人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定精品课后复习题

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专训12.2.3 用ASA（AAS）判定全等+综合应用
一、单选题
1．如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC△≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是：（ ）

A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS
【答案】A
【分析】
由“ASA”可证△EDC≌△ABC．
【详解】
解：∵∠ACB=∠DCE，CD=BC，∠ABC=∠EDC，
∴△EDC≌△ABC（ASA），
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
2．如图，为了测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，小颖在池塘外取的垂线上两点C，D，使，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得，因此，测得的长就是的长．这里判定的依据是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC=CD，∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：A．
【点睛】
此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　）

A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
【答案】D
【分析】
利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
【详解】
解：在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点固定在点处，转动直角三角形，若两条直角边分别与x轴正半轴交于点A，y轴正半轴交于点B，则的值为（ ）

A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【分析】
作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，求出∠PAM=∠PBN，证明△PAM≌△PBN，推出AM=BN，OM=ON即可．
【详解】
解：作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
因为P（8，8），所以PN=PM=8，
则四边形PNOM是正方形，

∴PN=PM=ON=OM=8，∠NPM=∠APB=90°，
∴∠NPB=∠MPA
在△PNB和△PMA中，
，
∴△PAM≌△PBN（ASA），
则AM=BN，
∴OA+OB=OM+ON=16．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质的应用，解题的关键是证明△PAM≌△PBN，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．


二、填空题
5．如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是__．

【答案】
【分析】
根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】
解：小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，
他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．
故答案为：ASA．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
6．如图，要测量水池宽，可从点出发在地面上画一条线段，使，再从点观测，在的延长线上测得一点，使，这时量得，则水池宽的长度是__m．

【答案】120
【分析】
利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】
，
，
，，
，
，
故答案为120．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
7．如图，在中，，平分，于，则△__△___．

【答案】
【分析】
根据角平分线定理得到，利用直角三角形HL定理证明即可．
【详解】
证明：
平分，
，
又 ，
,
在和中，
，
．
故答案为：；．
【点睛】
本题考查角平分线性质定理、直角三角形判定定理，能够根据定理推导出相关的条件是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．则DE＝________．

【答案】1
【分析】
先证明△ACD≌△CBE，再求出DE的长，解决问题．
【详解】
解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∴．
故答案为：1
【点睛】
此题考查三角形全等的判定和性质，掌握再全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9．如图，AD、分别是锐角和中、边上的高，且，，请你补充一个适当的条件：_________，使．

【答案】（答案不唯一）
【分析】
根据HL推出Rt△ADB≌Rt△A1D1B1，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B1，根据AAS推出全等即可．
【详解】
解：∠C=∠C1，
理由是：∵AD、A1D1分别是锐角△ABC和△A1B1C1中边BC、B1C1的高，
∴∠ADB=∠A1D1B1=90°，
在Rt△ADB和Rt△A1D1B1中

∴Rt△ADB≌Rt△A1D1B1（HL），
∴∠B=∠B1，
在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（AAS），
故答案为：∠C=∠C1（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟练地掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．

三、解答题
10．如图，点B，E，C，F在一条直线上，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．

【答案】见解析
【分析】
根据已知条件证明即可得证
【详解】
BE＝CF

即
在和中

（ASA）
∠A＝∠D
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定，运用角边角直接证明三角形全等，证明是解题的关键．
11．如图，在中，点是边的中点，过点作直线使，交的延长线于点．试说明的理由．

解：因为（已知），
所以 ( )
因为点是边的中点，
所以
在和中，

所以( )
所以( )
【答案】；两直线平行，内错角相等；；；对顶角相等；；；全等三角形对应边相等
【分析】
把每一步的因果关系加以识别，即可运用相关的结论填写解题过程和依据．
【详解】
解：因为（已知），
所以∠E（两直线平行，内错角相等）
因为点是边的中点，
所以BD=CD．
在和中，
（对顶角相等）
所以（AAS）
所以（全等三角形的对应边相等）
【点睛】
本题考查了平行线的性质、线段的中点的定义、全等三角形的判定与性质等知识点，熟知上述各个知识点是解题的基础，根据每一步的因果关系对出现的相关的角或线段加以认真识别，是解题的关键．
12．已知：在四边形中，，．求证：≌．
小华证明过程如下框：
证明：∵，∴，
又∵，∴，
又∵，∴≌

小华的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．
【答案】不正确，证明见解析
【分析】
根据平行线的性质得到和，再根据ASA即可证明≌．
【详解】
证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴≌(ASA)．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质和全等三角形的证明，根据平行线的性质证明内错角相等是解答此题的关键．
13．如图，是的边上一点，， 交于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长．

