人教版九年级上册22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质优秀综合训练题

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第24章 重点突破训练：切线性质判定的应用
考点体系（本专题54题65页）

考点1：三角形内心的性质及应用
典例：（2020·山东牡丹·初三二模）如图，等边三角形的边长为8，点是的内心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①点也一定是的外心；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∵点O是等边△ABC的内心，
∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30∘，
∴∠BOC=120∘，即∠BOE+∠COE=120∘，
而∠DOE=120∘，即∠BOE+∠BOD=120∘，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE，
∴BD=CE，OD=OE，所以①正确；
∴S△BOD=S△COE，
∴四边形ODBE的面积=S△OBC=S△ABC=，所以③错误；

作OH⊥DE，如图，则DH=EH，
∵∠DOE=120∘，
∴∠ODE=∠OEH=30∘，
∴OH=OE，HE=OH=OE，
∴DE=OE，
∴S△ODE=.OE⋅OE=，
即S△ODE 随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；
∵BD=CE，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE=，
∴△BDE周长的最小值=4+2=6，所以④正确.
故选：B.
方法或规律点拨
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心，最短路线问题，旋转的性质等，综合性很强，熟练掌握知识点之间的联系是解答的关键 .
巩固练习
1．（2020·石家庄外国语教育集团开学考试）根据尺规作图的痕迹，可以判定点为内心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵内心的是各个角的平分线的交点，
∴C选项符合题意．
故选C．
2．（2020·江苏宿豫·期中）下列关于三角形的外心说法正确的是（　　）
A．三角形的外心一定在它的外部
B．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点
C．三角形的外心到它的三边距离相等
D．三角形的外心与它的内心不可能重合
【答案】B
【解析】解：A．三角形的外心还可以在三角形的边上或三角形的内部，故错误；
B．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点，正确；
C．根据三角形的外心到三个顶点的距离相等，故此选项错误；
D．只有等边三角形的外心与内心重合，故错误．
故选：B．
3．（2020·江苏省泰兴市黄桥初级中学月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　）

A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】B
【解析】解：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，
故选：B．
4．（2020·合肥市第四十五中学三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）

A．56° B．62° C．68° D．78°
【答案】C
【解析】∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选C．
5．（2021·湖南长沙·明达中学月考）如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿y轴的正方向作无滑动滚动．使它的三边依次与x轴重合．第一次滚动后，圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2…依次规律，第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是（　　）

A．（673，1） B．（674，1） C．（8076，1） D．（8077，1）
【答案】D
【解析】∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB= =5，
∴Rt△OAB内切圆的半径＝（3+4﹣5）＝1，
∴P的坐标为（1，1），
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，
∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1），
每滚动3次一个循环，
∵2019÷3＝673，
∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3+5+4）+1，
即P2019的横坐标是8077，
∴P2019的坐标是（8077，1）；
故选D．
6．（2020·北京海淀区101中学温泉校区初三三模）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是(　　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：三角形内心为三条角平分线的交点，由基本作图得到选项作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形内心．
故选：B．
7．（2020·河北初三其他）如图，在ABC中，AO，BO分别平分∠BAC，∠ABC，则点O是ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．中线交点 D．高线交点
【答案】B
【解析】解：∵AO，BO分别平分∠BAC，∠ABC，
∴点O是△ABC的内心．
故选：B．
8．（2020·河北遵化·初三三模）如图，在中，，，于点D，点E是上一点，连接，交于点F，若，则点F为（ ）

A．的外心 B．的内心 C．的外心 D．的内心
【答案】B
【解析】解：∵在中，，，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴平分.
∵，，
∴平分.
∴点F是的角平分线的交点，即点F是的内心.
故选B.
9．（2020·河北滦州·初三二模）如图，在中，，点在线段上（不与、重合），若为的内心，则不可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵中，，
∴∠BAC=180º﹣∠B﹣∠C=100º，
∵为的内心，
∴∠OAC=∠DAC，∠ACO=∠ACB=20º，
∴∠AOC=180º﹣∠OAC﹣∠ACO=160º﹣∠DAC，
∵点在线段上（不与、重合），
∴0º﹤∠DAC﹤100º，即0º﹤∠DAC﹤50º，
∴110º﹤∠AOC﹤160º，
故∠AOC不可能是100º，
故选：A．
10．（2020·山东济宁·中考真题）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ）

A．4 B．2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，
∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，
则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1
∴DH=2，BH=2，CD=2，
∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2.
故选B.

