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    专题24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(讲练)九年级上册同步讲练(人教版)
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    数学24.2.2 直线和圆的位置关系优秀课后作业题

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    这是一份数学24.2.2 直线和圆的位置关系优秀课后作业题,文件包含专题242点和圆直线和圆的位置关系讲练-2022-2023九年级上册同步讲练解析版人教版docx、专题242点和圆直线和圆的位置关系讲练-2022-2023九年级上册同步讲练原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共131页, 欢迎下载使用。

    专题24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
    典例体系(本专题共129题97页)

    一、知识点
    1.点与圆的位置关系
    设点到圆心的距离为d.
    (1)dr⇔点在⊙O外.
    2.直线和圆的位置关系
    位置关系
    相离
    相切
    相交
    图形



    公共点个数
    0个
    1个
    2个
    数量关系
    d>r
    d=r
    d<r
    3.切线的判定
    (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).
    (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
    (3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
    4.切线的性质
    (1)切线与圆只有一个公共点.
    (2)切线到圆心的距离等于圆的半径.
    (3)切线垂直于经过切点的半径.
    5.切线长
    (1)定义:从圆外一点作圆的切线,这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
    (2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
    二、考点点拨与训练
    考点1:点与圆的位置关系
    典例:(2020·全国初三课时练习)如图,在中,,点为的中点.

    (1)以点为圆心,4为半径作,则点分别与有怎样的位置关系?
    (2)若以点为圆心作,使三点中至少有一点在内,且至少有一点在外,求的半径的取值范围.
    【答案】(1)在圆上,点在圆外,点在圆内 (2)
    【解析】(1)∵在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=5,AB的中点为点M,


    ∵以点C为圆心,4为半径作⊙C,
    ∴AC=4,则A在圆上,
    ∵,
    则M在圆内,
    BC=5>4,则B在圆外;
    (2)以点为圆心作,使三点中至少有一点在内时,;
    当至少有一点在外时,,
    故的半径的取值范围为:.
    方法或规律点拨
    本题主要考查了点与圆的位置关系,正确根据点到圆心距离d与半径r的关系,d>r,在圆外,d=r,在圆上,d<r,在圆内判断是解题关键.
    巩固练习
    1.(2020·江苏东台·月考)若⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离为4cm,那么点A与⊙O的位置关系是
    A.点A在圆外 B.点A在圆上
    C.点A在圆内 D.不能确定
    【答案】C
    【解析】解:∵⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离为4cm,
    ∴d<r,
    ∴点A与⊙O的位置关系是:点A在圆内,
    故选C.
    2.(2019·温州市南浦实验中学月考)已知⊙O的半径是5 cm,P是⊙O外一点,则OP的长可能是(   )
    A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
    【答案】D
    【解析】解:因为点在圆外,
    所以:
    故选D.
    3.(2020·福州·福建师范大学附属中学初中部月考)已知⊙O的半径是4,点P到圆心O的距离OP=3,则点P与⊙O的位置关系是( )
    A.点P在⊙O外 B.点P在⊙O上
    C.点P在⊙O内 D.不能确定
    【答案】C
    【解析】解:∵OP=3<4,故点P与⊙O的位置关系是点在圆内.
    故选C.
    4.(2021·沭阳县修远中学月考)如图,已知矩形中ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,若以A为圆心、5cm长为半径画⊙A,则点C与⊙A的位置关系为(  )

    A.点C在⊙A上 B.点C在⊙A外 C.点C在⊙A内 D.无法判断
    【答案】A
    【解析】解:连接AC,
    ∵AB=3cm,BC=AD=4cm,
    ∴AC=5cm,
    ∴点C在⊙A上,
    故选A.
    5.(2020·福建福州十八中初三月考)⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=3cm,则点A与⊙O的位置关系为(  )
    A.点A在⊙O上 B.点A在⊙O内 C.点A在⊙O外 D.无法确定
    【答案】B
    【解析】解:根据点到圆心的距离与半径的关系进行判定,由题目可求出点到圆心的距离d=OA=5,d=r,d 6.(2020·全国初三课时练习)已知点在线段上(点与点不重合),过点的圆记为圆,过点的圆记为圆,过点的圆记为圆,则下列说法中正确的是( )
    A.圆可以经过点 B.点可以在圆的内部
    C.点可以在圆的内部 D.点可以在圆内部
    【答案】B
    【解析】解:∵点在线段上(点与点不重合),过点的圆记为圆,∴点可以在圆的内部,故A错误,B正确;∵过点的圆记为圆,∴点可以在圆的外部,故C错误;∵过点的圆记为圆,∴点可以在圆的外部,故D错误.
    故选B.

    7.(2020·全国初三课时练习)已知⊙O的半径OA长为,若OB=,则可以得到的正确图形可能是(  )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】解:∵⊙O的半径OA长为,若OB=,
    ∴OA<OB,
    ∴点B在圆外,
    故选A.
    8-.(2020·江苏东台·月考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A,B,C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是__________.

    【答案】.
    【解析】根据勾股定理可求得BD=5,三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近,点A应该在圆内,所以r>3,三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外,点B与点D的距离最远,点B应该在圆外,所以r<5,所以r的取值范围是.
    9.(2020·扬州平山实验学校月考)已知,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,以点A为圆心,r为半径画圆,矩形的四个顶点恰好有一个在⊙A外,则半径r的范围是________.
    【答案】4≤r<5
    【解析】解:由题意可知,r必须大于或等于AD,且小于AC,
    ∵ 矩形ABCD中,AD=4,AB=3,
    ∴ AC==5,
    ∴ r的范围为:4≤r<5,
    故答案为:4≤r<5.
    10.(2020·全国初三课时练习)的圆心是原点,半径为5,点在上,如果点在第一象限内,那么______.
    【答案】4
    【解析】解:如图

    由题意得:OA=5,OB=3,
    由勾股定理可得:AB=
    即a=4
    11.(2020·江苏兴化·月考)如图,在平面直角坐标系中,A(0,4)、B(4,4)、C(6,2).

    (1)点M的坐标为   ;
    (2)判断点D(4,﹣3)与⊙M的位置关系.
    【答案】(1)(2,0);(2)点D在⊙M内.
    【解析】(1)圆心M的坐标为(2,0).故答案为(2,0);
    (2)圆的半径
    线段MD=
    所以点D在⊙M内.

    考点2:三角形的外接圆的有关问题
    典例:(2020·河北桥西·初三其他)如图,∠BCD=90°,BC=DC,直线PQ经过点D.设∠PDC=α(45°<α<135°),BA⊥PQ于点A,将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°,与直线PQ交于点E.
    (1)判断:∠ABC   ∠PDC(填“>”或“=”或“<”);
    (2)猜想△ACE的形状,并说明理由;
    (3)若△ABC的外心在其内部(不含边界),直接写出α的取值范围.

    【答案】(1)=;(2)△ACE是等腰直角三角形,理由见解析;(3)45°<α<90°
    【解析】解:(1)在四边形BADC中,∠B+∠ADC=360°﹣∠BAD﹣∠DCB=180°,
    而∠ADC+∠EDC=180°,
    ∴∠ABC=∠PDC.
    故答案是:=;
    (2)△ACE是等腰直角三角形,理由如下:
    ∵∠ECD+∠DCA=90°,∠DCA+∠ACB=90°,
    ∴∠ACB=∠ECD.
    由(1)知:∠ABC=∠PDC,
    又∵BC=DC,
    ∴△ABC≌△EDC(AAS),
    ∴AC=CE.
    又∵∠ACE=90°,
    ∴△ACE是等腰直角三角形;
    (3)当∠ABC=α=90°时,△ABC的外心在其直角边上,
    ∠ABC=α>90°时,△ABC的外心在其外部,
    而45°<α<135°,
    故:45°<α<90°.
    方法或规律点拨
    本题考查的是圆的综合运用,涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识,难度不大.
    巩固练习
    1.(2020·扬州平山实验学校月考)如图,中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,EF是AC的垂直平分线,交AD于点O.若OA =3,则外接圆的面积为( )

    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】,AD是的平分线
    ,且AD是BC边上的中线(等腰三角形的三线合一)
    是BC的垂直平分线
    是AC的垂直平分线
    点O为外接圆的圆心,OA为外接圆的半径

    外接圆的面积为
    故选:D.
    2.(2020·全国初三课时练习)如图,AC,BE是⊙O的直径,弦AD与BE交于点F,下列三角形中,外心不是点O的是( )

    A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE
    【答案】B
    【解析】A.OA=OB=OE,所以点O为△ABE的外接圆圆心;
    B.OA=OC≠OF,所以点不是△ACF的外接圆圆心;
    C.OA=OB=OD,所以点O为△ABD的外接圆圆心;
    D.OA=OD=OE,所以点O为△ADE的外接圆圆心;
    故选B
    3.(2020·全国初三课时练习)如图,在4×4的网格图中,A、B、C是三个格点,其中每个小正方形的边长为1,△ABC的外心可能是(  )

    A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点
    【答案】D
    【解析】解:由图可知,△ABC是锐角三角形,
    ∴△ABC的外心只能在其内部,
    由此排除A选项和B选项,
    由勾股定理得,BP=CP=≠PA,
    ∴排除C选项,
    故选D.
    4.(2020·福建仙游·初三二模)过三点(2,2),(6,2),(4,5)的圆的圆心坐标为( )
    A.(4,) B.(4,3) C.(5,) D.(5,3)
    【答案】A
    【解析】设圆的半径为r,则根据勾股定理可知:
    ,解得r=,
    因此圆心的纵坐标为,
    因此圆心的坐标为(4,).
    故选A
    5.(2020·湖北枣阳·初二期末)如图,地面上有三个洞口A、B、C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A、B、C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠,应该蹲守在( )

    A.△ABC三边垂直平分线的交点
    B.△ABC三条角平分线的交点
    C.△ABC三条高所在直线的交点
    D.△ABC三条中线的交点
    【答案】A
    【解析】解:∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等,
    ∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处.
    故选A.
    6.(2020·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学初三三模)小明在学了尺规作图后,通过“三弧法”作了一个△ACD,其作法步骤是:①作线段AB,分别以A,B为圆心,AB长为半径画弧,两弧的交点为C;②以B为圆心,AB长为半径画弧交AB的延长线于点D;③连结AC,BC,CD.下列说法不正确的是(  )

    A.∠A=60° B.△ACD是直角三角形
    C.BC=CD D.点B是△ACD的外心
    【答案】C
    【解析】解:由作图可知:AB=BC=AC,
    ∴△ABC是等边三角形,
    ∴∠A=60°,(故A正确)
    ∵BA=BC=BD,
    ∴△ACD是直角三角形,(故B正确),点B是△ACD的外心.(故D正确);
    ∴tanA==,
    ∴AC=,
    ∴BC=,(故C错误)
    故选C.
    7.(2020·江苏连云港·中考真题)10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内,、、、、、均是正六边形的顶点.则点是下列哪个三角形的外心( ).

