射线、线段
典例体系
一、知识点
1.立体图形与平面图形
1、直线、射线、线段的比较
名称
不同点
联系
共同点
延伸性
端点数
线段
不能延伸
2
线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线
都是直的线
射线
只能向一方延伸
1
直线
可向两方无限延伸
无
2、点、直线、射线和线段的表示
在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示，如点A
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l,或者直线AB
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l,射线AB
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l,线段AB
3、点和直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
4、线段的性质
（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
（5）线段的比较：1.目测法 2.叠合法 3.度量法
5、线段的中点：
点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。
M
A
B
M是线段AB的中点
AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）
6、直线的性质
（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
考点1：根据几何语言画图
典例：（2020·全国初一课时练习）如图，已知平面上有四个村庄，用四个点，，，表示．
（1）连接，作射线，作直线与射线交于点；
（2）若要建一供电所，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所应建在何处？请画出点的位置并说明理由．
【答案】（1）如图所示．见解析；（2）如图，见解析；供电所应建在与的交点处．理由：两点之间，线段最短．
【解析】（1）如图所示：点E即为所求；
（2）如图所示：点M即为所求．
理由：两点之间，线段最短．
方法或规律点拨
本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段距离最短．
巩固练习
1．（2020·湖南涟源·初一期末）平面上有条直线，则交点可能是（ ）
A．个 B．个或个
C．个或个或个 D．个或个或个或个
【答案】D
【解析】解：3条直线的分布情况可能是：如图，
交点个数分别是0个或1个或2个或3个，
故选：D．
2．（2020·全国初一课时练习）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m＋n等于( )
A．12 B．16 C．20 D．以上都不对
【答案】B
【解析】根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；
任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，
∵任意三条直线不过同一点，
∴此时交点为：6×（6-1）÷2=15，即n=15；
则m+n=16．
故选B．
3．（2019·浙江省临海市大成中学初一月考）两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（ ）．
A．1 B．2 C．1或2或3 D．0或1或2或3
【答案】C
【解析】
解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1；
当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2；
当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3；
故选：C．
4．（2020·巨野县育才实验学校初一月考）图中直线PQ、射线AB、线段MN能相交的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】射线AB要注意方向是从A指向B的方向，
观察题中各选项的图，可知A、B、C选项均不能相交，只有D选项能够相交．
故选D．
5．（2020·新疆生产建设兵团第六师教育局教学研究室期末）根据下列语句画图并计算．
（1）作线段AB ，作射线AC，作直线BD
（2）作线段AB ，在线段AB的延长线上取点C，使BC=2AB ，M是AC的中点，若AB=5厘米，求BM的长．
【答案】（1）见解析；（2）BM=2.5cm
【解析】解：（1）作图如下：
；
（2）如图：
∵ BC=2AB，AB=5cm，
∴ AC=15cm，
∵M是AC的中点，
∴AM=MC=AC，
∴AM=7.5cm，
∵BM=AM-AB，
∴BM=7.5-5=2.5cm．
6．（2020·全国课时练习）根据下列语句画出图形．
（1）点在直线上，点在直线外；
（2）过点画射线；
（3）画一条与线段相交的直线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
7．（2020·全国课时练习）按下列语句画图，画线段厘米，延长到点C，使厘米，再延长到点D，使厘米，取点E为中点，取点F为中点．画图后求的长度．
【答案】作图见解析；厘米．
【解析】解：如下图所示，画线段厘米，延长到点C，使厘米，再延长到点D，使厘米，取点E为中点，取点F为中点，
∴CD=DA＋AB＋BC=6厘米
∵点E为中点，点F为中点，
∴DE==1厘米，DF==3厘米
∴EF=DF－DE=2厘米
8．（2020·内蒙古海勃湾·初一期末）如图，平面上有四个点，A,B,C,D根据下列语句画图
（1）作射线BC
（2）画线段CD
（3）连接AC,并延长至E，使CE=AC
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】根据题意画图如下：
9．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图，已知同一平面内的四个点A、B、C、D，根据要求用直尺画图．
（1）画线段AB，∠ADC；
（2）找一点P，使P点既在直线AD上，又在直线BC上；
（3）找一点Q，使Q到A、B、C、D四个点的距离和最短．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.
【解析】解：（1）如图所示，线段AB、∠ADC即为所求；
（2）直线AD与直线BC交点P即为所求；
（3）如图所示，点Q即为所求．
故答案为（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.
10．（2020·全国初一课时练习）如图，平面上有三点，，，按下列要求画出图形（在原图上画）
（1）画直线；
（2）画射线；
（3）画线段．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】如图所示：
考点2：直线、射线、线段的数量
典例：（2020·江西大余·初一期末）如图:
(1)试验观察:
如果经过两点画直线,那么:
第①组最多可以画____条直线;
第②组最多可以画____条直线;
第③组最多可以画____条直线.
(2)探索归纳:
如果平面上有n(n≥3)个点,且任意3个点均不在1条直线上,那么经过两点最多可以画____条直线.(用含n的式子表示)
(3)解决问题:
某班45名同学在毕业后的一次聚会中,若每两人握1次手问好,那么共握____次手.
【答案】(1)3，6，10；(2)； (3)990
【解析】（1）根据图形得：如图：（1）试验观察
如果每过两点可以画一条直线，那么：
第①组最多可以画3条直线；
第②组最多可以画6条直线；
第③组最多可以画10条直线．
（2）探索归纳：
如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多可以画1+2+3+…+n-1=条直线．（用含n的代数式表示）
（3）解决问题：
某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次手．
方法或规律点拨
本题考查了图形的变化类问题，运用了从特殊到一般的数学思想，解题的关键是仔细的观察并找到其中的规律．
巩固练习
1．（2020·全国课时练习）在直线上有A、B、C、D四点，以这四点为端点的线段有几条？把它们写出来．
【答案】6条：、、、、、
【解析】如图所示：
①以A为线段的一个端点的线段有AB、AC、AD，共计3条；
②以B为线段的一个端点的线段有BC、BD，共计2条；
③以C为线段的一个端点的线段有CD，共计1条；
综合上述可得：共有6个线段，分别为、、、、、．
2．（2020·全国初一课时练习）探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，直线上有两点A与B，图中有线段___条；
（2）拓展延伸：
图2直线上有A，B，C三个点，以A为端点，有线段AB，线段AC；同样以C为端点，有线段CA，线段CB；以B为端点，有线段BA，线段BC，去除重复线段，图2共有___条线段；
同样方法探究出图3中有_____条线段；
(3)探索归纳：
如果直线上有n(n为正整数)个点，则共有________条线段．(用含n的式子表示)
(4)解决问题：
①中职篮（CBA）2018——2019赛季，比赛队伍数仍然为20支，截止2018年12月14日，赛程已经过半（每两队之间都赛了一场），请你帮助计算一下目前一共进行了多少场比赛？
②2018年11月30日，赤峰至京沈高铁喀左站客运专线路基工程全部完成，将正式进入轨道铺设阶段，预计2020年7月1日通车，北京至赤峰有北京星火站，顺义西站，怀柔南站，密云站，兴隆西站，安匠站，承德南站，承德县北站，平泉北站，牛河梁站，喀左站，宁城站、平庄西站、赤峰西站等共计14个车站，请你帮助计算一下，应该设计多少种高铁车票？
【答案】（1）1条；（2）3条；6条；（3）；（4）①190场；②182种.
【解析】（1）1条
（2）3条，6条
（3）每一个点都能作出（n-1）个线段,n个点一共有n(n-1)个线段,除去重复的所以共有条线段.
（4）①20×（20-1）÷2=190场
②14×（14-1）=182种
3．（2019·山东聊城二中初一月考）如图，，点在上，且是的中点.
（1）图中共有几条线段，分别表示出这些线段；
（2）求的长.
