人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形优秀课后练习题

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专训13.3.1.3 等腰三角形的性质与判定的综合
一、单选题
1．如图，∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，则下列结论正确的有（　　）
①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE；④CD＝BE．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
由∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，可得出∠ABC＝∠ACB，再利用等角对等边可得出AB＝AC，可判断①；由∠A＝∠A，AB＝AC及∠ABE＝∠ACD，可证出△ABE≌△ACD（ASA），再利用全等三角形的性质可得出AD＝AE，CD＝BE，可判断②④；由AB＝AC，AD＝AE，可得出BD＝CE可判断③即可．
【详解】
解：∵∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，
∴∠ABE+∠EBC＝∠ACD+∠DCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，结论①正确；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD＝AE，CD＝BE，结论②④正确；
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE，结论③正确．
∴正确的结论有4个．
故选择：D．

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
2．如图，锐角三角形ABC中，D点在BC上，，今欲在AD上找一点P，使得，以下是甲、乙两人的作法：
甲：作AC的中垂线交AD于P点，则P即为所求．
乙：以C为圆心，CD长为半径画弧，交AD于异于D点的一点P，则P即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）

A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】A
【分析】
两人都是正确的．利用等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质一一判断即可．
【详解】
解：两人都是正确的．
理由：甲，点P在AC的垂直平分线上，
，
，
，
，
，，
，
乙，，
，
，
甲、乙两人的作法都是正确的，
故选：A．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用等腰三角形的判定和性质解决问题．
3．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点.设，的面积分别为，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据作图过程可得是的平分线，根据角平分线的性质和，，可得，设，则，，根据三角形的面积公式分别求出，，再计算即可．
【详解】
解：根据作图过程可知：是的平分线，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
∴
设，则在中，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形面积公式等知识点，掌握角平分线的画法与性质是解决本题的关键．
4．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，是的外角，，AD∥BC．求证．

以下是排乱的证明过程：①又，
②∴，
③∵AD∥BC，
④∴，，
⑤∴．
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③→②→①→④→⑤ B．③→④→①→②→⑤
C．①→②→④→③→⑤ D．①→④→③→②→⑤
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质得出，再利用等量代换，得出，即可判定是等腰三角形，即可证明．
【详解】
具体步骤为：
③∵AD∥BC，
④∴，，
①又，
②∴，
⑤∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，等量代换，等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质与等腰三角形的判定与性质．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【答案】D
【分析】
根据三角形的面积公式进行判断①，根据三角形的内角和定理求出∠FAG＝∠ACB，再判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG＝∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据等腰三角形的判定判断④即可．
【详解】
解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
6．如图在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：其中正确的结论有（ ）个．
①；②；③点到各边的距离相等；
④设,，则；⑤的周长等于的和．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形角平分线的性质即可得出结论；④连接AG，由三角形的面积公式即可得出结论；⑤根据BE=EG，GF=CF，进行等量代换可得结论．
【详解】
解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，
∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，
∴BE=EG，GF=CF，
∴EF=EG+GF=BE+CF，故①正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，故②错误；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G也在∠BAC的平分线上，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故③正确；
④连接AG，作GM⊥AB于M，如图所示：

∵点G是△ABC的角平分线的交点，GD=m，AE+AF=n，
∴GD=GM=m，
∴S△AEF=AE•GM+AF•GD=（AE+AF）•GD=nm，故④错误．
⑤∵BE=EG，GF=CF，
∴AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC，
即△AEF的周长等于AB+AC的和，故⑤正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．


二、填空题
7．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则的大小为______度．

【答案】75
【分析】
根据三角形的内角和得出∠B=180°-∠BAC-∠C=30°，由作图可得：BA=BD,BA=BD,再根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD=∠ADB=（180°-∠B）÷2=75°．
【详解】
解：∵∠BAC=100°，∠C=50°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=30°，
由作图可得：AB=BD，
∴∠BAD=∠ADB=（180°-∠B）÷2=75°，
故答案为：75°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．
8．如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则________．

【答案】1
【分析】
将的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出的值．
【详解】
解：连接，如下图：

于点于点，


，
，
，
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将的面积拆成两个三角形面积之和来解答．
9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是__．

