数学九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程精品单元测试同步测试题

第21章 一元二次方程单元测试卷

一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．（2020·吉林省第二实验学校初二期中）下列方程是一元二次方程的是(   )

A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+＝3 D．x﹣5y＝6

【答案】B

【解析】

根据一元二次方程的定义可以判断选项B的方程是一元二次方程.

故选B.

2．（2019·重庆八中初二期末）方程的解是 （    ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【解析】

解：先移项，得x2－3x＝0，再提公因式，得x（x－3）＝0，

从而得x＝0或x＝3

故选D．

3．（2019·汕头市潮南区图南学校初三月考）下列一元二次方程中，有实数根的方程是(     )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．A、△=1－4=－3＜0；B、△=4－12=－8＜0；C、△=1+4=5＞0；D、△=0－16=－16＜0．

4．（2020·辽宁省初三期末）设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（　　）

A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1

C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2

【答案】C

【解析】

解：∵a△b＝a2+b2+ab，

∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，

整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，

解得：x1＝x2＝﹣1．

故选：C．

5．（2020·浙江省初三其他）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）

A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9

【答案】C

【解析】

解：由原方程移项，得

x2﹣2x＝5，

方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得

x2﹣2x+1＝6

∴（x﹣1）2＝6．

故选：C．

6．（2020·广东省深大师范坂田学校初二期中）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

设参赛队伍有x支，根据题意得：

x（x﹣1）=380．

故选B．

7．（2020·四川省初三期末）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意，设金色纸边的宽为，

得出方程：（80+2x）（50+2x）=5400，

整理后得：

故选：B.

8．（2019·苏州高新区实验初级中学初二期中）定义：如果一元二次方程满足a+b+c=0，我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是凤凰方程，且有两个相等的实数根，则下列正确的是（　　）

A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c

【答案】A

【解析】

解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=0，
又a+b+c=0，即b=-a-c，
代入b2-4ac=0得（-a-c）2-4ac=0，
即（a+c）2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=（a-c）2=0，
∴a=c．
故选：A．

9．（2020·涡阳县王元中学初二月考）关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ）

A．k为任何实数，方程都没有实数根

B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫

C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

【答案】B

【解析】

∵关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0中

△=（2k）2﹣4×（k﹣1）=4k2﹣4k+4=（2k﹣1）2+3＞0

∴k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B．

10．（2019·吉林省初三期末）若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（    ）

A．1 B．-1 C．1或-1 D．

【答案】B

【解析】

把x=0代入方程得，解得a=±1．

∵原方程是一元二次方程，所以 ，所以,故

故答案为B

11．（2020·河南省初三一模）某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为，则可列方程（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

解：已设这个百分数为x．

200+200（1+x）+200（1+x）2=1400．

故选：B．

12．（2019·四川省初三一模）已知函数的图象如图所示，则一元二次方程根的存在情况是（   ）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

【答案】C

【解析】

由图象可知，函数的图象经过第二、三、四象限，所以，.

根据一元二次方程根的判别式，方程根的判别式为，

当时，，

∴方程有两个不相等的实数根．故选C.

13．（2020·山东省初三一模）已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ）

A．k>且k≠2 B．k≥且k≠2 C．k >且k≠2 D．k≥且k≠2

【答案】C

【解析】

∵方程为一元二次方程，

∴k－2≠0，即k≠2．

∵方程有两个不相等的实数根，

∴△＞0，

∴（2k＋1）2－4（k－2）2＞0，即（2k＋1－2k＋4）（2k＋1＋2k－4）＞0，

∴5（4k－3）＞0，

∴k＞．

∴k的取值范围是k＞且k≠2．

故选C．

14．（2020·辽宁省初三期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（    ）

A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟

【答案】B

【解析】

解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得：×（8﹣t）×2t=15，解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．故当动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．

故选B．

二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）

15．（2019·上海市建平香梅中学初二月考）若一元二次方程有一个根为，则的关系是________.

【答案】

【解析】

解：把x=﹣1代入ax2+bx+c=0中，得：a﹣b+c=0，

∴b=a+c．

故答案为b=a+c．

16．（2020·江门市第二中学初三月考）已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．

【答案】

【解析】

由较小的数为x可知较大的数为x+3，

故它们的平方和为x2+(x+3)2

再根据它们的平方和是65可得x2+(x+3)2=65，

故答案为x2+(x+3)2=65.

17．（2020·哈密市第四中学初三期中）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是_______m．

【答案】12.