【答案】（1）有六条线段，线段AD，线段AC，线段AB，线段DC，线段DB，线段CB；（2）3cm
【解析】（1）两点有一条线段，得：
图中有六条线段，线段AD，线段AC，线段AB，线段DC，线段DB，线段CB；
（2）∵AB=10cm，CB=4cm
∴AC=AB-CB=10-4=6cm，
∵D是AC的中点，
∴AD=AC=3cm．
4．（2019·辽宁大东·初一期中）读图，回答问题
（1）在线段上取一点，共有 条线段；
（2）在线段上取两点，共有 条线段；
（3）在线段上取三点，共有 条线段；
（4）在线段上取个点，共有 条线段．
【答案】（1）3；（2）6；（3）10；（4）
【解析】解：（1）在线段AB上取一点C，共有1＋2=×3×2=3条线段；
故答案为：3；
（2）在线段AB上取两点C，D，共有1＋2＋3=×4×3=6条线段；
故答案为：6；
（3）在线段AB上取三点C，D，E，共有1＋2＋3＋4=×5×4=10条线段；
故答案为：10；
（4）在线段AB上取（n−2）个点，共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋（n−1）=条线段．
故答案为：．
5．（2019·四川甘孜·初一月考）① 如图（1），直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线：A1A2、A2A1，有1条线段：A1A2；
② 如图（2），直线l上有3个点，则图中有几条可用图中字母表示的射线，有几条线段，并分别用图中字母表示出来；
③ 如图（3），直线l上有n个点，则图中有多少条可用图中字母表示的射线，有多少条线段，分别用含n的代数式表示出来；
④ 应用（3）中发现的规律解决问题：某校七年级共有8个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛？
【答案】②射线有4条，线段有3条；③射线的条数是(2n-2)条，线段的条数是条；④ 28场．
【解析】解：②根据射线的定义可得：射线有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共4条；由线段的定义可得线段有：射线有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共3条；
③根据规律，射线是每个点用两次，但第一个和最后一个只用一次，所以射线的条数是2n-2，线段是从这些点中任取两个点就是一条线段，所以线段的条数是；
④∵某校七年级共有8个班进行足球比赛，
∴全部赛完共需比赛场次为：（场），
∴全部赛完共需比赛场次为28.
6．（2020·山东汶上·初一期末）（1）（观察思考）：
如图，线段上有两个点,图中共有_________条线段；
（2）（模型构建）：
如果线段上有个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有___________条线段；
（3）（拓展应用）：
某班8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行__________场比赛．
【答案】解：（1）6；（2）；（3）28
【解析】（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，
以点D为左端点向右的线段有线段DC、DB，
以点C为左端点的线段有线段CB，
∴共有3+2+1=6条线段；
故答案为:6
（2）.理由如下：
设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+…+3+2+1①
∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m-3)+(m-2)+(m-1)②
+②得：2x=m(m-1)，
，
故有条线段；
故答案为:
（3）把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场象棋比赛看作为一条线段，
直线上8个点所构成的线段条数就等于象棋比赛的场数，
因此一共要进行（场）
故答案为:28
7．（2020·山西吕梁·初一期末）已知平面上点，，，（每三点都不在一条直线上）.
（1）经过这四点最多能确定 条直线.
（2）如图这四点表示公园四个地方，如果点，在公园里湖对岸两处，，在湖面上，要从到筑桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中两条路中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪一条？为什么？
【答案】（1）6;（2）从节省材料的角度考虑，应选择图中②，如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择①．理由见解析.
【解析】（1）线段AB、BC、CD、DA、AC、BD共6条；
故答案为：6
（2）从节省材料的角度考虑，应选择图中②，如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择①．因为由两点之间线段最短，路线②比路线①短，可以节省材料；而①路途较长，可以在桥上较长时间观赏湖面风光．
考点3：线段的和与差
典例：（2020·湖北枣阳·初一期末）（1）如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作线段，使它等于．
（2）点A，B，C在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm．求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）2cm或4cm
【解析】（1）如图，图中线段AE即为所求，
（2）当点C在线段AB上时，
AC=AB-BC=2cm；
当点C在线段AB的延长线上时，
AC=AB+BC=4cm，
∴AC的长为2cm或4cm．
方法或规律点拨
本题主要考查线段的和与差，找准线段之间的关系是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）根据下列语句画图并计算．
（1）作线段，在线段的延长线上取点，使，是线段的中点，若，求线段的长．
（2）作线段，在线段的延长线上取点，使，是线段的中点，若，求线段的长．
【答案】（1）详见解析，；（2）详见解析，
【解析】解：（1）如图所示：
因为BC=2AB，且AB=20厘米，所以BC=40厘米，
又因为M是BC的中点，所以厘米．
（2）如图所示：
BC=2AB且AB=20厘米，所以BC=40厘米，AC=AB+BC=60厘米，
又因为M为AC中点，所以厘米，所以BM=AM-AB=30-20=10厘米．
2．（2019·青州市邵庄初级中学月考）已知线段a，b，求作线段EF＝2a﹣b．
【答案】答案见解析．
【解析】解：如图，线段EF即为所求．
3．（2019·青州市邵庄初级中学月考）点B在直线AC上，AB＝10，BC＝6，求线段AC的长．
【答案】4或16．
【解析】解：当点B在线段AC上时，AC＝AB+BC＝10+6＝16；
当点B在线段AC的延长线上时，AC＝AB-BC＝10-6＝4．
综上所述：线段AC的长是：4或16．
4．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学期末）按照要求尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图所示，已知线段和线段，求作线段，使线段．
【答案】答案见解析
【解析】如图线段AB即为所求
5．（2019·河北泊头·初一期末）如图，已知线段AB．
(1)用没有刻度的直尺和圆规按所给的要求作图：点C在线段BA的延长线上，且CA＝2AB；
(2)在(1)中，如果AB＝28 cm，点M为线段BC的中点，求线段AM的长．
【答案】（1）见解析；（2）AM=14cm．
【解析】（1）延长BA，以A为圆心AB长为半径画弧，交BA延长线于一点，再以该点为圆心，AB长为半径画弧，于BA的延长线的交点即为点C，
如图所示：
（2）如图所示：
∵CA=2AB
∴BC=CA+AB=3AB=3×28=84cm
∵点M为BC的中点
∴BM=BC=×84=42cm
∵AM=BM-AB
∴AM=42-28=14cm
6．（2020·上海市静安区实验中学单元测试）根据所示图形填空，理解截取、顺次截取的意义，熟练掌握基本画图语句．
已知线段a、b，画出一条线段，使它等于a+b．
在射线OP上顺次截取（ ）=a，（ ）=b，线段（ ）就是所要画的线段．
【答案】OA，AB，OB
【解析】如图所示：
∵作图的步骤：在射线OP上顺次截取OA=，AB=b
∴线段OB=
∴线段OB就是所要画的线段
故答案为：OA，AB，OB．
7．（2020·广东顺德·初一期末）已知线段m、n．
（1）尺规作图：作线段AB，满足AB＝m+n（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，点O是AB的中点，点C在线段AB上，且满足AC＝m，当m＝5，n＝3时，求线段OC的长．
【答案】（1）见解析；（2）m﹣n
【解析】解：（1）如图所示，线段AB即为所求；
（2）如图，∵点O是AB的中点，
∴AO＝AB＝（m+n），
又∵AC＝m，
∴OC＝AC﹣AO＝m﹣（m+n）＝m﹣n．
考点4：与线段的有关计算
典例：（2020·河北复兴·初三月考）如图，在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为4.
（1）求的长；
（2）若把图中数轴的单位长度扩大30倍，点A，点B表示的数也相应发生变化，已知点P是线段的三等分点，求点P表示的数.
【答案】（1）；（2）点P表示的数为或55.
【解析】（1）；
（2）根据题意可知，数轴的单位长度扩大30倍，
则点A表示的数为，
点B表示的数为，
所以；
当点P靠近点A时，，
所以点P表示的数为；
当点P靠近点B时，，
所以点P表示的数为.
综上所述，点P表示的数为或55.
方法或规律点拨
此题考查数轴上两点之间的距离的求法，利用距离确定点的坐标.注意点P是线段AB的三等分点，线段的三等分点有两个，当没有明确是哪一个点时要分两种情况解答，避免遗漏.
巩固练习
1．（2020·全国课时练习）如图，是线段的中点，点，把线段三等分．已知线段的长为1.5，求线段的长．
【答案】线段的长为
【解析】解：∵点是线段的中点，
∴，
∵点，把线段三等分，
，
，
，即，
，
答：线段的长为.
