初中人教版12.3 角的平分线的性质优秀综合训练题

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过关卷12.3 角平分线的性质
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（ ）

A．9 B．6 C．3 D．4.5
【答案】C
【分析】
作CN⊥OA，利用面积求出CM，根据角平分线的性质定理可得CN=CM，即可得答案．
【详解】
解：过点C作CN⊥OA，
∵CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，
∴S△COM=，
∴，
∵OC为∠AOB的平分线，CN⊥OA，CM⊥OB，
∴CN=CM=3．

故选C．
【点睛】
本题考查了三角形面积，角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题关键．
2．一块三角形草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三条边的距离都相等，凉亭的位置应造在（ ）
A．的三条角平分线的交点 B．的三条高所在直线的交点
C．的三条中线的交点 D．的三边中垂线的交点
【答案】A
【分析】
直接根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC 三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
3．如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么∠BAO与∠ABO之间的大小关系一定为（ ）

A．互余 B．相等 C．互补 D．不等
【答案】A
【解析】
试题解析：∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，
∴∠CAB=2∠OAB，∠ABD=2∠ABO，
∴∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°，
∴OA⊥OB，
故选A.
考点：1.平行线的性质；2.余角和补角．
4．如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（ ）

A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．
【详解】
如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.

∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD
∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×OD×(AB＋BC＋AC)＝×OD×8＝12
OD=3
故选：C
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．
5．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质求出EF=DE=8，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】
解：过E作EF⊥BC于F，

∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，DE=1，
∴DE=EF=1，
∵BC=4，
∴
故选:B
【点睛】
本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出EF=DE=8是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，于点E，于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是（ ）

A．4 B．2 C．8 D．6
【答案】A
【分析】
根据角平分线的性质定理可得DF=DE；最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】
：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF=DE=2，
∴；
故答案为：A．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7．△ABC中，AB=AC，在△ABC内求作一点O，使点O到三边的距离相等．甲同学的作法如图1所示，乙同学的作法如图2所示，对于两人的作法，下列说法正确的是（　　）
​
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对
【答案】A
【分析】
根据等腰三角形的性质得到的垂直平分线平分，根据角平分线的性质可判断甲同学的作法正确；同时也可判断乙同学的作法正确．
【详解】
甲同学作了∠ABC的平分线和底边BC的垂直平分线，因为AB=AC，所以BC的垂直平分线平分∠BAC，则点O为△ABC内角的平分线的交点，所以点O到三边的距离相等，所以甲同学的作法正确；
乙同学作了∠ABC和∠ACB的平分线，则点O到三边的距离相等，所以乙同学的作法正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了作图：复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和角平分线的性质．
8．如图，AD是ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DM，ADM和AED的面积分别为58和40，则EDF的面积为（　　）

A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【分析】
过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，再利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DMH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△DEF＝S△DMH，然后列式求解即可．
【详解】
解：如图，过点D作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DMH中，DF＝DH，DE＝DM，
∴Rt△DEF≌Rt△DMH（HL），
∴S△DEF＝S△DMH，
∵△ADM和△AED的面积分别为58和40，
∴△EDF的面积＝×（58﹣40）＝9．
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
9．如图，在中，，，以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于两点；再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点.若的面积为9，则的面积为（ ）

A．3 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】
根据作图方法可知是的角平分线，得到，已知，由等角对等边，所以可以代换得到是等腰三角形，由30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积公式，可知两个三角形等高，用底边之间的关系式来表示两个三角形的面积的关系，即可求出结果.
【详解】
，，
，
根据作图方法可知，是的角平分线，
，
，
点在的中垂线上，
在，，
，
，
又，
，
，
故选：A
【点睛】
根据作图的方法结合题目条件，可知是的角平分线，由等角对等边，所以是等腰三角形，由于所求三角形和已知三角形同高，底满足，所以三角形面积是三角形的，可求得答案.
10．已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）.

A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
【答案】A
【分析】
根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．
【详解】
如图，

∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠BAC的角平分线上，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
11．如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到，可判断（1）（2）正确；由，，得到，可判断（3）错误；即可得到答案．
【详解】
解：过点P作PG⊥AB，如图：

∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB，
∴；故（1）正确；
∴点在的平分线上；故（2）正确；
∵，
又，
∴；故（3）错误；
∴正确的选项有2个；
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．
12．如图，是的角平分线，，分别是，的高，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据角平分线的性质定理，得到PM=PN，由HL证明△APM≌△APN，即可判断A；由三角形的面积公式，得到，即可判断B；由三角形的面积公式，得到，即可判断C；由，即可判断D．
【详解】解：如图：作AD⊥BC与点D，

∵是的角平分线，，分别是，的高，
∴PM=PN，
∵∠AMP=∠ANP=90°，AP为公共边，
∴△APM≌△APN，
∴；故A正确；
∵，，
∴，
∵PM=PN，
∴，
∴，故B正确；
∵，故C正确；
∵，
∴，故D错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理和三角形的面积公式进行解题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD平分∠BAC，CD=2，DE⊥AB于E，则等于_____________．

【答案】6
【分析】
由题意根据角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD=DE，进而利用三角形面积公式求出即可．
【详解】
解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，
∴CD=DE=2，
∵AB=6，
∴．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查角平分线相关，熟练掌握角平分线上一点到角两边的距离相等是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8 cm，AC＝6 cm，S△ABD∶S△ACD＝________．

