数学九年级上册22.2二次函数与一元二次方程优秀测试题

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专题22.2 二次函数与一元二次方程
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2019·广西壮族自治区初三期末）抛物线y =2 x2＋3与两坐标轴的公共点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】解：当y=0时，2 x2＋3=0．
∵△=02-4×2×3=-24＜0，
∴一元二次方程2 x2＋3=0没有实数根，即抛物线y =2 x2＋3与x轴没有交点；
当x=0时，y=3，即抛物线y =2 x2＋3与y轴有一个交点，
∴抛物线y =2 x2＋3与两坐标轴的交点个数为1个．
故选B．
2．（2020·山东省初三一模）函数y=ax2+2ax+m（a<0）的图象过点(2，0)，则使函数值y>0成立的x的取值范围是（ ）
A．x<-4或x>2 B．-4 C．x<0或×>2 D．0 【答案】B
【解析】解：抛物线y＝ax2＋2ax＋m的对称轴为直线x＝−＝−1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（−4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴-40．
故选：B．
3．（2020·河南省初三其他）已知某二次函数的图象与轴相交于，两点．若该二次函数图象的对称轴是直线，且点的坐标是，则的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．11
【答案】C
【解析】解：∵二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，
∴，两点关于对称轴直线对称，
∵的坐标是，
∴的坐标是，
∴.
故选：C．
4．（2020·镇江实验学校初三其他）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是　　

A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个同号不等实数根
D．有两个异号实数根
【答案】C
【解析】的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是，
方程，
时，即是求x的值，
由图象可知：有两个同号不等实数根．
故选C．
5．（2020·山东省初三学业考试）已知抛物线y=x2﹣2x+1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣2m+2010的值为（ ）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
【答案】B
【解析】将（m，0）代入抛物线y=x2﹣2x+1，求得m2﹣2m的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
解：根据题意，得
0=m2﹣2m+1，
∴m2﹣2m=﹣1，①
把②代入m2﹣2m+2010，得
m2﹣2m+2010=﹣1+2010=2009．
故选B．
6．（2020·贵州省初三一模）如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时x的取值范围是（　　）

A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】已知函数图象的两个交点坐标分别为和两点，
∴当时，有或；
故答案为：D．
7．（2020·湖北省初三三模）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】解：如图：

利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个.
故选：D.
8．（2020·浙江省中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
【答案】B
【解析】解：选项B正确．
理由：∵M1＝1，
∴a2﹣4＝0，
∵a是正实数，
∴a＝2，
∵b2＝ac，
∴c＝b2，
∵M2＝0，
∴b2﹣8＜0，
∴b2＜8，
对于y3＝x2+cx+4，
则有△＝c2﹣16＝b2﹣16＝（b2﹣64）＜0，
∴M3＝0，
∴选项B正确，
9．（2020·南通市八一中学初二月考）下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：

1
1.1
1.2
1.3
1.4

-1
-0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【答案】C
【解析】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，
故选C
10．（2020·天津初三二模）已知抛物线的对称轴是，且（m为实数）在范围内有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，
∴-=1，得b=-2，
∴y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围是0≤y＜4，
当y=m时，m=x2+bx+1，即x2-2x+1-m=0，
∵关于x的一元二次方程x2-2x+1-m=0（m为实数）在0＜x＜3的范围内有实数根，
∴m的取值范围是0≤m＜4，
故答案为：D．
11．（2020·重庆八中初三期末）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与y轴的一个交点坐标为(0，3)，其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4a+c＞0；③方程ax2+bx+c＝3的两个根是x1＝0，x2＝2；④方程ax2+bx+c＝0有一个实根大于2；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】抛物线开口向下，a＜0，对称轴为直线x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，与y轴交点为(0，3)，因此c＝3＞0，于是abc＜0，故结论①是正确的；
由对称轴为直线x＝＝1得2a+b＝0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，所以a+2a+c＜0，即3a+c＜0，又a＜0，4a+c＜0，故结论②不正确；
当y＝3时，x1＝0，即过(0，3)，抛物线的对称轴为直线x＝1，由对称性可得，抛物线过(2，3)，因此方程ax2+bx+c＝3的有两个根是x1＝0，x2＝2；故③正确；
抛物线与x轴的一个交点(x1，0)，且﹣1＜x1＜0，由对称轴为直线x＝1，可得另一个交点(x2，0)，2＜x2＜3，因此④是正确的；
根据图象可得当x＜0时，y随x增大而增大，因此⑤是正确的；
正确的结论有4个，
故选：A．
12．（2020·湖南省中考真题）二次函数y=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的图象与x轴交点的横坐标为m，n，且m＜n，则a，b，m，n的大小关系是（　　）
A．a＜m＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．m＜a＜n＜b
【答案】C
【解析】解：二次函数y=（x-a）（x-b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y=（x-a）（x-b）-2的图象，如图所示．

