人教版九年级上册22.1.1 二次函数精品习题

第22章 重点突破训练：与二次函数有关的实际应用问题

考点体系

考点1：常规营销问题

典例：（2020·湖北省中考真题）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．

（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式

（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？

（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值方法或规律点拨

本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键．

巩固练习

1．（2020·湖北省初三期末）某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人员工资等）为800元．为制定合理的收费标准，该集团对一段时间每天小车停放辆次与每辆次小车的收费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此处停放的小车可达1440辆次；若停车费超过5元，则每超过1元，每天来此处停放的小车就减少120辆次．为便于结算，规定每辆次小车的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收入不低于2512元．（日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出）

（1）当x≤5时，写出y与x之间的关系式，并说明每辆小车的停车费最少不低于多少元；

（2）当x＞5时，写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入．按此要求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？

2．（2020·无锡市凤翔实验学校初三月考）某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为每件40元，设销售该商品的每天利润为y元．

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于2700元？请直接写出结果．

3．（2020·四川省中考真题）某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的关系：

（1）请求出y与x之间的函数关系式；

（2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元；

（3）由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元，如何确定该款电子产品的销售单价？

4．（2020·温州市第二十三中学初三三模）某果农在销瓯柑时，经市场调査发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克（x≥5且为正整数）．

（1）若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价；

（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；

（3）市政府每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值．

5．（2020·四川省成都市七中育才学校初三二模）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．

（1）求该型号自行车的进价是多少元？

（2）若该型号自行车的进价不变，按标价出售，该店平均每月可售出60辆：若每辆自行车每降价50元，每月可多售出10辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？

6．（2020·湖北省武汉市二中广雅中学初二月考）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表：

其中a为常数，且3≤a≤5．

（1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．

考点2：复合函数与营销问题

典例：（2020·湖北省中考真题）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？

（销售额=销售量×销售价格）

方法或规律点拨

本题考查了一次函数，二次函数在实际问题中的应用，能根据实际问题提供的关系式快速列式并进行准确的计算是解题的关键．

巩固练习

1．（2020·四川省中考真题）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示，求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．

（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y=5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本）

2．（2020·湖北省初三月考）某大学生利用40天社会实践参与了某加盟店经营，他销售了一种成本为20元/件的商品，细心的他发现在第天销售的相关数据可近似地用如下表中的函数表示：

（1）求前20天第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

（2）求后20天第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）在后20天中，他决定每销售一件商品给山区孩子捐款元（且为整数），此时若还要求每一3．（2020·安庆市教育体育局初三二模）某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；

（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？

（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

4．（2020·广西壮族自治区初三学业考试）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：

(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；

(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.

考点3：拱桥问题

典例：（2019·徽山县璎轩实验学校初三期末）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．

（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．

方法或规律点拨

本题考查二次函数的应用，二次函数的应用是初中数学的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，要特别注意．

巩固练习

1．（2020·广东省初三三模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m．

（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；

（2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？

2．（2020·山东省初三二模）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度OM 为 12 米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．

(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；

(2)求这条抛物线的解析式；

(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使 C 、D 点在抛物线上，A、B 点在地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

3．（2020·浙江省初三其他）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：

（1）求抛物线的解析式；

（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？

（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？

4．（2020·北京人大附中初三月考）为了促进旅游业的发展，某市新建一座景观桥．桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米(不考虑灯杆和拱肋的粗细)，求与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度．

5．（2020·辽宁省初三月考）连接着汉口集家咀的江汉三桥（晴川桥），是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥．它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观．桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米．以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；

（2）正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由．

6．（2019·天津市西青区杨柳青第二中学初三期末）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．

（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　  （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　   　，求出你所选方案中的抛物线的表达式；

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．

考点4：投球问题

典例：（2020·河北省初三其他）在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米．篮球运行的轨迹为抛物线，篮球中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投中．

探究一：若出手的角度、力度和高度都不变的情况下，求小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮筐中？

