人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形优秀巩固练习

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专训13.3.2.2 含30°角的直角三角形
一、单选题
1．把直线a沿箭头方向水平平移2cm得直线b，这两条直线之间的距离是（ ）

A．0.75cm B．0.8 cm C．1cm D．1.5cm
【答案】C
【分析】
作AC⊥a，垂足为C，根据含30°角直角三角形性质求出AC，问题得解．
【详解】
解：如图，作AC⊥a，垂足为C，
由题意得AB=2cm，∠ABC=30°，
∴AC=AB=1cm，
∴直线a、b之间的距离是1cm．

故选：C
【点睛】
本题考查了平移、平行线间的距离的定义、“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”等知识，熟知相关知识，并根据题意添加辅助线构造直角三角形是解题关键．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=2，则AD的长为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】
先求出∠BCD=∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可求得AB的长，即可解题．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，
∴∠BCD=∠A=30°，
∵BD=2，
∴BC=4，
∴AB=8，
∴AD=AB-BD=6．
故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形中两锐角互余，以及直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求得AB的长是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝1，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为（　　）

A． B． C．2 D．5
【答案】C
【分析】
利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝15°，再利用三角形外角性质得∠ADC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AD的长．
【详解】
解：由作法得MN垂直平分AB，则DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°，
在Rt△ACD中，AD＝2AC＝2．
故选C．
【点睛】
本题考查作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．也考查了线段垂直平分线的性质，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．
4．如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）

A． B．垂直平分
C． D．
【答案】D
【分析】
由作法得OC= OF = OG，FG= FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断OF垂直平分CG，则可对B选项进行判断;利用C点与G点关于OF对称得到∠FOG = ∠FOC =30°，则可对A选项进行判断;通过判断△OCG为等边三角形可对C选项进行判断;利用含30度的直角三角形三边的关系得到 OC = 2CM，加上CF> CM，FC= FG，则可对D选项进行判断.
【详解】
由作法得OC=OF= OG，FG= FC，则OF垂直平分CG，
所以B选项的结论正确；
∵C点与G点关于OF对称
∴∠FOG=∠FOC=30°，
∴∠AOG =60°，
所以A选项的结论正确;
∴△OCG为等边三角形，
OG = CG，
所以C选项的结论正确;
在Rt△OCM中，∵∠COM =30°
∴OC = 2CM，
∵CF > CM， FC= FG，
∴ OC ≠2FG，
所以D选项的结论错误
故选：D.
【点睛】
本题考查含30度的直角三角形、线段垂直平分线的判定、尺规作图、三角形的三边关系，等边三角形，熟练应用所学知识点判断是关键，利用尺规作图步骤分析是重点
5．如图，有三个小海岛、、，其中海岛到海岛的距离为100海里，海岛在海岛北偏东70°的方向上，若海岛在海岛北偏西20°的方向上，且到海岛的距离是50海里，则海岛在海岛（ ）

A．北偏东20°方向 B．北偏东30°方向
C．北偏东40°方向 D．北偏西30°方向
【答案】C
【分析】
根据题意易求出，，即可推出，即可判断海岛西C在海岛A的北偏东．
【详解】
如图，由题意可知，，
∴．
∵海里，海里，即，
∴，
∴．
即海岛西C在海岛A的北偏东．

故选：C．
【点睛】
本题考查方位角和含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形中角所对的直角边等于斜边一半是解答本题的关键．
6．如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则（ ）

A．8 B．6 C．5 D．3
【答案】C
【分析】
过P作PQ垂直于MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在Rt△OPQ中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，由OQ-MQ求出OM的长即可．
【详解】
解：过P作PQ⊥MN，

∵PM=PN，
∴MQ=NQ=1，
在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴OQ==6，
则OM=OQ-QM=6-1=5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解本题的关键．


