初中数学人教版八年级上册14.2.1 平方差公式精品习题

专训14.2.1 平方差公式应用+与面积有关问题

一、单选题

1．下列各式中能使用平方差公式的是（    ）

A． B．

C． D．

2．下列算式能用平方差公式计算的是（    ）

A． B．

C． D．

3．下面计算正确的是（    ）

A．原式

B．原式

C．原式

D．原式

4．若，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

5．若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（　　）

A．205 B．250 C．502 D．520

6．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）

A．a2+2ab+b2＝（a+b）2

B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2

C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）

D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b）

二、填空题

7．已知m2﹣n2＝24，m比n大8，则m+n＝___．

8．观察下列各式：

（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；

（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；

（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……

根据这一规律计算：22020+22019+22018+…+22+2+1的结果是___________________．

9．计算：3（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1，它的结果的个位数字是 ___．

10．如图①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形，请写出上述所揭示的公式_____．

11．如图1，从边长为的正方形中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿着虚线又剪拼成一个如图2所示的长方形（不重叠、无缝隙），根据阴影部分面积的不同求法，可以得到一个数学公式是___________．

12．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的恒等式是：__________________．

三、解答题

13． 计算：

14．利用整式乘法公式进行计算：．

15．试说明的值与无关．

16．应用公式计算：

（1）；               （2）；             （3）．

17．先化简，再求值：，其中，．

18．如图①所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿虚线AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的等腰梯形．

（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1和S2．

（2）请写出上述过程中所揭示的乘法公式；

（3）用这个乘法公式计算：

①（x﹣）（x+）（x2+）；

②107×93．

19．如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．

（1）用含字母a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积为 　　（写成平方差的形式）；

（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母a、b的代数式表示此长方形的面积为 　　；（写成多项式乘法的形式）

（3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式 　　；

（4）拓展运用：

①结合（3）的公式，计算下面这个算式：1202﹣118×122．（不用公式计算不得分）

②结合（3）的公式，先计算下面这个算式（用乘方的形式表示结果）并说出这个结果的个位数字．（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）（232+1）+1．个位数字是 　　．

20．（知识生成）通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．

（1）如图1，根据图中阴影部分（4个完全相同的小长方形）的面积可以得到的等式是：             ．

（知识迁移）类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．

（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：             ．

（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求的值．

21．探究下面的问题：

（1）如图①，在边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成如图②的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是______（用式子表示）；

（2）运用你所得到的公式计算：

①；

②．

22．在边长为a的正方形的一角减去一个边长为b的小正方形（），如图①

（1）由图①得阴影部分的面积为__________．

（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为______________．

（3）由（1）（2）的结果得出结论：_________=____________．

（4）试计算a、b取不同数值时，及的值填表：

用发现的规律计算：__________________．

23．如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：             ，            ；

（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？

（3）试利用这个公式计算：．

24．如图，四边形与四边形都是正方形，，．

（1）观察图形，用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可以得到公式，请写出这个公式的推导过程；

（2）如果正方形的边长比正方形的边长多16，它们的面积相差960，利用（1）中的公式，求，的值．

25．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．

（1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为　        ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为　       ；（写成两数平方差的形式）；

（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是　       ；

A．（a+b）2＝a2+2ab+b2

B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2

（3）请利用所得等式解决下面的问题：

①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝　        ；

②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．

26．从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）．

A．

B．

C．

（2）若，，求的值；

（3）计算：．

27．如图（1）所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形．

（1）设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示，；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式：______；

（3）直按应用：利用这个公式计算：

①；

②；

（4）拓展应用：试利用这个公式计算：．

28．（1）如图1所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是______；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是_________；

（2）由（1）可以得到一个乘法公式是________；

（3）利用你得到的公式计算：．

29．如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．

（1）请直接用含和的代数式表示=______，=____；写出利用图形的面积关系所得到的公式：________（用式子表达）．

（2）应用公式计算：．

（3）应用公式计算：

30．某公园对一个边长为a（a＞1）的正方形花坛进行改造，由于占地需要，正方形花坛南北方向需要缩短1米，使其形状成为长方形．为了使花坛中的绿植面积不变，公园决定将花坛向东侧扩展，使得到的长方形面积和原来正方形的面积相等．

（1）小明说：这太简单了，把正方形南北方向减少1米，在花坛东侧增加1米就行了．这样得到的长方形的周长和面积与原来正方形的周长和面积都相等．你认为小明说的对吗？请你说明理由．

（2）如果原来正方形的花坛边长是5米，在只保证面积不变的情况下，请你计算出改造后，向东扩展了多少米？

（3）如果正方形的花坛边长是a米，在只保证面积不变的情况下，请你用代数式表示出改造后长方形的长．