初中人教版第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数精品精练

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专题22.3 实际问题与二次函数
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·广东省深圳外国语学校初三期末）小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）

A．0．71s B．0．70s C．0．63s D．0．36s
【答案】D
【解析】
解：h=3.5t-4.9t2
=-4.9（t-）2+，
∵-4.9＜0
∴当t=≈0.36s时，h最大．
故选D.
2．（2020·浙江省初三学业考试）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留宽的门．已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为．设饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2），
则y关于x的函数表达式是：，
故选：D．
3．（2020·内蒙古自治区初三期中）如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在位置时，水面宽度为，此时水面到桥拱的距离是，则抛物线的函数关系式为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，由题意可设抛物线的解析式为，
∵由题意可知点A、B的坐标分别为（-5，-4）、（5，-4），且抛物线过点A、B，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：.
故选C.
4．（2020·首都师范大学附属中学初三月考）某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则企业停产的月份为（　　）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
【答案】D
【解析】由题意，，且n为整数
企业停产时，利润
令得
解得或
结合得，当或时，企业利润
因n为整数
则企业停产的月份为1月、2月和12月
故选：D．
5．（2020·辽宁省初三月考）小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经侧试得部分数据如下表：

x/分
…
2.66
3.23
3.46
…
y/米
…
69.16
69.62
68.46
…
下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（　　）
A．7分 B．6.5分 C．6分 D．5.5分
【答案】C
【解析】最值在自变量大于2.945小于3.06之间，
所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．
故选C．
6．（2020·江苏省初三二模）竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+，若小球经过秒落地，则小球在上抛过程中，第（ ）秒离地面最高．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵竖直上抛的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的函数关系式为h＝﹣2t2+mt+，小球经过秒落地，
∴t＝时，h＝0，
则0＝﹣2×()2+m+，
解得：m＝，
当t＝＝=时，h最大，
故答案为：．
7．（2020·河北省初三二模）“星星书店”出售某种笔记本，若每个可获利元，一天可售出个．当一天出售该种文具盒的总利润最大时，的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，
∴y=（8-x）x，即y=-x2+8x，
∴当时，y取得最大值．
故选：D．
8．（2020·辽宁省初三一模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为（　　）

A．18° B．37° C．54° D．58°
【答案】B
【解析】解：由图象可得，
该函数的对称轴x＞且x＜54，
∴36＜x＜54，
故选：B．
9．（2020·山东省初三二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( )

A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【解析】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
10．（2020·山东省初三期中）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（　　）
A．252元/间 B．256元/间 C．258元/间 D．260元/间
【答案】B
【解析】设每天的利润为W元，根据题意，得：
W=（x-28）（80-y）-5000


，
∵当x=258时，，不是整数，
∴x=258舍去，
∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x=260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
故选：B．
11．（2020·河北省初三其他）如图所示，一段抛物线：记为，它与轴交于两点，；将绕旋转180°得到，交轴于；将绕旋转180°得到，交轴于如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则的值为（ ）

A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】∵y＝−x（x−4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，
令y=0，即−x（x−4）=0，
解得x1=0,x2=4,
∴点A1（4，0），
∴OA1＝4，
∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4，
∵点P（17，m）在这种连续变换的图象上，
∴x＝17和x＝1时的函数值相等，
∴m＝−1×（1−4）＝−1×（−3）＝3，
故选：B．
12．（2019·广西壮族自治区初三学业考试）如图，小明以抛物线为灵感设计了一款杯子，若，，则杯子的高为( )

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】∵，
∴抛物线顶点D的坐标为(1，3)，
∵AB=4，
∴B点的横坐标为，
把代入，得到，
∴CD=7-3=4，
∴CE=CD+DE=4+2=6．
故选：C．

13．（2019·内蒙古自治区初三期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（　）秒，四边形APQC的面积最小．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ
=12 ×12×6-12 （6-t）×2t
=t2-6t+36
=（t-3）2+27．
∴当t=3s时，S取得最小值．
故选C．
14．（2020·山东省诸城市树一中学初三二模）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】C
【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．
∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．
∵折叠后是一个三棱柱，
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．
∴∠ADO=∠AKO=90°．
连结AO，