2．（2020·全国课时练习）如图所示，线段被点M分成2:3两段，且被点N分成4:1两段，已知厘米，求的长．
【答案】厘米
【解析】解：设=x厘米
∵线段被点M分成2:3两段，且被点N分成4:1两段，
∴AM=，AN=
∵AN－AM=MN，厘米，
∴－=3
解得：x=
即厘米
3．（2018·湖南南县·初一期末）如图，C是线段AB的中点，D是线段AB的三等分点，如果CD=2cm，求线段AB的长.
【答案】AB的长为12cm．
【解析】解：设AB的长为xcm，则AC的长为cm，AD的长为cm；
依题意得： ，
解得 ： ．
答：AB的长为12cm．
4．（2019·河南洛阳·初一期末）已知如图，点是线段上的两点，点和点分别在线段和线段上．已知，，，时，求的长度．
【答案】4.5cm
【解析】解，
．
,
，
．
5．（2020·浙江滨江·初一期末）已知，P是线段AB的中点，点C是线段AB的三等分点，线段CP的长为4 cm.
（1）求线段AB的长；
（2）若点D是线段AC的中点，求线段DP的长.
【答案】（1）24cm；（2）或
【解析】（1）如图，点E为另外一个三等分点，
∵P是线段AB的中点，
∴P也为CE的中点，又CP=4cm，
∴CE=2CP=8cm，
∵C、E是线段AB的三等分点，
∴AB=3CE=24cm．
（2）如图，当点C靠近点A时：
由（1）知：CP=4cm，AC=CE=EB=8 cm
点D是线段AC的中点，
∴
∴
如图，当点C靠近点B时：
∵点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的中点，
∴AD=DC=CB=8 cm
∵P是线段AB的中点，∴P也为DC的中点，
∴
8．（2020·重庆南川·初一期末）如图，数轴上点、表示的有理数分别为－10、5，点是射线上的一个动点（不与点、重合），点是线段靠近点的三等分点，点是线段靠近点的三等分点.
（1）若点表示的有理数是0，那么的长为______；若点表示的有理数是1，那么的长为______.
（2）点在射线上运动（不与点、重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请求出的长；若改变，请说明理由.
【答案】（1）10，10；（2）的长不会发生改变，且.
【解析】解：（1）若点P表示的有理数是0，则AP＝10，BP＝5．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝，NP＝BP＝，
∴MN＝MP+NP＝+=10；
若点P表示的有理数是1，则AP＝11，BP＝4．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点，
∴MP＝AP＝，NP＝BP＝，
∴MN＝MP+NP＝+=10．
故答案为：10，10；
（2）MN的长不会发生改变，理由如下：
设点P表示的有理数是a（a＞﹣10且a≠5）．
当﹣10＜a＜5时，如图1，AP＝a+10，BP＝5﹣a．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝(5﹣a)，
∴MN＝MP+NP＝(a+10)+(5﹣a)=10；
当a＞5时（如图2），AP＝a+10，BP＝a﹣5．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝( a﹣5)，
∴MN＝MP﹣NP＝(a+10)－( a﹣5)=10．
综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长不会发生变化，且为定值10．
9．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点
（1）求线段MN的长
（2）若点C为线段AB上任意一点，满足AC+BC＝，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？请说明理由
（3）若点C为线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出结论，不说明理由
【答案】（1）7cm；（2）MN=acm，理由见解析；（3）作图见解析；MN=bcm．
【解析】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC=×8cm=4cm，NC=BC=×6cm=3cm，
∴MN=MC+NC=4cm+3cm=7cm；
（2）MN=acm．理由如下：
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC+NC=AC+BC=AB=acm；
（3）如图，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC-NC=AC-BC=（AC-BC）=bcm．
10．（2020·内蒙古额尔古纳·期末）已知：点D是AB的中点，点E是BC的中点，BE=AC=2cm，
（1）如图，点C在线段AB的延长线上，求线段DE的长；
（2）若点C在线段AB上，画出图形，并通过计算得线段DE= cm．（画出图形后，直接填空，不用写计算过程．）
【答案】（1）DE=5cm；（2）画图见详解；DE=5cm．
【解析】解：（1）∵，∴，
∵是的中点，∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴=3+2=5（cm）；
（2）根据题意可作如图：
；
∵，∴，
∵是的中点，BE=CE=2，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴；
故答案为5．
11．（2020·湖南鹤城·期末）如图，线段 AD=8 cm，线段 AC=BD=6 cm，点 E、F 分别是线段 AB、CD 的中点，求线段 EF 的长．
【答案】6cm
【解析】∵，
∴，
∵点、分别是线段、的中点
∴，
∴
答：线段的长是6．
12．（2020·全国初一课时练习）如图，，两点将线段分成三部分，为线段的中点，．求：
（1）线段的长；
（2）线段的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，，．
则有，
解得．
则．
所以的长为．
（2）因为为线段的中点，
所以．
所以
13．（2020·全国初一课时练习）已知：如图，，点是线段的中点，点把线段分成的两部分，求线段的长．
请补充下列解答过程：
解：因为是线段的中点，且，
所以________________．
因为，
所以________________．
所以________________________________．
【答案】，9，，6，，9，6，15．
【解析】解：∵是线段的中点，且，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：，9，，6，，9，6，15．
14．（2020·江苏姜堰·初一期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．
（1）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若，且AC＝12cm，则AD的长为 cm；
（2）若线段AD被点B、C分成了3:4:5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．
【答案】（1）①= ②15 （2）24
【解析】解：（1）①∵AB=CD，
∴AB+BC=BC+CD，
故AC=CD；
②BC=，且AC=12cm，
∴BC=9cm，CD=AB=AC-BC=3cm，
∴AD=AC+CD=12+3=15cm；
（2）线段AD被B、C点分成了3:4:5，设AB=3t，BC=4t，CD=5t，AD=12t，
AB中点M与CD中点N的距离为MN=AD-AM-ND=AD-AB-CD，
即，解得t=2，
∴AD=12t=24cm．
15．（2019·陕西延安·初一期末）如图，已知C、D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB=10，CD=4，求线段MN的长．
【答案】7
【解析】解：由AB=10，CD=4，
∴AC+BD=AB﹣CD=10﹣4=6．
∵M、N分别为AC与BD的中点
∴MC=AC，ND=BD
∴MC+ND=(AC+BD)=×6=3，
∴MN=MC+ND+CD=3+4=7．
16．（2020·湖北红安·初一月考）如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB=20，CD=8，求线段MN的长．
【答案】MN= 14．
【解析】∵AB=20，CD=8
∴AC+BD=AB-CD=20-8=12．
∵M、N分别为AC与BD的中点
∴MC=AC，ND=BD
∴MC+ND=（AC+BD）=×12=6，
∴MN=MC+ND+CD=6+8=14．
17．（2020·河南潢川·初一期末）如图，点B在线段AC的延长线上，AC
（1）若AC=8cm,CB=10cm，求线段MN的长；
（2）若AC=a,CB=b，求线段CD的长．
【答案】（1）9；（2）
【解析】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点
∴MC=, CN=
又∵MN=MC+CN, AC=8cm, CB=10cm
∴MN=
（2）∵点D是AB的中点 ,AC=a,CB=b
∴AD=
又∵AC=a
∴CD=AD-AC=
考点5：与线段的有关动点问题
典例：（2020·广西陆川·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t0）秒，
（1）写出数轴上点B所表示的数 ；
（2）求线段AP的中点所表示的数（用含t的代数式表示）；
（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
【答案】（1）-4；（2） ；（3）不变，图见解析，MN的长度为5．
【解析】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，
所以数轴上点B所表示的数为﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t，
则线段AP的中点所表示的数为=；
（3）线段MN的长度不发生变化，
理由：
分两种情况：
①当点P在A、B两点之间运动时，如图
MN＝MP+NP＝BP+PA＝AB＝5
②当点P运动到B的左边时，如图
MN＝MP﹣NP＝AP﹣PB＝AB＝5．
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．
方法或规律点拨
本题主要考查数轴上的两点距离及线段的和差关系，关键是根据动点的运动得到线段的长，然后根据数轴上的两点距离列式求解即可．
巩固练习
1．（2020·全国初一课时练习）线段点在线段上，点，分别是和的中点．
（1）若点恰好是中点，求的长；
（2）若，求的长；
（3）若点为线段上的一个动点（点不与，重合），求的长．
【答案】（1）6cm；（2）6cm；（3）6cm
【解析】解：（1）因为点是中点，
所以．
又因为，分别是和的中点，
所以，
故的长为．
（2）因为，，
所以．
因为点，分别是和的中点，
所以，，
所以．
（3）因为，
且，
所以．
2．（2020·河南宛城·初一期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）
（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）
（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．
【解析】解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：
①当AB=2AC时，有60=2（x+20），
