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数学24.2.2 直线和圆的位置关系优秀课后作业题
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这是一份数学24.2.2 直线和圆的位置关系优秀课后作业题，文件包含专题242点和圆直线和圆的位置关系讲练-2022-2023九年级上册同步讲练解析版人教版docx、专题242点和圆直线和圆的位置关系讲练-2022-2023九年级上册同步讲练原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共131页， 欢迎下载使用。
专题24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
典例体系（本专题共129题97页）
一、知识点
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)dr⇔点在⊙O外．
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
3.切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
4.切线的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
二、考点点拨与训练
考点1：点与圆的位置关系
典例：（2020·全国初三课时练习）如图，在中，，点为的中点．
（1）以点为圆心，4为半径作，则点分别与有怎样的位置关系？
（2）若以点为圆心作，使三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，求的半径的取值范围．
【答案】（1）在圆上，点在圆外，点在圆内 （2）
【解析】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M，
，
，
∵以点C为圆心，4为半径作⊙C，
∴AC=4，则A在圆上，
∵，
则M在圆内，
BC=5＞4，则B在圆外；
（2）以点为圆心作，使三点中至少有一点在内时，；
当至少有一点在外时，，
故的半径的取值范围为：．
方法或规律点拨
本题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．
巩固练习
1．（2020·江苏东台·月考）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是
A．点A在圆外 B．点A在圆上
C．点A在圆内 D．不能确定
【答案】C
【解析】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选C．
2．（2019·温州市南浦实验中学月考）已知⊙O的半径是5 cm，P是⊙O外一点，则OP的长可能是（ ）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
【答案】D
【解析】解：因为点在圆外，
所以：
故选D．
3．（2020·福州·福建师范大学附属中学初中部月考）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O内 D．不能确定
【答案】C
【解析】解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．
故选C．
4．（2021·沭阳县修远中学月考）如图，已知矩形中ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，若以A为圆心、5cm长为半径画⊙A，则点C与⊙A的位置关系为( )
A．点C在⊙A上 B．点C在⊙A外 C．点C在⊙A内 D．无法判断
【答案】A
【解析】解：连接AC，
∵AB=3cm，BC=AD=4cm，
∴AC=5cm，
∴点C在⊙A上，
故选A．
5．（2020·福建福州十八中初三月考）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定
【答案】B
【解析】解：根据点到圆心的距离与半径的关系进行判定,由题目可求出点到圆心的距离d=OA=5,d=r,d
A．圆可以经过点 B．点可以在圆的内部
C．点可以在圆的内部 D．点可以在圆内部
【答案】B
【解析】解：∵点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，∴点可以在圆的内部，故A错误，B正确；∵过点的圆记为圆，∴点可以在圆的外部，故C错误；∵过点的圆记为圆，∴点可以在圆的外部，故D错误．
故选B．
7．（2020·全国初三课时练习）已知⊙O的半径OA长为，若OB＝，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵⊙O的半径OA长为，若OB＝，
∴OA＜OB，
∴点B在圆外，
故选A．
8-．（2020·江苏东台·月考）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
【答案】.
【解析】根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是.
9．（2020·扬州平山实验学校月考）已知，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，r为半径画圆，矩形的四个顶点恰好有一个在⊙A外，则半径r的范围是________．
【答案】4≤r＜5
【解析】解：由题意可知，r必须大于或等于AD，且小于AC，
∵ 矩形ABCD中，AD=4，AB＝3，
∴ AC==5，
∴ r的范围为：4≤r＜5，
故答案为：4≤r＜5．
10．（2020·全国初三课时练习）的圆心是原点，半径为5，点在上，如果点在第一象限内，那么______.