【答案】4:3
【分析】
利用角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的边AC的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比；
【详解】
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ 设△ABD的边AB上的高与△ACD的边AC的高分别为，，
∴ =，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=8：6=4：3，
故答案为：4：3．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键；
15．若点在第二象限的角平分线上，则_________．
【答案】
【分析】
第二象限角平分线上点的坐标互为相反数，据此列出关于a的方程求解．
【详解】
∵在第二象限角平分线上，
∴，
解得，．
故答案为：．
【点睛】
此题考查象限角平分线上点坐标特点，一、三象限角平分线上点的纵横坐标相等；二，四象限角平分线上点的纵横坐标互为相反数．
16．在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,∠BAC的平分线交BC于点D,且BD∶DC=5∶3,则D到AB的距离为____cm.
【答案】6
【分析】
利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知D到AB的距离为等于CD的长度，求CD长即可．
【详解】
∵∠C=90，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，
∴CD就是D到AB的距离，
∵BD:DC=5:3，BC=16cm，
∴CD=6，
即D到AB的距离为6cm.
故答案为6.
【点睛】
本题考查的知识点是角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线的性质.
17．有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有_________________个．

【答案】4
【分析】
根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知加油站需建在题目所给的图形的角平分线的交点上，故问题得解．
【详解】
解：
如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个．
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
18．如图，点在内部，且到三边的距离相等，若，则__________．

【答案】80°
【分析】
由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A．
【详解】
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-2（∠OBC+∠OCB）
=180°-2×（180°-∠BOC）
=180°-2×（180°-130°）
=80°，
故答案为：80°．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．如图，的平分线与的外角平分线相交于点，连接．求证：是的外角平分线．

【答案】见解析．
【分析】
作交的延长线于，于，于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，，继而根据角平分线的判定解题．
【详解】
证明：作交的延长线于，于，于，
平分、平分,
，，
，
又，，
是的外角平分线．

【点睛】
本题考查角平分线的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据证明得到，进一步可得结论．
【详解】
解：（1）如图，为所作的平分线；

（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
【点睛】
此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
21．如图，在中，，点D在BC边上，连接AD，点E、F分别为AB边，AC边上的点，连接DE、DF，使得DA平分∠EDF，且DE=DF，过点D作DG⊥AB于点G．
（1）若DFAB，求证：AE=DE；
（2）求证：DG=CD．

【答案】见详解
【分析】
（1）先利用平行线性质证得，再利用角平分线的定义证得，利用等量代换可得，即可得到答案AE=DE；
（2）先证，得，即可利用角平分线的性质得到答案．
【详解】
解：（1）∵
∴
∵DA平分∠EDF
∴
∴
∴AE=DE．
（2）∵，DE=DF，AD=AD
∴
∴
∵，DG⊥AB
∴DG=CD．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及全等的应用，解题关键是利用性质找到角与角之间的关系．
22．如图，四边形中，，点为的中点，且平分，，垂足为点

（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）判断，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；
（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，同理求出，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等可得，，然后证明即可．
【详解】
证明：∵，平分，OE⊥AC，
∴.
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴平分.
证明：在和中，
，
∴，
∴.
同理求出，
∴，
∴.
解：.
理由如下：
∵，
∴.
同理可得.
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行分析．
23．教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容.

请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程.
定理应用：
如图②，在四边形中，，点在边上.平分，平分.

求证：.
【答案】证明见解析.
【分析】
由角角边易证，可证明角平分线的性质定理；
由角平分线的性质定理，通过作辅助线构造全等三角形，通过证，得出BE=CE这一结论.
【详解】
如图①.

∵是的平分线，∴.
∵，，
∴.
∵，∴.
∴.
定理应用：
如图②，过点作于，于，于，

则.
∵平分，平分，
∴.
∵，
∴.
∴.
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理及其应用，遇到角平分线，向角两边作垂线是常用的辅助线.
24．探索角的平分线的画法．
（1）画法1：利用直尺和圆规
请在图中用直尺和圆规画出的平分线；（不写画法不需证明，保留作图痕迹）

（2）画法2：利用等宽直尺．
如图，将一把等宽直尺的一边依次落在的两条边上，再过另一边分别画直线，两条直线相交于点O．画射线，则射线是的平分线．这种角的平分线的画法依据的是______．

A． B． C． D．
（3）画法3：利用刻度尺
已知：如图，在的两条边上分别画，，连接、，交点为点O，画射线．
求证：是的平分线．

（4）画法4：利用你手里带有刻度的一块直角三角尺，设计一种与上述画法不同的角的平分线的画法．请在图中画出的平分线，写出画法，并加以证明．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【分析】
（1）根据要求作出图形即可
（2）根据利用全等三角形的性质可得结论．
（3）通过三次全等证明即可．
（4）根据证明，可得结论．
【详解】
解：（1）如图①中，射线即为所求．

（2）如图②中，是等宽直尺，
点到两边的距离相等，根据可以利用全等三角形的性质证明是角平分线．
故选D．
（3）如图③中，

在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
平分．
（4）如图，在的两边上截取，利用直角尺作，，交于，作射线，射线即为所求．

理由：在和中，
，
，
，
射线平分．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．