    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】答:因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,所以由正六边形性质可知,点O到A,B,C,D,E的距离中,只有OA=OC=OD.
    故选:D.
    8.(2020·河北初三二模)如图,已知点是的外心,点、分别是、的中点,连接、分别交于点、,若,,,则的面积为( )

    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】如图,连接AF,AD,AE,BE,CE,

    ∵点E是的外心,
    ∴,
    ∴,是等腰三角形,
    ∵点、分别是、的中点,
    ∴,,
    ∴PE垂直平分AB,QE垂直平分AC,
    ∴,,
    在中,∵,
    ∴是直角三角形,,
    ∴,
    故选:B.
    9.(2020·广东天河·初三月考)如图,是的外接圆,则点是的( ).

    A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点
    C.三条中线的交点 D.三条高的交点
    【答案】A
    【解析】解:∵是的外接圆,∴点O是的三条边的垂直平分线的交点.
    10.(2020·上饶市广信区第七中学初三月考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,为,点A的坐标是,,把绕点A按顺时针方向旋转后,得到,则的外接圆圆心坐标是( )

    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】解:如图,取AB'中点P,过点P分别作PE⊥x轴,垂足为点E,连接PO',

    ∵把绕点A按顺时针方向旋转后,得到,
    ∴AB=AB',∠BAB'=90°,∠B'O'A=∠BOA=90°,
    ∵点P为AB'的中点,
    ∴PA=PB'=PO'=AB',
    ∴的外接圆圆心为点P,
    ∵∠BAO=60°,∠AOB=90°,
    ∴∠ABO=90°-∠BAO=30°,
    ∴OA=AB,
    ∵点A的坐标为(1,0),
    ∴OA=1,
    ∴AB'=AB=2OA=2,
    ∴PA=AB'=1,
    ∵∠BAB'=90°,∠BAO=60°,
    ∴∠PAE=180°-∠BAB'-∠BAO=30°,
    ∴PE=PA=,
    ∴在Rt△PEA中,,
    ∴点P的坐标为.
    11.(2020·宁夏银川·初三月考)已知是的三边长,外接圆的圆心在的一条边上的是(  )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】解:∵外接圆的圆心在△ABC一条边上,
    ∴△ABC是直角三角形,
    A、,故A选项错误;
    B、,故B选项错误;
    C、,故C选项正确;
    D、,故D选项错误;
    故选C.
    12.(2020·宁夏银川·初三月考)三角形的外心具有的性质是( )
    A.到三边的距离相等 B.是三条角平分线的交点
    C.到三个顶点的距离相等 D.外心在三角形内
    【答案】C
    【解析】解:∵三角形的外心是任意两边垂直平分线的交点,线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,
    ∴到三个顶点距离相等,
    故选:C.
    13.(2020·江苏东台·月考)直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是_______.
    【答案】8或10.
    【解析】由勾股定理可知:
    ①当直角三角形的斜边长为16时,这个三角形的外接圆半径为8;
    ②当两条直角边长分别为16和12,则直角三角形的斜边长==20,因此这个三角形的外接圆半径为10.
    综上所述:这个三角形的外接圆半径等于8或10.
    故答案为10或8.
    14.(2020·浙江温州·月考)如图,网格的小正方形的边长均为1,小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都在格点上,那么△ABC的外接圆半径是_____.

    【答案】
    【解析】如图,

    根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点.结合图形发现其外心的位置,再根据勾股定理得外接圆的半径==.
    故答案为.
    15.(2020·江苏省泰兴市黄桥初级中学月考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为,点的坐标为,点的坐标为.经画图操作可知的外心坐标可能是(  )

    【答案】(−2,−1)
    【解析】解:∵△ABC的外心是三角形三边垂直平分线的交点,
    ∴如图,AB和BC的垂直平分线的交点O′即为所求的△ABC的外心,
    ∴△ABC的外心坐标是(−2,−1),
    故答案为:(−2,−1).

    16.(2020·江苏兴化·月考)中,两条直角边的长分别是6cm和8cm,则的外接圆的半径是_____cm.
    【答案】5
    【解析】由勾股定理得:的斜边长为,
    直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点,
    的外接圆的半径为,
    故答案为:5.
    17.(2020·扬州平山实验学校月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C的坐标分别是(0,4),(4,0),(8,0),⊙M是△ABC的外接圆,则点M的坐标为___________.

    【答案】(6,6)
    【解析】解:如图∵圆M是△ABC的外接圆
    ∴点M在AB、BC的垂直平分线上,
    ∴BN=CN,
    ∵点A,B,C的坐标分别是(0,4),(4,0),(8,0)
    ∴OA=OB=4,OC=8,
    ∴BC=4,
    ∴BN=2,
    ∴ON=OB+BN=6,
    ∵∠AOB=90°,
    ∴△AOB是等腰直角三角形,
    ∵OM⊥AB,
    ∴∠MON=45°,
    ∴△OMN是等腰直角三角形,
    ∴MN=ON=6,点M的坐标为(6,6).
    故答案为(6,6).

    18.(2019·吉林长春·东北师大附中其他)若三角形的三条边长分别为5,12,13,则这个三角形外接圆的半径为_____.
    【答案】6.5.
    【解析】解:∵三角形的三条边长分别为5,12,13,,
    ∴此三角形是以13为斜边的直角三角形,
    ∴这个三角形外接圆的半径为13÷2=6.5.
    故答案为6.5.
    19.(2019·银川市第三中学一模)如图,将放在每个小正方形的边长为1的网格中,点、、均落在格点上,用一个圆面去覆盖,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________.

    【答案】
    【解析】如图所示:点O为△ABC外接圆圆心,则AO为外接圆半径,
    故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是:.
    故答案为:.

    20.(2020·江苏鼓楼·初三一模)如图,内接于⊙O,∠BAC=45°,AD⊥BC,垂足为D,BD=6,DC=4.
    (1)求⊙O的半径;
    (2)求AD的长.

    【答案】(1)5;(2)12
    【解析】解:(1)如图1,连接OB、OC,

    ∵BD=6,DC=4,
    ∴BC=10,
    由圆周角定理得,∠BOC=2∠BAC=90°,
    ∴OB=BC=5;
    (2)如图2,连接OA,过点O作OE⊥AD于E,OF⊥BC于F,

    ∴BF=FC=5,
    ∴DF=1,
    ∵∠BOC=90°,BF=FC,
    ∴OF=BC=5,
    ∵AD⊥BC,OE⊥AD,OF⊥BC,
    ∴四边形OFDE为矩形,
    ∴OE=DF=1,DE=OF=5,
    在Rt△AOE中,AE==7,
    ∴AD=AE+DE=12.
    21.(2020·河北路北·初三一模)如图,在中,,点从点出发沿向点运动,点从点出发沿向点运动,点和点同时出发,速度相同,到达点或点后运动停止.

    (1)求证:;
    (2)若,求的度数;
    (3)若的外心在其内部时,直接写出的取值范围.
    【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
    【解析】解:(1)∵点、点分别从点、点同时出发,在线段上作等速运动,
    ∴,
    ∴,即,
    ∵,
    ∴,

    (2)解:∵,,

    ∵,
    ∴,
    ∴,

    (3)若△ABD的外心在其内部时,则△ABD是锐角三角形.
    ∴∠BAD=140°-∠BDA<90°.
    ∴∠BDA>50°,
    又∵∠BDA<90°,
    ∴50°<∠BDA<90°.
    22.(2020·广东顺德·江义初中初三一模)在△ABC中,AB=AC

    (1)求作一点P,使点P为△ABC的外接圆圆心.(保留作图痕迹,不写作法)
    (2)若∠A=50°,求∠PBC的度数.
    【答案】(1)见解析;(2)∠PBC的度数为40°
    【解析】解:(1)如图,点P即为△ABC的外接圆圆心;

    (2)∵AB=AC,∠BAC=50°,
    ∴AD⊥BC,∠BAD=∠BAC=25°,
    ∵PA=PB,
    ∴∠BPD=2∠BAP=50°,
    ∵∠BDP=90°,
    ∴∠PBD=90°﹣50°=40°.
    即∠PBC=40°
    答:∠PBC的度数为40°.
    23.(2020·江苏海陵·泰州中学附属初中月考)已知:在△ABC中,AB=AC.点A在以BC为直径的⊙O外.
    (1)请仅用无刻度的直尺画出点O的位置(保留画图痕迹);
    (2)若的外接圆的圆心M,OM=4,BC=6,求△ABC的面积.

    【答案】(1)答案见解析;(2)27
    【解析】解:(1)如图,点O即为所求.

    (2)∵点M是△ABC的外心,∴AM=MC,
    由题意,在Rt△OMC中,∵∠MOC=90°,OM=4,OC=3,
    ∴CM=,
    ∴OA=AM+OM=5+4=9,
    ∴S△ABC=•BC•AO=×9×6=27.
    考点3:确定圆的条件
    典例:(2019·江苏鼓楼·初三期中)如图,⊙O的半径为2,O到顶点A的距离为5,点B在⊙O上,点P是线段AB的中点,若B在⊙O上运动一周.

    (1)求证:点P的运动路径是一个圆;
    (2)△ABC始终是一个等边三角形,直接写出PC长的取值范围.
    【答案】(1)见解析;(2)≤PC≤
    【解析】(1)解:连接OA、OB,取OA的中点H,连接HP,如图1所示:

    则HP是△ABO的中位线,
    ∴HP=OB=1,
    ∴P点到H点的距离固定为1,
    ∴B在⊙O上运动一周,点P运动的路径是以点H为圆心,半径为1的一个圆;
    (2)解:连接AO并延长AO交⊙O于点M、N,如图2所示:

    ∵△ABC是等边三角形,点P是线段AB的中点,
    ∴PC⊥AB,PA=PB=AB=BC,
    ∴PC=PA=AB,
    当点B运动到点M位置时,点P运动到点P'位置,PC最短,
    ∵AM=OA﹣OM=5﹣2=3,
    ∴AP'=AM=,
    ∴PC=;
    当点B运动到点N位置时,点P运动到点P''位置,PC最长,
    ∵AN=OA+ON=5+2=7,
    ∴AP''=AN=,
    ∴PC=;
    ∴PC长的取值范围是≤PC≤.
    方法或规律点拨
    本题考查确定圆的条件、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识;熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键.
    巩固练习
    1.(2020·山东广饶·初三其他)下列四个命题:
    ①等边三角形是中心对称图形;②在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆周角相等;
    ③三角形有且只有一个外接圆;④平分弦的直径垂直于弦;⑤过三点有且只有一个圆.
    其中真命题的个数有( )
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    【答案】A
    【解析】①等边三角形是中心对称图形不是中心对称图形,故错误;
    ②在圆中一条弦所对的圆周角有两个,则在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆周角不一定相等,故错误;
    ③三角形有且只有一个外接圆,故正确;
    ④平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故错误;
    ⑤过不在同一直线上的三点有且只有一个圆,故错误;
    故是真命题的是③,
    故选:A.
    2.(2020·江苏苏州·初三月考)小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(  )

    A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块
    【答案】B
    【解析】由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块,故选B.
    3.(2019·浙江鄞州·初三期中)下列命题中是真命题的是( )
    A.三点确定一个圆 B.三角形的外心到三边的距离相等
    C.等弧所对的圆周角相等 D.平分弦的直径垂直于弦
    【答案】C
    【解析】解:选项A中,不在同一直线的三点确定一个圆,故选项A错误;
    选项B中,三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,故选项B错误;
    选项C中,等弧所对的圆周角相等,故选项C正确;
    选项D中,平分弦(弦不是直径)的直径垂直于弦,故选项D错误;
    故选C.
    4.(2019·湖州市第五中学一模)平面上有四个点,过其中任意3个点一共能确定圆的个数为(  )
    A.0或3或4 B.0或1或3 C.0或1或3或4 D.0或1或4
    【答案】C
    【解析】如图,当四点在同一条直线上时,不能确定圆,当四点共圆时,只能作一个圆,当三点在同一直线上时,可以作三个圆,当四点不共圆时,且没有三点共线时,能确定四个圆.

