初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试精品当堂达标检测题

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第23章 重点突破训练：旋转变换在几何问题中的应用
考点体系

考点1：三角形的旋转问题
典例：（2020·深圳市龙岗区龙岗街道新梓学校初一期中）已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．
（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC BD（填“>”，“<”或“=”）AC与BD的位置关系是AC BD（填“∥”或“⊥”）；
（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；
（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关系，并给出证明．

【答案】（1）=；⊥ （2）见解析 （3）AC=BD且AC⊥BD；证明见解析
【解析】解：（1）∵OA=OB，OC=OD
∴OA-OC=OB-OD，
∴AC=BD．
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴AO⊥BO，
∵C、D分别在OA、OB上，
∴AC⊥BD；
（2）在△OCA和△ODB中，
，
∴△OCA≌△ODB，
∴AC=BD；
（3）AC=BD，AC⊥BD．
理由：
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△OCA和△ODB中，
，
∴△OCA≌△ODB，
∴AC=BD，∠BDO=∠ACO，
∵∠ACO+∠CFO=90°，∠CFO=∠DFE，
∴∠BDO+∠DFE=90°，
∴∠DEF=180°-90°=90°，
∴AC⊥BD．

方法或规律点拨
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·洪泽外国语中学初一月考）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为_____．

【答案】60°或105°或135°
【解析】
解：对△ABC沿A点进行旋转，分情况进行讨论
（1）当，，，即；

（2）当，，所以，，即；

（3）当，，，即

综上所述，或或；
故答案为：，，．
2．（2020·揭阳产业转移工业园月城中学初二月考）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
(1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1)，求证：M为AN的中点．
(2)将图1中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图2)，求证：△CAN为等腰直角三角形．
(3)在（2）条件下，已知AD=1，CE=，求AN的长．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）AN=
【解析】解：(1)∵点M为DE的中点，
∴DM=ME．
∵AD∥EN，
∴∠ADM=∠NEM，
又∵∠DMA=∠EMN，
∴△DMA≌△EMN，
∴AM=MN，即M为AN的中点．
(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA=EN，
又∵DA=AB，
∴AB=NE，
∵∠ABC=∠NEC=135°，BC=CE，
∴△ABC≌△NEC，
∴AC=CN，∠ACB=∠NCE，
∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°，
∴∠BCN+∠ACB=90°，
∴∠ACN=90°，
∴△CAN为等腰直角三角形．
(3)由(2)知，NE=AD=1，
在等腰直角三角形BAD中，AD=1，
∴AB=AD=1，
在等腰直角三角形BCE中,CE=，
∴BE=2，
∴AE=AB+BE=3
由(2)知,∠AEN=90°，
在Rt△AEN中,AE=3,NE=1,根据勾股定理得, AN=.

3．（2020·北京初二期中）如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求∠DFC的度数；
（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．
①补全图形（图2中完成）；
②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．

【答案】（1）60°；（2）①见解析，②CQ=，见解析
【解析】
（1）∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,
∠BAC=∠B=∠ACB=60°,
在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（SAS）,
∴∠BAD=∠ACE,
∵∠BAD+∠DAC=60°,
∴∠DFC=∠ACE+∠DAC=60°；
（2）补图

CQ=，
∵CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，
∴CE=CP，∠ECP=120°，
又∠DFC=60°，
∴AD∥CP，
∴∠ADC=∠DCP，
∵△ABD≌△CAE，
∴CE=AD，
∴AD=CP，
在△ADQ和△PCQ中

∴△ADQ≌△PCQ（AAS），
∴CQ=DQ=，
∵AB=BC，BD=AE，
∴BE=CD，
∴CQ=．
4．（2020·湖北省初三月考）在△ABC与△CDE中，∠ACB∠CDE90°，ACBC，CDED，连接AE，BE，F为AE的中点，连接DF，△CDE绕着点C旋转．
(1)如图1，当点D落在AC上时，DF与BE的数量关系是： ；
(2)如图2，当△CDE旋转到该位置时，DF与BE是否仍具有(1)中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；
(3)如图3，当点E落在线段CB延长线上时，若CDAC2，求DF的长．