观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．
13．（2020·天津初三三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，有下列结论：①；②；③三次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b，则．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】一元二次方程化为一般形式得： ，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∴，故②正确；
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴， ，
而选项①中，只有在m=0时才能成立，故①错误；
二次函数y=
=
=
=
=，
当y=0时，=0，
∴x=2或x=3，
∴抛物线与x轴的交点为（2,0）与（3,0），即a=2，b=3，
∴a+b=2+3=5，故③正确，
故选：C.
14．（2020·江苏省初三二模）如图，抛物线（是常数，）与轴交于两点，顶点给出下列结论：①；②若在抛物线上，则；③关于的方程有实数解，则；④当时，为等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】解:∵-＜，a＞0，
∴a＞-b，
∴2a=a＋a＞a－b
∵x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，
∴2a+c＞a-b+c＞0，故①错误；
若，，在抛物线上，
由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确；
∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c-t=0有实数解
要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c-t≤c-n；故③错误；
设抛物线的对称轴交x轴于H．
∵，
∴b2-4ac=4，
∴x=，
∴|x1-x2|=，
∴AB=2PH，
∵BH=AH，
∴PH=BH=AH，
∴是直角三角形，
∵PA=PB，
∴是等腰直角三角形，故④正确．

故选D．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2019·吉林省初三月考）抛物线与轴有两个交点，则原点左侧交点坐标为__________．
【答案】
【解析】由题可设y=0得：，
解得：，，
∴与x轴的两个交点坐标是，，
∴原点左侧交点坐标为．
故答案为．
16．（2020·山东省初三二模）已知二次函数与一次函数图像交于，两点，则关于的不等式的解集为_______．
【答案】
【解析】
可整理为
∵二次函数与一次函数图像交于，两点，如图，

∴关于的不等式的解集为：，
故答案为：．
17．（2020·宜兴外国语学校初三一模）如图，二次函数的图象与轴交于点,与轴的一个交点为,点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数的图象经过两点,根据图象,则满足不等式的的取值范围是_____________

【答案】
【解析】解：抛物线经过点


抛物线解析式为
点坐标
对称轴为x=-2,B、C关于对称轴对称,
点坐标
由图象可知，满足的的取值范围为
故答案为:．
18．（2020·四川省初三二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
①2a+b＜0；
②﹣1≤a≤﹣；
③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的序号是_____．
【答案】②③．
【解析】如图，∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称性为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以①错误；
∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，即2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；
∵当x＝1时，y有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴直线y＝n与抛物线只有一个交点，
∴直线y＝n+1与抛物线没有公共点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根，所以④错误．
故答案为②③．

三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·江苏省初三一模）已知函数y＝x2＋(m－3)x＋1－2m（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）(2，－1)
【解析】（1）证明：令y＝0，则x2＋(m－3)x＋1－2m＝0．
因为a＝1，b＝m－3，c＝1－2m，
所以b2－4ac＝(m－3)2－4(1－2m)＝m2＋2m＋5＝(m＋1)2＋4＞0．
所以方程有两个不相等的实数根．
所以不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）解：y＝x2＋(m－3)x＋1－2m＝(x－2)m＋x2－3x＋1．
因为该函数的图像都会经过一个定点，
所以x－2＝0，解得x＝2．
当x＝2时，y＝－1．
所以该函数图像始终过定点（2，－1）．
20．（2019·吉林省初三期末）已知，二次函数的图象，如图所示，解决下列问题：
（1）关于的一元二次方程的解为；
（2）求出抛物线的解析式；
（3）为何值时．