【解析】

设原菜地的长xm，则原菜地的宽是（x-2）m，根据面积是120m2，可得：x（x-2）=120，解得x=12或x=-10（不合题意舍去），所以x=12．

18．（2019·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则▱ABCD的周长是___________．

【答案】4+2．

【解析】

解：因为，a是一元二次方程 的根，

所以，即,

解得a=1或a=-3（不符合题意，舍去），

所以AE=EB=EC=a=1，

在Rt△ABE中，AB=

所以，BC=EB+EC=2,

所以，□ABCD的周长=2（AB+BC）=2

三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）

19．（2019·湖北省初三月考）选用适当的方法解下列方程：

（1）；

（2）.

【答案】（1），；（2），.

【解析】（1）x2-4x=-1，

x2-4x+4=-1+4，

（x-2）2=3，

x-2=±，

所以x1=2+，x2=2−；

（2）2（x-3）2=（x+3）（x-3），

2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，

（x-3）[2（x-3）-（x+3）]=0，

（x-3）（x-9）=0，

x1=3，x2=9.

20．（2019·内蒙古自治区初三期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根

（1）求的取值范围；

（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．

【答案】（1）k＜（2）2

【解析】

解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴．

解得：k＜．

（2）∵k为k＜的正整数，

∴k=1或2．

当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意；

当k=2时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意．

∴k的值为2．

21．（2019·广东省初三学业考试）2016年2月，某市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府在2016年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．

（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？

（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．

【答案】（1）每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．（2）2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．

【解析】

（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：解得：答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．

（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．

根据题意可得：720（1+a）2=2205，解此方程：（1+a）2=，

即：a1==75%，a2=（不符合题意，舍去）

答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．

22．（2019·山东省烟台第十中学初三期中）已知x=2是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，

（1）求m的值；

（2）求△ABC的周长．

【答案】（1）m=2；（2）10

【解析】

解：（1）把x=2代入方程x2-（m+4）x+4m=0得

4-2（m+4）+4m=0，

解得m=2，
（2）∵m=2，
∴方程为x2-6x+8=0，

解得x1=4，x2=2，
因为2+2=4，
所以等腰三角形ABC三边为4、4、2，
所以△ABC的周长为10．

23．（2019·昌图县第三初级中学初三一模）一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为）区域将铺设塑胶地面作为运动场地。

（1）设通道的宽度为，则______________________；（用含的代数式表示）；

（2）若塑胶运动场地总的占地面积为，请问通道的宽度为多少？

【答案】（1），（2）2米.

【解析】

解：（1）设通道的宽度为米，则；

故答案为：.

（2）根据题意得，，

解得，（不合题意，舍去）．

答：中间通道的宽度为2米．

24．（2020·秦皇岛市第十六中学初二期中）某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:

(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?

(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?

(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.

【答案】(1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元；(2)每件衬衫应降价20元；

(3)不可能.理由见解析.

【解析】(1)×(40-4)=1008(元).

答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.

(2)设每件衬衫应降价x元，

根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，

整理，得x2-30x+200=0，

解得x1=10，x2=20，

∵要尽量减少库存，

∴x=20.

答：每件衬衫应降价20元.

(3)不可能.理由如下：

令(40-x)(20+2x)=1600，

整理得x2-30x+400=0，

∵Δ=900-4×400<0，

∴商场平均每天不可能盈利1600元.

25．（2018·全国初三单元测试）我们知道：x2﹣6x＝(x2﹣6x+9)﹣9＝(x﹣3)2﹣9；﹣x2+10x＝﹣(x2﹣10x+25)+25＝﹣(x﹣5)2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：

(1)按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝　   　＝　   　．﹣a2+12a＝　   　＝　   　．

(2)探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由．

(3)应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．

【答案】（1），；（2）当时，代数式存在最小值为；（3）时，最大值为

【解析】

解：（1）根据题意得：a2-4a=a2-4a+4-4=（a-2）2-4；-a2+12a=-（a2-12a+36）+36=-（a-6）2+36；

故答案为a2-4a+4-4；（a-2）2-4；-（a2-12a+36）+36；-（a-6）2+36；

（2）∵a2-4a=a2-4a+4-4=（a-2）2-4≥-4，-a2+12a=-（a2-12a+36）+36=-（a-6）2+36≤36，

∴当a=2时，代数式a2-4a存在最小值为-4；

（3）根据题意得：S=x（6-x）=-x2+6x=-（x-3）2+9≤9，

则x=3时，S最大值为9．

26．（2020·重庆第二外国语学校初三其他）“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．

（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）

（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了m%，求出m的值．

【答案】（1）120；（2）20．

【解析】（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；

解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．

答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；

（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ m%），即72a（1+ m%）+a（72﹣ m）（1+15m%）=144a（1+ m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．

答：m的值是20．