二、填空题
7．如图，，，若，则线段长为______．

【答案】8
【分析】
过点D作DH⊥AC于H，由等腰三角形的性质可得AH=HC，∠DAC=∠DCA=30°，由直角三角形的性质可证DH=CF，由“AAS”可证△DHE≌△FCE，可得EH=EC，即可求解．
【详解】
解：如图，过点D作DH⊥AC于H，






在△DHE和△FCE中，






故答案为8．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．如图，是等边三角形，点为的中点，于点，，，则的周长为_____．

【答案】27
【分析】
利用含30度角的直角三角形求出AE的长，根据平行线的性质、等边三角形的性质和判定求出△EFC各边长，周长即可求．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC．
∵点D为AB的中点，AD=6，
∴AB=2AD=12．
∵DE⊥AC于点E，AD=6，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD=3，
∴CE=AC-AE=9．
∵EF//AB，
∴∠FEC=∠A=60°，
∵∠C=60°，
∴△EFC是等边三角形．
∴△EFC的周长=9+9+9=27．
故答案为27．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形，平行形线的性质，等边三角形的性质和判定．找出30度角所对的直角边为本题的解题关键．
9．在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；再分别点E，F为圆心，大的长为半径画弧两弧交于点P，作射线交于点D．则与的数量关系是__________．

【答案】BC=3CD
【分析】
先推出∠CAB＝60°，∠CAD＝∠BAD＝30°，再证明AD＝DB＝2CD，进而可得结论．
【详解】
解：∵∠C＝90°,∠B＝30°，
∴∠CAB＝90°−30°＝60°，
由作图可知：AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴AD＝2CD，
∵∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝DB，
∴BD＝2CD，
∴BC=3CD，
故答案为：BC=3CD．
【点睛】
本题考查作图−基本作图，直角三角形30°角的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出各个角的度数，属于中考常考题型．
10．如图，长方形纸片中，，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在边上的处，折痕交于点，那么__________．

【答案】15
【分析】
根据直角三角形的性质可求得∠的度数，进而根据△BCE≌△BC′E，求得∠EBC=∠EBC′，即可求解．
【详解】
解：由折叠的性质可得：
BC=，
∵BC=2CD，AB=CD，
∴=2AB，
∵∠A=90°，
∴∠AC′B=30°，
∴∠C′BC=30°，
∵△BCE≌△BC′E，
∴∠EBC=∠EBC′=15°．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了图形的折叠变换和30°角的直角三角形的性质，正确求得=30°是解题的关键．
11．如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与交于点，作，垂足为，下列结论正确的有________．
①；②；③；④；⑤．

【答案】①②③④
【分析】
由等边三角形的性质和已知条件证出△AEC≌△BDA，可判断①；由等边三角形的性质和三角形的外角性质可判断②；根据∠AFE=60°可判断③；由全等三角形的性质得出∠BAD=∠ACE，求出∠CFM=∠AFE=60°，得出∠FCM=30°，可判断④；根据∠DAC的度数的范围可得∠DAC≠45°，可判断⑤．
【详解】
解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC，
又∵AE=BD，
在△AEC与△BDA中，
，
∴△AEC≌△BDA（SAS），
∴AD=CE，故正确；
②∵∠BEC=∠BAD+∠AFE，△AEC≌△BDA，

∠AFE=
∴∠BEC=∠BAD+∠AFE=∠BAD+60°，
∵∠CDA=∠BAD+∠CBA=∠BAD+60°，
∴∠BEC=∠CDA，故正确；
③∵∠AFE=60°，
∴∠AFC=120°，故正确；
④∵∠AFE =60°，
∴∠CFM=∠AFE=60°，
∵CM⊥AD，
∴在Rt△CFM中，∠FCM=30°，
∴MF=CF，故正确；
⑤要使AM=CM，则必须使∠DAC=45°，由已知条件知∠DAC的度数为大于0°小于60°均可，
∴AM=CM不成立，故错误；
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
12．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若，则阴影部分的面积是________．