11．（2020·河北玉田·初三一模）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】D
【解析】解：如图，连接AI，BI，

∵点I为△ABC的内心，
∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，
∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，
∴DI∥AC，EI∥BC，
∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，
∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，
∴DA＝DI，EB＝EI，
∴DE＋DI＋EI＝DE＋DA＋EB＝AB＝4．
所以图中阴影部分的周长为4．
故选：D．
考点2:三角形内切圆半径的计算
典例：（2021·湖南长沙·明达中学月考）两边为和的直角三角形的内切圆半径为________．
【答案】或
【解析】解：设直角三角形ACB的内切圆的圆心是O，分别与边AC、BC、AB相切于D、E、F，连接OD、OE，

则∠ODC=∠C=∠OEC=90°，
即四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形，
∴OD=OE=CD=CE，
设⊙O的半径是R，
则OD=OE=DC=CE=R，
由切线长定理得：AD=AF，BF=BE，CD=CE，
①当AC=4，BC=3时，由勾股定理得：AB=5，
∵AF+BF=5，
∴AD+BE=5，
∴4-R+3-R=5，
解得R=1；
②当AB=4，BC=3时，由勾股定理得：AC=，
∵AF+BF=4，
∴AD+BE=4，
∴-R+3-R=4，
解得R=．
故答案为1或.
方法或规律点拨
本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，正方形、矩形的性质和判定，勾股定理，切线长定理等知识点，关键是得出四边形ODCE是正方形，题目比较典型，是一道比较好的题目.
巩固练习
1．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，在中，，，，是的内心，作于，则的长为（ ）

A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】解：如图，作OE⊥BC，OF⊥AC，

∵，点O是
∴的内心，
∴OD=OE=OF，
∴△AOD≌△AOF，△BOD≌△BDE，四边形OFCE是正方形，
∴AF=AD，BE=BD，
设AF=AD=x，OD=OE=OF=r，
则BE=BD=10，
∴，
解得：，
∴；
故选：B．
2．（2020·扬州平山实验学校月考）如图，在矩形中，，，，则内切圆的半径是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：如图示，连接、、，

∵，，，
∴
又∵圆是三角形的内切圆，
，，， ，，
四边形是正方形，
设圆的半径是，
则有：，
∴，，
∵，
即：，
，
故选：C．
3．（2020·山东诸城·初三学业考试）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线交于点P，过点P作PE⊥AB交AB于点E.若BC=5，AC=12，则AE等于______ .

【答案】10
【解析】如图，过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．

∵在△ABC中，∠C=90°，
∴四边形PMCN为正方形，
∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，
∴AB=．
∵∠A和∠B的平分线交于点P，
∴点P为△ABC内切圆的圆心，
设直角△ABC内切圆P的半径为r，
∴CM=CN=PM=r，
则AE=AM=AC-r=12-r，BE=BN=BC-r=5-r，
AB=AE+BE=12-r+5-r=17-2r，
∴17-2r=13，
∴r=2，
∴AE=12-2=10．
故答案为：10．
4．（2020·福建初三其他）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，⊙E为内切圆，若BE=4，则△BCE的面积为___________.

【答案】
【解析】如图，设圆E与三边的相切点分别为点，连接
则，且
由题意得：，，
圆E为的内切圆
平分，BE平分
，
则在中，，
在中，
由切线长定理得：

设，则，
在中，由勾股定理得：
即
解得
则的面积为
故答案为：．

5．（2019·滨海县第一初级中学月考）若直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则它的内切圆半径为_______．
【答案】1
【解析】解：设三角形内切圆的半径为r，则由题意得：
， 解得：r=1．
故答案为1．
6．（2020·全国初三课时练习）如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心．将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2019次滚动后，内切圆的圆心的坐标是________．

【答案】
【解析】解：∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝，
∴Rt△OAB内切圆的半径＝，
∴P的坐标为（1，1），
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，
∴P3（3＋5＋4＋1，1），即（13，1），每滚动3次为一个循环，
∵2019÷3＝673，
∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3＋5＋4）＋1，即P2019的横坐标是8077，
∴P2019的坐标是（8077，1）；
故答案为：（8077，1）．
7．（2020·四川达州·中考真题）已知的三边a、b、c满足，则的内切圆半径=____．
【答案】1
【解析】解：


则=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，
∵42+32=52
∴△ABC是直角三角形
∴的内切圆半径==1．
故答案为1．
考点3：确定半径的取值
典例：（2020·辽宁立山·初三其他）已知点A为⊙O外一点，连接AO，交⊙O于点P，AO=6．点B为⊙O上一点，连接BP，过点A作CA⊥AO，交BP延长线于点C，AC=AB．

（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若PC=4，求 PB的长．
（3）若在⊙O上存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围是___________．
【答案】（1）AB与⊙O相切 ，理由见解析；（2）；（3）
【解析】解：（1）连接OB，如图：

∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP=∠APC，
∵AC=AB，
∴∠C=∠ABP，
∵AC⊥AO，
∴∠CAP=90°，
∴∠C+∠APC=90°，
∴∠ABP+∠OBP=90°，
即OB⊥AB，
∴AB为切线；
（2）∵AB=AC
∴，
∴，
设半径为r，则

解得：r=2；
作OH⊥BP与H，

则△ACP∽△HOP，
∴，即
∴,
∴；
（3）如图，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，

