初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数精品习题

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专题22.1 二次函数的图象和性质
典例体系

一、知识点
知识点1：二次函数的概念及解析式
1.二次函数的定义
y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
知识点2：二次函数的图像和性质
2.解析式
（1）三种解析式：
①一般式：y=ax2+bx+c;
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
3.二次函数的图象和性质
图象


开口
向上
向下
对称轴
x＝
顶点坐标

增减性
当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小.
当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大.
最值
x=，y最小＝.
x=，y最大＝.
3.系数a、b、c的作用
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
a、 b

决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点3：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系

注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分）
二、考点点拨与训练
考点1：二次函数的图象和性质
典例：（2020·四川省初三其他）二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是
C．当时，函数的最大值是 D．抛物线与轴有两个交点
【答案】C
【解析】
解： 所以图像的开口向下，故A错误，
抛物线的对称轴是轴，故B错误，
当时，函数的最大值是，故C正确，
由图像可知：抛物线与轴没有交点，故D错误，
故选C．
方法或规律点拨
本题考查的是二次函数的基本性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·辽宁省初三其他）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】二次函数的对称轴为
观察四个选项可知，只有选项D的图象符合
故选：D．
2．（2019·吉林市第二十三中学初三月考）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标
【答案】A
【解析】∵抛物线
∴a＜0，∴开口向下，
∴顶点坐标（5，3）．
故选A．
3．（2020·广西壮族自治区初三学业考试）抛物线，，共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是轴
C．都有最低点 D．y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】解：抛物线的图象开口向上，对称轴为y轴，有最低点，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大．
抛物线的图象开口向下，对称轴为y轴，有最高点，在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
抛物线的图象开口向上，对称轴为y轴，有最低点，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大．
∴抛物线共有的性质是对称轴为y轴．
故选B．
4．（2020·南通市八一中学初二月考）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标为（　　）
A．（1，2） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（﹣2，1）
【答案】C
【解析】解：∵y=3（x2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
故选：C．
5．（2020·四川省初三二模）对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
【答案】C
【解析】解：A、y＝2（x﹣1）2﹣8，
∵a＝2＞0，
∴图象的开口向上，故本选项错误；
B、当x＞1时，y随x的增大而增大；故本选项错误；
C、当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误．
故选：C．
6．（2020·辽宁省初三二模）对于函数，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是（2，5） B．图象开口向上
C．图象关于直线对称 D．函数最大值为5
【答案】D
【解析】解：∵函数y=（x-2）2中，a=1＞0，
∴该函数图象的顶点坐标是（2，5），A正确；
该函数图象开口向上， B正确；
该函数图象关于直线x=2对称， C正确；
抛物线开口向上，当x=2时，该函数取得最小值y=5，故D错误；
故选：D．
7．（2020·浙江锦绣育才教育科技集团有限公司初三二模）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
【答案】B
【解析】
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1=5，
解得：h=﹣1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1=5，
解得：h=5或h=1（舍）．
综上，h的值为﹣1或5，
故选B．
8．（2020·湖北省中考真题）若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根据题意，把点、、代入，则
，
消去c，则得到，
解得：，
∴抛物线的对称轴为：，
∵与对称轴的距离最近；与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，
∴；
故选：D．
9．（2020·四川省中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在轴的右侧
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和
D．的最小值为－9
【答案】D
【解析】∵
∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，故选项A错误；
令x=0，则y=-8，所以图象与轴的交点坐标为，故选项B错误；
令y=0，则，解得x1=2，x2=-4，图象与轴的交点坐标为和，故选项C错误；
∵，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D正确．
故选：D．
10．（2020·山东省中考真题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：




0
2

6
0


6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得：，
∴二次函数的解析式是，
∴a=1＞0，故①正确；
当时，y有最小值，故②错误；
若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；
当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
11．（2020·广东省初三一模）下列关于函数y＝x2﹣4x+6的四个命题：
①当x＝2时，y有最大值2；
②若函数图象过点(a，m0)和(b，m0+1)，其中a＞0，b＞2，则a＜b；
③m为任意实数，x＝2﹣m时的函数值大于x＝2+m时的函数值；
④若m＞2，且m是整数，当m≤x≤m+1时，y的整数值有（2m﹣2）个．
上述四个命题中，其中真命题是_____．（填写所有真命题的序号）
【答案】②④
【解析】解：∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴当x＝2时，y有最小值2，故①错误；
当x＝2+m时，y＝（2+m）2﹣4（2+m）+6，
当x＝2﹣m时，y＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+6，
∵（2+m）2﹣4（2+m）+6﹣[（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+6]＝0，
∴m为任意实数，x＝2+m时的函数值等于x＝2﹣m时的函数值，故③错误；
∵抛物线y＝x2﹣4x+6的对称轴为x＝2＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，x＜2时，y随x的增大而减小，
∵a＞0，b＞2，
∴a＜b；故②正确；
∵抛物线y＝x2﹣4x+6的对称轴为x＝2，a＝1＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
当x＝m+1时，y＝（m+1）2﹣4（m+1）+6，
当x＝m时，y＝m2﹣4m+6，
（m+1）2﹣4（m+1）+6﹣[m2﹣4m+6]＝2m﹣3，
∵m是整数，
∴2m﹣2是整数，
∴y的整数值有（2m﹣2）个；故④正确．
故答案为：②④．
考点2：函数图象与式子符号、数值的判定
典例：（2020·四川省中考真题）函数的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中，以下结论正确的是（ ）
①；
②函数在处的函数值相等；
③函数的图象与的函数图象总有两个不同的交点；
④函数在内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
【答案】C
【解析】如图，根据题意作图，
故a＜0，b＜0，c＞0
∴，①正确；
∵对称轴为x=-1
∴函数在处的函数值相等，故②错误；
图中函数的图象与的函数图象无交点，故③错误；
当时，x=-1时，函数有最大值
x=3时，函数有最小值，故④正确；
故选C．