    故选:C.
    5.(2019·石家庄市第十七中学初三期中)在同一平面内,过已知A,B,C三个点可以作的圆的个数为(    )
    A.0 B.1 C.2 D.0或1
    【答案】D
    【解析】解答:解:当A、B、C三个点共线,过A、B、C三个点不能作圆;
    当A、B、C不在同一条直线上,过A、B、C三个点的圆有且只有一个,即三角形的外接圆;
    故选D.
    6.(2019·江苏鼓楼·初三期中)如图①,若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边,则A、B、C、D在以BC为直径的圆上,则叫它们“四点共圆”.如图②,△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H,则图②中“四点共圆”的组数为(  )

    A.2 B.3 C.4 D.6
    【答案】D
    【解析】如图,

    以AH为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(A、F、H、E),
    以BH为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(B、F、H、D),
    以CH为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(C、D、H、E),
    以AB为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(A、E、D、B),
    以BC为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(B、F、E、C),
    以AC为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(A、F、D、C),
    共6组.
    故选:D.
    7.(2019·南通市启秀中学初三月考)有下列命题中:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;④长度相等的弧是等弧;⑤平分弦的直径垂直于这条弦;⑥弦的垂直平分线经过圆心;⑦相等的圆周角所对的弧相等.其中正确的有( )
    A.1个 B.3个 C.5个 D.7个
    【答案】B
    【解析】①直径是弦,是真命题;
    ②不在同一直线上的三个点一定可以作圆,原命题是假命题;
    ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,是真命题;
    ④在同圆或等圆中,长度相等的弧是等弧,原命题是假命题;
    ⑤平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,原命题是假命题;
    ⑥弦的垂直平分线经过圆心,是真命题;
    ⑦在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等,原命题是假命题;
    故选B.
    8.(2020·全国初三单元测试)平面直角坐标系中,点A(2,9)、B(2,3)、C(3,2)、D(9,2)在⊙P上.
    (1)在图中清晰标出点P的位置;
    (2)点P的坐标是_________.

    【答案】(1)见解析;(2)(6,6).
    【解析】解:弦AB的垂直平分线是y=6,弦CD的垂直平分线是x=6,
    因而交点P的坐标是(6,6).

    考点4:直线与圆的位置关系
    典例:(2020·广州市白云区桃园中学初三期中)如图,在直角△ABC中,∠C=90∘,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E.
    (1)若∠A=25∘,求弧DE的度数;
    (2)若BC=2,AC=6,求BD的长.

    【答案】(1)40°(2)2105
    【解析】解:(1)连接CD,

    ∵在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,
    ∴∠B=65°,
    ∵BC=CD,
    ∴∠BDC=65°,
    ∴∠BCD=50°,
    ∴弧DE的度数是90°-50°=40°;
    (2)作CH⊥BD,如图,则BH=DH,

    在Rt△ACB中,AB=AC2+BC2=22+62=210,
    ∵ 12CH•AB=12BC•AC,
    ∴CH=2×6210=3105,
    在Rt△BCH中,BH=22-(3105)2=105,
    ∴BD=2BH=2105.
    方法或规律点拨
    本题考查了勾股定理,圆心角、弧、弦之间的关系的应用,能综合运用知识点进行计算是解此题的关键.
    巩固练习
    1.(2020·河北丰南·二模)已知的半径为5,直线与有公共点,则圆心到直线的距离不可能为( )
    A.5 B.5.5 C.4.5 D.1
    【答案】B
    【解析】∵直线与有公共点
    ∴直线与应是相交或相切的位置关系
    ∴圆心距小于等于半径
    ∵5.5>5
    ∴B选项错误
    故选B.
    2.(2020·江苏崇川·南通田家炳中学初三月考)圆的最大的弦长为12cm,如果直线与圆相离,且直线与圆心的距离为d,那么(  )
    A.d<6cm B.6cm<d<12cm C.d>6cm D.d>12cm
    【答案】C
    【解析】解:由题意得,圆的直径为12,那么圆的半径为6.
    则当直线与圆相离时,直线与圆心的距离d>6 cm.
    故选:C.
    3.(2020·全国初三课时练习)已知某直线到圆心的距离为,圆的周长为,请问这条直线与这个圆的公共点的个数为( )
    A.0 B.1 C.2 D.无法确定
    【答案】B
    【解析】解:∵圆的周长为10πcm,
    ∴圆的半径为5cm,
    ∵圆心到直线l的距离为5cm,
    ∴d=r,
    ∴直线与圆相切,
    ∴直线l和这个圆的公共点的个数为1个.
    故选:B.
    4.(2020·全国初三课时练习)已知的半径为为直线上的一点,若,则直线与的位置关系是( )
    A.一定相交 B.一定相切 C.一定相离 D.可能相交,也可能相切或相离
    【答案】D
    【解析】因为垂线段最短,圆心到直线的距离为垂线段的长度,所以此时垂线段的长度和半径的大小关系不确定,则直线和圆相交、相切、相离都有可能.
    故选D.
    5.(2020·全国初三课时练习)已知的半径等于,圆心到直线的距离为,则直线与的公共点的个数为( )
    A.0 B.1 C.2 D.无法确定
    【答案】A
    【解析】∵⊙O的半径等于8cm,圆心O到直线的距离为9cm,
    即圆心O到直线的距离大于圆的半径,
    ∴直线和⊙O相离,
    ∴直线与⊙O没有公共点.
    故选:A.
    6.(2020·全国初三课时练习)在中,,以点为圆心,为半径作圆.若与边只有一个公共点,则的取值范围是( )
    A. B. C.或 D.或
    【答案】D
    【解析】如图,过点作于点.
    ,.
    ①如果以点为圆心,为半径的圆与斜边相切,则.此时.
    ②当时,圆与边也只有一个公共点.
    综上,或.
    故选D.

    7.(2020·武汉市黄陂区第六中学初三其他)已知⊙O的半径为4,点O到直线m的距离为3,则直线m与⊙O的位置关系是(  )
    A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定
    【答案】B
    【解析】解:∵m=3<半径=4,
    ∴直线与圆相交,
    故选:B.
    8.(2020·四川峨眉山·初三二模)如图,已知⊙是以数轴原点为圆心,半径为1的圆,,点在数轴上运动,若过点且与平行的直线与⊙有公共点,设,则的取值范围是( )

    A.≤≤ B.≤≤
    C.≤≤ D.>
    【答案】B
    【解析】设切点为C,连接OC,则

    圆的半径OC=1,OC⊥PC,
    ∵∠AOB=45°,OA∥PC,
    ∴∠OPC=45°,
    ∴PC=OC=1,
    ∴OP=,
    同理,原点左侧的距离也是,且线段是正数
    所以x的取值范围是0<x≤
    故选:B.
    9.(2020·江苏海陵·初三期末)的半径为5,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与的位置关系是  
    A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
    【答案】A
    【解析】∵⊙O的半径为5,圆心O到直线的距离为3,∴直线l与⊙O的位置关系是相交.
    故选A.
    10.(2020·首都师范大学附属中学三模)程老师制作了如图1所示的学具,用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题.操作学具时,点在轨道槽上运动,点既能在以为圆心、以为半径的半圆轨道槽上运动,也能在轨道槽上运动.图2是操作学具时,所对应某个位置的图形的示意图.

    有以下结论:
    ①当时,可得到形状唯一确定的;
    ②当时,可得到形状唯一确定的;
    ③当时,可得到形状唯一确定的;
    ④当时,可得到形状唯一确定的;
    其中所有正确结论的序号是( )

    A.①②④ B.②③ C.②③④ D.③④
    【答案】C
    【解析】解:①当∠PAQ=30°,PQ=6时,以P为圆心,6为半径画弧,与射线AM有两个交点,则△PAQ的形状不能唯一确定,故①错误;
    ②当∠PAQ=30°,PQ=9时,以P为圆心,9为半径画弧,与射线AM有一个交点,Q点位置唯一确定,则可得到形状唯一确定的△PAQ,故②正确;
    ③当∠PAQ=90°,PQ=10时,以P为圆心,10为半径画弧,与射线AM有一个交点,Q点位置唯一确定,则可得到形状唯一确定的△PAQ,故③正确;
    ④当∠PAQ=150°,PQ=12时,以P为圆心,12为半径画弧,与射线AM有一个交点,Q点位置唯一确定,则可得到形状唯一确定的△PAQ,故④正确;
    故选:C.
    11.(2020·全国初三课时练习)已知⊙O的半径OA=5cm,延长OA到B,AB=2cm,以OB为一边作∠OBC=45°,那么BC所在直线与⊙O的位置关系是_____.
    【答案】相交
    【解析】过O作OC⊥BC,

    在Rt△OBC中,
    ∠B=45°,OB=5+2=7,
    ∴OC=<5,
    ∴BC所在直线与⊙O的位置关系是相交,
    故答案为相交.
    12.(2020·上海静安·初三二模)已知矩形ABCD,对角线AC与BD相交于点O,AB=6,BC=8,分别以点O、D为圆心画圆,如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离,且⊙D与⊙O内切,那么⊙D的半径长r的取值范围是______.
    【答案】8<r<9
    【解析】解:设⊙O的半径为r1,⊙D半径为r,
    由⊙O与直线AD相交、与直线CD相离可知:3<r1<4,
    由题意可知:r>r1,否则⊙D与⊙O不能内切,
    ∵OD=AC=5,
    ∴圆心距d=5,
    ∴d=r﹣r1,
    ∴r=5+r1,
    ∴8<r<9,
    故答案为:8<r<9.

    13.(2020·内蒙古包头·初三二模)问题:如图1,在中,,点是射线上任意一点,是等边三角形,且点在的内部,连接.探究线段与之间的数量关系.

    请你完成下列探究过程:
    先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.
    当点与点重合时(如图2),请你补全图形.由的度数为_______________,点落在_______________,容易得出与之间的数量关系为_______________

    当是的平分线时,判断与之间的数量关系并证明
    当点在如图3的位置时,请你画出图形,研究三点是否在以为圆心的同一个圆上,写出你的猜想并加以证明.