在Rt△AOD和Rt△AOK中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．
∴∠OAD=∠OAK=30°．
设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，
∴DE=6-2x，
∴纸盒侧面积=3x（6-2x）=-6x2+18x，
=-6（x-）2+，
∴当x=时，纸盒侧面积最大为．
故选C．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·江苏省初三期末）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
【答案】10
【解析】解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为：10．
16．（2020·广西壮族自治区初三期中）如图，用长的方条制作窗框，当透过窗户的光线最多时，则窗框的竖高应为_________．

【答案】3
【解析】解：设窗框的竖高为xm，则窗框的宽为（12-2x），
所以，窗框的面积=（12-2x）x=-（x-3）2+6，
∵a=-＜0，
∴当x=3时，窗框的面积最大，透过窗户的光线最多.
故窗框的竖高应为3m．
故答案为：3．
17．（2020·浙江省初三其他）小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部A下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口B流出，已知瓶子上部分的和的圆心分别为D，C，下部分的视图是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面GH的距离为16cm，且B，D，H三点共线．如果从喷口B流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C．E两点，接洗手液时，当手心O距DH的水平距离为2cm时，手心O距水平台面GH的高度为_____cm．

【答案】11．
【解析】如图：

由题意可知：CD＝DE＝10cm，
根据题意，得C（﹣5，8），E（﹣3，14），B（5，16）．
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
因为抛物线经过C、E、B三点，
∴，
解得，
所以抛物线解析式为y＝-x2+x+．
当x＝7时，y＝11，
∴Q（7，11），
所以手心O距水平台面GH的高度为11cm．
故答案为11．
18．（2020·南通市八一中学初二月考）今年，6月12日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题．

（1）小华的问题解答：　　　　；
（2）小明的问题解答：　　　　．
【答案】（1）当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润；（2）800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大．
【解析】
【分析】解：（1）设定价为x元，利润为y元，则销售量为：，
由题意得，．
当y=800时，，解得：x=4或x=6．
∵售价不能超过进价的240%，∴x≤2×240%，即x≤4.8．∴x=4．
即小华问题的解答为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润．
故答案为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润．
（2）由（1），
∵－100＜0，∴函数图象开口向下，且对称轴为x=5，
∵x≤4.8，∴当x=4.8时函数能取最大值，且．
故小明的问题的解答为：800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大．
故答案为：800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·山东省初三一模）如图，在足够大的空地上有一段长为a（a≥50）米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．

【答案】（1）AD的长为90m或者10m；（2）矩形菜园面积S的最大值为1250m2．
【解析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，
根据题意得x（100﹣2x）＝450，解得x1＝5，x2＝45，
当x＝5时，100﹣2x＝90，
当x＝45时，100﹣2x＝10；
答：AD的长为90m或10m；
（2）设AD＝bm，
∴矩形菜园面积
∵a≥50，
则b＝50时，S有最大值，最大值为1250m2．
20．（2020·云南省初三学业考试）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心米.

（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度是多少？
【答案】（1）y=（0≤x≤3）；（2）抛物线水柱的最大高度为米.
【解析】试题解析：（1）如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3)
抛物线过点（0，2）和（3，0），代入抛物线解析式得：

解得：
所以，抛物线的解析式为：y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，
化为一般形式为：y=-（0≤x≤3）
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，
当x=1时，y=,
所以，抛物线水柱的最大高度为m.
21．（2020·河南省初三）母亲节前夕，某花店准备采购一批康乃馨和萱草花，已知购买束康乃馨和束萱草花共需元；购买束康乃馨和束萱草花共需元．
（1）求康乃馨和萱草花的单价分别为多少元；
（2）经协商，购买康乃馨超过束时，每增加束，单价降低元；当超过束时，均按购买束时的单价购进，萱草花一律按原价购买．
①购买康乃馨束时，康乃馨的单价为_______元；购买康乃馨束时，康乃馨的单价为_______元（用含的代数式表示）；
②该花店计划购进康乃馨和萱草花共束，其中康乃馨超过束，且不超过束，当购买康乃馨多少束时，购买两种花的总金额最少，最少为多少元？
【答案】（1）康乃馨营草花的单价分别为元，元；（2）①，；②当购买康乃馨束时，购买两种花的总金额最少，最少为元
【解析】解：设康乃馨和萱草花的单价分别为元，元
根据题意，得
解得
答:康乃馨营草花的单价分别为元，元
① 当购买康乃馨时，单价为：（元）
. 当购买康乃馨时，单价为：（元）
故答案为：，．
②设购买康乃馨的数量为束，购买康乃馨和萱草花的总金额为元
当时，