解得，x=10；
②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），
解得，x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），
解得，x=20．
综上，C点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得，
（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有
①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，
解得，，
②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，
解得，t=6；
③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），
解得，；
综上，运动时间的所有可能值有；t=6；；
（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有
①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），
解得，t=12；
②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），
解得，；
③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），
解得，．
综上，运动时间的所有可能值有：t=12；；．
故，运动时间的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．
3．（2019·云南西山·初一期末）如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点上，AC=10．动点 P，Q 网时分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度，点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点．设运动时间为t秒(t>0)
(1) 点C表示的数是______ ；点P表示的数是______，点Q表示的数是________（点P．点 Q 表示的数用含 t 的式子表示)
(2) 求 MN 的长；
(3) 求 t 为何值时，点P与点Q相距7个单位长度？
【答案】（1） （2） （3）或
【解析】（1）∵点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点上，AC=10
∴点C表示的数是10
∵动点 P，Q 网时分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度
∴，
∴点P表示的数是，点Q表示的数是
故答案为：．
（2）∵点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点，，
∴，
∴．
（3）∵点P表示的数是，点Q表示的数是
∴
∵点P与点Q相距7个单位长度
∴
解得或．
4．（2019·沈阳市第七中学初一期中）已知，一个点从数轴上的原点开始．先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，点C是线段AB的中点．
（1）点C表示的数是 ；
（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B两点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，
①运动t秒时，点C表示的数是 （用含有t的代数式表示）；
②当t＝2秒时，CB•AC的值为 ．
③试探索：点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC总有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③线段CB与AC相等，理由详见解析．
【解析】解：（1）∵一个点从数轴上的原点开始，先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，
∴点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，
又∵点C是线段AB的中点，
∴点C表示的数为＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（2）①∵点C表示的数为﹣1，点以每秒1cm的速度向右移动，
∴运动t秒时，点C表示的数是﹣1+t，
故答案为：﹣1+t；
②由题可得，当t＝2秒时，点A表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B表示的数为4+4×2＝12，点C表示的数是﹣1+2＝1，
∴当t＝2秒时，AC＝11，BC＝11，
∴CB•AC＝121，
故答案为：121；
③点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．理由：
由题可得，点A表示的数为﹣6﹣2t，点B表示的数为4+4t，点C表示的数是﹣1+t，
∴BC＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AC＝（﹣1+t）﹣（﹣6﹣2t）＝5+3t，
∴点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．
5．（2019·湖南长沙·初一期中）已知数轴上的A、B两点所对应的数分别为a、b．P为数轴上的一个动点．其中a，b满足（a﹣1）2+|b+5|＝0，
（1）若点P为AB的中点，求P点对应的数．
（2）若点P从A点出发，以每秒2个单位的速度向左运动，t秒后，求P点所对应的数以及PB的距离．
（3）若数轴上点M、N所对应的数为m、n，其中A为PM的中点，B为PN的中点，无论点P在何处，是否为一个定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由．
【答案】（1）-2；（2）P点表示1﹣2t， PB＝|6﹣2t|；（3）是一个定值，定值为2．
【解析】解：（1）由（a﹣1）2+|b+5|＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，
∴AB＝6，
∵点P为AB的中点，
∴P点对应为﹣2；
（2）P点t秒后运动距离2t，
∴P点表示1﹣2t，
PB＝|1﹣2t+5|＝|6﹣2t|；
（3）设P点表示的数为x，
∵A为PM的中点，
∴x＝2﹣m，
∵B为PN的中点，
∴x＝﹣10﹣n，
∴2﹣m＝﹣10﹣n，
∴m﹣n＝12，
∵MN＝|m﹣n|＝12，
∴＝＝2，
∴是一个定值，定值为2．
6．（2020·山西实验中学初一期中）已知数轴上三点对应的数分别为-1，0，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为．
（1）的长为_______；
（2）如果点到点、点的距离相等，那么的值是_______；
（3）若点到点、点的距离之和是8，那么的值是_______；
（4）如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动.设分钟时点P到点、点的距离相等，那么的值是_______．
【答案】（1）4；（2）1；（3）-3或5；（4）4或
【解析】（1）据图可得：
（2）∵点到点、点的距离相等，即P为MN的中点.
P表示的
（3）当P在M左边时，PM+PN=，解得；
当P在MN之间，PM+PN=MN=4≠8，舍去；
当P在N右边时，PM+PN= ，解得.
故或
（4）设运动t分钟时，P到MN的距离相等.
由题意可以得，，
①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，
∴，解得，符合题意.
②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M的运动速度大于点P的运动速度，所以点M永远位于点P的左侧）
∴ ；
∴解得符合题意.
∴综上所述的值是4或
7．（2020·宁夏银川·景博中学初一期末）如图，数轴上有两个点，为原点，，点所表示的数为．
⑴ ；
⑵求点所表示的数；
⑶动点分别自两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出线段的长度；若不是，请说明理由．
【答案】(1) 4；(2)-8;(3)EF长度不变，EF=2，证明见解析
【解析】解: (1)∵ OA=16,点B所表示的数为20,
∴OB=20,
∴AB=OB-OA=20-16=4,
故答案为：4
(2)∵AB=4，AC=6AB．
∴AC=24,
∴OC=24- 16=8,
∴点C所表示的数为-8;
(3)EF长度不变，EF=2，理由如下：
设运动时间为t，
当 时，点P，Q在点C的右侧，则AP=BQ=2t,
∵AC=24，BC=28,
∴PC=24-2t， CQ=28- 2t．
∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点,
∴
∴EF=CF-CE=2:
当t=12时,C、P重合，此时PC=0， CQ=28-24=4．
∵点F为线段CQ的中点,
∴
∴
当12
∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点,
∴
∴EF=CE+CF=2,
当t=14时,C、Q重合，此时PC=4， CQ=0
∵点E为线段CP的中点,
∴
∴
当t> 14时，点P、Q在点C的左侧，PC=2t-24， CQ=2t-28,
∴
∴EF=CE-CF=2．
综上所述，EF长度不变，EF=2．
8．（2019·泰州市海陵学校初一期末）如图，在射线OM上有三点A，B，C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．
（1）当PA＝2PB（P在线段AB上）时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，求点Q的运动速度；
（2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P，Q两点相距70cm？
（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E，F，求．
【答案】（1）点Q的运动速度为cm/s；（2）经过5秒或70秒两点相距70cm；（3）．
【解析】（1）∵点P在线段AB上时，
∴
∴
∴
∵点Q是线段AB的中点
∴
∴
∴点Q的运动速度为；
（2）设运动时间为t秒
则
∵点Q运动到O点时停止运动
∴点Q最多运动时间为
依题意，分以下两种情况：
①当点P、Q相向而行时
，即
解得
②当点P、Q直背而行时
若，则
因此，点Q运动到点O停止运动后，点P继续运动，点P、Q相距正好等于，此时运动时间为
综上，经过5秒或70秒，P、Q两点相距；
（3）如图，设
点P在线段AB上，则，即
点E、F分别为OP和AB的中点
则．
9．（2020·江苏扬中·初一期末）是线段上任一点，，两点分别从同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为.
（1）若，
①运动后，求的长；
②当在线段上运动时，试说明；
（2）如果时，，试探索的值.
【答案】（1）①3cm；②见解析；（2）或11cm.
【解析】解：（1）①由题意可知：，
∵，∴，
∴；
②∵，∴，
∴，∴，
∴；
（2）当时，
，
当点在的右边时，如图所示：由于，∴，∴，
∴，
当点在的左边时，如图所示：∴，∴，
综上所述，或11cm.