    【答案】(1)60°;AB的中点处;BE=DE;(2)BE=DE,理由见解析;(3)A、B、D在以E为圆心的同一个圆上,画图和理由见解析
    【解析】解:(1)如图,
    ∵∠C=90°,∠ABC=30°,
    ∴∠BAC=60°,
    ∵△ADE是等边三角形,
    ∴AE=CE,
    ∴点E落在AB的中点处;
    ∴AE=CE=BE=DE,
    故答案为:60°;AB的中点处;BE=DE;

    (2)BE=DE,
    ∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,
    ∴∠BAD=30°=∠ABC=∠CAD,
    ∴AD=BD,
    ∵△ADE是等边三角形,
    ∴DE=AD,
    ∴DE=DB,
    ∵∠C=90°,
    ∴∠ADC=∠ADE=60°,
    ∴∠BDE=60°,
    ∴△BDE为等边三角形,
    ∴BE=DE;

    (3)如图为所画图形,
    猜想:A、B、D在以E为圆心的同一个圆上,
    理由是:设AB中点为F,连接CF,EF,
    ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,
    ∴∠1=60°,CF=AF=AB,
    ∴△ACF是等边三角形.
    ∴AC=AF,
    ∵△ADE是等边三角形,
    ∴∠2=60°,AD=AE,
    ∴∠1=∠2,
    ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD,
    即∠CAD=∠FAE,
    在△ACD和△AFE中,

    ∴△ACD≌△AFE(SAS),
    ∴∠ACD=∠AFE=90°,
    ∵F是AB的中点,
    ∴EF是AB的垂直平分线,
    ∴BE=AE,
    ∵△ADE是等边三角形,
    ∴DE=AE,
    ∴BE=DE,
    ∴点E在BD的垂直平分线上,
    ∴A、B、D在以点E为圆心的同一个圆上.

    考点5:切线的性质
    典例: (2019·江苏金坛·期中)已知AB是⊙O的直径,AT是⊙O的切线,∠ABT=40°,BT交⊙O于点C,E是AB上一点,延长CE交⊙O于点D.

    (1)如图1,求∠T和∠CDB的度数;
    (2)如图2,当BE=BC时,求∠CDO的度数.
    【答案】(1)∠T=50°,∠CDB=50°;(2)∠CDO=30°.
    【解析】(1)如图①,连接AC,

    ∵AT是⊙O切线,AB是⊙O的直径,
    ∴AT⊥AB,即∠TAB=90°,
    ∵∠ABT=40°,
    ∴∠T=90°﹣∠ABT=50°,
    由AB是⊙O的直径,得∠ACB=90°,
    ∴∠CAB=90°﹣∠ABC=50°,
    ∴∠CDB=∠CAB=50°;
    (2)如图②,连接AD,

    在△BCE中,BE=BC,∠EBC=40°,
    ∴∠BCE=∠BEC=70°,
    ∴∠BAD=∠BCD=70°,
    ∵OA=OD,
    ∴∠ODA=∠OAD=70°,
    ∵∠ADC=∠ABC=40°,
    ∴∠CDO=∠ODA﹣∠ADC=70°﹣40°=30°.
    方法或规律点拨
    本题主要考查切线定理及圆的基本性质,关键是根据切线定理得到角的等量关系,然后利用等腰三角形的性质及圆周角的性质即可求解.
    巩固练习
    1.(2020·湖南湘西·中考真题)如图,、为⊙O的切线,切点分别为A、B,交于点C,的延长线交⊙O于点D.下列结论不一定成立的是( )

    A.为等腰三角形 B.与相互垂直平分
    C.点A、B都在以为直径的圆上 D.为的边上的中线
    【答案】B
    【解析】解:连接OB,OC,令M为OP中点,连接MA,MB,

    ∵B,C为切点,
    ∴∠OBP=∠OAP=90°,
    ∵OA=OB,OP=OP,
    ∴Rt△OPB≌Rt△OPA,
    ∴BP=AP,∠OPB=∠OPA,∠BOC=∠AOC,
    ∴为等腰三角形,故A正确;
    ∵△OBP与△OAP为直角三角形,OP为斜边,
    ∴PM=OM=BM=AM
    ∴点A、B都在以为直径的圆上,故C正确;
    ∵∠BOC=∠AOC,OB=OA,OC=OC,
    ∴△OBC≌△OAC,
    ∴∠OCB=∠OCA=90°,
    ∴PC⊥AB,
    ∵△BPA为等腰三角形,
    ∴为的边上的中线,故D正确;
    无法证明与相互垂直平分,
    故选:B.
    2.(2020·浙江江北·初三学业考试)如图,中,,,,半径为的与,相切,当沿边平移至与相切时,则平移的距离为( )

    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】当与AB,BC相切时,如图,连结OA,OB,OC,

    设此时点O到AC的距离为h,
    ∵AC=6,BC=8,∠ACB=90°,
    ∴AB==10,
    ∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB,
    ∴AC·BC=S△AOC+(AB+BC)×1,
    ∴×6×8=S△AOC+×(8+10)×1,
    ∴S△AOC=24-9=15=AC·h=×6×h,
    ∴h=5,
    ∴的平移距离为5-1=4,
    故选:B.
    3.(2020·黑龙江哈尔滨·月考)如图,AB为⊙O的切线,A为切点,BO交⊙O于点C,点D在⊙O上,若∠ABO的度数是32°,则∠ADC的度数是( )

    A.15° B.16° C.29° D.58°
    【答案】C
    【解析】解:∵AB为⊙O的切线,
    ∴∠OAB=90°,
    ∴∠AOB=90°-∠ABO=90°-32°=58°,

    ∴∠ADC=∠AOB=29°.
    故选:C
    4.(2019·江苏金坛·期中)如图,直线AB是⊙O的切线,点C为切点,OD∥AB交⊙O于点D,点E在⊙O上,连接OC,EC,ED,则∠CED的度数为( )

    A.30° B.35° C.40° D.45°
    【答案】D
    【解析】解:∵直线AB是⊙O的切线,C为切点,
    ∴∠OCB=90°,
    ∵OD∥AB,
    ∴∠COD=90°,
    ∴∠CED=∠COD=45°,
    故选D.
    5.(2020·福州·福建师范大学附属中学初中部月考)如图,在⊙O中,AB为弦,OD⊥AB于D,∠BOD=53°,过A作⊙O的切线交OD延长线于C,则∠C=( )

    A.27° B.30° C.37° D.53°
    【答案】C
    【解析】解:如图,连接OA,
    ∵OD⊥AB于D,OA=OB,
    ∴∠AOC=∠BOD=53°,
    ∵AC是⊙O的切线,
    ∴∠OAC=90°,
    ∴∠C=90°﹣53°=37°,
    故选:C.

    6.(2020·无锡市大桥实验学校月考)如图,在平面直角坐标系中,点在第一象限,⊙P与x轴、y轴都相切,且经过矩形的顶点C,与BC相交于点D,若⊙P的半径为5,点的坐标是,则点D的坐标是( )

    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】设切点分别为G,E,连接PG,PE,PC,PD,并延长EP交BC与F,则PG=PE=PC=5,四边形OBFE是矩形.
    ∵OA=8,
    ∴CF=8-5=3,
    ∴PF=4,
    ∴OB=EF=5+4=9.
    ∵PF过圆心,
    ∴DF=CF=3,
    ∴BD=8-3-3=2,
    ∴D(9,2).
    故选A.

    7.(2021·沭阳县修远中学月考)如图所示,AE切⊙D于点E,AC=CD=DB=10,则线段AE的长为( )

    A.10 B.15 C.10 D.20
    【答案】C
    【解析】∵AE切⊙D于点E,
    ∴∠AED=90°,
    ∵AC=CD=DB=10,
    ∴AD=20,DE=10,
    ∴AE=.
    故选C.
    8.(2019·广东郁南·月考)如图,过⊙O上一点C作⊙O的切线,交⊙O直径AB的延长线于点D.若∠D=40°,则∠A的度数为(  )

    A.20° B.25° C.30° D.40°
    【答案】B
    【解析】解:连接OC,
    ∵DC是⊙O的切线,C为切点,
    ∴∠OCD=90°,
    ∵∠D=40°,
    ∴∠DOC=50°,
    ∵AO=CO,
    ∴∠A=∠ACO,
    ∴∠A=∠DOC=25°.

    故选:B.
    9.(2020·浙江松阳·初三其他)如图,圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切,点E在圆O上,连结DE.若圆O的半径为5,且AB=11.当∠ADE最大时,DE的长度为( )

    A.5 B. C. D.6
    【答案】D
    【解析】

    连接OE、OF、OD、OM,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴AD=AB=11,∠A=90°,
    ∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切,
    ∴∠OMA=∠OFA=90°=∠A,
    ∵OM=OF,
    ∴四边形AFOM是正方形,
    ∴AM=OM=5,
    当点E在圆O最外端时,即:DE与圆O相切时,∠ADE最大,
    ∵OE =OF,OD=OD,
    ∴Rt△OFD≌Rt△OED,
    ∴DE=DF=AD –AF=11-5=6,
    故选:D.
    10.(2020·四川南充·初三月考)点是的直径延长线上一点,切于,交于点,若,则的度数是( )

    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】连接,

    ∵OA=OD,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵切于,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    故选:A.
    11.(2020·福建省福州第十九中学初三其他)如图,AB是半圆O的弦,DE是直径,过点B的切线BC与⊙O相切于点B,与DE的延长线交于点C,连接BD,若四边形OABC为平行四边形,则∠BDC的度数为(  )

    A.20.5° B.22.5° C.24° D.30°
    【答案】B
    【解析】解:∵BC是⊙O的切线,
    ∴∠OBC=90°,
    ∵四边形OABC为平行四边形,
    ∴OA=BC,
    ∵OA=OB,
    ∴OB=BC,
    ∴△OBC是等腰直角三角形,
    ∴∠BOC=45°,
    ∴∠BDC=BOC=22.5°,
    故选:B.
    12.(2020·江苏东台·月考)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,AE是⊙O的切线,A为切点,连接BC并延长交AE于点D.若AOC=80°,则ADB的度数为( )

    A.40° B.50° C.60° D.20°
    【答案】B.
    【解析】根据AE是⊙O的切线,A为切点,AB是⊙O的直径,可以先得出∠BAD为直角.再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,求出∠B,从而得到∠ADB的度数.由题意得:∠BAD=90°,∵∠B=∠AOC=40°,∴∠ADB=90°-∠B=50°.故选B.
    13.(2020·扬州平山实验学校月考)如图,已知是的直径,是的切线,连接交于点,连接.若,则的度数是_________.

