初中数学第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆优秀课后复习题

这是一份初中数学第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆优秀课后复习题，文件包含专题241圆的有关性质讲练-2022-2023学年九年级上册同步讲练解析版人教版docx、专题241圆的有关性质讲练-2022-2023学年九年级上册同步讲练原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。

专题24.1 圆的有关性质
典例体系

一、知识点
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
知识点二 ：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
① 弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD；
③AE=BE;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三
.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.
3.圆心角、弧、弦的关系
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4.圆周角定理及其推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
( 2 )推论：
① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
② 直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
③ 圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
二、考点点拨与训练
考点1：与圆有关的最值问题
典例：（2020·云南云大附中初三三模）如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（　　）

A．5 B．7 C．8 D．
【答案】B
【解析】作CH⊥AB于H，如图．

∵菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CH=AB=，AH=BH=4．
∵PB=3，∴HP=1．
在Rt△CHP中，CP==7．
∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，
∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，
∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，
∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，
∴∠APQ=∠CQP，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=CP=7．
故选B．
方法或规律点拨
本题考查了菱形的性质．解答本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．
巩固练习
1．（2020·山东东平初三二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，5）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】如图，连接AP．

∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），
∴AB=（1+t）﹣1=t，AC=1﹣（1﹣t）=t，
∴AB=AC．
∵∠BPC=90°，∴AP=BC=AB=t，要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，∴点P在AD上．
∵A（0，1），D（3，5），∴AD==5，∴t的最小值是AP=AD﹣PD=5﹣1=4．
故选B．
2．（2020·河北石家庄初三一模）如图，以点为圆心，为半径作扇形已知:点在上，且垂直平分动点在线段上运动(不与点重合)，设的外心为，则的最小值为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，为直角三角形，
的外心是的中点，
当P，C重合时，最短，
过作于H，过作于，
垂直平分




四边形为矩形，




故选B．

3．（2019·枣庄矿业集团公司第三中学初三）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（　　）

A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4
【答案】A
【解析】解：如图，B′的运动轨迹是以E为圆心，以AE的长为半径的圆．所以，当B′点落在DE上时，B′D取得最小值．

根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，
∴EB′⊥B′F，
∴EB′＝EB，
∵E是AB边的中点，AB＝4，
∴AE＝EB′＝2，
∵AD＝6，
∴DE＝＝2 ，
∴DB′＝2﹣2．
故选A．
4．（2019·天津和平初三月考）如图，在菱形中，，，点是这个菱形内部或边上的一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则，（，两点不重合）两点间的最短距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：在菱形ABCD中，
∵∠ABC=60°，AB=1，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，最小值为1；
②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD最小，最小值为
③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，PD的最小值为
故选D．
5．（2020·广东东莞初三一模）如图，在⊙O中，半径为5，弦AB＝6，点C在AB上移动，连接OC，则OC的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】解：连接OA，过点O作OH⊥AB于H．

∵OH⊥AB，
∴AH＝HB＝3，∠AHO＝90°，
∵OA＝5，
∴OH＝＝＝4，
根据垂线段最短可知OC的最小值＝4，
故选：B．
6．（2020·山东潍坊初三一模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是______ ．

【答案】2 －2
【解析】解：以点E为圆心，AE长为半径作圆，连接CE，当点A'在线段CE上时，A'C的长取得最小值，如图所示：

根据折叠性质可知：A'E=AE=AB=2，
在Rt△BCE中，BE=AB=2，BC=6，∠B=90°，
∴，
∴的最小值为：．
故答案为．
7．（2020·陕西铜川初三一模）如图，已知正方形ABCD中，AB＝6，E是边AD的中点，P是边CD上的动点，Q是半圆BC上的动点，则PE+PQ的最小值是_____．