10．（2020·重庆綦江·初一期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【答案】（1）8厘米；（2）12a；（3）t=4或265或112．
【解析】（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，
∴MN=CM+CN=8厘米；
（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=a；
（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得
10﹣2t=6﹣t，解得t=4；
②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10=16﹣3t，解得t=；
③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t=3t﹣16，解得t=；
④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10=t﹣6，解得t=4（舍），
综上所述：t=4或或．
专题4.2 直线、射线、线段
典例体系
一、知识点
1.立体图形与平面图形
1、直线、射线、线段的比较
名称
不同点
联系
共同点
延伸性
端点数
线段
不能延伸
2
线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线
都是直的线
射线
只能向一方延伸
1
直线
可向两方无限延伸
无
2、点、直线、射线和线段的表示
在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示，如点A
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l,或者直线AB
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l,射线AB
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l,线段AB
3、点和直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
4、线段的性质
（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
（5）线段的比较：1.目测法 2.叠合法 3.度量法
5、线段的中点：
点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。
M
A
B
M是线段AB的中点
AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）
6、直线的性质
（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
考点1：根据几何语言画图
典例：（2020·全国初一课时练习）如图，已知平面上有四个村庄，用四个点，，，表示．
（1）连接，作射线，作直线与射线交于点；
（2）若要建一供电所，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所应建在何处？请画出点的位置并说明理由．
【答案】（1）如图所示．见解析；（2）如图，见解析；供电所应建在与的交点处．理由：两点之间，线段最短．
【解析】（1）如图所示：点E即为所求；
（2）如图所示：点M即为所求．
理由：两点之间，线段最短．
方法或规律点拨
本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段距离最短．
巩固练习
1．（2020·湖南涟源·初一期末）平面上有条直线，则交点可能是（ ）
A．个 B．个或个
C．个或个或个 D．个或个或个或个
【答案】D
【解析】解：3条直线的分布情况可能是：如图，
交点个数分别是0个或1个或2个或3个，
故选：D．
2．（2020·全国初一课时练习）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m＋n等于( )
A．12 B．16 C．20 D．以上都不对
【答案】B
【解析】根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；
任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，
∵任意三条直线不过同一点，
∴此时交点为：6×（6-1）÷2=15，即n=15；
则m+n=16．
故选B．
3．（2019·浙江省临海市大成中学初一月考）两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（ ）．
A．1 B．2 C．1或2或3 D．0或1或2或3
【答案】C
【解析】
解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1；
当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2；
当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3；
故选：C．
4．（2020·巨野县育才实验学校初一月考）图中直线PQ、射线AB、线段MN能相交的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】射线AB要注意方向是从A指向B的方向，
观察题中各选项的图，可知A、B、C选项均不能相交，只有D选项能够相交．
故选D．
5．（2020·新疆生产建设兵团第六师教育局教学研究室期末）根据下列语句画图并计算．
（1）作线段AB ，作射线AC，作直线BD
（2）作线段AB ，在线段AB的延长线上取点C，使BC=2AB ，M是AC的中点，若AB=5厘米，求BM的长．
【答案】（1）见解析；（2）BM=2.5cm
【解析】解：（1）作图如下：
；
（2）如图：
∵ BC=2AB，AB=5cm，
∴ AC=15cm，
∵M是AC的中点，
∴AM=MC=AC，
∴AM=7.5cm，
∵BM=AM-AB，
∴BM=7.5-5=2.5cm．
6．（2020·全国课时练习）根据下列语句画出图形．
（1）点在直线上，点在直线外；
（2）过点画射线；
（3）画一条与线段相交的直线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
7．（2020·全国课时练习）按下列语句画图，画线段厘米，延长到点C，使厘米，再延长到点D，使厘米，取点E为中点，取点F为中点．画图后求的长度．
【答案】作图见解析；厘米．
【解析】解：如下图所示，画线段厘米，延长到点C，使厘米，再延长到点D，使厘米，取点E为中点，取点F为中点，
∴CD=DA＋AB＋BC=6厘米
∵点E为中点，点F为中点，
∴DE==1厘米，DF==3厘米
∴EF=DF－DE=2厘米
8．（2020·内蒙古海勃湾·初一期末）如图，平面上有四个点，A,B,C,D根据下列语句画图
（1）作射线BC
（2）画线段CD
（3）连接AC,并延长至E，使CE=AC
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】根据题意画图如下：
9．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图，已知同一平面内的四个点A、B、C、D，根据要求用直尺画图．
（1）画线段AB，∠ADC；
（2）找一点P，使P点既在直线AD上，又在直线BC上；
（3）找一点Q，使Q到A、B、C、D四个点的距离和最短．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.
【解析】解：（1）如图所示，线段AB、∠ADC即为所求；
（2）直线AD与直线BC交点P即为所求；
（3）如图所示，点Q即为所求．
故答案为（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.
10．（2020·全国初一课时练习）如图，平面上有三点，，，按下列要求画出图形（在原图上画）
（1）画直线；
（2）画射线；
（3）画线段．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】如图所示：
考点2：直线、射线、线段的数量
典例：（2020·江西大余·初一期末）如图:
(1)试验观察:
如果经过两点画直线,那么:
第①组最多可以画____条直线;
第②组最多可以画____条直线;
第③组最多可以画____条直线.
(2)探索归纳:
如果平面上有n(n≥3)个点,且任意3个点均不在1条直线上,那么经过两点最多可以画____条直线.(用含n的式子表示)
(3)解决问题:
某班45名同学在毕业后的一次聚会中,若每两人握1次手问好,那么共握____次手.
【答案】(1)3，6，10；(2)； (3)990
【解析】（1）根据图形得：如图：（1）试验观察
如果每过两点可以画一条直线，那么：
第①组最多可以画3条直线；
第②组最多可以画6条直线；
第③组最多可以画10条直线．
（2）探索归纳：
如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多可以画1+2+3+…+n-1=条直线．（用含n的代数式表示）
（3）解决问题：
某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次手．
方法或规律点拨
本题考查了图形的变化类问题，运用了从特殊到一般的数学思想，解题的关键是仔细的观察并找到其中的规律．
巩固练习
1．（2020·全国课时练习）在直线上有A、B、C、D四点，以这四点为端点的线段有几条？把它们写出来．
【答案】6条：、、、、、
【解析】如图所示：
①以A为线段的一个端点的线段有AB、AC、AD，共计3条；
②以B为线段的一个端点的线段有BC、BD，共计2条；
③以C为线段的一个端点的线段有CD，共计1条；
综合上述可得：共有6个线段，分别为、、、、、．
2．（2020·全国初一课时练习）探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，直线上有两点A与B，图中有线段___条；
（2）拓展延伸：
图2直线上有A，B，C三个点，以A为端点，有线段AB，线段AC；同样以C为端点，有线段CA，线段CB；以B为端点，有线段BA，线段BC，去除重复线段，图2共有___条线段；
同样方法探究出图3中有_____条线段；
(3)探索归纳：
如果直线上有n(n为正整数)个点，则共有________条线段．(用含n的式子表示)
(4)解决问题：
①中职篮（CBA）2018——2019赛季，比赛队伍数仍然为20支，截止2018年12月14日，赛程已经过半（每两队之间都赛了一场），请你帮助计算一下目前一共进行了多少场比赛？
②2018年11月30日，赤峰至京沈高铁喀左站客运专线路基工程全部完成，将正式进入轨道铺设阶段，预计2020年7月1日通车，北京至赤峰有北京星火站，顺义西站，怀柔南站，密云站，兴隆西站，安匠站，承德南站，承德县北站，平泉北站，牛河梁站，喀左站，宁城站、平庄西站、赤峰西站等共计14个车站，请你帮助计算一下，应该设计多少种高铁车票？
【答案】（1）1条；（2）3条；6条；（3）；（4）①190场；②182种.
【解析】（1）1条
（2）3条，6条
（3）每一个点都能作出（n-1）个线段,n个点一共有n(n-1)个线段,除去重复的所以共有条线段.
（4）①20×（20-1）÷2=190场
②14×（14-1）=182种
3．（2019·山东聊城二中初一月考）如图，，点在上，且是的中点.
（1）图中共有几条线段，分别表示出这些线段；
（2）求的长.
