上海市奉贤区2022届高三数学一模试卷及答案

 高三数学一模试卷

一、填空题

1．已知集合，若，则　     　.

2．计算　     　.

3．已知圆的参数方程为（为参数），则此圆的半径是　     　.

4．函数的最小正周期是　     　.

5．函数是奇函数，则实数　     　.

6．若圆锥的底面面积为，母线长为2，则该圆锥的体积为　     　.

7．函数的定义域是　             　.

8．等差数列满足，则数列前项的和为　     　.

9．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是　     　.

10．已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为　           　.

11．从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的，则经过坐标原点的不同直线有　     　条（用数值表示）

12．设平面上的向量满足关系，又设与的模均为1且互相垂直，则与的夹角取值范围为　                   　.

二、单选题

13．下列函数中为奇函数且在上为增函数的是（　　）

A． B． C． D．

14．已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则的值为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

15．对于下列命题：

①若则；

②若，则.

关于上述命题描述正确的是（　　）

A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题

16．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（　　）个.

A．9 B．10 C．11 D．无数

三、解答题

17．在中，所对边满足.

（1）求的值；

（2）若，，求的周长.

18．第一象限内的点在双曲线上，双曲线的左､右焦点分别记为，已知为坐标原点.

（1）求证：；

（2）若的面积为2，求点的坐标.

19．图1是某会展中心航拍平面图，由展览场馆､通道等组成，可以假设抽象成图2，图2中的大正方形是由四个相等的小正方形（如）和宽度相等的矩形通道组成.展览馆可以根据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域，展览区域由四部分组成，每部分是八边形，且它们互相全等.图2中的八边形EFTSHQMG是小正方形中的展览区域，小正方形中的四个全等的直角三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域.设的边长为300米，的周长为180米.

（1）设，求的面积关于的函数关系式；

（2）问取多少时，使得整个的休闲区域面积最大.(，长度精确到1米，利用精确后的长度计算面积，面积精确到1平方米)

20．如图，在正四棱锥中，，分别为的中点，平面与棱的交点为.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；

（3）求点的位置.

21．已知数列满足.

（1）当时，求证：数列不可能是常数列；

（2）若，求数列的前项的和；

（3）当时，令，判断对任意，是否为正整数，请说明理由.

答案解析部分

1．【答案】3

2．【答案】

3．【答案】2

4．【答案】

5．【答案】0

6．【答案】

7．【答案】

8．【答案】

9．【答案】3.6 cm

10．【答案】或10

11．【答案】54

12．【答案】

13．【答案】D

14．【答案】B

15．【答案】C

16．【答案】C

17．【答案】（1）化简得：，两边同除以，及，因为，所以.

（2）因为，且，所以，因为，由正弦定理得：，故，由余弦定理得：，即，解得：，其中，所以，故的周长为

18．【答案】（1）因是双曲线第一象限内的点，于是得，而，则，，

令双曲线的半焦距为c，则，因，因此，，

即，化简得，又，则有，，

所以.

（2）因为线段的中点，则，由(1)知，于是有，则，

因此，双曲线方程为，设点，则有，

又是斜边的中点，则，即，

联立解得，而，则有，

所以点的坐标是.

19．【答案】（1）依题意，在中，，则有，

，，则的面积，

所以的面积关于的函数关系式是：().

（2）由(1)知，，，令，

，

当且仅当，即时取“=”，

整个休闲区域是16个与全等的三角形组成，因此，整个休闲区域面积最大，当且仅当的面积最大，

当，即米，整个休闲区域面积最大为平方米，

所以当取53米时，整个休闲区域面积最大为22235平方米.

20．【答案】（1）连接AC，BD，相交于点O，

因为四边形ABCD是正方形，所以O是正方形的中心，连接PO，

因为四棱锥是正四棱锥，则PO⊥底面ABCD，连接OE，

因为为的中点，所以EO是△PBD的中位线，所以EO∥PD，

∠OEA（或补角）即为异面直线与所成角的大小，

因为正四棱锥中，，所以△PAB是等边三角形，

所以，由勾股定理得：，所以，

因为，E为PB的中点，所以，

在△AOE中，由余弦定理得：，

所以异面直线与所成角的大小为

（2）连接EF，与OP相交于点Q，则Q为OP，EF的中点，

因为分别为的中点，所以EF是三角形PBD的中位线，所以EF∥BD，

因为平面ABCD，平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，

设平面与平面相交于直线，故EF∥∥DB，连接QA，

则因为AE=AF，所以AQ⊥EF，又因为OA⊥BD，

故∠QAO即为平面与平面所成锐二面角，其中，，所以，故，

即平面与平面所成锐二面角的大小为

（3）延长AQ，则由两平面相交的性质可得AQ一定过点G，

过点G作GM∥PO交AC于点M，因为PO⊥底面ABCD，所以GM⊥底面ABCD，

设GM=CM=x，则AM=4-x，由第二问知：，

所以，即，解得：，

故，所以点的位置为线段PC靠近P的三等分点.

21．【答案】（1）证明：，因为，，所以，故当时，数列不可能是常数列

（2）因为，，所以当时，，时，，即当为奇数时，，当为偶数时，，设数列的前项的和为，当为奇数时，，当为偶数时，，综上：

当时，，时，，此时为等比数列，首项为2，公比为，当时，，当时，，故.

（3）对任意，是正整数，理由如下：当时，，所以，，，猜想：为正整数，

证明：，则，，代入到得：，整理得：，从而，（），于是，所以，因此知，当时，，当时，，以此类推，对任意，，证毕.