    【答案】25
    【解析】解:∵是的切线,
    ∴∠OAC=90°
    ∵,
    ∴∠AOD=50°,
    ∴∠B=∠AOD=25°
    故答案为:25.
    14.(2020·东莞外国语学校初三二模)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其主视图如图.⊙O与矩形ABCD的边BC,AD分别相切和相交(E,F是交点),已知EF=CD=8,则⊙O的半径为

    【答案】5.
    【解析】如答图,由题意,⊙O与BC相切,记切点为M,作直线OM,分别交AD、劣弧于点H、N,再连接OF,
    在矩形ABCD中,AD∥BC,而MN⊥BC,∴MN⊥AD.∴在⊙O中,FH=EF=4.
    设球半径为r,则OH=8﹣r,
    在Rt△OFH中,由勾股定理得,r2﹣(8﹣r)2=42,解得r=5.

    15.(2020·广西大化·初三学业考试)如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB=__________.

    【答案】44°
    【解析】连接OB,

    ∵BC是⊙O的切线,
    ∴OB⊥BC,
    ∴∠OBA+∠CBP=90°,
    ∵OC⊥OA,
    ∴∠A+∠APO=90°,
    ∵OA=OB,∠OAB=22°,
    ∴∠OAB=∠OBA=22°,
    ∴∠APO=∠CBP=68°,
    ∵∠APO=∠CPB,
    ∴∠CPB=∠ABP=68°,
    ∴∠OCB=180°-68°-68°=44°,
    故答案为44°
    16.(2020·黄山市徽州区第二中学一模)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过点C的切线交AB的延长线与点D.若AB=4,∠D=30°,
    (1)∠A的度数;
    (2)求AC长.

    【答案】(1)∠A=30°;(2)
    【解析】解:连结OC,∵CD为⊙O的切线,

    ∴OC⊥CD, ∴∠OCD=90°,而∠D=30°,∴∠COD=60°,∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,
    ∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A,∴∠A=30°;
    (2)作OE⊥AC于E.

    ∵AB=4,∴AO=2,∴30°,
    ∴.
    17.(2020·江苏宿豫·期中)如图,AB是的直径,AC是的弦过点C的切线交AB的延长线于点D,若,试求的度数.

    【答案】
    【解析】解:连结OC,

    为的切线




    又,


    而,

    18.(2019·吉林长春·东北师大附中其他)如图,矩形是的内接四边形,点是劣弧上的一点,连结过点作的切线交线段的延长线于点.

    (1)连接,则的直径长为 ;
    (2)若,求的长.
    【答案】(1)5;(2)
    【解析】解:(1)如图,连接AC,

    ∵∠ABC=90°,
    ∴AC为⊙O的直径,
    ∴AC===5,
    故答案为:5;
    (2)∵CF切于点.


    在中,.

    19.(2019·滨海县第一初级中学月考)如图,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过弧BD上一点T作⊙O的切线TC,且TC⊥AD于点C.
    (1)若∠DAB=50°,求∠ATC的度数;
    (2)若⊙O半径为2,TC=,求AD的长.

    【答案】(1)65°;(2)2.
    【解析】(1)连接OT,
    ∵OA=OT,
    ∴∠OAT=∠OTA,
    又∵AT平分∠BAD,
    ∴∠DAT=∠OAT,
    ∴∠DAT=∠OTA,
    ∴OT∥AC,
    又∵CT⊥AC,
    ∴CT⊥OT,
    ∴CT为⊙O的切线;
    (2)过O作OE⊥AD于E,则E为AD中点,
    又∵CT⊥AC,
    ∴OE∥CT,
    ∴四边形OTCE为矩形,
    ∵CT=,
    ∴OE=,
    又∵OA=2
    ,∴在Rt△OAE中,AE=,
    ∴AD=2AE=2.

    20.(2020·江苏崇川·南通田家炳中学初三月考)如图,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E.
    (1)求证:∠A=∠ADE;
    (2)若AD=16,DE=10,求BC的长.

    【答案】(1)证明见解析;(2)15.
    【解析】(1)证明:连接OD,∵DE是切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADE+∠BDO=90°,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵OD=OB,∴∠B=∠BDO,∴∠ADE=∠A.
    (2)连接CD.
    ∵∠ADE=∠A,∴AE=DE,∵BC是⊙O的直径,∠ACB=90°,∴EC是⊙O的切线,∴ED=EC,∴AE=EC,∵DE=10,∴AC=2DE=20,在Rt△ADC中,DC==12,
    设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,
    在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2﹣202,
    ∴x2+122=(x+16)2﹣202,解得x=9,
    ∴BC==15.

    考点6:切线的判定
    典例:(2020·西安市铁一中学初三二模)如图,在中,,平分,交于点,以为圆心,为半径作圆,交于点.

    (1)求证:与相切.
    (2)连接并延长,交于点,若,且,求的半径.
    【答案】(1)见解析;(2)2
    【解析】解:(1)证明:作于,如图,
    平分,,,

    而为的半径,
    与相切;
    (2)作于,如图,设的半径为,
    易得四边形为矩形,

    ,,






    在中,,

    ,解得,
    即的半径为2.

    方法或规律点拨
    本题考查了切线的判定、矩形的判定、30°角所对的直角边等于斜边的一半等内容,证明AB是的切线是解题的关键.
    巩固练习
    1.(2020·无锡市江南中学初三二模)已知:Rt△ABC,∠C=90°.
    (1)点E在BC边上,且△ACE的周长为AC+BC,以线段AE上一点O为圆心的⊙O恰与AB、BC边都相切.请用无刻度的直尺和圆规确定点E、O的位置;
    (2)若BC=8,AC=4,求⊙O的半径.

    【答案】(1)见解析;(2)
    【解析】(1)如图,点E、O即为所求作点,

    (2)解:设AE=BE=x,则CE=8-x
    在Rt△ACE中,42+(8-x)2=x2
    x=5
    在Rt△ABC中,AB==
    ∵S△ABE=S△AOB+S△BOE
    ∴×5×4=×r+×5r
    ∴r=.
    2.(2020·山东大学附属中学其他)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点O作OD⊥AB,交BC的延长线于D,交AC于点E,F是DE的中点,连接CF.

    (1)求证:CF是⊙O的切线.
    (2)若∠A=22.5°,求证:AC=DC.
    【答案】(1)证明见解析;
    (2)证明见解析.
    【解析】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ACB=∠ACD=90°,
    ∵点F是ED的中点,
    ∴CF=EF=DF,
    ∴∠AEO=∠FEC=∠FCE,
    ∵OA=OC,
    ∴∠OCA=∠OAC,
    ∵OD⊥AB,
    ∴∠OAC+∠AEO=90°,
    ∴∠OCA+∠FCE=90°,即OC⊥FC,
    ∴CF与⊙O相切;
    (2)证明:连接AD

    ∵OD⊥AB,AC⊥BD,
    ∴∠AOE=∠ACD=90°,
    ∵∠AEO=∠DEC,
    ∴∠OAE=∠CDE=22.5°,
    ∵AO=BO,
    ∴AD=BD,
    ∴∠ADO=∠BDO=22.5°,
    ∴∠ADB=45°,
    ∴∠CAD=∠ADC=45°,
    ∴AC=CD.
    3.(2020·江苏东台·月考)如图,在△ABC中,∠CAB=90°,∠CBA=50°,以AB为直径作⊙O交BC于点D,点E在边AC上,且满足ED=EA.
    (1)求∠DOA的度数;
    (2)求证:直线ED与⊙O相切.

    【答案】(1)∠DOA =100°;(2)证明见解析.
    【解析】解:(1)∵∠DBA=50°,
    ∴∠DOA=2∠DBA=100°;
    (2)证明:连接OE,

    在△EAO和△EDO中,
    AO=DO,EA=ED,EO=EO,
    ∴△EAO≌△EDO,
    得到∠EDO=∠EAO=90°,
    ∴直线ED与⊙O相切.
    4.(2020·首都师范大学附属中学三模)下面是小东设计的“过圆外一点作圆的两条切线”的尺规作图过程.
    己知:和外一点.
    求作:的切线.
    作法:如图,

    ①连接;
    ②分别以点为圆心,大于的相等的长为半径作弧,两弧交于两点;
    ③作直线,交于点.
    ④以点为圆心,长为半径作圆,交于两点;
    ⑤作直线.
    则就是所求作的的切线.
    根据小东设计的尺规作图过程,
    使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
    完成下面的证明.
    证明:是线段的垂直平分线,
    点是线段的中点.
    _ 是的直径.
    ( _) (填推理的依据)
    半径半径.
    是的切线( _) (填推理的依据)
    【答案】(1)详见解析;(2)OP,直径所对的圆周角是直角;经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
    【解析】解:(1)补全图形如图.

    (2)完成下面的证明.
    证明:∵MN是线段的垂直平分线,
    ∴点是线段的中点.
    ∴OP是的直径
    ∴(直径所对的圆周角是直角),
    ∴半径半径.
    ∴是的切线(经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线) .
    5.(2020·浙江越城·期中)如图,⊙O的直径AB为10cm,弦BC为5cm,D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE.
    (1)求AC、AD的长;
    (2)试判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由.

    【答案】(1)AC=5,AD=5;(2)直线PC与⊙O相切
    【解析】解:(1)、①如图,连接BD, ∵AB是直径
    ∴∠ACB=∠ADB=90°,
    在RT△ABC中,AC=
    ②∵CD平分∠ACB, ∴AD=BD,∴Rt△ABD是直角等腰三角形
    ∴AD=AB=×10=5cm;
    (2)、直线PC与⊙O相切,
    理由:连接OC, ∵OC=OA
    ∴∠CAO=∠OCA
    ∵PC=PE
    ∴∠PCE=∠PEC,
    ∵∠PEC=∠CAE+∠ACE
    ∵CD平分∠ACB
    ∴∠ACE=∠ECB
    ∴∠PCB=∠ACO
    ∵∠ACB=90°,
    ∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°, OC⊥PC,
    ∴直线PC与⊙O相切.

    6.(2020·江苏镇江·其他)如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OE∥AC,交劣弧于点E,过点E作射线l⊥AB,交弦BC于点D,在射线l上取点F,使FC=FD.
    (1)求证:FC是⊙O的切线;
    (2)当△CFD为等边三角形时,判断以O,A,C,E为顶点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由.

    【答案】(1)证明见解析;(2)四边形OACE是菱形;理由见解析.
    【解析】(1)证明:连接CO,

    ∵OC=OB,
    ∴∠OCB=∠ABC.
    ∵CF=DF,
    ∴∠DCF=∠CDF.
    ∵∠BDP=∠CDF,
    ∴∠DCF=∠BDP.
    又∵l⊥AB,
    ∴∠BPD=90°.
    从而∠BDP+∠ABC=90°,
    ∴∠DCF+∠OCB=90°,
    即∠OCF=90°,
    ∴FC是⊙O的切线;
    (2)解:连接OE,CE,

    以O,A,C,E为顶点的四边形是菱形,
    ∵△CFD为等边三角形,
    ∴∠DCF=60°,
    ∴∠OCB=90°﹣60°=30°.
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∴∠ACO=90°﹣∠OCB=60°,
    ∴△ACO是等边三角形,
    ∴AO=AC=OE
    ∵OE∥AC,
    ∴四边形OACE是菱形.
    7.(2020·江苏宿豫·期中)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上的一点,点D为的中点,DE⊥AC于点E.
    (1)求证:DE是⊙O的切线;
    (2)若AE=8,DE=4,求⊙O的半径.