【答案】
【分析】
根据直角三角形的性质求出AC，根据等腰三角形的性质求出CF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB=5，
∵∠D=45°，由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC=∠D=45°，
∴CF=AC=5，
∴阴影部分的面积=×5×5=（cm2）
故答案为：．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形及等腰直角三角形的知识，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．
13．已知等腰三角形一腰上的高线长等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为______
【答案】30°或150°
【分析】
根据题意可作图进行分类求解即可．
【详解】
解：由题意得：
①如图，当AB=AC，CD⊥AB时，

∴AC=2CD，
∴∠A=30°；
②如图，

∵AB=BC，AD⊥BC，AB=2AD，
∴∠ABD=30°，
∴∠ABC=150°；
故答案为30°或150°．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的定义及含30°直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
14．如图，等边△ABC中，点F，E分别在AB，BC上，把△BEF沿直线EF翻折，使点B的对应点D恰好落在AC上．若∠AFD＝90°，CD＝1．则CE＝_____．

【答案】2
【分析】
根据等边三角形的性质和翻折得出∠DEC＝30°，进而得出△CDE是直角三角形，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：∵把△BEF沿直线EF翻折，使点B的对应点D恰好落在AC上．若∠AFD＝90°，
∴∠BFE＝∠EFD＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠FEB＝∠FED＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠DEC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠EDC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∵CD＝1，
∴CE＝2，
故答案是：2．
【点睛】
本题考查翻折的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
15．如图，若是等边三角形，，是的平分线，延长到，使，则__．

【答案】9
【分析】
根据等边三角形的性质，得到DC=BC=3，代换计算即可．
【详解】
证明：是等边三角形，

，
是的平分线，
，，
，
，
．
故答案为：9.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中30°角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
16．如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则________．

【答案】5
【分析】
过P作PD⊥OB于点D，在直角三角形POD中，利用含30度直角三角形的性质求出OD的长，再由PM=PN，利用等腰三角形三线合一的性质得到D为MN中点，根据MN=2求出DN的长，由OD+DN即可求出ON的长．
【详解】
解：过P作PD⊥OB于点D，
在Rt△OPD中，∵∠ODP=90°，∠POD=60°，
∴∠OPD=30°，
∴OD=OP=×8=4，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND=MN=1，
∴ON=OD+DN=4+1=5．
故答案为：5．

【点睛】
此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝8，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，若△BPQ为直角三角形，则t的值是___．

【答案】或或
【分析】
先利用直角三角形的性质可得，再根据点的运动路径和速度求出的取值范围为，然后分和两种情况，分别利用直角三角形的性质求解即可得．
【详解】
解：在中，，
，
点从点运动到点所需时间为（秒），最后返回到点所需时间为（秒）；点从点运动到点所需时间为（秒），
当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，当时，为直角三角形，

①当时，
，
在中，，即，
解得，符合题设；
②当时，
，
在中，，即，
解得，不符题设，舍去；
（2）如图，当时，为直角三角形，

①当时，
，
在中，，即，
解得，符合题设；
②当时，
，
在中，，即，
解得，符合题设；
综上，的值是或或，
故答案为：或或．
【点睛】
本题考查了含角的直角三角形的性质等知识点，正确判断出的取值范围，并分情况讨论是解题关键．
18．如图，已知，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为__________．

【答案】22019
【分析】
根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出，得出，，…进而得出答案．
【详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵、是等边三角形，
同理可得：
∴，
∴，
，
，
…，
则的边长为．
故答案为：22019．
【点睛】
本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知，以线段为边在第四象限内作等边，点为正半轴上一动点（），连接，以线段为边在第四象限内作等边，连结并延长，交轴于点．则__________；当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，点的坐标为___________．