【答案】(1)DF=BE；(2)见解析；(3)；
【解析】(1) ∵∠ACB=∠CDE=90°，AC=BC，CD =ED，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴△ACE≌△BCE，
∴AE=BE，因为DF是直角△ADE的中线，
∴DF=AE
∴DF=BE
(2)如图，将△CDE沿着CD翻折，得到△DCM≌△DCE，连接AM，

由△CDE为等腰直角三角形易知△CME为等腰直角三角形，
在△ACM和△BCE中，
AC=BC，∠ACM=∠BCE ，CM=CE，
∴△ACM≌△BCE，
∴AM=BE
∵F为AE的中点，D为ME的中点
∴DF为△AME的中位线，
∴DF=，
∴DF=BE．
(3)将△EDC沿DC翻折得到△DCM

CD=DE=2，由勾股定理可知CE=
BE=CE—CB=
由前面的结论可知：DF=BE
∴DF=．
5．（2019·山东省初三期末）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：
①旋转角的度数 ；线段OD的长为 ．
②求∠BDC的度数；
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．

【答案】（1）①，4；②；（2），证明见解析．
【解析】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
∵旋转至，
∴，，，
∴为等边三角形
∴，，
故答案为：60°；4
②在中，，，，
∵
∴
∴为直角三角形，，
∴
（2）时，，
理由如下：
∵绕点顺时针旋转后得到，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴
∵当时，为直角三角形，，
∴，即
∴当满足时，．
6．（2020·河南省初三二模）已知是等边三角形，于点，点是直线上的动点，将绕点顺时针方向旋转60°得到，连接，，．
（1）问题发现：如图1，当点在线段上时，且，则的度数是_________；

（2）结论证明：如图2，当点在线段的延长线上时，请判断和的数量关系，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：若点在直线上运动，若存在一个位置，使得是等腰直角三角形，请直接写出此时的度数．
【答案】（1）55°；（2），见解析；（3）15°或75°
【解析】（1）55°，理由：
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵将绕点顺时针方向旋转60°得到，
∴，，
∴，
在△ADC和△BDA中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（2）结论：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵将绕点顺时针方向旋转60°得到，
∴，，
∴，
在△ADC和△BDA中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）或75°分两种情况：
①点在点A的下方时，如图：

∵是等腰直角三角形，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴；
②点在和点A的上方时，如图：

同理可得．
7．（2020·陕西省初二期末）问题提出：
（1）如图1，在中，，点D和点A在直线的同侧，，，，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接（如图2），可求出的度数为______．
问题探究：
（2）如图3，在（1）的条件下，若，，且， ，
①求的度数．
②过点A作直线，交直线于点E，．请求出线段的长．

【答案】（1）30°；（2）①；②
【解析】解：（1）根据题意，∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质，则△ABD≌，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴≌，
∴，
∴；
（2）①，
．
如图1，将绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到，连接．

，
，
，
，
，
．

．
，

为等边三角形，
，
，
，
，
．
②如图2，由①知，，

在中，，
．
是等边三角形，
，
，
．
考点2：与四边形有关的旋转问题
典例：（2020·江苏省初三其他）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为，记旋转角为．
(1)如图①，当时，求点的坐标；

(2)如图②，当点落在的延长线上时，求点的坐标；

(3)当点落在线段上时，求点的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】（1）点的坐标为；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为．
【解析】解：(1)过点作轴于，如图①所示：

点，点．
，
以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
，
在中，，
，
点的坐标为；
(2)过点作轴于于，如图②所示：