∴四边形AOEM是矩形，
∴OE=AM=AC=AB=；
又∵圆O与直线MN有交点，
∴OE=，
∴，
∴，
∴，
又∵圆O与直线AC相离，
∴r＜6，
即．
方法或规律点拨
此题主要考查了圆的综合以及切线的判定与性质和勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，得出EO与AB的关系进而求出r取值范围是解题关键．
巩固练习
1．（2020·河北迁西·初三其他）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点E是BC边上的动点，以C为圆心，CE长为半径作圆C，交AC于F，连接AE，EF．

（1）求AC的长；
（2）当AE与圆C相切时，求弦EF的长；
（3）圆C与线段AD没有公共点时，确定半径CE的取值范围．
【答案】（1）AC=5；（2）；（3）或．
【解析】解：（1）过A作AG⊥BC于点G，如图：

在Rt△ABG中，AB=5，，
∴BG=4，
∴AG=3，
∴，
∴点G是BC的中点，
在Rt△ACG中，；
（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，如图：

∴CE=CF=4，
∵AB=AC=5，
∴∠B=∠ACB，
∴，
∴CH=3.2，
在Rt△CFH中，由勾股定理，得
FH=2.4，
∴EH=0.8，
在Rt△EFH中，由勾股定理，得
；
（3）根据题意，圆C与线段AD没有公共点时，可分为以下两种情况：
①当圆C与AD相离时，则CE
∴半径CE的取值范围是：；
②当CE>CA时，点E在线段BC上，

∴半径CE的取值范围是：；
综合上述，半径CE的取值范围是：或．
2．（2019·南京外国语学校初三月考）如图，中，，．P是底边上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，为半径的与射线交于点D，射线交射线于点E．

（1）若点E在线段的延长线上，设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）；；（2）或或
【解析】（1）过点A作于点F，过点P作于点H
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴

（2）当D点在线段上时，连，
∵
∴
∴
代入得
当D在延长线上时

∴
∴
∵
∴
∴
∴或
∴或
综上：或或
3．（2019·湖北宜昌·初三期末）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，O为边AD上一点，以O为圆心，OA为半径r作⊙O，过点B作⊙O的切线BF，F为切点．

（1）如图1，当⊙O经过点C时，求⊙O截边BC所得弦MC的长度；
（2）如图2，切线BF与边AD相交于点E，当FE＝FO时，求r的值；
（3）如图3，当⊙O与边CD相切时，切线BF与边CD相交于点H，设△BCH、四边形HFOD、四边形FOAB的面积分别为S1、S2、S3，求的值．
【答案】（1）CM＝；（2）r＝2﹣2；（3）1．
【解析】解：（1）如图1中，连接OM，OC，作OH⊥BC于H．

∵OH⊥CM，
∴MH＝CH，∠OHC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠HCD＝90°，
∴四边形CDOH是矩形，
∴CH＝OD，CM＝2OD，
设AO＝CO＝r，
在Rt△CDO中，∵OC2＝CD2+OD2，
∴r2＝22+（3﹣r）2，
∴r＝，
∴OD＝3﹣r＝，
∴CM＝2OD＝．
（2）如图2中，

∵BE是⊙O的切线，
∴OF⊥BE，
∵EF＝FO，
∴∠FEO＝45°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE＝2，
设OA＝OF＝EF＝r，则OE＝r，
∴r+r＝2，
∴r＝2﹣2．
（3）如图3中，

由题意：直线AB，直线BH，直线CD都是⊙O的切线，
∴BA＝BF＝2，FH＝HD，设FH＝HD＝x，
在Rt△BCH中，∵BH2＝BC2+CH2，
∴（2+x）2＝32+（2﹣x）2，
∴x＝，
∴CH＝，
∴S1＝
S2＝，
S3＝＝3，
∴．
4．（2019·江苏南京·初三期末）如图，已知菱形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8．点E是AB边上一点，求作矩形EFGH，使得点F、G、H分别落在边BC、CD、AD上．设 AE＝m．

（1）如图①，当m＝1时，利用直尺和圆规，作出所有满足条件的矩形EFGH；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）写出矩形EFGH的个数及对应的m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）①当m＝0时，存在1个矩形EFGH；②当0＜m＜时，存在2个矩形EFGH；③当m＝时，存在1个矩形EFGH；④当＜m≤时，存在2个矩形EFGH；⑤当＜m＜5时，存在1个矩形EFGH；⑥当m＝5时，不存在矩形EFGH.
【解析】（1）如图①，如图②（也可以用图①的方法，取⊙O与边BC、CD、AD的另一个交点即可）

（2）∵O到菱形边的距离为,当⊙O与AB相切时AE=，当过点A,C时，⊙O与AB交于A,E两点，此时AE=×2=，根据图像可得如下六种情形：
①当m＝0时，如图，存在1个矩形EFGH；

②当0＜m＜时，如图，存在2个矩形EFGH；

③当m＝时，如图，存在1个矩形EFGH；

④当＜m≤时，如图，存在2个矩形EFGH；

⑤当＜m＜5时，如图，存在1个矩形EFGH；

⑥当m＝5时，不存在矩形EFGH.
5．（2019·南京民办求真中学初三月考）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．

（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为　 　．
【答案】（1）13；（2）0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4
【解析】解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8
在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122
解得：r＝13；
答：该圆的半径r为13；
（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；
②当r＞8时，
如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
即：r2＝（r﹣8）2+a2，
整理得：r＝a2+4．
故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4．

6．（2019·天台县坦头中学初三期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D， 点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与OD的位置关系，并说明理由.
（2）若BD＝，BF＝3，求⊙O的半径.