【答案】30
【分析】
由等边三角形的性质可得AO=OB=AB=1，BC=BD=CD，∠OBA=∠CBD=60°，可证△OBC≌△ABD，可得∠BAD=∠BOC=60°，可求∠EAO=60°，从而可得；∠EAC=120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，据此得到OC=1+2=3，即可得出点C的位置．
【详解】
解：∵△AOB，△BCD是等边三角形，
∴AO=OB=AB=1，BC=BD=CD，∠OBA=∠CBD=60°
∴∠OBC=∠ABD，且OB=AB，BC=BD，
∴△OBC≌△ABD（SAS）
∴∠BAD=∠BOC=60°
∴∠EAO=180°-∠OAB-∠BAD=60°
∠EAC=120°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
∵在Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，
∴AE=2，
∴AC=AE=2，
∴OC=1+2=3，
∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，图形与坐标，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练应用以上知识是解题的关键．

三、解答题
20．如图，已知，是平分线上一点，，交于点， 垂足为点，证明：．

【答案】见解析
【分析】
由30°角直角三角形的性质，角平分线的性质即可求得．
【详解】
证明：作于，

∵是平分线上一点，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查了30°角直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质等，作出辅助线是解题的关键．
21．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于，求证：．

【答案】见解析
【分析】
连接，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半即可证明
【详解】
证明：连接，

∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．如图在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若点E 是AB中点，CD＝1，求BD的长．

【答案】（1）见解析；（2）BD=2．
【分析】
（1）由角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形全等的判定证得Rt△ADC≌Rt△ADE，由全等三角形的性质即可证得结论；
（2）求出AD=BD，推出∠B=∠DAB=∠CAD，求出∠B=30°，即可求出BD=2DE=2，根据勾股定理求出即可．
【详解】
（1）证明：∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AE；
（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∵CD=DE=1，∠DEB=90°，
∴BD=2DE=2．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能推出Rt△ADC≌Rt△ADE和求出∠B=30°是解此题的关键．
23．如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【详解】
解：（1）证明：∵平分，，，
∴，，
∵在和中
．
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
24．已知：∠α和∠PAQ．点B为射线AP上一定点．
（1）用尺规在右图中完成以下基本作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作∠ABC=∠α，射线BC交射线AQ于点C；
②作线段AB的垂直平分线，交线段AB于点D，交线段BC于点E；
（2）在（1）所作图形中，连接AE，若∠α=30°，DE=2，则线段AE的长为__________．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）4
【分析】
（1）①根据作一个角等于已知角的作图步骤即可作出∠ABC=∠α；
②根据线段垂直平分线的作图步骤作出图形，标出字母即可；
（2）连接AE，根据含30°的直角三角形的性质和垂直平分线的性质即可得出答案
【详解】
（1）①如图所示；②如图所示；

（2）连接AE，
∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE，∠BDE=90°，
∵∠CBA=∠α=30°，DE=2，
∴BE=AE=4

【点睛】
本题考查了基本作图---作一个角等于已知角和线段的垂直平分线，以及线段垂直平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
25．如图，在中，，平分，交于点，过点作于点

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理证明三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得CD=ED，由直角三角形的性质可求解．
【详解】
（1）证明：∵平分，，，
∴，，
∵在和中，

∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．

【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）依据∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD＝∠B，再根据CE平分∠BCD，可得∠BCE＝∠DCE，进而得出∠AEC＝∠ACE．
（2）依据∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝30°即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
27．已知：如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，AD，BE交于点P，BQ⊥AD于点Q．

（1）求证：∠ABE＝∠CAD．
（2）若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）BE= 7．
【分析】
（1）由SAS证明△ABE≌△CAD即可；
（2）由三角形全等可以得出∠ABE＝∠CAD，可求∠BPD＝60°，求出∠BPQ＝30°，由直角三角形的性质求出BP的长，即可求得BE的长．
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°．
∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD（SAS）．
∴∠ABE=∠CAD．
（2）∵∠ABE=∠CAD，∠CAD+∠BAD=60°，
∴∠ABE+∠BAD=∠BPQ=60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°．
∴BP=2PQ=6．
∴BE=BP+PE=6+1=7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定的方法是本题的关键．
28．如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，，连结，，，设．