【答案】∠1＝2∠2．
【分析】
根据三角形的外角的性质，得出∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再利用等腰三角形的性质，等量代换和等式的性质即可求得．
【详解】
∵是△ABD的外角，是△DEC的外角，
∴∠AED＝∠2+∠C，∠ADC＝∠B+∠1，
又∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴,
∴,
即,
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
,
即∠1＝2∠2,
故填：∠1＝2∠2．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和等式的性质，解题关键是熟练应用等腰三角形的性质，三角形外角的性质和等式的性质．

三、解答题
10．如图，在中，平分于点D，交于点E，若，求的长．

【答案】4
【分析】
根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD=∠ADE，然后求出∠ADE=∠BAD，根据等角对等边可得AE=DE，然后根据等角的余角相等求出∠ABD=∠BDE，根据等角对等边可得DE=BE．
【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠ADE=∠BAD，
∴AE=DE，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE=BE=4．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键．
11．如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）通过两角和等于，然后通过等量代换即可证明；
（2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明．
【详解】
证明：（1）在等腰直角三角形中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）连接．

由平移的性质得．
∴，
∴，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴．
由（1）得，
∴，
∴，∴．
【点睛】
本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质．
12．如图，点C在线段上，．

（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）50°
【分析】
（1）由“SAS”可证△ADC≌△BCE，进而可得结论；
（2）由全等三角形的性质，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】
证明：（1）∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
∵AC＝BE， AD＝BC，
∴△ADC≌△BCE（SAS）
∴CD＝CE，
∴；
（2）∵△ADC≌△BCE，，
∴∠DCB＝60°，∠ADC＝∠ECB＝20°，CD＝CE，
∴∠DCE＝∠DCB＋∠ECB＝80°，
∴∠CDE＝（180°-80°）÷2=50°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ADC≌△BCE是本题的关键．
13．如图，在中，，的垂直平分线交、于点、．
（1）若，求、的度数；
（2）若，，求的周长．

【答案】（1）；；（2）19
【分析】
（1）可得AE=BE，则∠B=∠BAE=40°，可求出∠3的度数，再求∠1即可；
（2）由AE=BE，可求出结论．
【详解】
解：∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，
∴BE=AE，∠ADE=∠BDE，
∵AB=BC，
∴∠C=∠BAC=∠3+∠4=72°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-72°-72°=36°，
∴∠3=∠B=36°，
∴∠1=90°-∠3=54°；
（2）∵BD=6，
∴AB=2BD=2×6=12，
∴BC=12，
∵AE=BE，
∴AE+CE+AC=BC+AC=12+7=19．
即△AEC的周长为19．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握定理的内容是解题的关键．
14．如图，在中，，且．

（1）作的垂直平分线，交于点D，交于点E；连接；延长，交直线于点F；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）作图：分别以为圆心，大于为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交于点D，交于点E
（2）根据和（1）的结论，证明是等腰三角形，且，即可证明
【详解】
（1）如图：

分别以为圆心，大于为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交于点D，交于点E
（2）如（1）中所作的图
，且

是的垂直平分线


,
,






是等腰三角形
又

【点睛】
本题考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，证明是等腰三角形是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，连接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延长AF至点D，使AD＝AC，连接CD．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度数．

【答案】（1）见解析；（2）80°
【分析】
（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．
【详解】
解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
∵∠BAF＝∠CAE，
∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）；
（2）解：∵B＝∠ACF＝30°，
∵∠AEB＝130°，
∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，
∵△ABE≌△ACF，
∴∠CAF＝∠BAE＝20°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ADC＝＝80°．
答：∠ADC的度数为80°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
16．如图， 是的两条高线，且它们相交于F，于点H，与相交于点G，已知．

（1）求证： ．
（2）若平分．求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠CEF=∠ADC=∠BDF=90°，求得∠ACD=∠DBF，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据DH⊥BC，求得∠HGB+∠HBG=90°，根据角平分线的定义得到∠HBG=∠FBD，求得∠DFG=∠DGF．
【详解】
解：（1）证明：∵CD，BE是△ABC的两条高线，
∴∠CEF=∠ADC=∠BDF=90°，
∵∠CFE=∠BFD，
∴∠ACD=∠DBF，
∵CD=BD，
∴△ACD≌△FBD（ASA），
∴BF=AC；
（2）∵∠BDC=90°，CD=BD，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵DH⊥BC，
∴∠HGB+∠HBG=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠HBG=∠FBD，
∵∠DFB+∠DBF=90°，
∴∠DFG=∠BGH，
∵∠BGH=∠DGF，
∴∠DFG=∠DGF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
17．如图，和均为等腰三角形，，，点A，D，E在同一直线上，连接．