【答案】（1）有六条线段，线段AD，线段AC，线段AB，线段DC，线段DB，线段CB；（2）3cm
【解析】（1）两点有一条线段，得：
图中有六条线段，线段AD，线段AC，线段AB，线段DC，线段DB，线段CB；
（2）∵AB=10cm，CB=4cm
∴AC=AB-CB=10-4=6cm，
∵D是AC的中点，
∴AD=AC=3cm．
4．（2019·辽宁大东·初一期中）读图，回答问题
（1）在线段上取一点，共有 条线段；
（2）在线段上取两点，共有 条线段；
（3）在线段上取三点，共有 条线段；
（4）在线段上取个点，共有 条线段．
【答案】（1）3；（2）6；（3）10；（4）
【解析】解：（1）在线段AB上取一点C，共有1＋2=×3×2=3条线段；
故答案为：3；
（2）在线段AB上取两点C，D，共有1＋2＋3=×4×3=6条线段；
故答案为：6；
（3）在线段AB上取三点C，D，E，共有1＋2＋3＋4=×5×4=10条线段；
故答案为：10；
（4）在线段AB上取（n−2）个点，共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋（n−1）=条线段．
故答案为：．
5．（2019·四川甘孜·初一月考）① 如图（1），直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线：A1A2、A2A1，有1条线段：A1A2；
② 如图（2），直线l上有3个点，则图中有几条可用图中字母表示的射线，有几条线段，并分别用图中字母表示出来；
③ 如图（3），直线l上有n个点，则图中有多少条可用图中字母表示的射线，有多少条线段，分别用含n的代数式表示出来；
④ 应用（3）中发现的规律解决问题：某校七年级共有8个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛？
【答案】②射线有4条，线段有3条；③射线的条数是(2n-2)条，线段的条数是条；④ 28场．
【解析】解：②根据射线的定义可得：射线有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共4条；由线段的定义可得线段有：射线有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共3条；
③根据规律，射线是每个点用两次，但第一个和最后一个只用一次，所以射线的条数是2n-2，线段是从这些点中任取两个点就是一条线段，所以线段的条数是；
④∵某校七年级共有8个班进行足球比赛，
∴全部赛完共需比赛场次为：（场），
∴全部赛完共需比赛场次为28.
6．（2020·山东汶上·初一期末）（1）（观察思考）：
如图，线段上有两个点,图中共有_________条线段；
（2）（模型构建）：
如果线段上有个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有___________条线段；
（3）（拓展应用）：
某班8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行__________场比赛．
【答案】解：（1）6；（2）；（3）28
【解析】（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，
以点D为左端点向右的线段有线段DC、DB，
以点C为左端点的线段有线段CB，
∴共有3+2+1=6条线段；
故答案为:6
（2）.理由如下：
设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+…+3+2+1①
∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m-3)+(m-2)+(m-1)②
+②得：2x=m(m-1)，
，
故有条线段；
故答案为:
（3）把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场象棋比赛看作为一条线段，
直线上8个点所构成的线段条数就等于象棋比赛的场数，
因此一共要进行（场）
故答案为:28
7．（2020·山西吕梁·初一期末）已知平面上点，，，（每三点都不在一条直线上）.
（1）经过这四点最多能确定 条直线.
（2）如图这四点表示公园四个地方，如果点，在公园里湖对岸两处，，在湖面上，要从到筑桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中两条路中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪一条？为什么？
【答案】（1）6;（2）从节省材料的角度考虑，应选择图中②，如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择①．理由见解析.
【解析】（1）线段AB、BC、CD、DA、AC、BD共6条；
故答案为：6
（2）从节省材料的角度考虑，应选择图中②，如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择①．因为由两点之间线段最短，路线②比路线①短，可以节省材料；而①路途较长，可以在桥上较长时间观赏湖面风光．
考点3：线段的和与差
典例：（2020·湖北枣阳·初一期末）（1）如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作线段，使它等于．
（2）点A，B，C在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm．求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）2cm或4cm
【解析】（1）如图，图中线段AE即为所求，
（2）当点C在线段AB上时，
AC=AB-BC=2cm；
当点C在线段AB的延长线上时，
AC=AB+BC=4cm，
∴AC的长为2cm或4cm．
方法或规律点拨
本题主要考查线段的和与差，找准线段之间的关系是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）根据下列语句画图并计算．
（1）作线段，在线段的延长线上取点，使，是线段的中点，若，求线段的长．
（2）作线段，在线段的延长线上取点，使，是线段的中点，若，求线段的长．
【答案】（1）详见解析，；（2）详见解析，
【解析】解：（1）如图所示：
因为BC=2AB，且AB=20厘米，所以BC=40厘米，
又因为M是BC的中点，所以厘米．
（2）如图所示：
BC=2AB且AB=20厘米，所以BC=40厘米，AC=AB+BC=60厘米，
又因为M为AC中点，所以厘米，所以BM=AM-AB=30-20=10厘米．
2．（2019·青州市邵庄初级中学月考）已知线段a，b，求作线段EF＝2a﹣b．
【答案】答案见解析．
【解析】解：如图，线段EF即为所求．
3．（2019·青州市邵庄初级中学月考）点B在直线AC上，AB＝10，BC＝6，求线段AC的长．
【答案】4或16．
【解析】解：当点B在线段AC上时，AC＝AB+BC＝10+6＝16；
当点B在线段AC的延长线上时，AC＝AB-BC＝10-6＝4．
综上所述：线段AC的长是：4或16．
4．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学期末）按照要求尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图所示，已知线段和线段，求作线段，使线段．
【答案】答案见解析
【解析】如图线段AB即为所求
5．（2019·河北泊头·初一期末）如图，已知线段AB．
(1)用没有刻度的直尺和圆规按所给的要求作图：点C在线段BA的延长线上，且CA＝2AB；
(2)在(1)中，如果AB＝28 cm，点M为线段BC的中点，求线段AM的长．
【答案】（1）见解析；（2）AM=14cm．
【解析】（1）延长BA，以A为圆心AB长为半径画弧，交BA延长线于一点，再以该点为圆心，AB长为半径画弧，于BA的延长线的交点即为点C，
如图所示：
（2）如图所示：
∵CA=2AB
∴BC=CA+AB=3AB=3×28=84cm
∵点M为BC的中点
∴BM=BC=×84=42cm
∵AM=BM-AB
∴AM=42-28=14cm
6．（2020·上海市静安区实验中学单元测试）根据所示图形填空，理解截取、顺次截取的意义，熟练掌握基本画图语句．
已知线段a、b，画出一条线段，使它等于a+b．
在射线OP上顺次截取（ ）=a，（ ）=b，线段（ ）就是所要画的线段．
【答案】OA，AB，OB
【解析】如图所示：
∵作图的步骤：在射线OP上顺次截取OA=，AB=b
∴线段OB=
∴线段OB就是所要画的线段
故答案为：OA，AB，OB．
7．（2020·广东顺德·初一期末）已知线段m、n．
（1）尺规作图：作线段AB，满足AB＝m+n（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，点O是AB的中点，点C在线段AB上，且满足AC＝m，当m＝5，n＝3时，求线段OC的长．
【答案】（1）见解析；（2）m﹣n
【解析】解：（1）如图所示，线段AB即为所求；
（2）如图，∵点O是AB的中点，
∴AO＝AB＝（m+n），
又∵AC＝m，
∴OC＝AC﹣AO＝m﹣（m+n）＝m﹣n．
考点4：与线段的有关计算
典例：（2020·河北复兴·初三月考）如图，在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为4.
（1）求的长；
（2）若把图中数轴的单位长度扩大30倍，点A，点B表示的数也相应发生变化，已知点P是线段的三等分点，求点P表示的数.
【答案】（1）；（2）点P表示的数为或55.
【解析】（1）；
（2）根据题意可知，数轴的单位长度扩大30倍，
则点A表示的数为，
点B表示的数为，
所以；
当点P靠近点A时，，
所以点P表示的数为；
当点P靠近点B时，，
所以点P表示的数为.
综上所述，点P表示的数为或55.
方法或规律点拨
此题考查数轴上两点之间的距离的求法，利用距离确定点的坐标.注意点P是线段AB的三等分点，线段的三等分点有两个，当没有明确是哪一个点时要分两种情况解答，避免遗漏.
巩固练习
1．（2020·全国课时练习）如图，是线段的中点，点，把线段三等分．已知线段的长为1.5，求线段的长．
【答案】线段的长为
【解析】解：∵点是线段的中点，
∴，
∵点，把线段三等分，
，
，
，即，
，
答：线段的长为.