【答案】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）⊙O的半径是3．
【解析】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD//AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即(R+3)2＝()2+R2，
解得：R＝3，
即⊙O的半径是3．
7．（2019·江苏泰州·初三月考）如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．

（1）求DE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
【答案】（1）；（2）3＜r＜5．
【解析】解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD＝＝5，
∵AC•DE＝DC•AD，
∴DE＝＝，
（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，即点B在圆内，点C在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为3＜r＜5．

8．（2019·浙江全国·单元测试）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
(2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．

【答案】（1）AB＝AC（2）≤r<5
【解析】(1)AB＝AC，理由如下：
如图1，连结OB.
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA＝∠OAC＝90°，
∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°，
∵OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
∵∠OPB＝∠APC，
∴∠ACP＝∠ABC，
∴AB＝AC；　
(2)如图2，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出；
又∵圆O与直线MN有交点，
∴，
，
，
r2≥5，
∴，
又∵圆O与直线l相离，
∴r<5，
即.

图1 图2
9．（2019·浙江全国·初三课时练习）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，以R为半径画圆，若⊙C与AB相交，求R的范围．

【答案】当2.4 【解析】如图，作CD⊥AB于D.
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝42＋32＝5，
由面积公式得12×AC×BC＝12×AB×CD，
∴CD＝AC×BCAB＝4×35＝2.4.
∴当2.4＜R≤4时，⊙C与AB相交．

10．（2018·全国初三单元测试）在矩形中，，，以点为圆心，为半径作圆．

若矩形的顶点至多有两个在内，求的取值范围；
若矩形的顶点至少有两个在内，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】当恰好有三个顶点在圆内时，即此时以为半径，，
矩形的顶点至多有两个在内，；
当恰好有两个顶点在圆内时，即此时以为半径，，
矩形的顶点至少有两个在内，的取值范围是．
11．如图，在中，，，，的中点为点.以点为圆心，为半径作.

（1）当时，点在______，在______（填“上、内、外”）；
（2）若与线段只有一个公共点，求的取值范围.
【答案】（1）内，外；（2）2＜r≤4或r=．
【解析】（1）∵在中，，，，
∴，
∵的中点为点，
∴r=CM==,
∵2＜＜4，
∴点在内，在外，
故答案是：内，外；
（2）①当与直线相切时，与线段只有一个公共点，设切点为D，连接CD，则CD⊥AB，
∵在Rt中，，
∴r=，
②当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，与线段只有一个公共点，此时，2＜r≤4．
综上所述：的取值范围：2＜r≤4或r=．
考点4：内心与外心的综合应用
典例：（2020·河北邯郸·初三其他）如图，已知，，，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）当时，证明四边形是菱形；
（3）若的外心在其内部，，直接写出的值．

【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）160
【解析】（1）证明：在△ABC和△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD（AAS）；
（2）证明：∵△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，∠ABC＝∠DBE＝130°，
∵∠ABE＝100°，
∴∠ABD＝∠CBE＝30°，
∴∠ABD＝∠A，∠EBC＝∠E，
∴AC∥BD，DE∥BC，
∴四边形BDGC为平行四边形，
∵BD＝BC，
∴四边形BDGC是菱形；
（3）解：△DFB的外心在其内部时，△DFB为锐角三角形，
当BF⊥DE时，n＝90，
当BF⊥BD时，m＝70，
∴m+n＝160．

方法或规律点拨
本题考查的是三角形的外心的概念和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定，掌握三角形的外心的概念、菱形的判定定理是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·四川江油·初三月考）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（　　）

A．∠AIB＝∠AOB B．∠AIB≠∠AOB
C．4∠AIB﹣∠AOB＝360° D．2∠AOB﹣∠AIB＝180°
【答案】C
【解析】试题分析：
由题意得∠AIB∠C，∠AOB=2∠C
则∠AIB∠AOB，
∴4∠AIB-∠AOB=360°
故选C．
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中）如图，在△ABC中，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，∠BOC=116°，则∠BIC=（　　）

A．116° B．119° C．104° D．118°
【答案】B
【解析】解：∵点O为△ABC的外心，∠BOC=116°，
∴∠A=58°，
∴∠ABC+∠ACB=122°，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠IBC+∠ICB=61°，
∴∠BIC=119°．
故答案为：119°．
3．（2021·湖南长沙·明达中学月考）如图，在△ABC中，CA是边BE上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BE = 10 ，BC = 8．