【答案】4
【解析】解：如图
由题意得：OA=5，OB=3，
由勾股定理可得：AB=
即a=4
11．（2020·江苏兴化·月考）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）点M的坐标为 ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
【答案】（1）（2，0）；（2）点D在⊙M内．
【解析】（1）圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；
（2）圆的半径
线段MD=
所以点D在⊙M内．
考点2：三角形的外接圆的有关问题
典例：（2020·河北桥西·初三其他）如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．
（1）判断：∠ABC ∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；
（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．
【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）45°＜α＜90°
【解析】解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，
而∠ADC+∠EDC＝180°，
∴∠ABC＝∠PDC．
故答案是：＝；
（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD．
由（1）知：∠ABC＝∠PDC，
又∵BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AC＝CE．
又∵∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，
∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，
而45°＜α＜135°，
故：45°＜α＜90°．
方法或规律点拨
本题考查的是圆的综合运用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识，难度不大．
巩固练习
1．（2020·扬州平山实验学校月考）如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为
故选：D．
2．（2020·全国初三课时练习）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
【答案】B
【解析】A．OA=OB=OE,所以点O为△ABE的外接圆圆心；
B．OA=OC≠OF，所以点不是△ACF的外接圆圆心；
C．OA=OB=OD,所以点O为△ABD的外接圆圆心；
D．OA=OD=OE,所以点O为△ADE的外接圆圆心；
故选B
3．（2020·全国初三课时练习）如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【答案】D
【解析】解：由图可知，△ABC是锐角三角形，
∴△ABC的外心只能在其内部，
由此排除A选项和B选项，
由勾股定理得，BP＝CP＝≠PA，
∴排除C选项，
故选D．
4．（2020·福建仙游·初三二模）过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
【答案】A
【解析】设圆的半径为r，则根据勾股定理可知：
，解得r=，
因此圆心的纵坐标为，
因此圆心的坐标为（4，）.
故选A
5．（2020·湖北枣阳·初二期末）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
【答案】A
【解析】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选A．
6．（2020·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学初三三模）小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD．下列说法不正确的是（ ）
A．∠A＝60° B．△ACD是直角三角形
C．BC＝CD D．点B是△ACD的外心
【答案】C
【解析】解：由作图可知：AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，(故A正确)
∵BA=BC=BD，
∴△ACD是直角三角形，（故B正确），点B是△ACD的外心．（故D正确）；
∴tanA==，
∴AC=，
∴BC=，（故C错误）
故选C．
7．（2020·江苏连云港·中考真题）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．
故选：D．
8．（2020·河北初三二模）如图，已知点是的外心，点、分别是、的中点，连接、分别交于点、，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，
∵点E是的外心，
∴，
∴，是等腰三角形，
∵点、分别是、的中点，
∴，，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴，，
在中，∵，
∴是直角三角形，，
∴，
故选：B．
9．（2020·广东天河·初三月考）如图，是的外接圆，则点是的（ ）．
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】A
【解析】解：∵是的外接圆，∴点O是的三条边的垂直平分线的交点．
10．（2020·上饶市广信区第七中学初三月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为，点A的坐标是，，把绕点A按顺时针方向旋转后，得到，则的外接圆圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，取AB'中点P，过点P分别作PE⊥x轴，垂足为点E，连接PO'，
∵把绕点A按顺时针方向旋转后，得到，
∴AB＝AB'，∠BAB'＝90°，∠B'O'A＝∠BOA＝90°，
∵点P为AB'的中点，
∴PA＝PB'＝PO'＝AB'，
∴的外接圆圆心为点P，
∵∠BAO＝60°，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝90°－∠BAO＝30°，
∴OA＝AB，
∵点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∴AB'＝AB＝2OA＝2，
∴PA＝AB'＝1，
∵∠BAB'＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠PAE＝180°－∠BAB'－∠BAO＝30°，
∴PE＝PA＝,
∴在Rt△PEA中，，
∴点P的坐标为．
11．（2020·宁夏银川·初三月考）已知是的三边长，外接圆的圆心在的一条边上的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：∵外接圆的圆心在△ABC一条边上，
∴△ABC是直角三角形，
A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误；
故选C.