【答案】6﹣3
【解析】解：取BC的中点O，连接OE，作E点关于CD的对称点E′，连接OE′交CD于P，交半圆于Q，如图，

∵PE＝PE′，
∴PE+PQ＝PE′+PQ＝QE′，
∴此时PE+PQ有最小值，
∵E是边AD的中点，
∴OE⊥AD，OE＝6，
∵DE′＝DE＝3，
∴OE′＝6，
∴QE′＝6﹣3，
即PE+PQ的最小值是6﹣3．
故答案为6﹣3．
8．（2020·辽宁铁西初三月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝10，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△，连接，则的最小值是__________．

【答案】8
【解析】∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝12，BC＝AD＝10，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MD＝5
∵将△AMN沿MN所在直线折叠，
∴AM＝A'M＝5
∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，
∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值，

∵MC＝=13
∴A′C的最小值＝MC−MA'＝13-5=8
故答案为：8．
9．（2020·黑龙江哈尔滨初三一模）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．

【答案】
【解析】解：点M，N分别是AB，BC的中点，
，
当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，
如图，

，，
，
，
故答案为：．
10．（2020·天津和平初三二模）如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上 有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为__________．

【答案】
【解析】解：作A关于y轴的对称点A′，则A′（－4，0），∴OC是△AA′P的中位线，当A′P取最小值时，OC取最小值．连接A′B交⊙B于点P，此时A′P最小．在Rt△OA′B中，OA′=4，OB=3，∴A′B=5，∴A′P=5-2=3，∴OC=，∴OC的最小值．故答案为．

11．（2020·广西玉林初三其他）已知的半径为5，为圆内的一点，，则过点P的弦长的最小值是________．
【答案】8
【解析】过P点作弦AB，使AB⊥OP，则AB为过P点的最短的弦，

连结OA，
∵OP⊥AB，
∴AP=BP，
在Rt△AOP中，OA=5，OP=3，
∴AP=，
∴AB=2AP=8．
故答案为：8．
考点2：圆心角、弦、弧之间的关系
典例：（2020·哈尔滨市第四十九中学校初三期中）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，对角线AC与BD相交于点E，且AE＝DE，连接AD、CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的全等三角形．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】（1）证明：如图，连接OA、OB、OC、OD，
∵AE＝DE，
∴∠ADB＝∠DAC，
∴∠AOB＝∠DOC，
∴AB＝CD；
（2）解：①在△ABD与△DCA中，
．
故△ABD≌△DCA（AAS）；
②在△ABE与△DCE中，
．
故△ABE≌△DCE（AAS）；
③由AB＝DC知，∠ACB＝∠DBC．
在△ABC与△DCB中，
．
故△ABC≌△DCB（AAS）．

方法或规律点拨
本题考查了圆心角，弧，弦的关系，全等三角形的判定. 全等三角形的5中判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须找一组对应边相等；若已知一边一角，则找另一个角，或找这个角的另一组对应邻边.
巩固练习
1．（2020·江苏吴江初三其他）如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图，

∵，是的中点，
∴∠COE=45°，
∵，，
∴CE⊥OB，
∴∠OCE=∠COE=45°，
∴CE=OE=，
∴BE=OB－OE=，
∵OA=OB，，
∴∠ABO=45°，
∴∠BDE=∠ABO=45°，
∴EB=ED=，
∴CD=CE－DE=．
故选：D．
2．（2020·山东潍坊初三其他）如图，在中，，则弦AC与AB的关系是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴弧AB=弧BC，
∴AB=BC，
∵AB+BC>AC，
∴AC<2AB.
故选C.

