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    第一章《空间向量与立体几何》章节测试

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    这是一份第一章《空间向量与立体几何》章节测试,共16页。

    2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第一册

    空间向量与立体几何章节测试

     

    一、     单选:

    1.已知向量 ,,则的值为       ).  

     A.3          B.4         C.5          D.6 

    2.设直线的方向向量是,平面 的法向量是,则"是“ "的(         )

     A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    3.如图,在四面体中,点在棱 上,且满足,点分别       是线段的中点,则用向量表示向量应为(        )

     A.           B.

     C. D.

    4.如图,在长方体中,设,

    等于(     )

     A. B. C. D.

    5.已知 ,若三个向量不能 构成空间   的一个基底,则实数值为(       ) 

    A.         B.           C.        D.

    6.二面角的棱上有两点,直线 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,,则该二面角的大小为(          )

     A.        B.       C.        D.

    7.在九章算术中, 将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑中,

    ⊥平面, ,且,的中点,则异面直线所成角的余弦值为(         )

     A.  B. C.  D. 

    8.在正四棱柱中,,,动点分别在线段上,则线段长度的最小值是(          )  

     A.          B.        C.          D.

    二、多选题:

    9.已知空间中三点 ,则下列结论正确的有(        )

     A.是共线向量 B.与共线的单位向量是

     C.夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是

    10.设动点在正方体的体对角线上,,当为钝角时,实数的可能取值是(         )

     A.         B.           C.          D.

    三、填空题:

    11.已知点 ,则上的投影向量的长度为        .

    12.在平面直角坐标系中,点关于轴的对称点为,则在空间直角坐标系中,关于 轴的对称点的坐标为        ,若点关于平面的对称点为点,则         .

    13.如图,在长方体中,,,若中点,则点        平面的距离为        .

    14.在四棱锥中,底面,底面 是正方形,且    的重心,则与底面所成角的正弦值        .

    .拓展题

    15.如图,在三棱柱中,, 分别是上的点,且.设,.

    (1)试用表示向量;

    (2)若,求的长.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    16.已知向量 .

    (1)若 ,求的值;

    (2)以坐标原点为起点作,求点到直线的距离.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    、创新题:

     17.如图,在四棱锥中,底面 是平行四边形,且平面 的中点,在下面两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.

    二面角的大小是;.

           ,求直线与平面所成角的正弦值.

     

     

     

     

     

    六.探究题:

    18.如图,在三棱柱中,四边形是边长为4的正方形,平面平面,.

    (1)求证:平面;

    (2)求二面角的余弦值;

    (3)证明:在线段上存在点 ,使得,并求的值


     

    同步练习答案

     

    一、 单选题

    1. 答案:C

    解析,解,故选C.

    1. 答案:B.

    解析:,得,则:的必要条件;

    ,得 ,则不是" "的充分条件.

    的必要不充分条件.故B.

    1. 答案:

    解析连接,因为分别为 的中点,

    所以,化简得到,故选.

    1. 答案:A

    解析:(方法一  由长方体的性质可知,,,

    ,,

    所以 .故选.

    方法二  为坐标原点,分别为 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,则,则.故选.

    1. 答案:D

    解析不平行,∵三个向量不能构成空间的一个基底,∴三个向量共面,即存在实X,Y,使,即解得,    故选D.

    1. 答案:

    解析題意知 解得,则,所以面角的大小为,故选C.

    1. 答案:C

    解析将四面体放在正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,

    所以异面直线所成角的余弦值为,故选C.

    1. 答案:C

    解析以D为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、建立如图所示的空间直角坐标系,则,则可设 ,,,,当且仅当时,取得最小值,故选.

    多选题:

    9.答案:CD

    解析:(1)对于,不存在实数,使得,所以不是共线向量,所以错误;

    (2)对于,因为,所以与共线的单位向量为,所以错误;

    (3)对于,向量,所以,所以正确;

    (4)对于,设平面的法向量是,因为,所,即,

    ,则,所以D正确,          故选.

    10.答案:AB.

    解析:为原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,  如图所示.设正方体的棱长为1,则, ,

    ,

    所以.

    因为

    为钝角,所,

    ,

    解得.      故选.


    二、 填空题:

    11. 答案:

    解析由已知

    ,

    所以上的投影向量的长蝃为.

    12.答案:          

    解析由题意得关于轴的对称点 的坐标为

    关于平面的对称点为,所以.

    13.答案:

    解析为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如 图所示的空间直角坐标系,连接,由题意得,,.设平面的法向角为,则,即,令,得到平面的距离

    .

    14. 答案:

    解析如图,分别以 所在直线为轴、轴建立空间直角坐标,由已知,得,,,则重心,因而,,与底面所成的角为,则.

    四、拓展题:

    15. 答案:(1)         (2)

    解析:(1)由题意可知

    .                                    (2)因为

    所以,           所以.                                    16.答案:(1).       (2)

    解析(1) ,

                                         ,  解得

    (2)由条件知 ,                                                                                           到直线的距离.           

    创新题:

    17. 答案: .        .

    解析.因为平面,所以,

    所以 就是二面角的平面角,所以.        

    轴⊥ ,以为坐标原点,所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

    ,       所以

    取平面 的一个法向量                                          

    线与平面所成的角为

    所以直线所成角的正弦值是.                                   

    因为平面,底面是平行四边形,所以,DC,DM两两垂直 D为坐标原点,DC,DM所在直线分别为 轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

    ,所以                                         

    取平面的一个法向量 .设直线与平面所成的角为,

    ,

    所以直线 与平面所成角的正弦值是.         

    五、探究题:

    18. 答案:(1)见解析,    (2).     

    (3)在线段上存在点,使得 ,此时.

    解析:(1)因为四边形 为正方形,所以.

    因为平面平面 ,且垂直于这两个平面的交线,

    所以平面.                                                  

    (2)由(1)知 .

    由题意知,则,所以 .如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则.

    .                         ,则,    设平面的法向量为,

    ,.

    所以平面的一个法向量为.

    设平面的法向量,

    ,     ,得,

    故平面的一个法向量为. 所以.

    由题意知二面角为锐角,

    所以二面角的弦㢱值为.  

    (3)假设是线段上一点,,

    所以 .

    解得,      所以 .                                                  ,得 ,

    因为 ,所以在线段上存在点,使得 ,此时.

     

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