12．（2020·宁夏银川·初三月考）三角形的外心具有的性质是（ ）
A．到三边的距离相等 B．是三条角平分线的交点
C．到三个顶点的距离相等 D．外心在三角形内
【答案】C
【解析】解：∵三角形的外心是任意两边垂直平分线的交点，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴到三个顶点距离相等，
故选：C．
13．（2020·江苏东台·月考）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______．
【答案】8或10．
【解析】由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长==20，因此这个三角形的外接圆半径为10．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
故答案为10或8．
14．（2020·浙江温州·月考）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是_____．
【答案】
【解析】如图，
根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点．结合图形发现其外心的位置，再根据勾股定理得外接圆的半径==．
故答案为.
15．（2020·江苏省泰兴市黄桥初级中学月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．经画图操作可知的外心坐标可能是( )
【答案】（−2，−1）
【解析】解：∵△ABC的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
∴如图，AB和BC的垂直平分线的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（−2，−1），
故答案为：（−2，−1）．
16．（2020·江苏兴化·月考）中，两条直角边的长分别是6cm和8cm，则的外接圆的半径是_____cm．
【答案】5
【解析】由勾股定理得：的斜边长为，
直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点，
的外接圆的半径为，
故答案为：5．
17．（2020·扬州平山实验学校月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为___________．
【答案】（6，6）
【解析】解：如图∵圆M是△ABC的外接圆
∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN=CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）
∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）．
故答案为（6，6）．
18．（2019·吉林长春·东北师大附中其他）若三角形的三条边长分别为5，12，13，则这个三角形外接圆的半径为_____．
【答案】6.5．
【解析】解：∵三角形的三条边长分别为5，12，13，，
∴此三角形是以13为斜边的直角三角形，
∴这个三角形外接圆的半径为13÷2＝6.5．
故答案为6.5．
19．（2019·银川市第三中学一模）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．
【答案】
【解析】如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故答案为：．
20．（2020·江苏鼓楼·初三一模）如图，内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．
（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长．
【答案】（1）5；（2）12
【解析】解：（1）如图1，连接OB、OC，
∵BD＝6，DC＝4，
∴BC＝10，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴OB＝BC＝5；
（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，
∴BF＝FC＝5，
∴DF＝1，
∵∠BOC＝90°，BF＝FC，
∴OF＝BC＝5，
∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，
∴四边形OFDE为矩形，
∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，
在Rt△AOE中，AE＝＝7，
∴AD＝AE+DE＝12．
21．（2020·河北路北·初三一模）如图，在中，，点从点出发沿向点运动，点从点出发沿向点运动，点和点同时出发，速度相同，到达点或点后运动停止．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）若的外心在其内部时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】解：（1）∵点、点分别从点、点同时出发，在线段上作等速运动，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
（3）若△ABD的外心在其内部时，则△ABD是锐角三角形．
∴∠BAD=140°-∠BDA＜90°．
∴∠BDA＞50°，
又∵∠BDA＜90°，
∴50°＜∠BDA＜90°．
22．（2020·广东顺德·江义初中初三一模）在△ABC中，AB＝AC
（1）求作一点P，使点P为△ABC的外接圆圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠A＝50°，求∠PBC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠PBC的度数为40°
【解析】解：（1）如图，点P即为△ABC的外接圆圆心；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠BAC＝25°，
∵PA＝PB，
∴∠BPD＝2∠BAP＝50°，
∵∠BDP＝90°，
∴∠PBD＝90°﹣50°＝40°．
即∠PBC＝40°
答：∠PBC的度数为40°．
23．（2020·江苏海陵·泰州中学附属初中月考）已知：在△ABC中，AB=AC．点A在以BC为直径的⊙O外．
（1）请仅用无刻度的直尺画出点O的位置（保留画图痕迹）；
（2）若的外接圆的圆心M，OM=4，BC=6，求△ABC的面积．
【答案】（1）答案见解析；（2）27
【解析】解：（1）如图，点O即为所求．
（2）∵点M是△ABC的外心，∴AM＝MC，
由题意，在Rt△OMC中，∵∠MOC＝90°，OM＝4，OC＝3，
∴CM＝，
∴OA＝AM+OM＝5+4＝9，
∴S△ABC＝•BC•AO＝×9×6＝27．
考点3：确定圆的条件
典例：（2019·江苏鼓楼·初三期中）如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．
（1）求证：点P的运动路径是一个圆；
（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）≤PC≤
【解析】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示：
则HP是△ABO的中位线，
∴HP＝OB＝1，
∴P点到H点的距离固定为1，
∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；
（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，
∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，
∴PC＝PA＝AB，
当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，
∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，
∴AP'＝AM＝，
∴PC＝；
当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，
∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，
∴AP''＝AN＝，
∴PC＝；
∴PC长的取值范围是≤PC≤．
方法或规律点拨
本题考查确定圆的条件、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东广饶·初三其他）下列四个命题：
①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③三角形有且只有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤过三点有且只有一个圆．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①等边三角形是中心对称图形不是中心对称图形，故错误；
②在圆中一条弦所对的圆周角有两个，则在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，故错误；
③三角形有且只有一个外接圆，故正确；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
⑤过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，故错误；
故是真命题的是③，
故选：A.