则，
，
，
，
，
，，
点的坐标为；
(3)连接，作轴于G，如图③所示：

由旋转的性质得：，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
点的坐标为．
方法或规律点拨
本题考查的知识点是坐标系内矩形的旋转问题，用到的知识点有勾股定理，全等三角形的判定与性质等，做此类题目时往往需要利用数形结合的方法来求解，根据每一个问题做出不同的辅助线是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·陕西省初二期末）如图，在平行四边形中，于点E，以点B为中心，取旋转角等于，将顺时针旋转，得到．连接，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，
∴∠ADA′＋∠DA′B＝180°，
∴∠DA′B＝180°−50°＝130°，
∵AE⊥BE，
∴∠BAE＝30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，
∴∠DA′E′＝130°＋30°＝160°．
故答案为：D．
2．（2020·江苏省初二期中）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= ．

【答案】．
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，
∵∠1=∠2=110°，
∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，
∴∠4=90°﹣70°=20°，
∴∠α=20°．
故答案为20°．

3．（2020·山东省初三一模）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为_____．

【答案】（﹣1，）
【解析】如图，连接AM，

∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，
∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，
∴∠B′AD=60°，
在Rt△ADM和Rt△AB′M中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），
∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，
∴DM=AD•tan∠DAM=1×=，
∴点M的坐标为（﹣1，），
故答案为（﹣1，）．
4．（2020·江苏省初二期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是菱形，OB＝OD＝2，∠BOD＝60°，将菱形OBCD绕点O旋转任意角度，得到菱形OB1C1D1，则点C1的纵坐标的最小值为_____．

【答案】
【解析】如图，连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，

∵四边形OBCD是菱形，
∴OD∥BC，
∴∠BOD＝∠CBE＝60°，
∵CE⊥OE，
∴BE＝BC＝1，CE＝，
∴，
∴当点C1在y轴上时，点C1的纵坐标有最小值为，
故答案为：．
5．（2020·江苏省初二期中）如图，正方形ABCD的边长为a，对角线AC和BD相交于点O，正方形A1B1C1O的边OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，正方形A1B1C1O绕O点转动的过程中，与正方形ABCD重叠部分的面积为_____（用含a的代数式表示）

【答案】a2．
【解析】解：在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，
∵∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF．
在△AOE和△BOF中 ，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S△AOE＝S△BOF，
∴重叠部分的面积，
故答案为：a2．
6．（2020·辽宁省初二期末）如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC或它们的延长线于点E，F．

(1)如图1，当BE＝DF时，AE与AF的数量关系是_______；
(2)旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，(1)的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
(3)若菱形ABCD的边长为4，BE＝1，请直接写出AF的长．
【答案】（1）相等；（2）成立；（3）
【解析】（1）依题意得：四边形ABCD为菱形，，又
在和中



（2）旋转∠MAN，当BE≠DF时，(1)的结论依然成立.如下图，证明如下：
作、，
四边形ABCD为菱形，所以，
又

即可得：
在和中


即(1)中结论仍然成立.

（3）
由（2）中得，
，，
，
又，
在中，
7．（2020·上海初二期末）已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转（），得到线段CE，联结BE、CE、DE. 过点B作BF⊥DE交线段DE的延长线于F．
（1）如图，当BE=CE时，求旋转角的度数；
（2）当旋转角的大小发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请用含的代数式表示；如果不变，请求出的度数；
（3）联结AF，求证：．

【答案】（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析
【解析】（1）证明：在正方形ABCD中, BC=CD.由旋转知，CE=CD,
又∵BE=CE,
∴BE=CE=BC,
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BCE=60°.
又∵∠BCD=90°,
∴=∠DCE=30°.
（2）∠BEF的度数不发生变化.
在△CED中，CE=CD,
∴∠CED=∠CDE=，
在△CEB中,CE=CB,∠BCE=,
∴∠CEB=∠CBE=,
∴∠BEF=.
（3）过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于点H，过点C作CI⊥DF于点I
易知四边形AGFH是平行四边形，
又∵BF⊥DF，
∴平行四边形AGFH是矩形.
∵∠BAD=∠BGF=90°，
∠BPF=∠APD ，
∴∠ABG=∠ADH.
又∵∠AGB=∠AHD=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADH.
∴AG=AH ，
∴矩形AGFH是正方形.
∴∠AFH=∠FAH=45°，
∴AH=AF
∵∠DAH+∠ADH=∠CDI+∠ADH=90°
∴∠DAH=∠CDI
又∵∠AHD=∠DIC=90°，AD=DC，
∴△AHD≌△DIC
∴AH=DI，
∵DE=2DI，
∴DE=2AH=AF

