第一章《空间向量与立体几何》章节测试

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第一册

第一章《空间向量与立体几何》章节测试

一、     单选题:

1.已知向量 ,且,则的值为（        ）.  

 A.3          B.4         C.5          D.6 

2.设直线的方向向量是,平面 的法向量是,则”"是“ "的(         )

 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.如图,在四面体中,点在棱 上,且满足,点分别       是线段的中点,则用向量表示向量应为(        )

 A.           B.

 C. D.

4.如图,在长方体中,设,

则等于(     )

 A. B. C. D.

5.已知 ,若三个向量不能 构成空间   的一个基底,则实数的值为(       ) 

A.         B.           C.        D.

6.二面角的棱上有两点,直线 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,,则该二面角的大小为(          )

 A.        B.       C.        D.

7.在《九章算术》中, 将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，

⊥平面, ，且,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为(         )

 A.  B. C.  D. 

8.在正四棱柱中,,,动点分别在线段上,则线段长度的最小值是(          )  

 A.          B.        C.          D.

二、多选题:

9.已知空间中三点 ,则下列结论正确的有(        )

 A.与是共线向量 B.与共线的单位向量是

 C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是

10.设动点在正方体的体对角线上,记,当为钝角时,实数的可能取值是(         )

 A.         B.           C.          D.

三、填空题：

11.已知点 ,则在上的投影向量的长度为        .

12.在平面直角坐标系中,点关于轴的对称点为,则在空间直角坐标系中,关于 轴的对称点的坐标为        ,若点关于平面的对称点为点,则         .

13.如图,在长方体中,,,若为中点,则点到        平面的距离为        .

14.在四棱锥中,底面,底面 是正方形,且    为的重心,则与底面所成角的正弦值 为        .

四.拓展题：

15.如图,在三棱柱中,, 分别是上的点,且.设,.

(1)试用表示向量;

(2)若,求的长.

16.已知向量 .

(1)若 ,求的值;

(2)以坐标原点为起点作,求点到直线的距离.

五、创新题：

 17.如图,在四棱锥中,底面 是平行四边形,且平面 是的中点,在下面两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.

①二面角的大小是;②.

若        ,求直线与平面所成角的正弦值.

六．探究题：

18.如图,在三棱柱中,四边形是边长为4的正方形,平面平面,.

(1)求证:平面;

(2)求二面角的余弦值;

(3)证明:在线段上存在点 ,使得,并求的值

同步练习答案

一、 单选题：

1. 答案：C

解析：∵,解得,故选C.

2. 答案：B.

解析:由,得,则:“”是“”的必要条件;

由,得 或,则“”不是" "的充分条件.

故“”是“”的必要不充分条件.故选B.

3. 答案：

解析：连接,因为分别为 的中点,

所以,化简得到,故选.

4. 答案：A

解析：（方法一）  由长方体的性质可知,,,

又,,

所以 .故选.

（方法二）  以为坐标原点,分别为 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,则,则.故选.

5. 答案：D

解析：∵与不平行,∵三个向量不能构成空间的一个基底,∴三个向量共面,即存在实数X,Y,使,即解得,    故选D.

6. 答案：

解析：由題意知 解得,则,所以面角的大小为,故选C.

7. 答案：C

解析：将四面体放在正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,

所以异面直线与所成角的余弦值为,故选C.

8. 答案：C

解析：以D为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,则可设 ,,,∴，当且仅当时，取得最小值，故选.

二、多选题：

9.答案：C、D

解析：（1）对于,不存在实数,使得,所以与不是共线向量,所以错误;

（2）对于,因为,所以与共线的单位向量为或,所以错误;

（3）对于,向量,所以,所以正确;

（4）对于,设平面的法向量是,因为,所以,即,

令,则,所以D正确,          故选.

10.答案：A、B.

解析:以为原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,  如图所示.设正方体的棱长为1,则, ,

,

所以.

因为

为钝角,所以,

即,

解得.      故选.

二、 填空题：

11. 答案：

解析：由已知

,

所以在上的投影向量的长蝃为.

12.答案：          

解析：由题意得关于轴的对称点 的坐标为；

点关于平面的对称点为,所以.

13.答案：

解析：以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如 图所示的空间直角坐标系，连接，由题意得,，，,.设平面的法向角为,则,即,令,得点到平面的距离

.

14. 答案：

解析：如图,分别以 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,由已知,得,,,则重心,因而,,设与底面所成的角为,则.

四、拓展题：

15. 答案：（1）         (2)

解析：(1)由题意可知

.                                    (2)因为

所以,           所以.                                    16.答案：（1）.       （2）

解析：(1) ,

                                ∵      ∴,  解得

(2)由条件知 ,     ∴                                                                                       ∴点 到直线的距离.           

四、创新题：

17. 答案：选① .        选②.

解析：选①.因为平面,所以,

所以 就是二面角的平面角,所以.        

过作轴⊥ ，以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则,       所以

取平面 的一个法向量                                          

设直线与平面所成的角为 则

所以直线与平面所成角的正弦值是.                                   

选② 因为平面,底面是平行四边形,所以,DC,DM两两垂直 ，以D为坐标原点,DC,DM所在直线分别为 轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则,所以                                         

取平面的一个法向量 .设直线与平面所成的角为,

则,

所以直线 与平面所成角的正弦值是.         

五、探究题：

18. 答案：（1）见解析，    （2）.     

（3）在线段上存在点,使得 ,此时.

解析：(1)因为四边形 为正方形,所以.

因为平面平面 ,且垂直于这两个平面的交线,

所以平面.                                                  

(2)由(1)知 .

由题意知,则,所以 .如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则.

所 .                         令,则,    设平面的法向量为,

则,即.

所以平面的一个法向量为.

设平面的法向量为,

则,即     令,得,

故平面的一个法向量为. 所以.

由题意知二面角为锐角,

所以二面角的弦㢱值为.  

（3）假设是线段上一点,且,

所以 .

解得,      所以 .                                                  由,得 即,解得

因为 ,所以在线段上存在点,使得 ,此时.