2．（2020·江苏苏州·初三月考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【答案】B
【解析】由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.
3．（2019·浙江鄞州·初三期中）下列命题中是真命题的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三边的距离相等
C．等弧所对的圆周角相等 D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】C
【解析】解：选项A中，不在同一直线的三点确定一个圆，故选项A错误；
选项B中，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项B错误；
选项C中，等弧所对的圆周角相等，故选项C正确；
选项D中，平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故选项D错误；
故选C.
4．（2019·湖州市第五中学一模）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
【答案】C
【解析】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故选：C．
5．（2019·石家庄市第十七中学初三期中）在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．0或1
【答案】D
【解析】解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；
当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；
故选D．
6．（2019·江苏鼓楼·初三期中）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选：D．
7．（2019·南通市启秀中学初三月考）有下列命题中：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④长度相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于这条弦；⑥弦的垂直平分线经过圆心；⑦相等的圆周角所对的弧相等.其中正确的有（ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．7个
【答案】B
【解析】①直径是弦，是真命题；
②不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原命题是假命题；
③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，是真命题；
④在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；
⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；
⑥弦的垂直平分线经过圆心，是真命题；
⑦在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；
故选B．
8．（2020·全国初三单元测试）平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．
（1）在图中清晰标出点P的位置；
（2）点P的坐标是_________.
【答案】（1）见解析；（2）（6，6）.
【解析】解：弦AB的垂直平分线是y=6，弦CD的垂直平分线是x=6，
因而交点P的坐标是（6，6）．
考点4：直线与圆的位置关系
典例：（2020·广州市白云区桃园中学初三期中）如图，在直角△ABC中，∠C=90∘，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
(1)若∠A=25∘，求弧DE的度数；
(2)若BC=2，AC=6，求BD的长．
【答案】(1)40°（2）2105
【解析】解：（1）连接CD，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵BC=CD,
∴∠BDC=65°,
∴∠BCD=50°，
∴弧DE的度数是90°-50°=40°；
（2）作CH⊥BD，如图，则BH=DH，
在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=22+62=210，
∵ 12CH•AB=12BC•AC，
∴CH=2×6210=3105，
在Rt△BCH中，BH=22-（3105）2=105，
∴BD=2BH=2105.
方法或规律点拨
本题考查了勾股定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键.