考点3：平面直角坐标系中图形旋转
典例：（2020·黑龙江省初一期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，A（0，a），B（b，0），已知a、b满足方程组．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）点C从O出发，以每秒2个单位长度的速度沿y轴正半轴的方向运动，设点C的运动时间为t秒，连接BC，△ABC的面积为S，用含t的式子S表示（并直接写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，当C点在OA上，S＝30时，点E在CB的延长线上，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°至线段AD，点D恰好在x轴的正半轴上，将线段BA绕点A逆时针旋转90°至线段FA，当点F在直线BC上时，求t值和点D的坐标．
【答案】（1）A（0，12），B（﹣6，0）；（2）S＝；（3）t＝1，D（14，0）．
【解析】（1）∵，
∴，
∴A（0，12），B（﹣6，0）；
（2）当点C在线段OA上时，即0≤t＜6，CA＝12﹣2t，
∵BO⊥OA，
∴S＝CA•OB＝（12﹣2t）×6＝﹣6t+36；
当点C在OA的延长线上时，t＞6，CA＝2t﹣6，
∵BO⊥OA，
∴S＝CA•OB＝（2t﹣12）×6＝6t﹣36，
即S＝；
（3）如图，∵点C在线段OA上，S＝30，
∴﹣6t+36＝30，
∴t＝1，
∴C（0，2），
过点F作FG⊥y轴于G，过点E作EH⊥y轴于H，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
由旋转知，∠BAF＝90°，
∴∠FAG+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠GFA，
由旋转知，AB＝AF，∠AOB＝∠FGA，
∴△ABO≌△FAG（AAS），
∴FG＝AO，AO＝BO＝6，
∵∠AHE＝90°，
∴∠HEA+∠EAH＝90°，
由旋转知，AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴∠EAH+∠DAO＝90°，
∴∠HEA＝∠DAO，
∵∠AOD＝∠EHA，
∴△AEH≌△DAO（AAS），
∴EH＝AO＝12，AH＝DO，
∴EH＝FG＝AO＝12，
∵∠FGC＝∠EHC＝90°，∠ECH＝∠GCF，
∴△GCF≌△HCE（AAS），
∴GC＝CH，
∵GC＝OA﹣OC﹣AG＝12﹣2﹣6＝4，
∴CH＝CG＝4，
∴OD＝AH＝10+4＝14，
∴D（14，0）．

方法或规律点拨
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解方程组的方法，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
巩固练习
1．（2020·黑龙江省朝鲜族学校中考真题）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）

A．或 B．
C． D．或
【答案】D
【解析】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，

则，OA=，
∴∠AOE=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOB是等边三角形，
当A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，
此时旋转角为60°，
∵∠BOC=60°，∠COF=30°，
∴∠C′OF=60°-30°=30°，
∵OC′=OA=4，
∴OF=，
C′F=，
∴C′（），
当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，
∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，
∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°
又∵OA=OC′′，
∴此时C′′点A重合，C C′′，
综上，点C的对应点的坐标为或，
故答案为：D．
2．（2020·河南省初三一模）如图，直线与轴，轴分别交于，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当x＝0时，＝4，则B点坐标为（0，4）；
当y＝0时，−x＋4＝0，解得x＝3，则A点坐标为（3，0），
则OA＝3，OB＝4，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到，
∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝3，CD＝OB＝4，
即AC⊥x轴，CD∥x轴，
∴点D坐标为（7，3）．
故选：D．