方法或规律点拨
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解．
巩固练习
1．（2020·四川省初三一模）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①当时，随增大而增大；②抛物线一定过原点；③ 方程的解为或；④当时，；⑤．其中结论错误的个数有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：∵由图像可知，抛物线与x轴有2个交点，对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴另一个交点为，所以②、③正确；
由图像可知，当时，随增大而减小，所以①错误；
当时，，即，所以④正确；
当时，，由图像可知，当时，，即：，所以⑤错误；
综上所述，错误的有：①、⑤，
故选：B.
2．（2020·黑龙江省初三一模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a－b＋c＜0；③2a＝b；④4a＋2b＋c＞0；⑤若点(－2，y1)和(－，y2)在该图象上，则y1＞y2. 其中正确的结论个数是 ( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∵对称轴x=>0，
∴b>0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵对称轴x==1，
∴b=−2a，
∴令x=−1时，此时y=a−b+c，
由图象可知a−b+c<0，
∴a+2a+c=3a+c<0，故②正确，③错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴−1与3关于x=1对称，0与2关于x=1对称，
令x=2时，此时y=4a+2b+c>0，故④正确；
当x<1时，y随着x的增大而增大，
∴−2<−，
∴y 故选B.
3．（2020·四川省初三期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）8a+7b+2c＞0；（3）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：∵，
∴4a+b=0，故（1）正确．
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴a-b+c=0
又∵b=-4a，
∴a+4a+c=0，即c=-5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（2）正确；
∵抛物线的对称轴为x=2，C（，），
∴C关于对称轴对称的点坐标（，）．
∵-3＜＜，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴ ，故（3）错误．
方程a（x+1）（x-5）=0的两根为x=-1或x=5，
过y=-3作x轴的平行线，直线y=-3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：． 故（4）正确．
故选C．．

4．（2020·湖南广益实验中学初三一模）如果我们把函数称为二次函数的“镜子函数”，那么对于二次函数：的“镜子函数”：，下列说法：①的图像关于y轴对称；②有最小值，最小值为；③当方程有两个不相等的实数根时，；④直线与的图像有三个交点时，中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】

①的图像关于y轴对称正确；
②有最小值，最小值为，正确；
③当方程有两个不相等的实数根时，即与的图像有两个交点，观察图像可知或时，与的图像有两个交点，所以该选项不正确；
④观察图像可知只能是两个确定的值，即图中所示两条确定的直线，才能保证直线与的图像有三个交点，而该选项表示的是的范围显然不正确.
故答案为B
5．（2020·广西壮族自治区初三其他）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，的取值范围是；④当时，随增大而增大；⑤若为任意实数，则有，其中结论正确的个数是(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】∵抛物线的对称轴为直线，
∴,
∴b=-2a，
∴，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3,0），
∴当时，的取值范围是，故③正确；
当01时y随x的增大而减小，故④错误；
由图象知：抛物线的顶点横坐标为1，纵坐标大于3，即抛物线的最大值一定大于3，
∴若为任意实数，当x=t时则有，故⑤正确；
故选：B.
6．（2020·湖南省中考真题）已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（ ）

A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
【答案】D
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴x==1>0，
∴b=-2a，
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，①错误；
∵b=-2a，
∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②错误；
由图像可得当x=-1时，y=a-b+c<0，③错误；
当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，
当x=n时，y=an2+bn+c，
a+b+c>an2+bn+c，
即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正确；
当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，
∵b=-2a，即a=，
代入9a+3b+c<0得9（）+3b+c<0，
+c<0，
-3b+2c<0，即2c<3b，⑤正确；
故选：D．
7．（2020·湖北省中考真题）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴，
∴a＞0,c＜0
∴ac＜0
故①正确；
②∵抛物线的对称轴是x=1，
∴
∴b=-2a
∵当x=-1时，y=0
∴0=a-b+c
∴3a+c=0
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解
∴
∴
故③正确；
④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大．
故④错误
所以正确的答案有①、②、③共3个
故选：B
8．（2020·山东省中考真题）二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）