（1）求证：；
（2）若，判断的形状，并说明理由；
（3）若，且，当长为何值时，．
【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）BD=
【分析】
（1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，由SAS即可证明△BDF≌△CED；
（2）由α=45°，得到∠FDB+∠EDC=135°，从而得到∠BAC=90°，即可证明；
（3）证明△ABC是等边三角形，根据DF⊥BC和全等三角形的性质，得到CD=BF=2BD，结合AB=10即可求出BD．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS）；
（2）∵α=45°，
∴∠FDB+∠EDC=180°-45°=135°，
又∵△BDF≌△CED，
∴∠FDB=∠DEC，
∴∠DEC+∠EDC=135°，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BAC=180°-45°×2=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3）∵α=60°，
∴∠A=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵DF⊥BC，
∴∠FDB=90°，∠BFD=30°，
∴BF=2BD，
又∵△BFD≌△CDE，
∴CD=BF=2BD，
∵BD+CD=10，
∴BD=．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点上方的为轴上一动点，以为边作等边，直线交轴于点．

（1）当点运动到时，　　　　；
（2）猜想 度，并说明理由；
（3）当点运动时，的长度是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）当点运动时，的长度没有发生变化，
【分析】
（1）根据等边三角形性质得出OB＝AB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，求出∠OBC＝∠ABD，证出△CBO≌△DBA即可；
（2）点C在y轴正半轴上，根据等边三角形性质得出OB＝AB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，求出∠OBC＝∠ABD，证出△CBO≌△DBA，即可求出答案．
（3）根据（2）可得，可求出∠EAO＝60°，求出∠AEO＝30°，得出AE＝2AO，求出即可．
【详解】
（1）∵和是等边三角形，
∴OB＝AB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，
∴∠ABO+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，
即∠OBC＝∠ABD，
在△CBO和△DBA中，
，
∴△CBO≌△DBA（SAS），
∴OC＝AD；
∵OC＝3
．
故答案为：3
（2）．
理由：
∵，均为等边三角形，
∴，
，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）当点运动时，的长度没有发生变化．
∵，，
∴．
又∵，，
∴，，
∴．

【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质的应用，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
30．如图，已知平分，将等边三角形的一个顶点放在射线上，两边分别与交于点．

（1）如图1，当三角形绕点旋转到时，求证：；
（2）如图2，当三角形绕点旋转到与不垂直时，线段与之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）如图3，当三角形绕点旋转到与的反向延长线相交时，线段与之间有什么数量关系？（直接写出它们之间的数量关系，不用说明理由．）
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）．
【分析】
（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等直接回答；
（2）过P作OA、OB的垂线，构造图①的图形，利用（1）的结论证明△PQC≌△PND，根据线段的和差、含30°角的三角形的特点和全等三角形对应边相等可证；
（3）仿（2）的证明可得．
【详解】
解：（1）证明：∵等边三角形，
∴∠CPD=60°，
∵OP平分∠AOB，∠AOB=120°，PC⊥OA于C，
∴∠AOP=∠POB=60°，
∴∠CPO=∠OPD=30°，
∴∠PDO=90°，
∴PD⊥OB于D，
∴PC=PD．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
（2）解：．
过P点作PQ⊥OA于Q，PN⊥OB于N．
∴∠OQP=∠ONP=90°，
由（1）得 PQ=PN．
∵∠AOB=120°，∠CPD=60°，
∴∠QPN=360°-90°-90°-120°=60°．
∴∠QPC=∠NPD=60°-∠CPN．∠QPO=∠OPN=30°，
∴，
∴，
∵∠OQP=∠ONP=90°，∠QPC=∠NPD，PQ=PN，
∴△PQC≌△PND（ASA），
∴QC=ND．
∴；

（3），理由如下：
过P点作PQ⊥OA于Q，PN⊥OB于N．
与（2）同理可证，△PQC≌△PND（ASA），
∴QC=ND，
∴．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，含30°角的直角三角形．本题中由易到难层层递进，能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．