3．（2020·珠海市斗门区实验中学）如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，过A作AE∥CD交⊙O于E，则∠AOE的度数为(　　)

A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】D
【解析】∵AE∥CD，
∴
∴∠AOC＝∠DOE，
∵∠AOC＝50°，
∴∠DOE＝50°，
∴∠AOE＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
故选D．
4．（2019·蓝田县育才学校）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，且∠AOB与∠COD互补，弦CD＝8，则弦AB的长为（　　）

A．6 B．8 C．5 D．5
【答案】A
【解析】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，

则∠AOB+∠BOE＝180°，
又∵∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴AB＝＝＝6，
故选：A．
5．（2019·普洱市思茅区第四中学初三期中）如图，弧 AB 等于弧CD ，于点，于点，下列结论中错误的是（ ）

A．OE=OF B．AB=CD C．∠AOB=∠COD D．OE＞OF
【答案】D
【解析】解：∵，
∴AB＝CD，∠AOB＝∠COD，
∵，，
∴BE＝AB，DF＝CD，
∴BE＝DF，
又∵OB＝OD，
∴由勾股定理可知OE＝OF，
即A、B、C正确，D错误，
故选：D．
6．（2020·重庆初三期末）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】证明（1）∵AB=CD，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
7．（2019·河南初三其他）如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且BD∥OC，求证：．

【答案】见解析 ．
【解析】证明：∵OB＝OD，
∴∠D＝∠B，
∵BD∥OC，
∴∠D＝∠COD，∠AOC＝∠B，
∴∠AOC＝∠COD，
∴．
考点3：圆的基本概念
典例：（2019·湖北房县�初三期末）有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；
③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
其中，错误的说法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【解析】解：圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．
其中错误说法的是①③两个．
故选B．
方法或规律点拨
本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．
巩固练习
1．（2020·广西河池初三期末）如图，图中的弦共有（　　）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选：B．
2．（2020·广西北海初三月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径 B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径 D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
【答案】B
【解析】过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故A选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故半圆是弧，故B正确；过圆心的弦是直径，故C选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故D错误，所以本题选B.
3．（2019·广东省佛山市三水区三水中学初三一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）

A．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多
C．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定
【答案】C
【解析】设大圆的直径是D，图（2）中三个小圆的直径分别为：d1,d2,d3,
∴d1+d2+d3=D
根据圆周长公式，得图（1）中，需要2D；
图（2）中，需要D +d1+d2+d3=D +( d1+d2+d3)= 2D
故选：C．
4．（2019·吉林吉林初三一模）如图，A（4，0），B（0，3），点C为AB中点，以点B为圆心，BC长为半径作圆弧，交线段OB于点D．则点D的坐标为_____．

【答案】．
【解析】解：∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
由勾股定理得：AB＝，
∵点C为AB中点，
∴BC＝AB＝＝BD，
∴OD＝OB﹣BD＝3﹣＝
∴D；
故答案为：．
5．（2020·射阳县第二初级中学初二期中）下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号．
【答案】①
【解析】解：直径是弦，但弦不是直径，故① 正确；圆心相同但半径不同的两个圆是同心圆，故② 错误；若两个半圆的半径不等，则这两个半圆的弧长不相等，故③错误；经过圆的圆心可以作无数条的直径，故④错误.综上，正确的只有①.
故答案为：①
考点4：垂径定理及其应用
典例：（2020·广州市白云区桃园中学初三期中）如图，在直角△ABC中，∠C=90∘，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
(1)若∠A=25∘，求弧DE的度数；
(2)若BC=2，AC=6，求BD的长．

【答案】(1)40°（2）2105
【解析】解：（1）连接CD，

∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵BC=CD,
∴∠BDC=65°,
∴∠BCD=50°，
∴弧DE的度数是90°-50°=40°；
（2）作CH⊥BD，如图，则BH=DH，

在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=22+62=210，
∵ 12CH•AB=12BC•AC，
∴CH=2×6210=3105，
在Rt△BCH中，BH=22-（3105）2=105，
∴BD=2BH=2105.
方法或规律点拨
本题考查了勾股定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键.
巩固练习
1．（2020·山东岚山初三期末）某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面AB宽为80cm，管道顶端最高点到水面的距离为20cm，则修理人员需准备的新管道的半径为（　　）