【答案】（1）-1或3；（2）抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（3）x＞3或x＜-1．
【解析】解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=3两点，
∴方程的解为x1=-1，x2=3，
故答案为：-1或3；
（2）设抛物线解析式为y=-（x-1）2+k，
∵抛物线与x轴交于点（3，0），
∴（3-1）2+k=0，
解得：k=4，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，
即：抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（3）抛物线与x轴的交点（-1,0），（3,0），当y＜0时，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞3或x＜-1；
21．（2020·天津初三二模）已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；
（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；
（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．

【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）；对称轴为x=2；（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或
【解析】（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，
∴对称轴为x=2；
∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，
整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；
∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；
∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；
②这两个点连线为y=﹣5；
将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；
∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，
（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，
则x=2时，y=2或者﹣2；
当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；
当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；
∴a=或；
22．（2020·云南省初三二模）已知二次函数自变量的值和它对应的函数值如下表所示：

…
0
1
2
3
…

…
3
0

0
…
（1）点M是该二次函数图象上一点，若点M纵坐标为8时，求点M的坐标；
（2）设该二次函数图象与轴的左交点为，它的顶点为，该图象上点的横坐标为4，求的面积．
【答案】（1）(－1，8)或(5，8)；（2）3
【解析】解：（1）根据二次函数图象的对称性，设该二次函数的解析式为y=a(x－1)(x－3)，
∵点(0，3)是图象上一点，
∴a(0－1)(0－3)=3，解得：a=1，
∴二次函数的解析式为y=(x－1)(x－3)，即y=x2－4x+3，
当y=8时，x2－4x+3=8，解得：x=－1或x=5．
∴点M的坐标是(－1，8)或(5，8)；
（2）根据二次函数图象的对称性及已知表格可得点B、A、C的坐标是分别是(1，0)、(2，﹣1)、(4，3)，
过B作BD⊥x轴，过C作CD⊥BD，垂足为D，过A作AE⊥BD，垂足为E，如图所示．
则D、E的坐标分别为(1，3)、(1，－1)．

∴．
23．（2020·浙江省中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【答案】（1）A（2，1），C（3，0），当y＞0时，1＜x＜3；（2）y＝﹣（x﹣4）2+5
【解析】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴A（2，1），
∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C两点关于直线x＝2对称，
∴C（3，0），
∴当y＞0时，1＜x＜3；
（2）∵D（0，﹣3），A（2，1），
∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．
24．（2020·江苏省初三二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(﹣2，0)，B点坐标为(8，0)．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，连接CM、BM，求四边形COBM的面积．

【答案】（1）；（2）31
【解析】（1）∵二次函数与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（8，0），
∴，得，
即经过A，B，C三点的抛物线的解析式是；
（2）∵，
∴点C的坐标为（0，4），点M的坐标为（3，），
∴四边形COBM的面积是：，
即四边形COBM的面积是31．
25．（2020·山东省初三一模）（阅读理解）
我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数y=x-1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x-1的零点值，点(1，0)是函数y=x-1的零点．
（问题解决）
（1）已知函数，则它的零点坐标为________；
（2）若二次函数y=x2－2x＋m有两个零点，则实数m的取值范围是________；
（3）已知二次函数的两个零点都是整数点，求整数k的值．
【答案】（1）(3，0)；（2）；（3）．
【解析】
（1）令y=0,由得：x=3,所以零点坐标为 (3，0)；
（2）因为当Δ﹥0时，方程x2－2x＋m=0的有两个不相等的根，则函数有两个零点，由Δ=4-4m﹥0解得，所以数m的取值范围是m﹤1；
（3）解方程得：，
∴或．
∵函数的两个零点都是整数，是整数，
∴是整数，∴．
26．（2020·浙江省初三月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2m+1与x轴交于点A，B．
（1）若AB＝2，求m的值；
（2）过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．当MN2时，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2） 或
【解析】解：（1）抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2m+1的对称轴为直线．
∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝2
∴抛物线与x轴交于点A（0，0）、B（2，0），
将（0，0）代入y＝mx2﹣2mx﹣2m+1中，
得﹣2m+1＝0即；
（2）抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2m+1与x轴有两个交点，
∴△＞0即（﹣2m）2﹣4m（﹣2m+1）＞0，
解得：或，
①若，开口向上，
当MN≥2时，则有﹣2m+1≤2解得，
所以，可得；
②若m＜0，开口向下，
当MN≥2时，则有﹣2m+1≥2
解得
所以可得，
综上所述m的取值范围为或．