    【答案】(1)见解析 (2)5
    【解析】(1)证明:连接AD.

    ∵点D为弧BC的中点,
    ∴,
    ∴∠EAD=∠DAB,
    ∵OA=OD,
    ∴∠ADO=∠DAB,
    ∴∠EAD=∠ADO,
    ∴OD∥AE,
    ∵DE⊥AC,
    ∴∠E=90°,
    ∴∠ODE=90°,
    ∴DE⊥OD
    ∴DE是⊙O的切线;
    (2)解:设⊙O的半径为r.
    过点O作OF⊥AE于F,
    则四边形OFED为矩形
    ∴OF=DE=4,EF=OD=r,AF=8﹣r,

    ∵在Rt△AFO中,AF2+OF2=OA2,
    ∴(8﹣r)2+42=r2,
    ∴r=5,
    ∴⊙O的半径为5.
    8.(2020·无锡市大桥实验学校月考)如图,在△ABC中,D是边BC上一点,以BD为直径的⊙O经过点A,且∠CAD=∠ABC.
    (1)请判断直线AC是否是⊙O的切线,并说明理由;
    (2)若CD=2,CA=4,求弦AB的长.

    【答案】(1)见解析;(2)
    【解析】(1)直线AC是⊙O的切线,
    理由如下:如图,连接OA,

    ∵BD为⊙O的直径,
    ∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD,
    ∵OA=OB,
    ∴∠OAB=∠ABC,
    又∵∠CAD=∠ABC,
    ∴∠OAB=∠CAD=∠ABC,
    ∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC,
    ∴AC⊥OA,
    又∵OA是半径,
    ∴直线AC是⊙O的切线;
    (2)过点A作AE⊥BD于E,
    ∵OC2=AC2+AO2,
    ∴(OA+2)2=16+OA2,
    ∴OA=3,
    ∴OC=5,BC=8,
    ∵S△OAC=OAAC=OCAE,
    ∴AE=,
    ∴OE=,
    ∴BE=BO+OE=,
    ∴AB=.
    9.(2020·西安市铁一中学初三三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BO平分∠ABC,交AC于点O,以O为圆心,OC为半径作圆,交OB于点E.

    (1)求证:AB与⊙O相切;
    (2)连接CE并延长,交AB于点F,若CF⊥AB,且CF=3,求⊙O的半径.
    【答案】(1)见解析;(2)2
    【解析】(1)证明:作OD⊥AB于D,如图,
    ∵BO平分∠ABC,OC⊥BC,OD⊥AB,
    ∴OD=OC,
    而OC为⊙O的半径,
    ∴AB与⊙O相切;
    (2)作OH⊥CE于H,如图,设⊙O的半径为r,
    ∵CF⊥AB,OD⊥AB
    ∴四边形OHFD为矩形,
    ∴HF=OD=r,
    ∵OC=OE,OH⊥CE,
    ∴∠OCH=∠EOH,
    ∵OH∥BF,
    ∴∠CBO=∠BOH,
    ∵∠COH+∠BOH+∠CBO=90°,
    ∴∠COH=30°,
    在Rt△OCH中,CH=CF﹣HF=3﹣r,
    ∵CH=OC,
    ∴3﹣r=r,解得r=2,
    即⊙O的半径为2.

    10.(2020·重庆永川·初三三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,E为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F.
    (1)求证:DE是⊙O的切线;
    (2)若CF=2,DF=4,求⊙O直径的长.

    【答案】(1)证明见解析;(2)6.
    【解析】解:(1)如图,连接OD、CD.∵AC为⊙O的直径,∴△BCD是直角三角形,∵E为BC的中点,∴BE=CE=DE,∴∠CDE=∠DCE,∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,∵∠ACB=90°,∴∠OCD+∠DCE=90°,∴∠ODC+∠CDE=90°,即OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线;

    (2)设⊙O的半径为r,∵∠ODF=90°,∴OD2+DF2=OF2,即r2+42=(r+2)2,解得:r=3,∴⊙O的直径为6.
    11.(2020·江苏丹徒·初三期中)如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC于点E.
    (1)求证:DE是⊙O的切线;
    (2)若∠C=30°,CD=,求⊙O的半径.

    【答案】(1)见解析;(2)1.
    【解析】(1)证明:如图,

    ∵O、D分别为中点,
    ∴OD为中位线

    即:DE为切线
    (2)如图,

    BD=CD=
    作OH⊥BD,由垂径定理得
    由平行得∠ODH=30°,
    设OH=x,则OD=2x,
    解得:
    ∴半径为1
    12.(2020·山东泗水·初三期中)如图,AB,CD是⊙O的直径,点E在AB延长线上,FE⊥AB,BE=EF=2,FE的延长线交CD延长线于点G,DG=GE=3,连接FD.

    (1)求⊙O的半径;
    (2)求证:DF是⊙O的切线.
    【答案】(1)2;(2)证明见解析
    【解析】解:(1)设⊙O半径为R,则OD=OB=R,
    在Rt△OEG中,∠OEG=90°,由勾股定理得:OG2=OE2+EG2,
    ∴(R+3)2=(R+2)2+32,
    R=2,
    即⊙O半径是2.
    (2)∵OB=OD=2,
    ∴OG=2+3=5,GF=2+3=5=OG,
    ∵在△FDG和△OEG中

    ∴△FDG≌△OEG(SAS),
    ∴∠FDG=∠OEG=90°,
    ∴∠ODF=90°,
    ∴OD⊥DF,
    ∵OD为半径,
    ∴DF是⊙O的切线.

    13.(2019·江西寻乌·其他)如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是直径,OD∥AC,AD=OC.

    (1)当∠B=30°时,请判断四边形OCAD的形状,为什么?
    (2)当∠B等于多少度时,AD与⊙O相切?请说明理由.
    【答案】(1)菱形,见解析;(2)45°,见解析
    【解析】解:(1)四边形OCAD是菱形.
    理由:∵OA=OC,AD=OC,
    ∴OA=AD,
    ∴∠OAC=∠OCA,∠AOD=∠ADO,
    ∵OD∥AC,
    ∴∠OAC=∠AOD,
    ∴∠OAC=∠OCA=∠AOD=∠ADO,
    ∴∠AOC=∠OAD,
    ∴OC∥AD,
    ∴四边形OCAD是平行四边形,
    ∵∠B=30°,
    ∴∠AOC=60°,
    ∴OC=OA=AC,
    ∴AC=OC,
    ∴四边形OCAD是菱形.
    (2)∵AD与⊙O相切,
    ∴∠OAD=90°,
    ∵AD∥OC,
    ∴∠AOC=90°,
    ∴∠B=∠AOC=45°.
    14.(2020·绍兴市越城区成章中学期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在BC边上,⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E.

    (1)求证:AC是⊙D的切线;
    (2)若CE=2,求⊙D的半径.
    【答案】(1)见解析;(2)⊙D的半径AD=2.
    【解析】(1)证明:连接AD,

    ∵AB=AC,∠BAC=120°,
    ∴∠B=∠C=30°,
    ∵AD=BD,
    ∴∠BAD=∠B=30°,
    ∴∠ADC=60°,
    ∴∠DAC=180°﹣60°﹣30°=90°,
    ∴AC是⊙D的切线;
    (2)解:连接AE,
    ∵AD=DE,∠ADE=60°,
    ∴△ADE是等边三角形,
    ∴AE=DE,∠AED=60°,
    ∴∠EAC=∠AED﹣∠C=30°,
    ∴∠EAC=∠C,
    ∴AE=CE=2,
    ∴⊙D的半径AD=2.
    15.(2020·福建思明·厦门双十中学二模)如图,在四边形ABCD中,,,,为的外接圆.

    (1)如图1,求证AD是的切线;
    (2)如图2,CD交于点E,过点A作,垂足为F,交BC于点G,若,,求的长.
    【答案】(1)证明过程见解析;(2)
    【解析】(1)证明:如图1,连接OA,OB,OC

    在和中,



    ∴AO平分,

    又∵

    ∴是的切线
    (2)如图2,连接.



    又∵






    在和中


    ∴,.
    设,在,,,
    ∴,即,
    ∴,
    ∴.
    考点7:切线长定理
    典例:(2020·天津和平·初三二模)已知,是的直径,,是的切线,切点分别是点,.
    (1)如图①,若,求的度数;

    (2)如图②,若是劣弧上一点,,求的度数.

    【答案】解:(1).(2)60.
    【解析】(1)∵,是的切线,
    ∴.
    ∴.
    ∵为切线,
    ∴,
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    ∴.
    (2)如图,连接.

    ∴.
    ∵,,
    ∴.
    ∴.
    ∴.
    ∵,是的切线,
    ∴,.
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    方法或规律点拨
    本题综合运用了切线长定理、切线的性质、圆的内接四边形的性质以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半,主要考查学生的推理和计算能力.
    巩固练习
    1.(2021·湖南长沙·明达中学月考)如图,PA,PB分别切⊙O于点A,B,OP交⊙O于点C,连接AB,下列结论中,错误的是(  )

    A.∠1=∠2 B.PA=PB C.AB⊥OP D.OP=2OA
    【答案】D
    【解析】由切线长定理可得:∠1=∠2,PA=PB,从而AB⊥OP.
    因此A.B.C都正确.
    无法得出AB=PA=PB,可知:D是错误的.
    综上可知:只有D是错误的.
    故选D.
    2.(2019·黑龙江甘南·初三期末)如图,PA,PB分别与⊙O相切于A、B两点.直线EF切⊙O于C点,分别交PA、PB于E、F,且PA=10.则△PEF的周长为(  )

    A.10 B.15 C.20 D.25
    【答案】C
    【解析】解:∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,
    ⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F,切点C在弧AB上,
    ∴AE=CE,FB=CF,PA=PB=4,
    ∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=20.
    故选:C.
    3.(2020·四川广安二中初三期末)如图,PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E,CD分别交PA、PB于点C、D.下列关系:①PA=PB;②∠ACO=∠DCO;③∠BOE和∠BDE互补;④△PCD的周长是线段PB长度的2倍.则其中说法正确的有( )

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    【答案】D
    【解析】根据切线长定理可知PA=PB,故①正确;
    同理可知CA=CE,可知CO为∠ACE的角平分线,所以∠ACO=∠DCO,故②正确;
    同理可知DE=BD,由切线的性质可知∠OBD=∠OED=90°,可根据四边形的内角和为360°知∠BOE+∠BDE=180°,即∠BOE和∠BDE互补,故③正确;
    根据切线长定理可得CE=CA,BD=DE,而△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PB,故④正确.
    故选D.
    4.(2020·全国初三课时练习)如图,P为⊙外一点,PA、PB分别切⊙于A、B两点,若,则( )

    A.2 B.3 C.4 D.5
    【答案】B
    【解析】因为PA和PB与⊙相切,根据切线长定理,所以PA=PB=3,故选B.
    5.(2020·全国初三课时练习)如图,⊙O为的内切圆,,点分别为上的点,且为⊙O的切线,则的周长为( )