【答案】（1）证明见详解；（2）1．
【分析】
（1）根据证明即可；
（2）根据（1）可得，即由，根据求解即可．
【详解】
（1）证明：，
，
在和中，

；
（2）由（1）得

∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．
14．风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史．如图，在小明设计的“风筝”图案中，已知，，．求证：．

【答案】见解析．
【分析】
由“ASA”可证△BAC≌△DAE，可得AC＝AE．
【详解】
∵，
∴，
即，
在和中，
.
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明∠BAC＝∠DAE是本题的关键．
15．如图，已知AB=AD，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE．
求证：BC=DE．

【答案】见解析
【分析】
由题意，先证明∠BAC=∠DAE，然后证明△ABC≌△ADE，即可得到结论成立．
【详解】
证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC．
即∠BAC=∠DAE．
∵AB=AD，∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE．
∴BC=DE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质进行证明．
16．如图，DE=CA，AB//DE，∠1=70°，∠D=110°，求证： △ABC≌△EAD．

【答案】证明见详解．
【分析】
由∠1＝70°得∠ACB＝110°，得∠D=∠ACB；再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件DE＝CA，可利用ASA证得△ABC≌△EAD．
【详解】
证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，
又∵∠D＝110°，
∴∠ACB＝∠D，
∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠E，
∴在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD(ASA)．
【点睛】
本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据全等三角形证明的方法判定即可．
17．如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠B＝∠D．求证：．

【答案】证明见解析 ．
【分析】
首先根据平行线的性质可得∠ACB=∠E，再加上条件AC=CE，∠B=∠D可以利用AAS定理证明两个三角形全等．
【详解】
证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠E．
∵在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．如图，点A，C，D，E在同一条直线上，BC⊥AE，FD⊥AE，ABEF，且AB＝EF．
（1）求证：△ABC≌△EFD．
（2）若AE＝8，CD＝2，∠A＝45°，求AB的长．

【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】
(1)根据平行线的性质得到，然后利用AAS证明即可；
(2)由，得到 ，证明为等腰直角三角形，即可求得．
【详解】
(1)∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
(2)∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键．
19．已知和的相关数据如图所示，试判断两三角形面积的大小关系，并说明理由．

【答案】相等，理由见解析
【分析】
过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点D作DH⊥EF，垂足为H，证明△ABG≌△DEH，得到AG=DH，根据三角形面积公式即可判断．
【详解】
解：如图，过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点D作DH⊥EF，垂足为H，
则∠AGB=∠DHE=90°，
∵∠DEF=130°，
∴∠DEH=50°=∠B，
由图可知：AB=DE=5，
∴△ABG≌△DEH（AAS），
∴AG=DH，
∵，，BC=EF=4，
∴．

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出三角形的高，通过全等三角形的性质证明高相等．
20．如图，中，，是边上的高，是边上的高，．

求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）先证∠EAF=∠ECB，再结合∠AEF=∠CEB=90°且AE=CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．
【详解】
证明：（1），
，
，
，
，
，
又，
．
在和中，
，
；
（2），
，
，
，．
．
【点睛】
此题考查了余角的性质，以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS和HL；全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应边上的中线相等、对应边上的高线相等、对应角的角平分线相等．
21．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FGBC，交直线AB于点G．如图，且∠ABC＝45°．
求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；
①证明：∵AD，BE为高
∴∠ADB＝∠BEC＝90°
∵∠ABC＝45°
∴∠BAD＝∠　 　＝45°
∴AD＝　 　；
∵∠BEC＝90°
∴∠CBE+∠C＝90°（ 　 　）
又∵∠DAC+∠C＝90°
∴∠CBE＝∠DAC（ 　 　）
在△FDB和△CDA中，
∵∠FDB＝∠CDA＝90°，
AD＝BD
∠CBE＝∠DAC
∴△FDB≌△CDA（ 　 　）
②∵△FDB≌△CDA，
∴DF＝DC（ 　 　）
∵GFBC
∴∠AGF＝∠ABC＝45°，（ 　 　）
∴∠AGF＝∠　 　，
∴FA＝FG；
∴FG+DC＝FA+DF＝AD．