A．若，是图象上的两点，则
B．
C．方程有两个不相等的实数根
D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】由函数的图象可知，二次函数的对称轴为
则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，选项D错误
由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等
则当时，函数值为

，则选项A正确


又当时，
，即，选项B正确
由函数的图象可知，二次函数的图象与x轴有两个交点
则将二次函数的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数与x轴也有两个交点
因此，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
即方程有两个不相等的实数根，选项C正确
故选：D．
9．（2020·辽宁省初三其他）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③4a﹣2b+c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有 （ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】根据函数的交点可得：函数的对称轴为直线x=1，即－=1，则2a+b=0，即①错误；根据图象可得a＞0，b＜0，c＜0，则abc＞0，即②错误；当x=－2时，y＞0，即4a－2b+c＞0，则③错误；根据①可得：b=－2a，根据4a－2b+c＞0可得：8a+c＞0，则④正确.
10．（2020·黑龙江省朝鲜族学校中考真题）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若，是抛物线上的两点，则y1m(am+b) (其中m≠)．其中说法正确的是（ ）

A．①②④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．③④⑤
【答案】A
【解析】
解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以①正确；
对称轴为，且经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
，所以②正确；
抛物线经过点，
时，，
，所以③错误；
点，离对称轴要比点，离对称轴要远，
，所以④正确．
抛物线的对称轴为直线，
当时，有最大值，
（其中，
（其中，
，
，
，所以⑤正确；
故选：A．
考点3：二次函数的图像平移问题
典例：（2020·湖北省中考真题）把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
（1）直接写出抛物线的函数关系式；
（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；
（3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2）不在，见解析；（3），见解析
【解析】（1）抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为(-1，2)，
根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，
∴抛物线的函数关系式为：；
（2）动点P不在抛物线上．
理由如下：
∵抛物线的顶点为，开口向上，
∴抛物线的最低点的纵坐标为．
∵，
∴动点P不在抛物线上；
（3）．
理由如下：
由（1）知抛物线的对称轴是，且开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．
∵点都在抛物线上，且，
∴．
方法或规律点拨
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·陕西省中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】解：，
该抛物线顶点坐标是，，
将其沿轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，，
，
，
，
，
点，在第四象限；
故选：．
2．（2020·内蒙古自治区初三月考）把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　）
A．y=﹣2（x﹣1）2+6 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣6
C．y=﹣2（x+1）2+6 D．y=﹣2（x+1）2﹣6
【答案】C
【解析】
∵抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），
∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，6）
∴所得抛物线解析式是y=﹣2（x+1）2+6．
故选C
3．（2020·广东省中考真题）把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故选：C．
4．（2020·广东省紫荆中学初三其他）二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象如何平移就得到y=﹣2x2的图象（　　）
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【答案】C
【解析】∵新抛物线的顶点为（0，0），原抛物线的顶点为（1，3），
∴二次函数y=-2（x-1）2+3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，便得到二次函数y=-2x2的图象，
故选C．
5．（2020·江苏省初三二模）把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(3，﹣3) B．(3，9) C．(﹣1，﹣3) D．(﹣1，9)
【答案】C
【解析】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3），
∴把点（1，3）向左平移2个单位，再向下平移6个单位得到（﹣1，﹣3）．
故选：C．
6．（2020·安徽省中考真题）在平而直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）
【解析】（1）点在直线上，理由如下：
将A（1，2）代入得，
解得m=1，
∴直线解析式为，
将B（2，3）代入，式子成立，
∴点在直线上；
（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，
解得：a=-1，b=2；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，
∵顶点在直线上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-（h-）2+，
∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
考点4：二次函数图象与一次函数图象的判断
典例：（2020·山东省中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a>0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东省中考真题）在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意；
C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意；
D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
故选：C．
2．（2020·呼和浩特市启秀中学初三二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
3．（2020·广东省初三其他）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：由方程组得ax2＝−a，
∵a≠0
∴x2＝−1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
4．（2020·广东省初三一模）函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：∵在y=ax-2，
∴b=-2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选A．
考点5：用待定系数法求二次函数解析式
典例：（2020·江苏省中考真题）若二次函数的图像与轴有两个交点，且经过点过点的直线与轴交于点与该函数的图像交于点（异于点）．满足是等腰直角三角形，记的面积为的面积为，且．