3．（2020·辽宁省初二期中）如图，等边△OAB的顶点O为坐标原点，AB∥x轴，OA=2，将等边△OAB绕原点O顺时针旋转105º至△OCD的位置，则点D的坐标为（ ）

A．(2，-2) B．(，) C．(，) D．(，)
【答案】D
【解析】解：如图，过点D向x轴作垂线，垂足为E，

∵△OAB是等边三角形，旋转角是105°，
∴∠AOB=∠B=∠COD =60°，∠AOC=105°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=105°-60°=45°，
又∵AB∥x轴，
∴∠BOE=∠B=60°（两直线平行，内错角相等），
∴∠COE=∠BOE-∠BOC=60°-45°=15°，
∴∠EOD=∠DOC-∠COE=60°-15°=45°，
∴△EOD是等腰直角三角形，
∴
∵OD=OA=2，
∴（勾股定理），
∴
∵D点在第四象限，
∴D点的坐标为：(，)
故选D；
4．（2020·天津初三二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°，得到△CBD，若点B的坐标为（4，0），则点C的坐标为_____．

【答案】（﹣2，）
【解析】作CH⊥x轴于H点，如图，
当x=4时，y=x=4，则A（4，4），
∴AB=4．
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°，得到△CBD，
∴BC=BA=4，∠ABC=60°，
∴∠CBH=30°，
在Rt△CBH中，CH=BC=2，BH==6，
∴OH=BH﹣OB=6﹣4=2，
∴C点坐标为（﹣2，）
故答案为：（﹣2，）．

考点4：旋转中的最值问题
典例：（2020·射阳县实验初级中学初三其他）已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，点E在AB的延长线上，将DE绕D点顺时针旋转120°得到DF，设=t．

（1）如图1，若点F恰好落在AC边上，求证：t=1；
（2）如图2，在（1）的条件下，若∠DFC＝45°，连接AD，求证：BE+CF＝AD；
（3）如图3，若BE＝CD，连CF，当CF取最小值时，直接写出t的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【解析】解：（1）证明：如图1中，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠DBM＝∠C＝60°，
∵∠AMD＝∠AND＝90°，
∴∠MDN＝360°-∠AMD-∠AND-∠A=120°，
∵将DE绕D点顺时针旋转120°得到DF，
∴∠EDF＝120°，DE＝DF，
∴∠MDN＝∠EDF＝120°，
∴∠EDM＝∠FDN，
∵∠DME＝∠DNF＝90°，DE＝DF，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DM＝DN，
∵∠DBM＝∠C＝60°，∠DMB＝∠DNC＝90°，
∴△DMB≌△DNC（AAS），
∴DB＝DC，
∴t=1．
（2）证明：如图2中，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．

∵△DMB≌△DNC，
∴CN＝BM，
∵△DME≌△DNF，
∴EM＝FN，
∴BE+CF＝BE+CN+FN＝BE+BM+EM＝2EM＝2FN，
∵∠DFN＝45°，∠DNF＝90°，
∴DN＝FN，
∵BD＝CD，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠DAN＝∠BAC＝30°，
∴AD＝2DN＝2FN＝BE+CF．
（3）解：如图3中，连接AF，AD，延长CB到M，使得BM＝BE，作AN⊥BC于N．

∵∠ABC＝∠MBE＝60°，BM＝BE，
∴△BEM是等边三角形，
∴∠M＝∠ACD＝60°，EM＝BE＝CD，
∴DM＝BC＝AC，
∴△MDE≌△CAD（SAS），
∴DE＝DA＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠EDF＝120°，
∴2∠DAE+2∠DAF＝240°，
∴∠DAE+∠DAF＝120°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠FAC＝∠ACB＝60°，
∴AF∥BC，
根据垂线段最短可知，当CF⊥AF时，CF的值最小，
∵AN⊥BC，CF⊥BC，
∴AN＝CF，BN＝CN，
∵DA＝DF，∠AND＝∠FCD＝90°，
∴Rt△AND≌△FCD（HL），
∴DN＝DC，
∴BD＝3CD，
∴t=＝3．
方法或规律点拨
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短、旋转的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
巩固练习
1．（2020·江苏省初三二模）如图，是两个直角三角板，其中，，若将直角三角板绕点旋转一周，则的最大值为_______________________．