（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）求CE的长；
（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
【答案】（1）见解析；（2）CE=6；（3）外心P和内心Q的距离是．
【解析】（1）证明：∵CE∥AD，
∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，
而∠BAD=∠CAD，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
而AB=AE，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形．
（2）∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AD，
∴AD为△BCE的中位线，
∴CE=2AD=6；
（3）如图，连接BP、BQ、CQ，

在Rt△ABD中，AB=，
设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，
在Rt△PBD中，（R-3）2+42=R2，解得R=，
∴PD=PA-AD=，
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴，
解得r=，
即QD=，
∴PQ=PD+QD=．
答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．
4．（2020·全国初三课时练习）（数学活动）求重叠部分的面积．

（1）（问题情境）如图（1），将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点与等边三角形的内心重合，已知，求图中重叠部分的面积．
（2）（探究）在（1）的条件下，将纸片绕点旋转至如图（2）所示的位置，纸片两边分别与交于点．图（2）中重叠部分的面积与图（1）中重叠部分的面积是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由．
【答案】（1）；（2）面积相等，见解析
【解析】解：（1）过点O作ON⊥AB，垂足为N，如图①，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=60°，
∵点O为△ABC的内心，
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴OB=OA=2，
∵ON⊥AB，
∴AN=NB，PN=1，
∴AN=，
∴AB=2AN=2，
∴S△OAB=AB•PN=；
（2）图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积相等．
证明：连接AO、BO，如图②，

由旋转可得：∠EOF=∠AOB，则∠EOA=∠FOB．
在△EOA和△FOB中，
，
∴△EOA≌△FOB．
∴S四边形AEOF=S△OAB．
∴图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积相等．
5．（2020·全国课时练习） 若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：

（1）矩形 奇妙四边形（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是奇妙四边形，若⊙O的半径为6，∠ BCD=60°．求奇妙四边形ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是奇妙四边形作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）不是；（2）54；（3）.
【解析】解：（1）矩形的对角线相等但不垂直，
所以矩形不是奇妙四边形；
故答案为不是；
（2）

连结OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，则BH=DH，
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∴在等腰△OBD中，∠OBD=30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，
∴，
∴
∴
∵四边形ABCD是奇妙四边形，
∴，
∴；
（3）．
理由如下：

连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，
∵OE⊥AD，
∴在等腰△AOD中，，
又∵，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中

∴，
∴OM=AE，
∴．
6．（2020·陕西乾县·初三二模）问题提出：（1）如图①，在中，，，则的外接圆半径的值为__________；
问题探究：（2）如图②，四边形是正方形，点、分别在、的延长线上，点在上，连接、、，，若、的面积分别为5、9，求的面积．
问题解决：（3）如图③，某公园有一块形状为正方形的空地，，现要在这块空地上规划出一个四边形区域种植红枫树，其余部分种植草坪．根据设计要求，点、、分别在、、上，，．已知种植红枫树和草坪每平方米分别需要100元、50元．根据设计要求，试确定、的位置，使种植红枫树和草坪的总花费最低，并求出最低总花费．

【答案】（1）2；（2）14；（3）M、N位置见解析，元
【解析】解:（1）连结OB、OC，如图，

∵∠BOC=2∠A=2×30°=60°，
而OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB=BC=2，
即△ABC的外接圆半径为2．
故答案为2．
（2）∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（3）在正方形中，，
过作于，于，
∴，易得四边形是正方形.
∴，，
在上截取，连接，
由（2）可得：，，
∴，，
∴
.
∴当最小时，四边形的面积最小.
作的外接圆，连接、、，过作于，
∴，，
在中，，，
设的半径为，则，，
由，可得，
∴，
∴，
∴的最小值为，此时，即.
∴，
∴，
∴，
∴最低总费用为元.

7．（2020·广东广州·初三月考）如图，在中，，点，分别是的内心和外心，连接，，．

（1）求的度数；
（2）延长至点，使，连接，求证：；
（3）在（2）中，延长至点，使，连接，找出与之间的等量关系，并证明这个结论．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析
【解析】（1）解：∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=45°，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=135°．
（2）证明：如图1中，

∵点O是△ABC的内心，
∴OA平分∠BAD，
∵AD=AB，
∴AO⊥BD（等腰三角形三线合一）．
（3）解：结论：DE=2OM．
理由：如图2中，连接OE，OD，延长OM到K，使得MK=OM，连接AK，BK．

∵BE=BA，∠OBE=∠OBA，BO=BO，
∴△OBE≌△OBA（SAS），
∴OA=OE，∠BOE=∠BOA=135°，
∴∠AOE=90°，同法可证∠DOB=90°，OD=OB，
∵AM=MB，OM=MK，
∴四边形AOBK是平行四边形，
∴AK=OB=OD，AK∥OB，
∴∠KAO+∠AOB=180°，
∵∠AOB+∠EOD=180°，
∴∠KAO=∠EOD，
∵OA=OE，AK=OD，
∴△OAK≌△EOD（SAS），
∴OK=ED，
∴OK=2OM，
∴DE=2OM．
8．（2020·重庆市第一一〇中学校初三其他）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则.
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴，
∴①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴，∴②，
任务：(1)观察发现：， (用含R，d的代数式表示)；
(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.