A．50cm B．50cm C．100cm D．80cm
【答案】A
【解析】解：如图，

过点O作于点C，边接AO，

，
在中，，
，
解，得AO=50
故选：A
2．（2020·武汉市粮道街中学初三月考）如图，⊙O的弦CD交直径AB于E，OD＝DE，CE：DE＝3：5，若OE＝5，则CD的长为（　　）

A．4 B．4
C．3 D．3
【答案】A
【解析】解：过点O作OE⊥CD于点E，

设CE＝3x，DE＝5x，
∴OD＝DE＝5x，CD＝8x，
∴由垂径定理可知：DE＝4x，
∴EF＝x，
由勾股定理可知：OF＝3x，
在Rt△OEF中，
由勾股定理可知：（3x）2+x2＝52，
∴x＝，
∴CD＝8x＝4，
故选：A．
3．（2020·广西东兰初三期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）

A． B．2 C．6 D．8
【答案】B
【解析】试题解析：由题意连接OC，得

OE=OB-AE=4-1=3，
CE=CD= =，
CD=2CE=2，
故选B．
4．（2020·山东滨州初三学业考试）在中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】解：如图所示：

∵直径AB＝15，
∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴DC＝＝6，
∴DE＝2DC＝12．
故选：C．
5．（2020·内蒙古林西�初三期末）⊙O的半径为15cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=18cm，则AB和CD之间的距离是（ ）
A．21cm B．3cm
C．17cm或7cm D．21cm或3cm
【答案】D
【解析】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，

∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE=BE=AB=12cm，CF=DF=CD=9cm，
在Rt△OAE中，∵OA=15cm，AE=12cm，
∴OE=，
在Rt△OCF中，∵OC=15cm，CF=9cm，
∴OF=，
当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE=12+9=21cm（如图1）；
当圆心O不在AB与CD之间时，EF=OF-OE=12-9=3cm（如图2）；
即AB和CD之间的距离为21cm或3cm．
故选：D．
6．（2019·广东越秀初三月考）如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB=10，若CD⊥AB于点E，则AE的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解析】解：∵AB是圆O的弦，CD⊥AB
∴AE=AB=5．
故答案为B．
7．（2019·河北泊头初三期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ）

A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图：

EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即：（4-x）2+22=x2，
解得：x=2.5，
故选B．
8．（2020·广西兴业初三其他）下列说法错误的是（ ）
A．垂直于弦的直径平分这条弦 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．弦的垂直平分线经过圆心 D．同圆或等园中相等的弧所对的圆周角相等
【答案】B
【解析】A.垂直于弦的直径平分这条弦，正确；
B.平分弦的直径不一定垂直于这条弦，故此选项错误；
C.弦的垂直平分线经过圆心，正确；
D.同圆或等园中相等的弧所对的圆周角相等，正确．
故选：B．
9．（2020·江苏泰兴初三月考）如图，△ABC中，AB=5，AC=4，BC=2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（ ）

A．5 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】解：过A点作AH⊥BD于H点，如下图所示：

设CH=x，
在Rt△ACH中，由勾股定理有：，
在Rt△ABH中，由勾股定理有：，
∴，代入数据，
，解得，
∴BH=，
由垂径定理知：DH=BH=，
∴CD=DH+CH=+=.
故答案为：C.
10．（2020·金昌市金川总校第五中学初三期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．

【答案】4
【解析】解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
11．（2020·江苏建邺初三月考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为_____．

【答案】5
【解析】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE=CD=×6=3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=32+（x﹣1）2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5，
故答案为5．

12．（2020·宁夏中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸．

【答案】26
【解析】解：由题可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，

在中，根据勾股定理可得：

解得：,
木材直径为26寸；
故答案为：26.
考点5：圆周角定理及其推论的应用
典例：（2020·瑞安市新纪元实验学校初三学业考试）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，在的延长线上任取一点，连接交于点，连接、，已知，．

（1）求的半径．
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）连接OD，
设半径为，在Rt△ODG中，根据勾股定理得，
解得
所以的半径为5；

（2）
，CD=2DG=8，
又，
，
，
，
．
方法或规律点拨
本题考查了勾股定理，圆的半径相等，垂径定理，等弧对等弦等知识，通过勾股定理构造方程，理解垂径定理是解题关键．
巩固练习
1．（2020·扬州市梅岭中学初三期中）如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径，，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（　　）度.