2．（2020·全国课时练习）如图所示，线段被点M分成2:3两段，且被点N分成4:1两段，已知厘米，求的长．
【答案】厘米
【解析】解：设=x厘米
∵线段被点M分成2:3两段，且被点N分成4:1两段，
∴AM=，AN=
∵AN－AM=MN，厘米，
∴－=3
解得：x=
即厘米
3．（2018·湖南南县·初一期末）如图，C是线段AB的中点，D是线段AB的三等分点，如果CD=2cm，求线段AB的长.
【答案】AB的长为12cm．
【解析】解：设AB的长为xcm，则AC的长为cm，AD的长为cm；
依题意得： ，
解得 ： ．
答：AB的长为12cm．
4．（2019·河南洛阳·初一期末）已知如图，点是线段上的两点，点和点分别在线段和线段上．已知，，，时，求的长度．
【答案】4.5cm
【解析】解，
．
,
，
．
5．（2020·浙江滨江·初一期末）已知，P是线段AB的中点，点C是线段AB的三等分点，线段CP的长为4 cm.
（1）求线段AB的长；
（2）若点D是线段AC的中点，求线段DP的长.
【答案】（1）24cm；（2）或
【解析】（1）如图，点E为另外一个三等分点，
∵P是线段AB的中点，
∴P也为CE的中点，又CP=4cm，
∴CE=2CP=8cm，
∵C、E是线段AB的三等分点，
∴AB=3CE=24cm．
（2）如图，当点C靠近点A时：
由（1）知：CP=4cm，AC=CE=EB=8 cm
点D是线段AC的中点，
∴
∴
如图，当点C靠近点B时：
∵点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的中点，
∴AD=DC=CB=8 cm
∵P是线段AB的中点，∴P也为DC的中点，
∴
8．（2020·重庆南川·初一期末）如图，数轴上点、表示的有理数分别为－10、5，点是射线上的一个动点（不与点、重合），点是线段靠近点的三等分点，点是线段靠近点的三等分点.
（1）若点表示的有理数是0，那么的长为______；若点表示的有理数是1，那么的长为______.
（2）点在射线上运动（不与点、重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请求出的长；若改变，请说明理由.
【答案】（1）10，10；（2）的长不会发生改变，且.
【解析】解：（1）若点P表示的有理数是0，则AP＝10，BP＝5．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝，NP＝BP＝，
∴MN＝MP+NP＝+=10；
若点P表示的有理数是1，则AP＝11，BP＝4．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点，
∴MP＝AP＝，NP＝BP＝，
∴MN＝MP+NP＝+=10．
故答案为：10，10；
（2）MN的长不会发生改变，理由如下：
设点P表示的有理数是a（a＞﹣10且a≠5）．
当﹣10＜a＜5时，如图1，AP＝a+10，BP＝5﹣a．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝(5﹣a)，
∴MN＝MP+NP＝(a+10)+(5﹣a)=10；
当a＞5时（如图2），AP＝a+10，BP＝a﹣5．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝( a﹣5)，
∴MN＝MP﹣NP＝(a+10)－( a﹣5)=10．
综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长不会发生变化，且为定值10．
9．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点
（1）求线段MN的长
（2）若点C为线段AB上任意一点，满足AC+BC＝，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？请说明理由
（3）若点C为线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出结论，不说明理由
【答案】（1）7cm；（2）MN=acm，理由见解析；（3）作图见解析；MN=bcm．
【解析】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC=×8cm=4cm，NC=BC=×6cm=3cm，
∴MN=MC+NC=4cm+3cm=7cm；
（2）MN=acm．理由如下：
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC+NC=AC+BC=AB=acm；
（3）如图，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC-NC=AC-BC=（AC-BC）=bcm．
10．（2020·内蒙古额尔古纳·期末）已知：点D是AB的中点，点E是BC的中点，BE=AC=2cm，
（1）如图，点C在线段AB的延长线上，求线段DE的长；
（2）若点C在线段AB上，画出图形，并通过计算得线段DE= cm．（画出图形后，直接填空，不用写计算过程．）
【答案】（1）DE=5cm；（2）画图见详解；DE=5cm．
【解析】解：（1）∵，∴，
∵是的中点，∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴=3+2=5（cm）；
（2）根据题意可作如图：
；
∵，∴，
∵是的中点，BE=CE=2，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴；
故答案为5．
11．（2020·湖南鹤城·期末）如图，线段 AD=8 cm，线段 AC=BD=6 cm，点 E、F 分别是线段 AB、CD 的中点，求线段 EF 的长．
【答案】6cm
【解析】∵，
∴，
∵点、分别是线段、的中点
∴，
∴
答：线段的长是6．
12．（2020·全国初一课时练习）如图，，两点将线段分成三部分，为线段的中点，．求：
（1）线段的长；
（2）线段的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，，．
则有，
解得．
则．
所以的长为．
（2）因为为线段的中点，
所以．
所以
13．（2020·全国初一课时练习）已知：如图，，点是线段的中点，点把线段分成的两部分，求线段的长．
请补充下列解答过程：
解：因为是线段的中点，且，
所以________________．
因为，
所以________________．
所以________________________________．
【答案】，9，，6，，9，6，15．
【解析】解：∵是线段的中点，且，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：，9，，6，，9，6，15．
14．（2020·江苏姜堰·初一期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．
（1）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若，且AC＝12cm，则AD的长为 cm；
（2）若线段AD被点B、C分成了3:4:5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．
【答案】（1）①= ②15 （2）24
【解析】解：（1）①∵AB=CD，
∴AB+BC=BC+CD，
故AC=CD；
②BC=，且AC=12cm，
∴BC=9cm，CD=AB=AC-BC=3cm，
∴AD=AC+CD=12+3=15cm；
（2）线段AD被B、C点分成了3:4:5，设AB=3t，BC=4t，CD=5t，AD=12t，
AB中点M与CD中点N的距离为MN=AD-AM-ND=AD-AB-CD，
即，解得t=2，
∴AD=12t=24cm．
15．（2019·陕西延安·初一期末）如图，已知C、D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB=10，CD=4，求线段MN的长．
【答案】7
【解析】解：由AB=10，CD=4，
∴AC+BD=AB﹣CD=10﹣4=6．
∵M、N分别为AC与BD的中点
∴MC=AC，ND=BD
∴MC+ND=(AC+BD)=×6=3，
∴MN=MC+ND+CD=3+4=7．
16．（2020·湖北红安·初一月考）如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB=20，CD=8，求线段MN的长．
【答案】MN= 14．
【解析】∵AB=20，CD=8
∴AC+BD=AB-CD=20-8=12．
∵M、N分别为AC与BD的中点
∴MC=AC，ND=BD
∴MC+ND=（AC+BD）=×12=6，
∴MN=MC+ND+CD=6+8=14．
17．（2020·河南潢川·初一期末）如图，点B在线段AC的延长线上，AC
（1）若AC=8cm,CB=10cm，求线段MN的长；
（2）若AC=a,CB=b，求线段CD的长．
【答案】（1）9；（2）
【解析】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点
∴MC=, CN=
又∵MN=MC+CN, AC=8cm, CB=10cm
∴MN=
（2）∵点D是AB的中点 ,AC=a,CB=b
∴AD=
又∵AC=a
∴CD=AD-AC=
考点5：与线段的有关动点问题
典例：（2020·广西陆川·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t0）秒，
（1）写出数轴上点B所表示的数 ；
（2）求线段AP的中点所表示的数（用含t的代数式表示）；
（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
【答案】（1）-4；（2） ；（3）不变，图见解析，MN的长度为5．
【解析】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，
所以数轴上点B所表示的数为﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t，
则线段AP的中点所表示的数为=；
（3）线段MN的长度不发生变化，
理由：
分两种情况：
①当点P在A、B两点之间运动时，如图
MN＝MP+NP＝BP+PA＝AB＝5
②当点P运动到B的左边时，如图
MN＝MP﹣NP＝AP﹣PB＝AB＝5．
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．
方法或规律点拨
本题主要考查数轴上的两点距离及线段的和差关系，关键是根据动点的运动得到线段的长，然后根据数轴上的两点距离列式求解即可．
巩固练习
1．（2020·全国初一课时练习）线段点在线段上，点，分别是和的中点．
（1）若点恰好是中点，求的长；
（2）若，求的长；
（3）若点为线段上的一个动点（点不与，重合），求的长．
【答案】（1）6cm；（2）6cm；（3）6cm
【解析】解：（1）因为点是中点，
所以．
又因为，分别是和的中点，
所以，
故的长为．
（2）因为，，
所以．
因为点，分别是和的中点，
所以，，
所以．
（3）因为，
且，
所以．
2．（2020·河南宛城·初一期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）
（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）
（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．
【解析】解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：
①当AB=2AC时，有60=2（x+20），
解得，x=10；
②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），
解得，x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），
解得，x=20．
综上，C点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得，
（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有
①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，