    A.9 B.7 C.11 D.8
    【答案】C
    【解析】解:设和圆的切点分别是.
    根据切线长定理,得,.
    则有,解得.
    所以的周长为.
    故选C.
    6.(2020·全国初三课时练习)以正方形的边为直径作半圆,过点作直线切半圆于点,交边于点,若的周长为12,则直角梯形周长为( )

    A.14 B.10 C.8 D.12
    【答案】A
    【解析】解:设AE的长为x,正方形ABCD的边长为a,
    ∵CE与半圆O相切于点F,
    ∴AE=EF,BC=CF,
    ∵EF+FC+CD+ED=12,
    ∴AE+ED+CD+BC=12,
    ∵AD=CD=BC=AB,
    ∴正方形ABCD的边长为4;
    在Rt△CDE中,ED2+CD2=CE2,即(4-x)2+42=(4+x)2,解得:x=1,
    ∵AE+EF+FC+BC+AB=14,
    ∴直角梯形ABCE周长为14.
    故选:A.
    7.(2020·全国初三课时练习)如图,一把直尺,的直角三角板和光盘如图摆放,为角与直尺交点,,则光盘的直径是( )

    A.3 B. C. D.
    【答案】D
    【解析】如图,设光盘圆心为O,连接OC,OA,OB,
    ∵AC、AB都与圆O相切,
    ∴AO平分∠BAC,OC⊥AC,OB⊥AB,
    ∴∠CAO=∠BAO=60°,
    ∴∠AOB=30°,
    在Rt△AOB中,AB=3cm,∠AOB=30°,
    ∴OA=6cm,
    根据勾股定理得:OB=3,
    则光盘的直径为6,
    故选D.

    8.(2019·河北河间·初三期末)如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于点A、B,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D,若PA=6,则△PCD的周长为(  )

    A.8 B.6 C.12 D.10
    【答案】C
    【解析】∵PA、PB分别切⊙O于点A、B,CD切⊙O于点E,
    ∴PA=PB=6,AC=EC,BD=ED,
    ∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=6+6=12,
    即△PCD的周长为12,
    故选:C.
    9.(2020·湖南永州·中考真题)如图,已知是的两条切线,A,B为切点,线段交于点M.给出下列四种说法:①;②;③四边形有外接圆;④M是外接圆的圆心,其中正确说法的个数是( )

    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】C
    【解析】解:如图, 是的两条切线,
    故①正确,

    故②正确,
    是的两条切线,

    取的中点,连接,

    所以:以为圆心,为半径作圆,则共圆,故③正确,
    M是外接圆的圆心,


    与题干提供的条件不符,故④错误,
    综上:正确的说法是个,
    故选C.

    10.(2020·张家界市民族中学初三月考)如图,AB、AC是⊙O的两条切线,B、C是切点,若∠A=70°,则∠BOC的度数为( )

    A.130° B.120° C.110° D.100°
    【答案】C
    【解析】∵AB、AC是⊙O的两条切线,B、C是切点,
    ∴∠B=∠C=90°,∠BOC=180°-∠A=110°.
    故选C.
    11.(2020·广东东莞·初三学业考试)如图,、切于点、,,切于点,交、于、两点,则的周长是( )

    A.10 B.18 C.20 D.22
    【答案】C
    【解析】解:∵PA、PB切⊙O于点A、B,CD切⊙O于点E,
    ∴PA=PB=10,CA=CE,DE=DB,
    ∴△PCD的周长是PC+CD+PD
    =PC+AC+DB+PD
    =PA+PB
    =10+10
    =20.
    故选C.
    12.(2020·重庆北碚·初三月考)如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PA=AO,PD与⊙O相切于点D,BC⊥AB交PD的延长线于点C,若⊙O的半径为1,则BC的长是(  )

    A.1.5 B.2 C. D.
    【答案】D
    【解析】连接OD,如图所示

    ∵PC切⊙O于D
    ∴∠ODP=90°
    ∵⊙O的半径为1,PA=AO,AB是⊙O的直径
    ∴PO=1+1=2,PB=1+1+1=3,OD=1
    ∴由勾股定理得:PD=
    ∵BC⊥AB,AB过O
    ∴BC切⊙O于B
    ∵PC切⊙O于D
    ∴CD=BC
    设CD=CB=x
    在Rt△PBC中,由勾股定理得:PC2=PB2+BC2

    解得:x=
    即BC=
    故选:D
    13.(2020·山西寿阳·初三期末)如图,PA、PB分别切⊙O于A、B,PA=10cm,C是劣弧AB上的点(不与点A、B重合),过点C的切线分别交PA、PB于点E、F,则△PEF的周长为(  )

    A.10cm B.15cm C.20cm D.25cm
    【答案】C
    【解析】解: ∵PA,PB是圆的切线.∴PA=PB,
    同理,AE=EC,FC=FB.
    三角形PEF的周长=PE+EF+PF=PE+PF+CF+EC=PE+AE+PF+FB=PA+PB=2PA=20cm.
    故选C.
    14.(2020·江苏东台·月考)如图,PA,PB分别切⊙O于A,B,并与⊙O的切线,分别相交于C,D,已知△PCD的周长等于10cm,则PA=__________ cm.

    【答案】5
    【解析】如图,设DC与⊙O的切点为E;
    ∵PA、PB分别是⊙O的切线,且切点为A、B;
    ∴PA=PB;
    同理,可得:DE=DA,CE=CB;
    则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10(cm);
    ∴PA=PB=5cm,
    故答案为5.
    15.(2019·滨海县第一初级中学月考)如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D,若PA=5,则△PCD的周长为________ .

    【答案】10
    【解析】因为P为圆外一点,PA和PB为圆的切线,所以,
    同理,,,
    所以,
    所以,
    所以
    故答案为:10
    16.(2020·云南一模)如图,PA 、PB分别与⊙O相切于点A、B,⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F,切点C在上,若PA长为2,则△PEF的周长是_____.

    【答案】4.
    【解析】解:∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,
    ⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F,切点C在上,
    ∴AE=CE,FB=CF,PA=PB=2,
    ∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=4.
    故填空答案:4.
    17.(2020·安徽铜陵·初三期末)如图,、、均为⊙的切线,分别是切点,,则的周长为____.

    【答案】10
    【解析】解:∵AD,AE、CB均为⊙O的切线,D,E,F分别是切点,
    ∴EC=FC,BF=BD,AD=AE,
    ∵△ABC的周长=AC+BC+AB=AC+CF+BF+AB,
    ∴△ABC的周长=AC+EC+BD+AB=AE+AD=2AD,
    ∵AD=5,
    ∴△ABC的周长为10.
    故答案为:10
    18.(2020·北京密云·初三二模)已知:点A、点B在直线的两侧.
    (点A到直线的距离小于点B到直线的距离).

    如图,
    (1)作点B关于直线的对称点C;
    (2)以点C为圆心,的长为半径作,交于点E;
    (3)过点A作的切线,交于点F,交直线于点P;
    (4)连接、.

    根据以上作图过程及所作图形,下列四个结论中:
    ①是的切线; ②平分;
    ③; ④.
    所有正确结论的序号是___________________________.
    【答案】①②④
    【解析】由轴对称的性质得:,,即
    由作图可知,为的半径
    由圆的切线的判定得:是的切线,则结论①正确
    如图,连接CF,设PC与的交点为点D
    是的切线
    ,即
    由切线长定理得
    在和中,


    ,即平分,则结论②正确
    由轴对称的性质得:垂直平分BC

    在中,
    ,则结论③错误




    是等腰三角形

    (等腰三角形的三线合一)
    ,则结论④正确
    综上,所有正确结论的序号是①②④
    故答案为:①②④.

    19.(2020·全国初三课时练习)如图,都为⊙O的切线,切点分别为,且.

    (1)求的周长;
    (2)求的度数.
    【答案】(1)12;(2)64°
    【解析】解:(1)∵PA、PB、DE都为⊙O的切线,
    ∴DA=DF,EB=EF,PA=PB=6,
    ∴DE=DA+EB,
    ∴PE+PD+DE=PA+PB=12,
    即△PDE的周长为12;
    (2)连接OF,

    ∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点,
    ∴OB⊥PB,OA⊥PA,∠BOE=∠FOE=∠BOF,∠FOD=∠AOD=∠AOF,
    ∵∠APB=52°,
    ∴∠AOB=360°-90°-90°-52°=128°,
    ∴∠DOE=∠FOE+∠FOD=(∠BOF+∠AOF)=∠BOA=64°.
    20.(2020·新疆乌鲁木齐·初三三模)我们知道,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,则三角形可以称为圆的外切三角形.如图1,与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推,各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形.如图2,与四边形ABCD的边分别相切于点则四边形叫做的外切四边形.

    (1)如图2,试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系,猜想: (横线上填“>”,“<”或“=”);
    (2)利用图2证明你的猜想(写出已知,求证,证明过程);
    (3)用文字叙述上面证明的结论: ;
    (4)若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为,求此四边形各边的长.
    【答案】(1)=;(2)答案见解析;(3)圆外切四边形的对边之和相等;(4)4;10;12;6
    【解析】解:(1)∵⊙O与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点E,F,G,H,
    ∴猜想AB+CD=AD+BC,
    故答案为:=.
    已知:四边形的四边分别与相切于点

    求证:
    证明:与相切,

    同理:

    由(2)可知:圆外切四边形的对边和相等.
    故答案为:圆外切四边形的对边和相等;
    解:相邻的三条边的比为,
    设此三边为
    根据圆外切四边形的性质得:第四边的长为:
    圆外切四边形的周长为,

    解得
    此四边形的四边长分别为:.
    21.(2020·新疆昌吉·初三其他)如图,在中,,以为直径的⊙O交于点,切线交于点.

    (1)求证:;
    (2)若,,求的长.
    【答案】(1)证明见解析;(2)
    【解析】解:(1)证明:连接,
    是切线,







    (2)解:连接.


    是⊙O的直径,,
    是⊙O的切线,




    在中,,
    设,在中,,
    在中,,

    解得,


    考点8:切线的性质与判定的综合
    典例:(2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校初三期末)如图,AB是⊙O的直径,弦EF⊥AB于点C,点D是AB延长线上一点,∠A=30°,∠D=30°.

    (1)求证:FD是⊙O的切线;
    (2)取BE的中点M,连接MF,若⊙O的半径为2,求MF的长.
    【答案】(1)见解析;(2)MF=.
    【解析】(1)如图,连接OE,OF,
    ∵EF⊥AB,AB是⊙O的直径,
    ∴,
    ∴∠DOF=∠DOE,
    ∵∠DOE=2∠A,∠A=30°,
    ∴∠DOF=60°,
    ∵∠D=30°,
    ∴∠OFD=90°,
    ∴OF⊥FD.
    ∴FD为⊙O的切线.