【答案】
【解析】解：如图，在CA取一点J，使得CJ=CB，连接DJ．

在Rt△ACB中，AB=2，∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴CB=CJ=AB=1，AC=BC=，
∵∠ECD=∠BCJ=90°，
∴∠DCJ=∠ECB，
∵CD=CE，CJ=CB，
∴△DCJ≌△ECB（SAS），
∴DJ=BE，
∴|AD-BE|=|AD-DJ|，
∵|AD-DJ|≤AJ，
∴|AD-BE|≤，
∴|AD-BE|的最大值为．
故答案为：．
2．（2020·内蒙古自治区初三三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是___．

【答案】6.
【解析】如图，连接PC，
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝8，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝8，
∴A′P＝PB′，
∴
∵CM＝BM＝2，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤6，
∴PM的最大值为6（此时P、C、M共线）．

3．（2020·江苏省初三其他）如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB=，BD=2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，直线AD、CE相交于点P．
（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；
（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；
（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．

【答案】（1）AD=CE，理由详见解析；（2）； （3）或
【解析】解：（1）AD＝CE，
理由：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE，
∴AD＝CE；
（2）如图2，
过点B作BH⊥AD于H，在Rt△BHD中，BD＞BH，

∴当点D，H重合时，BD＝BH，
∴BH≤BD，
∴当BD⊥AD时，点B到直线AD的距离最大，
∴∠EDP＝90°﹣∠BDE＝30°，
同（1）的方法得，△ABD≌△CBE，
∴∠BEC＝∠BDA＝90°，EC＝AD，
在Rt△ABD中，BD＝2，AB＝2，
根据勾股定理得，AD＝＝2，
∴CE＝2，
∵∠BEC＝90°，∠BED＝60°，
∴∠DEP＝90°﹣60°＝30°＝∠EDP，
∴DP＝EP，
如图2﹣1，过点P作PQ⊥DE于Q，

∴EQ＝DE＝1，
在Rt△EQP中，∠PEQ＝30°，
∴EP＝＝＝，
∴PC＝；
（3）①当点D在AE上时，如图3，

∴∠ADB＝180°﹣∠BDE＝120°，
∴∠BDE＝60°，
过点B作BF⊥AE于F，
在Rt△BDF中，∠DBF＝30°，BD＝2，
∴DF＝1，BF＝，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，AF＝＝，
AD＝AF﹣DF＝﹣1，
∴CE＝AD＝﹣1；
②当点D在AE的延长线上时，如图4，

同①的方法得，AF＝，DF＝1，
∴AD＝AF+DF＝+1，
∴CE＝AD＝+1，
即满足条件的CE的长为+1和﹣1．
4．（2020·山东省中考真题）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．

（1）当时，求证：；
（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的面积的最大值为，旋转角的度数为
【解析】（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90，
∴∠EFB=90，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，
∴BC=AB =，CD= AC+ AD=，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3）中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：

∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G，
∴AG=BC=，∠GAB=45，
∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135，
∴的面积的最大值为：，
旋转角．
5．（2020·河南省初三）阅读理解
（1）如图1，在中，，，，为边上的点，且，若，，求的长．

思考如下：注意到条件中有，，不妨把绕点顺时针旋转，得到，连接，易证，从而将线段，，集中在了中，因为的度数是________；，所以的长为 ；
类比探究
（2）如图2，在中，，，，为边上的点，且，，，求的长；

拓展应用
（3）如图3，是正方形内一点，，是边上一点，且，若，请直接写出当取最小值时的长．

【答案】（1）；；（2）；（3）
【解析】（1）∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠ABC=∠ACB=30°
把绕点顺时针旋转，得到，

∴△ABF≌△ACE
∴∠ABF=∠ACE=30°
∴∠FBD=60°；
连接，
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°
∵∠BAF=∠CAE，
∴∠BAF+∠BAD=60°，即∠DAF=60°
∴∠DAF=∠DAE，
又AF=AE，AD=AD，
∴△DAF≌△DAE，
∴DF=DE
∵BD=1，BF=CE=2，且∠FBD=60°
∴∠BFD=30°，
∴∠BDF=90°，
∴
∴DE=
故答案为：60；；
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴，
如图2 ，将绕点逆时针旋转，得到连接

则.