巩固练习
1．（2020·河北丰南·二模）已知的半径为5，直线与有公共点，则圆心到直线的距离不可能为（ ）
A．5 B．5.5 C．4.5 D．1
【答案】B
【解析】∵直线与有公共点
∴直线与应是相交或相切的位置关系
∴圆心距小于等于半径
∵5.5>5
∴B选项错误
故选B．
2．（2020·江苏崇川·南通田家炳中学初三月考）圆的最大的弦长为12cm，如果直线与圆相离，且直线与圆心的距离为d，那么（ ）
A．d＜6cm B．6cm＜d＜12cm C．d>6cm D．d＞12cm
【答案】C
【解析】解：由题意得，圆的直径为12，那么圆的半径为6．
则当直线与圆相离时，直线与圆心的距离d>6 cm．
故选：C．
3．（2020·全国初三课时练习）已知某直线到圆心的距离为，圆的周长为，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】B
【解析】解：∵圆的周长为10πcm，
∴圆的半径为5cm，
∵圆心到直线l的距离为5cm，
∴d=r，
∴直线与圆相切，
∴直线l和这个圆的公共点的个数为1个．
故选：B．
4．（2020·全国初三课时练习）已知的半径为为直线上的一点，若，则直线与的位置关系是（ ）
A．一定相交 B．一定相切 C．一定相离 D．可能相交，也可能相切或相离
【答案】D
【解析】因为垂线段最短，圆心到直线的距离为垂线段的长度，所以此时垂线段的长度和半径的大小关系不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能．
故选D．
5．（2020·全国初三课时练习）已知的半径等于，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】A
【解析】∵⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线的距离为9cm，
即圆心O到直线的距离大于圆的半径，
∴直线和⊙O相离，
∴直线与⊙O没有公共点．
故选：A．
6．（2020·全国初三课时练习）在中，，以点为圆心，为半径作圆．若与边只有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】如图，过点作于点．
，．
①如果以点为圆心，为半径的圆与斜边相切，则．此时．
②当时，圆与边也只有一个公共点．
综上，或．
故选D．
7．（2020·武汉市黄陂区第六中学初三其他）已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
【答案】B
【解析】解：∵m＝3＜半径＝4，
∴直线与圆相交，
故选：B．
8．（2020·四川峨眉山·初三二模）如图，已知⊙是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点，设，则的取值范围是（ ）
A．≤≤ B．≤≤
C．≤≤ D．＞
【答案】B
【解析】设切点为C，连接OC，则
圆的半径OC=1，OC⊥PC，
∵∠AOB=45°，OA∥PC，
∴∠OPC=45°，
∴PC=OC=1，
∴OP=，
同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数
所以x的取值范围是0＜x≤
故选：B．
9．（2020·江苏海陵·初三期末）的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【解析】∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
10．（2020·首都师范大学附属中学三模）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当时，可得到形状唯一确定的；
②当时，可得到形状唯一确定的；
③当时，可得到形状唯一确定的；
④当时，可得到形状唯一确定的；
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】C
【解析】解：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ的形状不能唯一确定，故①错误；
②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，以P为圆心，9为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故②正确；
③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故③正确；
④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故④正确；
故选：C．
11．（2020·全国初三课时练习）已知⊙O的半径OA＝5cm，延长OA到B，AB＝2cm，以OB为一边作∠OBC＝45°，那么BC所在直线与⊙O的位置关系是_____．
【答案】相交
【解析】过O作OC⊥BC，
在Rt△OBC中，
∠B=45°，OB=5+2=7，
∴OC=＜5，
∴BC所在直线与⊙O的位置关系是相交，
故答案为相交．
12．（2020·上海静安·初三二模）已知矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，BC＝8，分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切，那么⊙D的半径长r的取值范围是______．
【答案】8＜r＜9
【解析】解：设⊙O的半径为r1，⊙D半径为r，
由⊙O与直线AD相交、与直线CD相离可知：3＜r1＜4，
由题意可知：r＞r1，否则⊙D与⊙O不能内切，
∵OD＝AC＝5，
∴圆心距d＝5，
∴d＝r﹣r1，
∴r＝5+r1，
∴8＜r＜9，
故答案为：8＜r＜9．
13．（2020·内蒙古包头·初三二模）问题：如图1，在中，，点是射线上任意一点，是等边三角形，且点在的内部，连接．探究线段与之间的数量关系．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
当点与点重合时(如图2)，请你补全图形．由的度数为_______________，点落在_______________，容易得出与之间的数量关系为_______________
当是的平分线时，判断与之间的数量关系并证明
当点在如图3的位置时，请你画出图形，研究三点是否在以为圆心的同一个圆上，写出你的猜想并加以证明．
【答案】（1）60°；AB的中点处；BE=DE；（2）BE=DE，理由见解析；（3）A、B、D在以E为圆心的同一个圆上，画图和理由见解析
【解析】解：（1）如图，
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=CE，
∴点E落在AB的中点处；
∴AE=CE=BE=DE，
故答案为：60°；AB的中点处；BE=DE；
（2）BE=DE，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°=∠ABC=∠CAD，
∴AD=BD，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AD，
∴DE=DB，
∵∠C=90°，
∴∠ADC=∠ADE=60°，
∴∠BDE=60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴BE=DE；
（3）如图为所画图形，
猜想：A、B、D在以E为圆心的同一个圆上，
理由是：设AB中点为F，连接CF，EF，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠1=60°，CF=AF=AB，
∴△ACF是等边三角形．
∴AC=AF，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠2=60°，AD=AE，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠CAD=∠FAE，
在△ACD和△AFE中，
，
∴△ACD≌△AFE（SAS），
∴∠ACD=∠AFE=90°，
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，
∴BE=DE，
∴点E在BD的垂直平分线上，
∴A、B、D在以点E为圆心的同一个圆上.
