浙江省绍兴市2022届高三数学高考及选考科目适应性考试试卷及答案

 高三数学高考及选考科目适应性考试试卷

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B． C． D．

2．人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程，则（　　）

A． B． C． D．

3．已知椭圆，则该椭圆的离心率（　　）

A． B． C． D．

4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．

5．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（　　）

A． B． C． D．

6．若实数x，y满足的约束条件，则的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

7．中，“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．正方体中，O为正方体的中心，P为正方体表面上的一个动点，若直线与平面、平面所成的角都是，则这样的点P的个数为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．无数个

9．定义在R上的偶函数满足，当时，若在区间内，函数有个5零点，则实数m的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

10．已知正项数列，对任意的正整数m、n都有，则下列结论可能成立的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．二项式的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则　     　，展开式中含的项的系数为　     　．

12．已知双曲线，直线l交双曲线两条渐近线于点A、B，M为线段的中点，设直线l、的斜率分别为，若，则渐近线方程为　        　．

13．已知是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是的重心．若，则　     　．

14．已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为　               　．

15．如图，在中，D为边上一近B点的三等分点，，则　     　，　     　．

16．设，若函数有且仅有一个零点，且，则的最小值为　     　，的最小值为　     　．

17．盆子中有大小相同的球共6个，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有2个，标号为3的球有1个，第1次从盒子中任取1个球，放回后第2次再任取1个球，记第1次与第2次取到的球的标号之和为，则　     　．　     　．

三、解答题

18．函数（其中）部分图象如图所示，是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．

（1）求的最小正周期及的值；

（2）若，求A的值．

19．如图，三棱台中，，，．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成的角．

20．已知非零数列满足．

（1）若数列是公差不为0的等差数列，求它的通项公式；

（2）若，证明：对任意．

21．如图，已知抛物线，直线l过点与抛物线交于A、B两点，且在A、B处的切线交于点P，过点P且垂直于x轴的直线分别交抛物线C、直线l于M、N两点．直线l与曲线交于C、D两点．

（1）求证：点N是中点；

（2）设的面积分别为，求的取值范围．

22．设a为实数，函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）判断函数零点的个数．

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】C

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】A

6．【答案】B

7．【答案】C

8．【答案】C

9．【答案】D

10．【答案】D

11．【答案】6；-160

12．【答案】

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】；

16．【答案】；

17．【答案】；

18．【答案】（1）解：函数的最小正周期，

因是函数图象的最高点，则，而，有，，

所以函数的最小正周期为2，.

（2）解：由（1）知，，由得，即点，由得，即点，

于是得，，而，

则，又，解得，

所以.

19．【答案】（1）证明：由题，取中点，连接，

由，，则，又面，故面，

因为面，故，又，则，得证；

（2）解：由题，，则，又，，

故，故.

分别以为轴建立如图空间直角坐标系，

易得，，，，，，设平面法向量，

则，令，则，

故，故直线与平面所成的角为.

即直线与平面所成的角为.

20．【答案】（1）解：因为数列是公差不为0的等差数列，故设公差为.

又，则，

化简得，又，故，

因为，则，且

所以，

故数列的通项公式为.

（2）证明：因为，

所以，又，则，

故，即，

所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，

故，，

则对任意的，

，当时等号成立.

21．【答案】（1）证明：因为点的直线l过与抛物线交于A、B两点，所以直线的斜率存在，可设.

设，则，消去y可得：，

所以.

对抛物线可化为，求导得：，

所以以为切点的切线方程为，整理得：.

同理可求：以为切点的切线方程为.

两条切线方程联立解得：，，所以.

过点P且垂直于x轴的直线为：，所以.

所以，即点N是中点.

（2）解：设.

因为点D到MN的距离为，所以.

因为点B到MN的距离为，所以.

所以.

由（1）可知：点N是中点.同理可证：点N是中点.

所以.

设，则，消去y可得：，

所以.所以.

由（1）可知：，，所以.

同理可求：，.

所以

因为，所以，所以，所以，所以，所以.

即的取值范围为

22．【答案】（1）解：函数的定义域为，

当时，，

则，且，

有，令，

所以当时，则单调递增，

当时，则单调递减，

所以，即，

则函数在上单调递减，

即函数的减区间为，无增区间；

（2）解：由(1)知当时函数在上单调递减，

又，此时函数只有1个零点；

因为函数的定义域为，所以与具有相同的零点，

令，

则，

当时，，令，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，此时函数无零点，即函数无零点；

当时，令或，

若，则，列表如下：

当时，

，

当即时，，

，又，

此时函数有1个零点，则函数有1个零点；

若，则，列表如下：

所以，

又，，则此时函数有2个零点，即函数有2个零点；

综上，当时，函数在上没有零点，

当时，函数在上有1个零点，

当时，函数在上有2个零点.