【答案】(1)R-d；(2)BD=ID，理由见解析；(3)见解析；(4).
【解析】(1)∵O、I、N三点共线，
∴OI+IN＝ON，
∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，
故答案为：R﹣d；
(2)BD=ID，理由如下：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=ID；
(3)由(2)知：BD=ID，
又，，
∴DE·IF=IM·IN，
∴，
∴
∴；
(4)由(3)知：，
把R=5，r=2代入得：，
∵d>0，
∴，
故答案为：.
考点5：综合题中切线的应用
典例：（2020·广西玉林·一模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，顶点为，直线经过，两点，并且与轴交于点．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若四边形是平行四边形，且点在抛物线上，则点的坐标为________；
（3）平面内是否存在点，使以点为圆心的圆经过、两点，并且与直线相切？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，P点坐标为或
【解析】解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
当x＝0时，y＝﹣3a，则C（0，﹣3a），
∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴M（1，﹣4a），
把M（1，﹣4a），（0，﹣3a）代入y＝x+d得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）直线CD的解析式为y=x+3，则D（-3，0），C（0，3），
∵四边形CDAN是平行四边形，
∴CN=AD=2，CN∥AD，
∴N（2，3）；
故答案为（2，3）；
（3）存在．
∵以点P为圆心的圆经过A、B两点，∴点P在抛物线的对称轴上，
作PE⊥CD于E，如图，设P（1，m），M（1，4），
∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°，∴∠PMD＝45°，
∴PE＝PM＝（4﹣m），
∵⊙P与直线CD相切，∴PE＝PA，
∴[（4﹣m）]2＝（1+1）2+m2，
整理得m2+8m﹣8＝0，解得m1＝﹣4+，m2＝﹣4﹣
∴P点坐标为（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）．

方法或规律点拨
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、平行四边形的性质和切线的性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
巩固练习
1．（2020·河北玉田·初三期末）如图，已知直线的函数表达式为，它与轴、轴的交点分别为两点．

（1）若的半径为2，说明直线与的位置关系；
（2）若的半径为2，经过点且与轴相切于点，求圆心的坐标；
（3）若的内切圆圆心是点，外接圆圆心是点，请直接写出的长度．
【答案】（1）直线AB与⊙O的位置关系是相离；（2）（，2）或（-，2）；（3）
【解析】解：（1）∵直线l的函数表达式为y=x+3，
∴当x=0时，y=3；当y=0时，x=4；
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴OB=3，OA=4，
AB==5，
过点O作OC⊥AB于C，如图1所示：

∵sin∠BAO=，
∴，
∴OC=＞2，
∴直线AB与⊙O的位置关系是相离；
（2）如图2所示，分两种情况：
①当点P在第一象限时，连接PB、PF，作PC⊥OB于C，

则四边形OCPF是矩形，
∴OC=PF=BP=2，
∴BC=OB﹣OC=3﹣2=1，
∴PC=，
∴圆心P的坐标为：（，2）；
②当点P在第二象限时，
由对称性可知，在第二象限圆心P的坐标为：（-，2）．
综上所知，圆心P的坐标为（，2）或（-，2）．
（3）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，如图3所示：

则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，
∴MC=MD=ME=OD=（OA+OB﹣AB）=×（4+3﹣5）=1，
∴BE=BD=OB﹣OD=3﹣1=2，
∵∠AOB=90°，∴△ABO外接圆圆心N在AB上，
∴AN=BN=AB=，∴NE=BN﹣BE=﹣2=，
在Rt△MEN中，
MN=．
2．（2019·湖南广益实验中学初二期末）如图，⊙O为DABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且ÐEAC=ÐABC.

（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若D为AB的中点，CD=3，AB=8.
①求⊙O的半径；②求DABC的内心I到点O的距离.
【答案】（1）见解析；（2）①⊙O的半径r=256；②DABC的内心I到点O的距离为52.
【解析】(1)如图，连接AO

则ÐEAC=ÐABC=12∠AOC.
又∵AO=BO,
∴ÐACO=ÐCAO=180∘-∠AOC2=90∘-12∠AOC
∴ÐEAO=ÐEAC+ÐCAO=12ÐAOC +90∘-12∠AOC=90∘
∴EA⊥AO
∴直线AE是⊙O的切线；
（2）①设⊙O的半径为r,则OD=r-3，
∵D为AB的中点，
∴OC⊥AB，ÐADO=90∘，AD=4
∴AD2+OD2=AO2,即42+（r-3)2=r2
解得r=256
②如下图，
∵D为AB的中点，
∴AC=BC=32+42=5
且CO是∠ACB的平分线，则内心I在CO上，连接AI,BI,过I作AC,BC的垂线，垂足分别为F,G.