（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）；
（2）求直线相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
【答案】（1）上；（2）；（3）
【解析】解：(1)∵抛物线经过点M、N、A，且M、N点在x轴正半轴上，A点在y轴正半轴上，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上．
(2)①若，
则与重合，直线与二次函数图像交于点
∵直线与该函数的图像交于点（异于点）
∴不合符题意，舍去；
②若，则在轴下方，
∵点在轴上，
∴不合符题意，舍去；
③若
则

设直线
将代入：
，解得
直线．
故答案为：．
(3)过点作轴，垂足为，

，，
又，
，
又，
，
即点纵坐标为，
又(2)中直线l经过B点，
将代入中，得，
，
将三点坐标代入中，得
，
解得，
抛物线解析式为．
故答案为：．
方法或规律点拨
本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数和一次函数的交点坐标，等腰直角三角形分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决此类题的关键．
巩固练习
1．（2020·湖北省中考真题）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;
由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
故选：A．
2．（2020·河南省初三一模）已知抛物线经过点和两点，则b的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x =
抛物线过和两点,且这两点的纵坐标相同
∴点和关于直线x =对称，
，
解得：b=2，
故答案选：D
3．（2019·吉林市第二十三中学初三月考）已知一条抛物线过点（3，2）和（0，1），且它的对称轴为直线x=3．试求这条抛物线的解析式．
【答案】y=﹣（x﹣3）2+2．
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣3）2+k，
由抛物线过点（3，2）和（0，1）可得：
，解得：，
故抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣3）2+2．
4．（2020·浙江省初三二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点坐标为，图象交轴正半轴于点．
（1）求二次函数的表达式和点的坐标．
（2）点是抛物线上的点，它在对称轴右侧且在第一象限内．将点向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合，若的面积为，求的值．

【答案】（1）；（4，0） ；（2）1
【解析】（1）设二次函数表达式为，由题意得；
把代入，得
∴二次函数表达式为：
∵对称轴是直线，
所以
（2）设
∵
又∵
∴
∵
∴
∴
把代入得：
解得：，（舍去）
∴的值为1
5．（2020·内蒙古自治区初三月考）已知二次函数．
（1）图像经过原点，求的值；
（2）图像的对称轴为轴，求的值；
（3）图像的顶点在轴上，求的值．
【答案】（1）m=0；（2）m=1；（3）m=-1
【解析】
解：（1）因为图像经过原点
所以，；
（2）因为对称轴为y轴，
所以，
解得：；
（3）因为顶点在x轴上，
所以
．
6．（2020·江苏省初三一模）已知，抛物线y=ax²-2amx+am2+2m-5与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)（x1 （1）当a=1，m=2时，求线段AB的长度；
（2）当a=2，若点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，求该抛物线的解析式；
（3）若a= ，当2m-5≤x≤2m-2时，y的最大值为2，求m的值．
【答案】（1）2；（2）或；（3）或10+2
【解析】解：（1）当a=1，m=2时，y＝x2﹣4x+3，
当y=0时，x2﹣4x+3=0，，
∴AB=3-1=2；
（2）当a=2时，y=2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5=，
∵顶点为P，∴P（m，2m-5），
∴点P在直线 y=2x-5上，
∵点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，
∴当点P在第一象限时，m=2m-5，解得m=5，该抛物线的解析式为：；
当点P在第四象限时，m=-（2m-5），解得m=，
该抛物线的解析式为：；
（3）当a=时，抛物线的解析式为y=（x-m）2+2m﹣5，
分三种情况考虑：
①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣14m+39＝0，
解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，
解得：m＝；
③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣20m+60＝0，
解得：m3＝10-2（舍去），m4＝10+2．
综上所述：m的值为或10+2．
7．（2019·吉林省初三期末）已知，直线与抛物线相交于、两点，且的坐标是
（1）求，的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）m=9,a=1；（2）抛物线的表达式为y=x2，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
【解析】解：（1）把A的坐标（-3，m）代入y=-2x+3得m=-2×（-3）+3=9，
所以A点坐标为（-3，9），
把A（-3，9）代入线y=ax2得9a=9，解得a=1．
综上所述，m=9,a=1．
（2）抛物线的表达式为y=x2，根据抛物线特点可得：对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
8．（2019·陕西省初三期末）已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）y=2x2﹣x﹣3；（2）抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）．
【解析】解：（1）把(-1,0)，(0,-3)，(2,3)代入y=ax2+bx+c，得
解得．
所以，这个抛物线的表达式为y=2x2﹣x﹣3．
（2）y=2x2﹣x﹣3=2(x﹣)2﹣，
所以，抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）
9．（2020·广东省初三一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．

求此抛物线的解析式；
直接写出点和点的坐标；
若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．
【答案】（1）；（2），；（3）∴．
【解析】由点和点得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
令，则，
∴，
∵，
∴；
设，
，，
∵，∴，
∴，∴，
解得：（不合题意，舍去），，
∴．