A．74 B．106 C．117 D．127
【答案】D
【解析】连接OB，

∵OA=OB，∠BAO=37°，
∴∠AOB=180°-2×37°=106°，
∵，
∴∠AOC=∠BOC=＝127°，
故选D．
2．（2019·湖北丹江口初三学业考试）如图，是的直径，是的弦，点是的中点，弦于点，交于点,已知, 则的半径为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：连接，交AC于H，

是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，


，
设圆的半径为，



故选A．
3．（2020·兰州市外国语学校初三月考）P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（　　）

A．26° B．28° C．30° D．32°
【答案】B
【解析】解：∵、的度数别为88°、32°，
∴，∠ADB，
∵∠P+∠A=∠ADB，
∴∠P=∠ADB-∠A=44°-16°=28°．
故选：B．
4．（2019·吉林初三其他）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是(　　)

A．60° B．35° C．30.5° D．30°
【答案】D
【解析】连接OB，

∵点B是弧的中点，
∴∠AOB＝ ∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝ ∠AOB＝30°，
故选D．
5．（2020·重庆市育才中学初二期末）如图，在Rt△ABC中，ÐACB＝90°，ÐA＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是⊙O上一点，且CE的弧长和CD的弧长相等，连接OE，过点E作EF^OE，交AC的延长线于点F，则ÐCOE的度数为（ ）

A．88° B．72° C．68° D．56°
【答案】C
【解析】解：∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=34°，
又∵∠ABC是所对圆周角，=，且∠COE为的圆心角，同弧所对圆周角度数为圆心角度数的一半，
∴∠COE=2∠ABC=68°，
故选：C．
6．（2020·辽宁鞍山中考真题）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）

A．30° B．25° C．15° D．10°
【答案】A
【解析】解：连接OB和OC，

∵圆O半径为2，BC=2，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
故选A．
7．（2020·山西太原初三月考）如图，四边形内接于，且，．若，，则的长为（ ）

A．5 B． C． D．
【答案】D
【解析】连接BD，

∵，，，
∴BD是的直径，BD=5，
∴∠C=90°，
∵
∴BC=DC
∴
∴BC=CD=；
故选：D
8．（2020·江苏昆山初三二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC、OC，过点B作BDOC，交⊙O于点D，连接AD，若∠BAC=20°，则∠BAD的度数等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【解析】由题意可得AO=CO,∴∠ACO=∠BAC=20°，
∴∠COB=40°，
∵BD∥OC，
∴∠ABD=∠COB =40°，
∵AB是直径，
∴∠D=90°，
∴∠BAD=90°－40°=50°．
故选C．
9．（2019·金昌市金川总校第五中学初三期中）如图，AB是⊙ 的直径，∠ABC=30°，则∠BAC 的度数是（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】解：∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，又∠ABC=30°，
则∠BAC=60°．
故选：C
10．（2020·辽宁朝阳初三二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝30°，BC＝，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C、D之间的距离为（　　）

A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】解：连接OC、OB、OD，

由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝60°，
∵OC=OB
∴△OCB是等边三角形，
∴OC＝OB＝BC＝，
∴OD=OC=
由旋转的性质可知，∠COD＝90°，
∴CD＝＝2，
故选：D．
11．（2020·湖南渌口初三其他）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝( )

A．70° B．110° C．120° D．140°
【答案】D
【解析】解：作所对的圆周角∠ADB，如图，

∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．
故选D．
12．（2020·浙江初三其他）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）

A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B
【解析】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
故选B．