    (2)如图,连接OM,MF,
    ∵O是AB中点,M是BE中点,
    ∴OM∥AE.
    ∴∠MOB=∠A=30°.
    ∵OM过圆心,M是BE中点,
    ∴OM⊥BE.
    ∴MB=OB=1,
    ∴OM==,
    ∵∠OFD=90°,∠D=30°,
    ∴∠DOF=60°,
    ∴∠MOF=∠DOF+∠MOB=90°,
    ∴MF===.

    方法或规律点拨
    本题考查切线的判定与性质、垂径定理、三角形中位线的性质及含30°角的直角三角形的性质,熟练掌握切线的性质是解题关键.
    巩固练习
    1.(2021·湖南长沙·明达中学月考)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB.

    (1)求证:DC为⊙O的切线;
    (2)若∠DAB=60°,⊙O的半径为3,求线段CD的长.
    【答案】(1)证明见解析;(2).
    【解析】(1)证明:连接CO,

    ∵AO=CO,
    ∴∠OAC=∠OCA,
    ∵AC平分∠DAB,
    ∴∠OAC=∠DAC,
    ∴∠DAC=∠OCA,
    ∴CO∥AD,
    ∴CO⊥CD,
    ∴DC为⊙O的切线;
    (2)解:连接BC,

    ∵AB为⊙O的直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∵∠DAB=60°,AC平分∠DAB,
    ∴∠BAC=∠DAB=30°,
    ∵⊙O的半径为3,
    ∴AB=6,
    ∴AC=AB=3.
    ∵∠CAD=30°

    2.(2019·河北涿鹿·期末)如图,在△ABC中,AB=AC,O在AB上,以O为圆心,OB为半径的圆与AC相切于点F,交BC于点D,交AB于点G,过D作DE⊥AC,垂足为E.

    (1)DE与⊙O有什么位置关系,请写出你的结论并证明;
    (2)若⊙O的半径长为3,AF=4,求CE的长.
    【答案】(1)DE与⊙O相切,证明见解析;(2)CE长度为1
    【解析】解:(1)DE与⊙O相切;理由如下:连接OD,如图,
    ∵OB=OD,
    ∴∠B=∠ODB,
    ∵AB=AC,
    ∴∠B=∠C,
    ∴∠ODB=∠C,
    ∴OD∥AC,
    ∵DE⊥AC,
    ∴OD⊥DE,
    ∴DE与⊙O相切;

    (2)如图,连接OF;
    ∵DE,AF是⊙O的切线,
    ∴OF⊥AC,OD⊥DE,
    又∵DE⊥AC,
    ∴四边形ODEF为矩形,
    ∴EF=OD=3,
    在Rt△OFA中,∵AO2=OF2+AF2,
    ∴,
    ∴AC=AB=AO+BO=8,CE=AC﹣AF﹣EF=8﹣4﹣3=1.
    答:CE长度为1.
    3.(2020·西藏日喀则·一模)如图,在中,AB=AC,∠C=30°,点D在BC边上,⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E.

    (1)求证:AC是⊙D的切线;
    (2)若CE=5,求⊙D的半径.
    【答案】(1)见解析;(2)5
    【解析】(1)连接AD,

    ∵AB=AC,∠C=30°,
    ∴∠B=∠C=30° ,
    ∵AD=BD,
    ∴∠BAD=∠B=30° ,
    ∴∠ADC=60°,
    ∴∠DAC=180°﹣60°﹣30°=90°,
    ∴AC是⊙D的切线;
    (2)连接AE ,
    ∵AD=DE,∠ADE=60°,
    ∴△ADE是等边三角形
    ∴AE=DE,∠AED=60° ,
    ∴∠EAC=∠AED﹣∠C=30° ,
    ∴∠EAC=∠C,
    ∴AE=CE=5,
    ∴⊙D的半径AD=5.
    4.(2019·广东一模)如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD是⊙O的切线,AD⊥CD于点D,E是AB延长线上一点,CE交⊙O于点F,连接OC、AC.
    (1)求证:AC平分∠DAO;
    (2)若∠DAO=105°,∠E=30°
    ①求∠OCE的度数;
    ②若⊙O的半径为2,求线段EF的长.

    【答案】(1)证明见解析;(2)①∠OCE=45°;②EF =-2
    【解析】解:(1)∵直线与⊙O相切,∴OC⊥CD
    又∵AD⊥CD,
    ∴AD//OC
    ∴∠DAC=∠OCA
    又∵OC=OA,
    ∴∠OAC=∠OCA
    ∴∠DAC=∠OAC
    ∴AC平分∠DAO
    (2)解:①∵AD//OC,∠DAO=105°,
    ∴∠EOC=∠DAO=105°
    ∵∠E=30°,∴∠OCE=45°
    ②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG
    ∵OC=,∠OCE=45°
    ∴CG=OG=2
    ∴FG=2
    ∵在Rt△OGE中,∠E=30°,∴GE=
    ∴EF=GE-FG=-2

    5.(2019·黑龙江甘南·初三期末)如图,点D、O在△ABC的边AC上,以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E,连结DE、OB,且DE∥OB.
    (1)求证:BC是⊙O的切线.
    (2)设OB与⊙O交于点F,连结EF,若AD=OD,DE=4,求弦EF的长.

    【答案】(1)见解析;(2)4
    【解析】(1)证明:连接OE,
    ∵以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E,
    ∴OE⊥AB,
    ∵DE∥OB,
    ∴∠BOC=∠EDO,∠BOE=∠DEO,
    ∵OE=OD,
    ∴∠EDO=∠DEO,
    ∴∠BOC=∠BOE,
    ∵OB=OB,OC=OE,
    ∴△OCB≌△OEB(SAS),
    ∴∠OCB=∠OEB=90°,
    ∴BC是⊙O的切线;
    (2)解:∵∠AEO=90°,AD=OD,
    ∴ED=AO=OD,
    ∴OD=DE=4,
    ∵DE∥OF,DE=OD=OF,
    ∴四边形DOFE是平行四边形,
    ∴EF=OD=4,
    ∴弦EF的长为4.

    6.(2020·陕西旬阳·初三期末)如图,AB是⊙O的直径,射线BC交⊙O于点D,E是劣弧AD上一点,且=,过点E作EF⊥BC于点F,延长FE和BA的延长线交与点G.
    (1)证明:GF是⊙O的切线;
    (2)若AG=6,GE=6,求⊙O的半径.

    【答案】(1)见解析;(2)3
    【解析】解:(1)如图,连接OE,

    ∵,
    ∴∠1=∠2,
    ∵∠2=∠3,
    ∴∠1=∠3,
    ∴OE∥BF,
    ∵BF⊥GF,
    ∴OE⊥GF,
    ∴GF是⊙O的切线;
    (2)设OA=OE=r,
    在Rt△GOE中,∵AG=6,GE=6,
    ∴由OG2=GE2+OE2可得(6+r)2=(6)2+r2,
    解得:r=3,
    故⊙O的半径为3.
    7.(2020·四川阿坝·初三期末)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D.
    (1)若∠BAC=70°,求∠CBD的度数;
    (2)求证:DE=DB.

    【答案】(1)35°;(2)证明见解析.
    【解析】(1)∵点E是△ABC的内心,∠BAC=70°,
    ∴∠CAD=,
    ∵,
    ∴∠CBD=∠CAD=35°;
    (2)∵E是内心,
    ∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD.
    ∵∠CBD=∠CAD,
    ∴∠CBD=∠BAD,
    ∵∠BAD+∠ABE=∠BED,∠CBE+∠CBD=∠DBE,
    ∴∠DBE=∠BED,
    ∴DE=DB.
    8.(2020·江西寻乌·期末)如图,中,,以为直径作半圆交与点,点为的中点,连结.
    (1)求证:是半圆的切线;
    (2)若,,求的长.

    【答案】(1)见解析;(2)6.
    【解析】(1)证明:连接OD,OE,BD,

    ∵AB为圆O的直径,
    ∴∠ADB=∠BDC=90°,
    在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
    ∴DE=BE,
    在△OBE和△ODE中,

    ∴△OBE≌△ODE(SSS),
    ∴∠ODE=∠ABC=90°,
    则DE为圆O的切线;
    (2)在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
    ∴BC= AC,
    ∵BC=2DE=4,
    ∴AC=8,
    又∵∠C=60°,DE=CE,
    ∴△DEC为等边三角形,即DC=DE=2,
    则AD=AC-DC=6.
    9.(2020·无锡市大桥实验学校月考)如图,在中,,以为直径的⊙O与相交于点,过点作⊙O的切线交于点.

    (1)求证:;
    (2)若⊙O的半径为,,求的长.
    【答案】(1)见详解;(2)4.8.
    【解析】解:连接OD,如图:

    ∵AB=AC,
    ∴∠B=∠C,
    ∵OB=OD,
    ∴∠B=∠ODB,
    ∴∠B=∠ODB=∠C,
    ∴OD∥AC,
    ∵DE是切线,
    ∴OD⊥DE,
    ∴AC⊥DE;
    (2)连接AD,如(1)图,
    ∵AB为直径,AB=AC,
    ∴AD是等腰三角形ABC的高,也是中线,
    ∴CD=BD=,∠ADC=90°,
    ∵AB=AC=,
    由勾股定理,得:,
    ∵,
    ∴;
    10.(2020·江苏泰州·月考)如图,△ABC内接于⊙O,点D在⊙O外,∠ADC=90°,BD交⊙O于点E,交AC于点F,∠EAC=∠DCE,∠CEB=∠DCA,CD=6,AD=8.

    (1)求证:ABCD;
    (2)求证:CD是⊙O的切线;
    【答案】(1)见解析;(2)见解析
    【解析】(1)证明: , ,


    (2)证明:连接 并延长交 于 ,连接 ,如图1所示:

    则 为 的直径,



    , ,


    ,即 ,
    是 的半径,
    是 的切线;
    11.(2019·云南官渡·二模)如图,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上一动点(不与A,C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交于点F,交过点C的切线于点D.

    (1)求证:DC=DP;
    (2)若∠CAB=30°,当F是的中点时,判断以A,O,C,F为顶点的四边形是什么特殊四边形?说明理由.
    【答案】(1)证明见解析;(2)菱形,理由见解析.
    【解析】解:(1)连接BC、OC,
    ∵AB是⊙O的直径,∴∠OCD=90°,∴∠OCA+∠OCB=90°,
    ∵∠OCA=∠OAC,∠B=∠OCB,∴∠OAC+∠B=90°,
    ∵CD为切线,∴∠OCD=90°,∴∠OCA+∠ACD=90°,∴∠B=∠ACD,
    ∵PE⊥AB,∴∠APE=∠DPC=∠B,
    ∴∠DPC=∠ACD,∴AP=DC;

    (2)以A,O,C,F为顶点的四边形是菱形.理由如下:
    ∵∠CAB=30°,∴∠B=60°,∴△OBC为等边三角形,∴∠AOC=120°,
    连接OF,AF,
    ∵F是的中点,∴∠AOF=∠COF=60°,∴△AOF与△COF均为等边三角形,
    ∴AF=AO=OC=CF,
    ∴四边形OACF为菱形.


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