人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系同步训练题

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系(精练)

【题组一 平面及其性质】

1．(2021·上海杨浦 )两个平面最多可以将空间分为___________部分.

【答案】4

【解析】两个平面的位置关系有平行和相交两种，

当两个平面平行时，它们可将空间分成3部分，

当两个平面相交时，它们可将空间分成4部分，

所以两个平面最多可以将空间分为4部分.

故答案为：4

2．(2021·上海宝山 )一条直线和直线外三点最多可以确定_________个平面.

【答案】4

【解析】( 1 ) 如果直线外三点共线，且所在直线与已知直线平行，可确定 1 个平面；如果直线外三点共线 , 且所在直线与已知直线相交 , 可确定 1 个平面 ；

 ( 2 ) 如果直线外三点共线，且所在直线与已知直线异面，可确定 3 个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的 3 条直线中，两条与已知直线均异面，第三条与已知直线平行，可确定 3 个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的 3 条直线中，两条与已知直线均异面，第三条与已知直线相交，可确定 3 个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的 3 条直线中，两条与已知直线均异面 , 第三条与已知直线相交，可确定 3 个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的 3 条直线中，一条与已知直线均异面，其它两条与已知直线相交，可确定 3 个平面；

 ( 3 ) 如果直线外三点不共线，且任意两点所在直线与已知直线均异面，可确定 4 个平面；

综上所述，最多可确定4个平面.

故答案为：4

3．(2021·上海奉贤·高二月考)互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定____________个平面；

【答案】6

【解析】解：当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，

如图正方体的四条侧棱，

所以最多可确定6个面.

故答案为：6.

4．(2021·上海闵行 )空间中三个平面最多可以将空间分为________部分．

【答案】8

【解析】如图所示，空间中三个平面最多可以将空间分为8部分.

故答案为：8.

5．(2021·全国·高二课时练习)过空间一点，作已知直线的平行线，有且只有______条.

【答案】1

【解析】由空间中直线的位置关系可知过空间一点，作已知直线的平行线，有且只有1条，

故答案为：1.

【题组二 数学符号的表示】

1．(2021·广东实验中学高一期中)已知，是不同的点，，，是不同的直线，，是不同的平面，则下列数学符号表示的不是基本事实(公理)的选项为(      )

A．，，，

B．，存在唯一直线，，且

C．，

D．确定一个平面且，

【答案】D

【解析】由公理一可知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故选项为公理，

由公理三可知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故选项是公理，

由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故选项是公理，

不同的两直线平行，确定一个平面，且两直线在平面内，为判定定理，非公理，故选项错误．

故选：．

2．(2021·福建宁德·高一期中)如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为(    )

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【解析】由图可知：，故选：B

3．(2021·广东·西樵高中高一月考)(多选)下图中图形的画法正确的是(    )

A．点A在平面内

B．直线在平面内

C．直线交平面于点P

D．三个平面两两相交

【答案】AC

【解析】点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，A正确；

线在面内，表示直线的线段必须画在表示平面的平行四边形内部，B错；

直线与平面相交，有一个公共点，C正确；

三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线，三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形，D错．

故选：AC．

4．(2021·江苏·沛县教师发展中心高一月考)(多选)下图中图形的画法正确的是(    )

A．点在平面内 B．直线在平面内

C．直线交平面于点 D．三个平面两两相交

【答案】ACD

【解析】由点与平面、直线与平面、平面与平面的画法可知对，B答案直线应画在平行四边形里面.

故选：

5．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，用符号语言表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系：

①点，在直线上________；②直线在平面内________；③点在直线上，点在平面内________.

【答案】，        ，   

【解析】根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：①，；②；③，.

故答案为：①，；②；③，

6．(2021·北京顺义·高一期末)已知四棱锥的条棱长都相等，任取其中条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是 ______(写出所有正确结论的序号).

①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形；④正五边形.

【答案】①②③

【解析】如下图所示，连接、交于点，则为、的中点，

，则，同理可得，

故，所以，，

因为平面四边形的四条边相等，故四边形为正方形.

已知四棱锥的条棱长都相等，任取其中条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是：

如图所示：

点、、为、、的中点，所以，故①正确；

对于②：如图所示：

分别取、、的中点、、，

所以：构成的平面交的中点，则，且，

因为四边形为菱形，则且，

又因为、分别为、的中点，则且，

故四边形为平行四边形，则且，

所以，且，故四边形为等腰梯形，故②正确；

对于③，如上图，分别取、、的中点作平面，交于点，则为的中点，

由已知条件可知，且，，

因为，则，故四边形为正方形，故③正确；

对于各个棱的中点，构成的多边形也不可能得到正五边形，故④错误.