.
当时，，当时，
当时，
当时， .
随的增大而增大，

综上所述，当时，的最小值为
当购买康乃馨束时，购买两种花的总金额最少，最少为元．
22．（2020·浙江省初三学业考试）在长、宽均为米的十字路口，现遇到红灯，有辆车依次呈一直线停在路口的交通白线后，每二辆车间隔为米每辆车长米．每辆车的速度(米/秒)关于时间(秒)的函数(如图1)所示，当绿灯亮起第一辆车的车头与交通白线的距离（米)关于时间(秒)的丽数解析式为，如图2所示.当前车启动后,后面一辆车在秒后也启动．
求的值．
当时，求第一辆车的车头与交通白线的距离(米)关于时间(秒)的函数解析式．
当时，求第.辆车和第一辆车在这个十字路口中的最大间距(第一辆车的车尾和第二辆车的车头哦)．
绿灯持续时间至少要设置多长才能保证在绿灯期间这十辆车都能通过交通白线．

【答案】（1）;（2）;（3）;（4）;
【解析】解：过


时，时

时，
，
（秒）
（秒）

最大间距是
间隔为,
由题意得
绿灯持续时间至少为
23．（2019·江苏省初三二模）某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在20天内完成，已知每件产品的售价为65元，工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝．
（1）工人甲第几天生产的产品数量为100件？
（2）设第x天（0≤x≤20）生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图，工人甲第x天创造的利润为W元．
①求P与x的函数关系式；
②求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？

【答案】（1）18；（2）①；②第9天时，利润最大，最大利润是1008元
【解析】（1）当时，，则令8x＝100，得x＝12.5（舍去），
当时，，则令5x+10＝100，得x＝18，
答：工人甲第18天生产的产品数量为100件；
（2）①由图象可得，
当时，P＝40，
当时，设P与x的函数关系式为P＝kx+b，
由图象可得：，
解得：，
即当时，P与x的函数关系式为P＝x+，
由上可得，P与x的函数关系式为；
②当时，，
故当x＝5时，W取得最大值，此时W＝1000；
当时，，
∴当x＝9时，W取得最大值，此时W＝1008，
由上可得，W与x的函数关系式是，
答：第9天时，利润最大，最大利润是1008元．
24．（2020·浙江省中考真题）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）

【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
【解析】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88；
当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，
故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，

在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝6＝8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
25．（2020·湖北省中考真题）某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有函数关系，当时，；当时，．城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求，的值；
（2）当，两城生产这批产品的总成本的和最少时，求，两城各生产多少件？
（3）从城把该产品运往，两地的费用分别为万元/件和3万元/件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，地需要90件，地需要10件，在（2）的条件下，直接写出，两城总运费的和的最小值（用含有的式子表示）．
【答案】（1），；（2）A城生产20件，B城生产80件；（3）当时，，两城总运费的和的最小值为万元；当时，，两城总运费的和的最小值为万元．
【解析】（1）由题意得：当产品数量为0时，总成本也为0，即时，
则，解得
故，；
（2）由（1）得：
设，两城生产这批产品的总成本的和为
则
整理得：
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为6600万元
此时
答：A城生产20件，B城生产80件；
（3）设从A城运往C地的产品数量为件，，两城总运费的和为，则从A城运往D地的产品数量为件，从B城运往C地的产品数量为件，从B城运往D地的产品数量为件
由题意得：，解得

整理得：
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当时，在内，随的增大而减小
则时，取得最小值，最小值为
②当时，在内，随的增大而增大
则时，取得最小值，最小值为
答：当时，，两城总运费的和的最小值为万元；当时，，两城总运费的和的最小值为万元．
26．（2020·湖北省中考真题）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
【答案】（1）；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3）
【解析】解：（1）当，即，
．
∴当时，

当时，
．

（2）当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．

∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．
（3），
，则．
令，则．
解得：．
在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图．
观察示意图可知：

．
又，
．

．
对称轴为
，
对称轴．
∴当时，元．

，
．
又，
．