（1）如图1，若．
①求证：；
②则的度数为_______．
（2）如图2，若，为中边上的高，试猜想，，之间的数量关系，并简要证明你的结论．
【答案】（1）①见解析；②；（2）．理由见解析．
【分析】
（1）①证明即可；②根据①得到结合已知条件，即可求解；
（2）由（1）结论，可得，都是等腰直角三角形，从而得出结论．
【详解】
（1）①证明：，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
②
由①
，





（2）结论：．
理由：，都是等腰直角三角形，
，
由（1）可得，
，
，，
．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练以上性质定理是解题的关键．
18．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动，运动时间是秒．

（1）在运动过程中，当______秒时，；
（2）在运动过程中，当时，求出的值；
（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不存在；答案见解析．
【分析】
（1）根据题意求出BP，CQ，结合图形用含t的代数式表示CP的长度，根据CP＝CQ，列式计算即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；
（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．
【详解】
解：（1）由题意得BP＝CQ＝3t，
则CP＝8﹣3t，
∵CP＝CQ，
∴8﹣3t＝3t，
解得，t，
则当t时，；
（2）∵D为AB的中点，AB＝AC＝10，
∴BD＝5，
∵△BPD≌△CQP，
∴BD＝CP，
∴8﹣3t＝5，
解得，t＝1，
则当△BPD≌△CQP时，t＝1；
（3）不存在，∵△BPD≌△CPQ，
∴BD＝CQ，BP＝CP，
则3t＝5，3t＝8﹣3t
解得，t，t，
∴不存在某一时刻t，使△BPD≌△CPQ．
【点睛】
本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
19．如图，在中，．D是内一点，．过点B作交的延长线于点E．

（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与相等的线段并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE；见解析
【分析】
（1）根据题意作出平行线和交点即可；
（2）如图，根据平行，得到∠1=∠ADC=∠BAC，再根据三角形外角定理得到，，从而；
（3）通过在上截取，构造，再结合平行进一步得到，从而证明，．
【详解】
解：补全图形如图6所示．

（2）证明：如图7，延长至点F．

∵，点F在的延长线上，
∴．
∵，∴．
∵是的外角，
∴，∴．
又∵，
∴．
（3）
证明：如图8，延长至点F，在上截取，连接


由（2）得，又∵
∴，∴．
∵，∴．
∵，
∴．∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查了构造三角形全等，以及外角的相关知识，能够画辅助线构造全等是解决本题的关键．
20．在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点．

（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，若，求证：；
（3）当是等腰三角形时，请直接写出所有可能的与的数量关系．
【答案】（1）50°；（2）见解析；（3）、、
【分析】
（1）知道，，，分别为，的垂直平分线，用垂直平分线的性质可求；
（2），分别为，的垂直平分线，可得，求出可证；
（3）分别考虑AE=AG、、AG=GE时这三种情况即可．
【详解】
（1），，
；
，分别为，的垂直平分线，
，，
，，
；
（2），
，
，分别为，的垂直平分线，
，，

在与中，



（3）当是等腰三角形时
①当AE=AG时，
∴∠AEG=∠AGE，
∵，，
∴，
∴
②当时，
∴∠EAG=∠EGA，
∵，，
∴，
∵
∴
∴．
③当AG=GE时，同理可得

综上所述：、、．
【点睛】
此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
21．如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．

（1）若，求，的度数．
（2）写出与之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）；；（2），见解析
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，．
（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系．
【详解】
（1），，
．
在中，，
，
，
，
．
．

（2），的关系：．
理由如下：设，．
在中，，
，
．
，
在中，，
．
．
．
．
【点睛】
本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于 ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．
22．如图，在四边形中，，，，是边上的两点，且．

（1）求证：≌．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）35°
【分析】
（1）利用SAS证明≌即可；
（2）先利用等角对等边证得，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴≌(SAS)；