又

.
如图2，过点作交的延长线于点.


在中，
在中，
.
（3）如图3，将绕点顺时针旋转，得到
取的中点连接.

因为，
所以取最小值时，点在上
由类比，得.
设的长为
则.
所以，
解得
∴.
6．（2020·寿光市实验中学初三其他）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
【答案】（1）∠CC1A1=90°．
（2）S△CBC1=．
（3）最小值为：EP1=﹣2．
最大值为：EP1= 7．
【解析】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，
∴∠CC1B=∠C1CB=45°．
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．
（2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，
∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1．
∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1
∴∠ABA1=∠CBC1．
∴△ABA1∽△CBC1
∴．
∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=．
（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上．
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=．
①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小．最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2．

②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大．最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7．

7．（2020·山东省初三三模）已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC（包含边界）平面内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点P．
（1）观察填空：当点D在图1所示的位置时，填空：
①与△ACD全等的三角形是______．
②∠APB的度数为______．
（2）猜想证明：在图1中，猜想线段PD，PE，PC之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
（3）拓展应用：如图2，当△ABC边长为4，AD=2时，请直接写出线段CE的最大值．

【答案】（1）①△BCE；②60°；（2）PD+PE=PC，证明见解析；（3）CE的最大值为6．
【解析】（1）①如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，
∵将线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，
∴CE=CD，∠DCE=60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠DCE═60°，
∵∠ACD+∠DCB=60°，∠BCE+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
故答案为：△BCE．
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠EBC=∠DAC，
∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°，
∴∠PBC+∠BAD=60°，
∴∠APB=180°-∠ABC+∠PBC+∠BAP=180°-60°-60°=60°；
故答案为：60°．
（2）结论：PD+PE=PC．
理由：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠CAD+∠BAD=60°，∠BAD+∠DBC=60°，
∴∠BAD+∠ABD=∠BDP=60°，
∵∠APB=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴DP=BP，
∴PD+PE=BE，
∵△ADC≌△BEC，
∴AD=BE，
∵在△ABD与△CBP中
，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴AD=PC，
∴PD+PE=PC；
（3）如图2中，

∵AC=4，AD=2，
∴D点在线段AC上，CD长度最小；D点在CA的延长线上，CD的长度最大，
∴4-2≤CD≤4+2，
∴2≤CD≤6．
∴CD的最大值为6，
由（1）可知△ACD≌△BCE，EC=CD，
∴EC的最大值为6．
8．（2020·黑龙江省初三期末）如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=120°．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．

【答案】（1）证明见解析；（2）△PMN是等边三角形．理由见解析；（3）△PMN周长的最小值为3，最大值为15．
【解析】解：（1）因为∠BAC=∠DAE=120°，
所以∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，
所以△ABD≌△ADE；
（2）△PMN是等边三角形．
理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，
∴PM=CE，PM∥CE，
∵点N，M分别是BC，DE的中点，
∴PN=BD，PN∥BD，
同（1）的方法可得BD=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，
∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC
=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=120°，∴∠ACB+∠ABC=60°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形．
（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=BD，
∴PM最大时，△PMN周长最大，
∴点D在AB上时，BD最小，PM最小，
∴BD=AB-AD=2，△PMN周长的最小值为3；
点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，
∴BD=AB+AD=10，△PMN周长的最大值为15．
故答案为△PMN周长的最小值为3，最大值为15