天津市南开区2022届高三下学期数学二模试卷及答案

 高三下学期数学二模试卷

一、单选题

1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

2．设，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．为了解某地区老年人体育运动情况，随机抽取了200名老年人进行调查．根据调查结果绘制了下面日均体育运动时间的频率分布直方图，则日均体育运动时间的众数和中位数分别是（　　）

A．35，35 B．40，35 C．30，30 D．35，30

4．函数的图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

5．设，，，则的大小关系是（　　）

A． B． C． D．

6．已知矩形的顶点都在球心为的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球的表面积为（　　）

A．64π B．52π C．48π D．

7．函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（　　）

A．

B．是函数图象的一条对称轴

C．时，函数单调递增

D．的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是

8．设抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，到双曲线左顶点的距离为，则该双曲线的离心率是（　　）

A． B． C．2 D．

9．已知定义在上的函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

10．已知是虚数单位，复数满足，则　     　．

11．在的展开式中，的系数是　     　．

12．已知直线：与圆：相交于两点，若，则的值为　     　．

13．已知，，则的最大值是　     　．

14．甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球．①先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则　     　；②从甲、乙两罐中分别随机各取出一球，则取到黑球的个数的数学期望为　     　．

15．已知平行四边形中，，，，则　     　；若，，则的最大值为　     　．

三、解答题

16．在中，内角对边的边长分别是，已知．

（1）若，，求；

（2）若，求证：是等边三角形；

（3）若，求的值．

17．如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，．

（1）求证：平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值；

（3）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．

18．已知椭圆：，其离心率为，若，分别为的左、右焦点，轴上方一点在椭圆上，且满足，．

（1）求的方程；

（2）过点的直线交于另一点，点与点关于轴对称，直线交轴于点，若的面积是的面积的2倍，求直线的方程．

19．已知为等差数列，为正项等比数列，的前项和为，，，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求的前项和的最大值；

（3）设求证：．

20．已知函数（，是自然对数的底数，）．

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

（3）若函数有两个极值点，且，求的最大值．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】B

3．【答案】D

4．【答案】D

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】C

8．【答案】C

9．【答案】B

10．【答案】-2-i

11．【答案】-189

12．【答案】

13．【答案】

14．【答案】；

15．【答案】；

16．【答案】（1）解：中，．则，

又，，由正弦定理得

（2）证明：中，．则，

则有

又，则，即，

则有，则有，又，则有

则是等边三角形

（3）解：中，．则，，

又，，则，则

则

17．【答案】（1）证明：因为底面为正方形，平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设，则，

故，设平面的法向量为，

则即，取，故，故，

而平面，故平面

（2）解：因为，故，故，而，

设平面的法向量为，

故即，取，则，

故，

设与平面所成角为，则

（3）解：由（1）可得，而，

设平面的法向量为，

则即，取，则，

故，

因为平面，故，

故存在非零实数，使得即，

故，解得，

故，由（2）可得，

故与平面夹角的余弦值为

18．【答案】（1）解：因为，所以，且

又，所以，

即，即，所以，

又离心率，所以，，所以，

所以椭圆方程为

（2）解：由（1）可得点的坐标为，

依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，

由消去整理得，解得或，

所以点坐标为，

从而点坐标为，

所以直线的方程为，

则点的坐标为，

因为的面积是的面积的2倍，

所以或，

当时，即，解得，所以直线的方程为；

当时，即，解得，所以直线的方程为；

所以满足条件的直线的方程为，

19．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），

由，，即，解得，所以，

由，所以，由，即，解得或（舍去）

所以

（2）解：由（1）可知，所以，

所以是首项为，公比为的等比数列，

令的前项和为，则，

当为奇数时，

当为偶数时，

综上可得的前项和的最大值为

（3）因为，

所以

①，

②，

由①②可得

所以，得证；

20．【答案】（1）解：当时，

令，解得，，

所以，与的关系如下：

所以当时，函数取得极大值，即，

当时，函数取得极小值，即

（2）解：因为，

所以

令，

则

依题意在上恒成立，

令，则，解得

（3）解：因为，即，

则，

因为在上有两个极值点，

即在上有两个不等实根，

即在上有两个不等实根、，

因为，

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，

则，所以，解得，

所以，

所以在和上各有一个实根，

所以函数在上有两个极值点时，并且，

因为，

所以，

令，则，

当时，，单调递减，

因为，所以，即

则

因为且，所以满足题意的整数的最大值为-3；