（2）∵≌，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．
23．如图，已知．

（1）与全等吗？请说明理由；
（2）若，垂足为F，请说明线段；
（3）在（2）的基础上，猜想线段存在的数量关系，并直接写出结论．
【答案】（1），理由见解析；（2）理由见解析；（3）．
【分析】
（1）利用等量代换求出，根据证明；
（2）延长到，使得，连接，通过证明，得出，然后通过等量代换即可说明；
（3）在利用（2）的结论的前提下，再通过等量代换即可得出结论．
【详解】
解：（1）
证明：，
，
，
在和中，，
；
（2），理由如下；
延长到，使得，连接，如下图：

，
，
，
，
，
，
,
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（3）猜想线段存在的数量关系为：，
理由如下：
由（2）可知：，
，
通过等量代换得：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：掌握全等三角形的判定与性质，同时要熟练运用等量代换的思想来转化．
24．如图①，△ABC中．AB＝AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE＋PF＝CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴＝AB•PE，＝AC•PF，＝AB•CH．
又∵，
∴AB•PE＋AC•PF＝AB•CH．∵AB＝AC，∴PE＋PF＝CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A＝30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF＝3时，则AB边上的高CH______．点P到AB边的距离PE＝________．
【答案】（1）PE＝PF＋CH，证明见解析；（2）7；4或10；
【分析】
（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出，，，再由＝＋即可得出PE＝PF＋PH；
（2）先根据直角三角形的性质得出AC＝2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH＝7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE＋PF＝CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE＝PF＋CH．
【详解】
解：（1）如图②，PE＝PF＋CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴＝AB•PE，＝AC•PF，＝AB•CH，
∵＝＋，
∴AB•PE＝AC•PF＋AB•CH，
又∵AB＝AC，
∴PE＝PF＋CH；
（2）∵在△ACH中，∠A＝30°，
∴AC＝2CH．
∵＝AB•CH，AB＝AC，
∴×2CH•CH＝49，
∴CH＝7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE＋PF＝CH，
∴PE＝CH－PF＝7－3＝4；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE＝PF＋CH，
∴PE＝3＋7＝10．
故答案为7；4或10．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．
25．阅读与思考：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图1，已知锐角，是边上一点，利用尺规作图在边上求作点，使．小明同学想到了如下的方法，并完成了部分证明．
方法：①如图2，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，；②作直线，交于点，交于点；③连接．则点即为所求．
证明：如图3，连接，，，．
由作图可知，，．
∴点，均在线段的垂直平分线上．（依据1）
∴直线是线段的垂直平分线．（依据2）
……
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？
（2）请将上述证明过程补充完整．
（3）尺规作图：请在图1中，用不同于小明的方法求作点．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）依据1：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；依据2：两点确定一条直线；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据作图痕迹可分别写出依据；
（2）结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可补充；
（3）作即可．
【详解】
解：（1）依据1：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
依据2：两点确定一条直线；
（2）∴
∴
∴；
（3）如解图所示，点P即为所求．

【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线以及作图能力，较强的阅读能力和对所学知识的灵活应用能力成为解答本题的关键．
26．在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：

（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE＋BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）
（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
【答案】（1）见解析；（2）BC＝AE＋CF或AE＝CF＋BC
【分析】
（1）延长CD，FE交于点M．利用AAS证明△MED≌△CBD，得到ME＝BC，并利用角平分线加平行的模型证明CF＝MF，AE＝EF，从而得证；
（2）延长CD，EF交于点M．类似于（1）的方法可证明当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE＋CF，当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF＋BC．
【详解】
解：（1）如图①，延长CD，FE交于点M．
∵AB＝BC，EF∥BC，
∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∴MF∥BC，
∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，
又∵∠FCM＝∠BCM，
∴∠M＝∠FCM，
∴CF＝MF，
又∵BD＝DE，
∴△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，
即AE＋BC＝CF；
（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE＋CF，
如图②，延长CD，EF交于点M．

由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，
∴BC＝ME＝EF＋MF＝AE＋CF；
当点E在线段BA的延长线上，
CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF＋BC．
如图③，延长CD交EF于点M，