故答案为：①②③.

【题组三 3个基本事实】

1(2021·四川彭山 )下列命题中正确的是(    )

A．经过三点确定一个平面

B．经过两条平行直线确定一个平面

C．经过一条直线和一个点确定一个平面

D．四边形确定一个平面

【答案】B

【解析】对于选项A：经过不共线的三点确定一个平面，故选项A错误，

对于选项B：两条平行直线唯一确定一个平面，故选项B正确，

对于选项C：经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故选项C错误，

对于选项D：因为空间四边形不在一个平面内，故选项D错误.

故选：B

2．(2021·全国·高二课时练习)已知正方体中，G，H分别是，的中点，求证：，，延长后相交于一点.

【答案】证明见解析

【解析】∵，，

∴，又，

∴.

∴G，H，B，D四点共面，且四边形为梯形.

延长，后必交于点P，如图.

由，平面，

∴平面，同理平面.

∴P在面和面的交线上，又面面，

∴.

∴，，延长后相交于一点.

3(2021·上海徐汇 )已知正方体中，与平面交于点，设与相交于点，求证：直线.

【答案】证明见解析

【解析】因为平面,且与平面交于点，

所以点是平面与平面的公共点，

因为平面平面,

所以直线.

4．(2021·全国·高一课时练习)如图，在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由.

(1)由点A，O，C可以确定一个平面；

(2)由点A，，确定的平面为平面.

【答案】(1)不正确，理由见解析；(2)正确，理由见解析.

【解析】(1)不正确，由点A，O，C在同一条直线上，则不能确定一个平面，而有无数个平面.

(2)正确，由A，不共线，则可确定一个平面.

又，则面.

∴由点A，，确定的平面为面.

5．(2021·全国·高一课时练习)如图，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求证：，l共点(相交于一点).

【答案】证明见解析.

【解析】因为梯形中，，所以是梯形的两腰.

所以直线必相交于一点.

设直线直线.

又因为，所以.

所以.

又因为，所以，

即，l共点(相交于一点).

6．(2021·全国·高一课时练习)如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点．

(1)画出过三点的平面与平面的交线，以及与平面的交线；

(2)求的长．

【答案】(1)答案见解析；(2)．

【解析】(1)设三点确定的平面为，则与平面的交线为直线，

设，则是与平面的交线，，连接，则是所要画的平面与平面的交线．

(2)正方体棱长为，

又，

所以．

在中，，

所以．

7．(2021·全国·高一课时练习)如图，已知平面，，且.设在梯形中，，且，.求证：，，共点(相交于一点).

【答案】证明见解析

【解析】因为在梯形中，，

所以，是梯形的两腰.

因为，必定相交于一点.设.

又因为，，

所以，.

所以.

又因为，所以.

即，，共点(相交于一点).

【题组四 点线面的位置关系】

1．(2021·广西玉州·高一期中)设，，是空间的三条直线，下面给出四个命题：

①若，，则

②若，是异面直线，，是异面直线，则，是异面直线

③若和相交，和相交，则和也相交

④若和共面，和共面，则和也共面

其中正确命题的个数(    )

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】D

【解析】(1)错，在空间中，，时，与关系可能是平行，相交，异面；

(2)错，与同在一个平面时，可以与平面外一直线异面；

(3)错，在空间中，三条直线不一定交于一点，也不一定在一个平面内；

(4)错，和相交，和相交，则与不一定相交，它们不一定在一个平面内；

故选：D

2．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的个数是(    )

①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交；

②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；

③若直线在平面外，则.

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】在正方体中，

，与平面相交，则与平面相交，①正确；

若两条直线平行，则它们共面，因此这条直线可能在经过另一条直线的平面内，故②不正确；

对于③，包括两种情形，直线或直线与相交，故③不正确.

故选：B.

3．(2021·全国·高一课时练习)若平面平面，，则与的位置关系是(    )

A．与相交 B．与平行

C．在内 D．无法判定

【答案】B

【解析】，，利用线面平行的性质定理可得.

故选：B

4．(2021·全国·高一课时练习)在四棱台中，平面与平面的位置关系是(    )

A．相交 B．平行

C．不确定 D．异面

【答案】A

【解析】如图所示，由棱台的定义可知，平面与平面一定相交.

故选：A.