探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变的情况下，但是抛物线的顶点等其他条件不变，求小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投入篮筐中？

探究三：若出手的角度、力度都改变，出手高度不变，篮筐的坐标为（6，3.44），球场上方有一组高6米的电线，要想在篮球不触碰电线的情况下，将篮球投入篮筐中，直接写出二次函数解析式中a的取值范围．

方法或规律点拨

本题考查了二次函数的应用，根据题意应用数形结合思想是解题关键．

巩固练习

1．（2020·江苏省初三其他）如图，一名运动员推铅球，已知铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系始终是y＝ax2+x+（a为常数，a＜0）．

（1）解释上述函数表达式中“”的实际意义；

（2）当a＝﹣时，这名运动员能把铅球推出多远？

（3）若这名运动员某次将铅球推出的距离不小于（2）中的距离，写出此时a的取值范围．

2．（2019·浙江省初三学业考试）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下部分数据：

（1）由表中的数据及函数学习经验，求出y关于x的函数解析式；

（2）试求出当乒乓球落在桌面时，其落点与端点A的水平距离是多少米？

（3）当乒乓球落在桌面上弹起后，y与x之间满足．

①用含a的代数式表示k；

②已知球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若a=-0.5，那么乒乓球弹起后，是否有机会在某个击球点可以将球沿直线扣杀到端点A？请说明理由．

3．（2017·天津市西青区当城中学初三其他）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.

(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？

(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？

4．（2019·河北省初三二模）在高尔夫球训练中，运动员在距球洞处击球，其飞行路线满足抛物线，其图象如图所示，其中球飞行高度为，球飞行的水平距离为，球落地时距球洞的水平距离为．

（1）求的值；

（2）若运动员再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线，求抛物线的解析式；

（3）若球洞处有一横放的高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线，要使球越过球网，又不越过球洞（刚好进洞），求的取值范围．

5．（2020·北京市第五中学分校初三月考）为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度 OD 为 18 米，位于球场中线处球网的高度 AB 为 2.43 米，一队员站在点 O 处发球，排球从点 O 的正上方 1.8 米的 C 点向正前方飞出，当排球运行至离点 O 的水平距离 OE 为 7 米时，到达最高点 G，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当球上升的最大高度为 3.2 米时，求排球飞行的高度 y（单位：米）与水平距离 x（单位：米）的函数关系式．（不要求写出自变量 x 的取值范围）

（2）在（1）的条件下，对方距球网 0.5 米的点 F 处有一队员，她起跳后的最大高度为 3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（不考虑排球的大小）

6．（2019·合肥市第四十八中学初三月考）如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．羽毛球沿水平方向运动4m时，达到羽毛球距离地面最大高度是m．

（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；

（2）通过计算判断此球能否过网；

（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．

考点5：喷水池问题

典例：（2019·江苏省初三期末）现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．

如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m处达到最高，高度为1 m．

（1）求喷灌出的圆形区域的半径；

（2）在边长为16 m的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）

方法或规律点拨

本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据题意设抛物线为顶点式是本题的解题关键.

巩固练习

1．（2019·浙江省初三期末）如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（　　）

A．0.55米 B．米 C．米 D．0.4米

2．（2018·西山区昆一中度假区分校金岸中学初三期末）某地有一个直径为 14 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线,在距水池中心 2 米处达到最高，高度为5米 ，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示以水平方向为 x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

（1）求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?

（3）经检修评估规划，政府决定对喷水设施改造成标志性建筑，做出如下设计改进；在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 42 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．

3．（2020·四川省初三月考）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．

（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；

（2）求水管AB的长．

4．（2020·福建省初三期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，点恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任意平面上，水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为.请完成下列问题：

（1）将化为的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；

（2）写出左边那条抛物线的表达式；

（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？

5．（2019·辽宁省初三期中）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是（x＞0）

（1）求水流喷出的最大高度是多少m？此时的水平距离是多少m；

（2）若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少m，才能使喷出的水流不落在池外.