由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，
又∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠FCB，
∴∠F＝∠FAE，
∴EF＝AE，
∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC，即：AE＝CF＋BC．
【点睛】
本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．
27．如图，已知等腰中，是的高，是的角平分线，与交于点P，当的大小变化时，的形状也随之改变．

（1）当时，求的度数；
（2）求和的关系；
（3）当的度数为___________时，是等腰三角形．
【答案】（1）56°；（2）；（3）或
【分析】
（1）根据等边对等角求出等腰△ABC的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE的度数，再根据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD；
（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A与∠EPC的关系，即可得到结果；
（3）分①若EP=EC，②若PC=PE，③若CP=CE，三种情况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及解出∠A即可．
【详解】
解：（1），，
，
，
，
平分，
，
；
（2）∵，
由（1）可得：，，
；
（3）设，，
①若，
则，
而，，
则有：，又，代入，
，
解得：；
②若，
则，
由①得：，
，
又，代入，
解得：；
③若，
则，，
由①得：，
，又，代入，
解得：，不符合，
综上：当是等腰三角形时，的度数为或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系．
28．如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．
（1）求线段OP的长度；
（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）不改变，
【分析】
（1）证△OAP≌△OBC（ASA），即可得出OP=OC=1；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，证△COM≌△PON（AAS），得出OM=ON．得出HO平分∠CHA，即可得出结论；
（3）连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，则∠OAD=45°，证出∠DAN=∠MOD．证△ODM≌△ADN（ASA），得S△ODM=S△ADN，进而得出答案．
【详解】
解：（1）∵BO⊥AC，AH⊥BC，
∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，
∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
∴OP＝OC＝1；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：

在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP=∠AHC＝45°；
（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于．理由如下：
连接OD，如图2所示：

∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，
∴∠DAN＝135°＝∠DOM．
∵MD⊥ND，
即∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM和△ADN中，
，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，
∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD=S△AOB=×AO•BO=××3×3=．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
29．若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线．
（1）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）．
（2）如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）．
（3）如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE．
①求∠B和∠C的关系式．
②求∠BAC的取值范围．

【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）① 3∠B+2∠C＝180°；②90°＜∠BAC＜120°．
【分析】
（1）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形，使得，，是等腰三角形，并标出每个角的度数即可；
（2）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形，使得，，是等腰三角形，并标出每个角的度数即可；
（3）①设∠B=α，∠C=β，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理用α表示出∠BED、∠DEA，用β表示出∠CEA，根据平角的定义列出式子，整理得到答案；②根据三角形内角和定理得到0＜α＜60，根据①中结论计算，得到答案．
【详解】
（1）如图①；

（2）如图②；

（3）①设∠B＝α，∠C＝β，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE（180﹣α）＝90α，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DEA∠BDE＝45α，
∵CA＝CE，
∴∠CEA＝∠CAE（180﹣β）＝90β，
∴90α+45α+90β＝180，
整理得，3α+2β＝180，即3∠B+2∠C＝180；
②∠BAC＝∠DAE+∠CAE
＝45α+90β
＝135（α+2β）
＝135（3α+2β）α
＝90α，
∵3α+2β＝180，
∴0＜α＜60，
∴90＜∠BAC＜120．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180是解题的关键．
30．如图所示，是的高，点H为的垂直平分线与的交点，．
（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若，求证：；

（3）在（2）的条件下，若，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1
【分析】
（1）连接，根据垂直平分线的性质可知，．即可推出，即．再由三角形外角性质即可推出，即得出．
（2）因为在中，，结合，即得出，即可推出．在上截取，连接，易证，即得，AB=AG，．由（1）和三角形外角的性质可证明，即．最后即得
（3）在上截取，连接，易证，即得，即．再根据（2）和（1）可得出．再由，得：，即，得出结论，即，最后根据AC和CF的长即可求出DF的长．
【详解】
解：（1）连接，
∵H为的垂直平分线与的交点
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

（2）∵，
∴，
在中，，
∴
∴，即平分，
在上截取，连接，

在和中，，
∴，
∴，AB=AG，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）在上截取，连接，

在和中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，
又∵，．
∴．
又∵
∴
∴
∴，
∴
∴．
【点睛】
本题为三角形综合题．考查垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理．正确的作出辅助线是解答本题的关键．