解得，，
②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，
解得，t=6；
③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），
解得，；
综上，运动时间的所有可能值有；t=6；；
（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有
①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），
解得，t=12；
②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），
解得，；
③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），
解得，．
综上，运动时间的所有可能值有：t=12；；．
故，运动时间的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．
3．（2019·云南西山·初一期末）如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点上，AC=10．动点 P，Q 网时分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度，点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点．设运动时间为t秒(t>0)
(1) 点C表示的数是______ ；点P表示的数是______，点Q表示的数是________（点P．点 Q 表示的数用含 t 的式子表示)
(2) 求 MN 的长；
(3) 求 t 为何值时，点P与点Q相距7个单位长度？
【答案】（1） （2） （3）或
【解析】（1）∵点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点上，AC=10
∴点C表示的数是10
∵动点 P，Q 网时分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度
∴，
∴点P表示的数是，点Q表示的数是
故答案为：．
（2）∵点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点，，
∴，
∴．
（3）∵点P表示的数是，点Q表示的数是
∴
∵点P与点Q相距7个单位长度
∴
解得或．
4．（2019·沈阳市第七中学初一期中）已知，一个点从数轴上的原点开始．先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，点C是线段AB的中点．
（1）点C表示的数是 ；
（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B两点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，
①运动t秒时，点C表示的数是 （用含有t的代数式表示）；
②当t＝2秒时，CB•AC的值为 ．
③试探索：点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC总有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③线段CB与AC相等，理由详见解析．
【解析】解：（1）∵一个点从数轴上的原点开始，先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，
∴点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，
又∵点C是线段AB的中点，
∴点C表示的数为＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（2）①∵点C表示的数为﹣1，点以每秒1cm的速度向右移动，
∴运动t秒时，点C表示的数是﹣1+t，
故答案为：﹣1+t；
②由题可得，当t＝2秒时，点A表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B表示的数为4+4×2＝12，点C表示的数是﹣1+2＝1，
∴当t＝2秒时，AC＝11，BC＝11，
∴CB•AC＝121，
故答案为：121；
③点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．理由：
由题可得，点A表示的数为﹣6﹣2t，点B表示的数为4+4t，点C表示的数是﹣1+t，
∴BC＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AC＝（﹣1+t）﹣（﹣6﹣2t）＝5+3t，
∴点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．
5．（2019·湖南长沙·初一期中）已知数轴上的A、B两点所对应的数分别为a、b．P为数轴上的一个动点．其中a，b满足（a﹣1）2+|b+5|＝0，
（1）若点P为AB的中点，求P点对应的数．
（2）若点P从A点出发，以每秒2个单位的速度向左运动，t秒后，求P点所对应的数以及PB的距离．
（3）若数轴上点M、N所对应的数为m、n，其中A为PM的中点，B为PN的中点，无论点P在何处，是否为一个定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由．
【答案】（1）-2；（2）P点表示1﹣2t， PB＝|6﹣2t|；（3）是一个定值，定值为2．
【解析】解：（1）由（a﹣1）2+|b+5|＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，
∴AB＝6，
∵点P为AB的中点，
∴P点对应为﹣2；
（2）P点t秒后运动距离2t，
∴P点表示1﹣2t，
PB＝|1﹣2t+5|＝|6﹣2t|；
（3）设P点表示的数为x，
∵A为PM的中点，
∴x＝2﹣m，
∵B为PN的中点，
∴x＝﹣10﹣n，
∴2﹣m＝﹣10﹣n，
∴m﹣n＝12，
∵MN＝|m﹣n|＝12，
∴＝＝2，
∴是一个定值，定值为2．
6．（2020·山西实验中学初一期中）已知数轴上三点对应的数分别为-1，0，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为．
（1）的长为_______；
（2）如果点到点、点的距离相等，那么的值是_______；
（3）若点到点、点的距离之和是8，那么的值是_______；
（4）如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动.设分钟时点P到点、点的距离相等，那么的值是_______．
【答案】（1）4；（2）1；（3）-3或5；（4）4或
【解析】（1）据图可得：
（2）∵点到点、点的距离相等，即P为MN的中点.
P表示的
（3）当P在M左边时，PM+PN=，解得；
当P在MN之间，PM+PN=MN=4≠8，舍去；
当P在N右边时，PM+PN= ，解得.
故或
（4）设运动t分钟时，P到MN的距离相等.
由题意可以得，，
①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，
∴，解得，符合题意.
②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M的运动速度大于点P的运动速度，所以点M永远位于点P的左侧）
∴ ；
∴解得符合题意.
∴综上所述的值是4或
7．（2020·宁夏银川·景博中学初一期末）如图，数轴上有两个点，为原点，，点所表示的数为．
⑴ ；
⑵求点所表示的数；
⑶动点分别自两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出线段的长度；若不是，请说明理由．
【答案】(1) 4；(2)-8;(3)EF长度不变，EF=2，证明见解析
【解析】解: (1)∵ OA=16,点B所表示的数为20,
∴OB=20,
∴AB=OB-OA=20-16=4,
故答案为：4
(2)∵AB=4，AC=6AB．
∴AC=24,
∴OC=24- 16=8,
∴点C所表示的数为-8;
(3)EF长度不变，EF=2，理由如下：
设运动时间为t，
当 时，点P，Q在点C的右侧，则AP=BQ=2t,
∵AC=24，BC=28,
∴PC=24-2t， CQ=28- 2t．
∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点,
∴
∴EF=CF-CE=2:
当t=12时,C、P重合，此时PC=0， CQ=28-24=4．
∵点F为线段CQ的中点,
∴
∴
当12
∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点,
∴
∴EF=CE+CF=2,
当t=14时,C、Q重合，此时PC=4， CQ=0
∵点E为线段CP的中点,
∴
∴
当t> 14时，点P、Q在点C的左侧，PC=2t-24， CQ=2t-28,
∴
∴EF=CE-CF=2．
综上所述，EF长度不变，EF=2．
8．（2019·泰州市海陵学校初一期末）如图，在射线OM上有三点A，B，C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．
（1）当PA＝2PB（P在线段AB上）时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，求点Q的运动速度；
（2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P，Q两点相距70cm？
（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E，F，求．
【答案】（1）点Q的运动速度为cm/s；（2）经过5秒或70秒两点相距70cm；（3）．
【解析】（1）∵点P在线段AB上时，
∴
∴
∴
∵点Q是线段AB的中点
∴
∴
∴点Q的运动速度为；
（2）设运动时间为t秒
则
∵点Q运动到O点时停止运动
∴点Q最多运动时间为
依题意，分以下两种情况：
①当点P、Q相向而行时
，即
解得
②当点P、Q直背而行时
若，则
因此，点Q运动到点O停止运动后，点P继续运动，点P、Q相距正好等于，此时运动时间为
综上，经过5秒或70秒，P、Q两点相距；
（3）如图，设
点P在线段AB上，则，即
点E、F分别为OP和AB的中点
则．
9．（2020·江苏扬中·初一期末）是线段上任一点，，两点分别从同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为.
（1）若，
①运动后，求的长；
②当在线段上运动时，试说明；
（2）如果时，，试探索的值.
【答案】（1）①3cm；②见解析；（2）或11cm.
【解析】解：（1）①由题意可知：，
∵，∴，
∴；
②∵，∴，
∴，∴，
∴；
（2）当时，
，
当点在的右边时，如图所示：由于，∴，∴，
∴，
当点在的左边时，如图所示：∴，∴，
综上所述，或11cm.
10．（2020·重庆綦江·初一期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【答案】（1）8厘米；（2）12a；（3）t=4或265或112．
【解析】（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，
∴MN=CM+CN=8厘米；
（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=a；
（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得
10﹣2t=6﹣t，解得t=4；
②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10=16﹣3t，解得t=；
③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t=3t﹣16，解得t=；
④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10=t﹣6，解得t=4（舍），
综上所述：t=4或或．
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