【答案】①见解析；②见解析
【分析】
①利用等角对等边可得AD=BD，根据余角的性质证明∠CBE=∠DAC，最后利用ASA证明△FDB≌△CDA；
②由△BDF≌△ADC可证得DF=DC，根据AD=AF+FD，可得AD=AF+DC；再由GF∥BD，∠ABC=45°，可证得AF=GF，最后得出FG+DC=AD．
【详解】
解：①证明：∵AD，BE为高．
∴∠ADB=∠BEC=90°．
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°．
∴AD=BD．
∵∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°（三角形的内角和定理）．
又∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC（同角的余角相等）．
在△FDB和△CDA中，
，
∴△FDB≌△CDA（ASA）．
②∵△FDB≌△CDA，
∴DF=DC（全等三角形的对应边相等）．
∵GF∥BC，
∴∠AGF=∠ABC=45°（两直线平行，同位角相等）．
∴∠AGF=∠FAG．
∴FA=FG．
∴FG+DC=FA+DF=AD．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质的运用，解题时注意：利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法．
22．如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：．

【答案】见详解
【分析】
根据AAS证明△BAE≌△ACF，即可得．
【详解】
证明：∵，
∴∠BAE＋∠CAF＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
23．如图，在中，，，点是内部一点，分别过、两点作，垂足分别为点、，求证：

【答案】见解析
【分析】
由全等三角形的性质可得BE=DC，AD=CE，即可求解．
【详解】
解：证明：，，
，
．
，
，
在和中，
，
；
，
，，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
24．如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）连结，当时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）利用AAS即可证明；
（2）由≌可得，，从而证明≌，得到，可得AB．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵为CD中点，
∴，
在和中，
，
∴≌（AAS）．
（2）由（1）中≌，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴≌（SAS），
∴，
而，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS和SAS证明三角形全等．
25．如图，在中，，点D是边上的一点，于D，交于M，且，过点E作分别交于点．

（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）65°
【分析】
（1）根据平行线的性质求得∠B=∠EFD，然后依据AAS即可证得△ABC≌△EFD；
（2）根据三角形内角和定理求得∠AMD，然后根据对顶角相等即可求得．
【详解】
解：（1）∵DE⊥AB于D，
∴∠EDF=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠EDF，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠EFD，
在△ABC与△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（AAS）；
（2）∵∠EDF=90°，
∴∠ADM=180°-∠EDF=90°，
在△ADM中，∠A+∠AMD+∠ADM=180°且∠A=25°
∴∠AMD=180°-∠A-∠ADM=65°，
∴∠EMN=∠AMD=65°．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质，对顶角相等的性质以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26．如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且．

（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行得出，再根据ASA证明即可
（2）根据全等得出，再计算∠DBC的度数，计算即可
【详解】
（1）∵，
∴．
∵，．
∴．
（2）∵，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平行线的性质、全等三角形的判定、角的和差关系，正确使用角的和差关系是关键
27．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，且△ABC的面积等于24，求DE的长．

【答案】（1）证明见解析，（2）
【分析】
（1）由于DE⊥AB，那么∠AED＝90°，则有∠ACB＝∠AED，联合∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，利用AAS可证．
（2）由△ACD≌△AED，证得DC＝DE，然后根据S△ACB＝S△ACD+S△ADB即可求得DE．
【详解】
解：（1）∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE．
（2）由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC＝DE，
∵S△ACB＝S△ACD+S△ADB，
∴，
又∵AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质．
28．如图，在中，、是边上两点，且，，求证：．

【答案】见解析
【分析】
先过点作交于点，证明出和全等，得出，
再根据三角形平角是得出，已知，根据“角角边”证明和全等即可．
【详解】
证明：过点作交于点，
在和中，
，
，
，
，，
且，
，
在和中，
，
．

【点睛】
本题主要考查对全等三角形判定定理的理解和掌握，要求考生熟练掌握全等三角形的判定定理并灵活运用．
29．如图，在中，高、相交于点H，连接并延长到G，使，与相交于F，连接，若，求证：．

【答案】见解析
【分析】
先利用AAS证明△BHD≌△ACD，得到BH=CA，再利用SAS证明△ABH≌△GCA，从而可得AH=AG．
【详解】
解：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠2+∠BCA=90°，∠4+∠BCA=90°，
∴∠2=∠4，
在△BHD和△ACD中，
，
∴△BHD≌△ACD（AAS），
∴BH=CA，
∵H是高AD和BE的交点，
∴CF⊥AB，
∴∠BEA=∠CFA=90°，
∴∠1+∠BAC=90°，∠3+∠BAC=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABH和△GCA中，
，
∴△ABH≌△GCA（SAS），
∴AH=AG．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形高的定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
30．在中，，直线经过点C，且于D，于E，

（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，显然有：（不必证明）；
（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD
【分析】
（1）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质可以得到DE=BE-AD．
【详解】
解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD+CE=AD+BE；
（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
而AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）如图3，
∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD-CE=BE-AD；
DE、AD、BE之间的关系为DE=BE-AD．
【点睛】
此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．