5．(2021·全国·高一课时练习)如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是(    )

A．GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线

B．GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线

C．GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线

D．GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线

【答案】B

【解析】∵GH//A1B，而A1B//D1C，∴GH//D1C.又MN//D1C，∴GH//MN.

由异面直线的定义可知，GH与EF异面.

延长EF，MN，二者可以相交，故EF与MN为相交直线.

故选：B.

6．(2021·全国·高一课时练习)若和是异面直线，和是异面直线，则与的位置关系是(    )

A．

B．和异面

C．和相交

D．和平行、相交或异面

【答案】D

【解析】如图，在正方体中，取，，

若取时，和是异面直线，和是异面直线，则；

若取时，和是异面直线，和是异面直线，则和相交；

若取时，和是异面直线，和是异面直线，则和异面.

综上所述，和平行、相交或异面.

故选：D.

7．(2021·全国·高一课时练习)以下说法正确的是(    )

A．若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交

B．直线a和b是异面直线，若直线c∥a，则c与b一定相交

C．若直线a和b都和平面α平行，则a和b也平行

D．若直线c平行于直线a，直线b⊥a，则b⊥c

【答案】D

【解析】若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交，或a⊂α，故A错误;

若直线a和b是异面直线，若直线c∥a，则c与b相交或异面，故B错误;

若直线a和b都和平面α平行，则a和b可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误;

若直线c平行于直线a，直线b⊥a，则b⊥c，故D正确.

故选:D.

8．(2021·湖南·长沙市第二十一中学高一期中)(多选)已知是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列说法正确的是(    )

A．若，，，则与是异面直线

B．若，，则直线平行于平面内的无数条直线

C．若，，则

D．若，，则与一定相交.

【答案】BC

【解析】对A，若，，，则与平行或异面，故A错误；

对B，若，，则平面内所有与平行的直线都与平行，故B正确；

对C，若，则平面内所有直线都与平行，因为，所以，故C正确；

对D，若，，当时，，故D错误.

故选：BC.

9．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？

(1)AM所在的直线与平面ABCD；

(2)CN所在的直线与平面ABCD；

(3)AM所在的直线与平面CDD1C1；

(4)CN所在的直线与平面A1B1C1D1.

【答案】(1)相交；(2)相交；(3)平行；(4)相交.

【解析】(1)平面ABCD，平面ABCD，AM所在的直线与平面ABCD相交.

(2)平面ABCD，平面ABCD，CN所在的直线与平面ABCD相交.

(3)因为在正方体中，平面平面CDD1C1,平面,所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行.

(4)因为CN所在的直线与平面ABCD相交，平面平面，所以CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交.

【题组五 异面直线所成的角】

1．(2021·安徽谯城 )已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：如图所示，设、、分别为，和的中点，连接，

则，

则、夹角为夹角或其补角，

可知，

；

作中点，则为直角三角形；

，，

中，由余弦定理得

，

，

；

在中，；

在中，由余弦定理得

；

又异面直线所成角的范围是，，

与所成角的余弦值为．

故选：C.

2．(2021·四川彭山· )如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为(    )

A．90° B．45° C．60° D．30°

【答案】D

【解析】设G为AD的中点，连接GF，GE

则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.

∴ ，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数

又EF⊥ AB，

∴ EF⊥ GF

则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°

∴ 在直角△GEF中，

∴ ∠GEF=30°.

故选：D.

3．(2021·江西九江)在直三棱柱中，，，，点D是侧棱的中点，则异面直线与直线所成的角大小为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】取AB中点E，连接，，如图，

分别是,中点，

,

(或其补角)即为异面直线与直线所成的角,

直三棱柱中，，

，,,

，

，

故异面直线与直线所成的角大小为，

故选：C

4．(2021·黑龙江哈尔滨 )在正方体中，则直线与直线所成角大小为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设正方体的棱长为，连接，

因为且，所以四边形是平行四边形，

可得，

所以或其补角即为直线与直线所成角，

在中，，所以，

所以直线与直线所成角大小为，

故选：C.

5．(2021·河南洛阳 )在直三棱柱中，.，分别是、的中点，，则与所成角的余弦值为(  )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】如图所示，取CC1的中点F，过F作FN∥交于N，作FG∥交AC于G，因为，分别是、的中点，所以N为的中点，G为AC上靠近点C的点.

所以(或其补角)即为与所成角.

过N作MN∥交于M，则M为BC上靠近点C的点,连结MN.

在直三棱柱中，.，分别是、的中点，不妨设，则,,

所以,.

在△FGN中，由余弦定理可得：,

所以与所成角的余弦值为.

故选：D.