易知DI=FI=GI,设其长为a.由面积可知：
SΔABC=12AB·CD=12AB·DI+12AC·FI+12BC·DI
即12×8×3=12×8a+12×5a+12×5a
解得a=43
∴OI=DI+DO=43+256-3=52
∴DABC的内心I到点O的距离为52
3．（2019·全国初三）（1）如图1，圆内接中，、为的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的．

（2）如图2，若保持角度不变，求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1）如图1，连接OA，OC；

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵点O是等边三角形ABC的外心，
∴CF=CG=AC，∠OFC=∠OGC=90°，
∴在Rt△OFC和Rt△OGC中，
，
∴Rt△OFC≌Rt△OGC．
同理：Rt△OGC≌Rt△OGA．
∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，
S四边形OFCG=2S△OFC=S△OAC，
∴S△OAC=S△ABC，
∴S四边形OFCG=S△ABC．
（2）连接OA，OB和OC，则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2；

设OD交BC于点F，OE交AC于点G，
∠AOC=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，
∴∠3=∠5；
在△OAG和△OCF中
，
∴△OAG≌△OCF，
∴S△OAG=S△OCF，
∴S△OAG+S△OGC=S△OCF+S△OGC，
即S四边形OFCG=S△OAC=S△ABC；
4．（2020·高邮市外国语学校初中部月考）如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若半径OB=2，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】解：（1）证明：如图，连接OD，

∵BO=BD=DO，∴△OBD是等边三角形．∴∠OBD=∠ODB=60°．
∵BD=BC，∴∠BDC=∠OBD=30°．
∴∠ODC=90°．
∴OD⊥CD．
∵OD为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°．
∵BO=BD=2，∴AB=2BO=4．
∴．
5．（2020·江苏宿迁·二模）已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝2，过A，D两点作⊙O，交AB于点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？
（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时，DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）ON等于或；（3）不变，DP﹣DQ＝．
【解析】解：（1）证明：如图1，连接CO，

∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，
∴AD＝CD＝BD，
∵AD＝AC，
∴AC＝CD，
又∵AO＝DO，CO＝CO，
∴△ACO≌△DCO（SSS），
∴∠CDO＝∠CAO＝90°，
又∵OD是半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连DE、ME，如图3，

∵DM＞DE，
当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，
∴OE⊥DM，
又∵AD＝AC，
∴△ADC为等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
∴∠DAO＝30°，
∴∠DON＝60°，
在Rt△ADN中，DN＝AD＝，
在Rt△ODN中，ON＝DN＝，
∴当ON等于时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；
当MD＝ME，DE为底边，如图4，作DH⊥AE，

∵AD＝，∠DAE＝30°，
∴DH＝，∠DEA＝60°，DE＝1，
∴△ODE为等边三角形，
∴OE＝DE＝1，OH＝，
∵∠M＝∠DAE＝30°，
而MD＝ME，
∴∠MDE＝75°，
∴∠ADM＝90°﹣75°＝15°，
∴∠DNO＝45°，
∴△NDH为等腰直角三角形，
∴NH＝DH＝，
∴ON＝﹣；
综上所述，当三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形时，ON等于或；
（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝，
理由如下：连AP、AQ，如图2，

∵∠C＝∠CAD＝60°，
而DP⊥AB，
∴AC∥DP，
∴∠PDB＝∠C＝60°，
又∵∠PAQ＝∠PDB，
∴∠PAQ＝60°，
∴∠CAQ＝∠PAD，
∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，
∴△AQC≌△APD（AAS），
∴DP＝CQ，
∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝．
6．（2019·广东郁南·初三月考）如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，求正方形ABCD的边长．

【答案】（1）证明见解析；（2）正方形ABCD的边长为．
【解析】（1）如图，过O作于N，连接OM，
∵与BC相切于点M，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
四边形OMCN是矩形，
又，
是等腰直角三角形，
，
矩形OMCN是正方形，
，即ON是的半径，
又，
∴CD与相切；

（2）的半径为，
，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
则在中，，即，
∴，
解得，
故正方形ABCD的边长为．
7．（2020·西安市铁一中学初三二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．

（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）如图，连接CD，

∵BC为直径，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵AC⊥BC，
∴EC是⊙O的切线，
∵ED是⊙O的切线，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠EDC+∠ADE＝∠ECD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ADE；
（2）∵DE＝5，AE＝DE＝EC，
∴AC＝2DE＝10，
∴CD＝，
∵AC是⊙O的切线，
∴AC2＝AD•AB，
∴，
∴，
∴，
∴⊙O的半径为．
8．（2020·全国初三课时练习）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为t秒，解答下列问题：

（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t=1秒或4秒；（2）t＝0秒或(﹣15+)秒.
【解析】解：（1）∵当运动时间为t秒时，PA＝t，BQ＝2t，
∴PB＝5﹣t，BQ＝2t．
∵△PBQ的面积等于4cm2，
∴PB•BQ＝（5﹣t）•2t．
∴（5﹣t）•2t＝4．
解得：t1＝1，t2＝4．
答：当t为1秒或4秒时，△PBQ的面积等于4cm2；
（2）由题意可知圆Q与PQ、CQ不相切．下面分两种情况讨论：
（Ⅰ）如图1所示：当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．

∵∠DAB＝90°，
∴∠DPQ＝90°．
∴DP⊥PQ．
∴DP为圆Q的切线．
（Ⅱ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示．

由题意可知：PB＝5﹣t，BQ＝2t，PQ＝CQ＝10﹣2t．
在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2＝PB2+QB2，即（5﹣t）2+（2t）2＝（10﹣2t）2．
解得：t1＝﹣15+，t2＝﹣15﹣（舍去）．
综上所述可知当t＝0秒或t＝(﹣15+)秒时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切．
9．（2020·内蒙古东胜·初三一模）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．

（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；
（2）填空：
①当∠BOP=　 时，四边形AOCP是菱形；
②当∠ABP=　 时，PC是⊙O的切线．
③若AB=2，当AP=　 时，四边形OBCP是正方形．
【答案】（1）见解析；（2）①120o，②45o ，③．
【解析】（1）∵PC∥AB，
∴∠PCM=∠OAM，∠CPM=∠AOM．
∵点M是OP的中点，
∴OM=PM，
在△CPM和△AOM中，
，
∴△CPM≌△AOM（AAS），
∴PC=OA．
∵AB是半圆O的直径，
∴OA=OB，
∴PC=OB，又PC∥AB，
∴四边形OBCP是平行四边形；
（2）①∵四边形AOCP是菱形，

∴OA=PA，
∵OA=OP，
∴OA=OP=PA，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠A=∠AOP=60°，
∴∠BOP=120°；
故答案为：120°；
②∵PC是⊙O的切线，
∴OP⊥PC，∠OPC=90°，
∵PC∥AB，
∴∠BOP=90°，
∵OP=OB，
∴△OBP是等腰直角三角形，
∴∠ABP=∠OPB=45°，
故答案为：45°；
③∵四边形OBCP是正方形，
∴OP⊥OB，
∵AB=2，
∴OA=OP=1，∠AOP=90°，
∴AP=，
故答案为：．
10．（2020·内蒙古回民·初三二模）如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，AD平分角∠BAC交⊙O于D，过D作直线AC的垂线，交AC的延长线于E，连接BD，CD．
（1）求证：BD＝CD；
（2）求证：直线DE是⊙O的切线；
（3）若DE＝，AB＝4，求AD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD＝2．
【解析】（1）证明：∵在⊙O中，AD平分角∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴BD＝CD；
（2）证明：连接半径OD，如图1所示：
则OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
由（1）知∠EAD＝∠BAD，
∴∠BAD+∠ADE＝90°，即∠ODA+∠ADE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：过点D作DF⊥AB于F，如图2所示：
则DF＝DE＝，
∵AB＝4，
∴半径OD＝2，
在Rt△ODF中，OF＝＝＝1，
∴∠ODF＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴OF＝FB＝1，
∴AF＝AB﹣FB＝4﹣1＝3，
在Rt△ADF中，AD＝＝＝2．

11．（2020·广东初三其他）如图，是⊙O的直径，是圆上一点，弦于点，且．过点作⊙O的切线，过点作的平行线，两直线交于点，的延长线交的延长线于点．

（1）连接，猜想的形状，并说明理由；
（2）求证：与⊙O相切；
（3）连接，若⊙O的半径为，求的长．
【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1）为等边三角形．理由如下：
是的直径，弦，
垂直平分CD，
，，
，
，
为等边三角形；
（2）如图，连接，
由（1）得，为等边三角形，
，
（等边三角形外接圆的性质），
，
，
，
，
，
又为的半径，
与相切；

（3）的半径为，
，
在中，，
，
，
与相切，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
在中，由勾股定理得：．
12．（2020·河南太康·初三期末）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为　 　时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为　 　时，四边形ECOG为正方形．

【答案】（1）证明见解析；（2）①30°；②22.5°.
【解析】解：（1）证明：连接OC，如图，
.
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠3+∠B=90°，
而∠2=∠3，
∴∠2+∠B=90°，
而OB=OC，
∴∠4=∠B，
∴∠1=∠2，
∴CE=FE；
（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°，
而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，
而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OEG=∠OCE=90°，
∴四边形ECOG为矩形，
而OC=OG，
∴四边形ECOG为正方形．
故答案为30°，22.5°．
13．（2020·北京丰台·初三月考）如图，四边形中，.以为圆心，以为半径作．

求证：是的切线．
连接并延长交于点延长交于点，与的延长线交于点
①补全图形；
②若，求证：．
【答案】（1）见解析（2）①见解析②见解析
【解析】证明：连接


和都是直角三角形．
，
，
，
，
是切线．
补全图形如下：

证明：如图，


．
为的直径，
，
．

．
是的切线，切点为
．
．
．