考点5：切线的性质
典例： （2019·江苏金坛·期中）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝40°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图1，求∠T和∠CDB的度数；
（2）如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的度数．
【答案】（1）∠T＝50°，∠CDB＝50°；（2）∠CDO＝30°．
【解析】（1）如图①，连接AC，
∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，
∵∠ABT＝40°，
∴∠T＝90°﹣∠ABT＝50°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝50°，
∴∠CDB＝∠CAB＝50°；
（2）如图②，连接AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝40°，
∴∠BCE＝∠BEC＝70°，
∴∠BAD＝∠BCD＝70°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝70°，
∵∠ADC＝∠ABC＝40°，
∴∠CDO＝∠ODA﹣∠ADC＝70°﹣40°＝30°．
方法或规律点拨
本题主要考查切线定理及圆的基本性质，关键是根据切线定理得到角的等量关系，然后利用等腰三角形的性质及圆周角的性质即可求解．
巩固练习
1．（2020·湖南湘西·中考真题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
【答案】B
【解析】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
2．（2020·浙江江北·初三学业考试）如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当与AB，BC相切时，如图，连结OA，OB，OC，
设此时点O到AC的距离为h，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB==10，
∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，
∴AC·BC=S△AOC+（AB+BC）×1，
∴×6×8=S△AOC+×（8+10）×1，
∴S△AOC=24-9=15=AC·h=×6×h，
∴h=5，
∴的平移距离为5-1=4，
故选：B．
3．（2020·黑龙江哈尔滨·月考）如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是（ ）
A．15° B．16° C．29° D．58°
【答案】C
【解析】解：∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB=90°，
∴∠AOB=90°-∠ABO=90°-32°=58°，
∵
∴∠ADC=∠AOB=29°．
故选：C
4．（2019·江苏金坛·期中）如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】D
【解析】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选D．
5．（2020·福州·福建师范大学附属中学初中部月考）如图，在⊙O中，AB为弦，OD⊥AB于D，∠BOD＝53°，过A作⊙O的切线交OD延长线于C，则∠C＝（ ）
A．27° B．30° C．37° D．53°
【答案】C
【解析】解：如图，连接OA，
∵OD⊥AB于D，OA＝OB，
∴∠AOC＝∠BOD＝53°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣53°＝37°，
故选：C．
6．（2020·无锡市大桥实验学校月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．
7．（2021·沭阳县修远中学月考）如图所示，AE切⊙D于点E，AC=CD=DB=10，则线段AE的长为（ ）
A．10 B．15 C．10 D．20
【答案】C
【解析】∵AE切⊙D于点E，
∴∠AED=90°，
∵AC=CD=DB=10，
∴AD=20，DE=10，
∴AE=．
故选C．
8．（2019·广东郁南·月考）如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【解析】解：连接OC，
∵DC是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=40°，
∴∠DOC=50°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠A=∠DOC=25°．
故选：B．
9．（2020·浙江松阳·初三其他）如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，点E在圆O上，连结DE．若圆O的半径为5，且AB＝11．当∠ADE最大时，DE的长度为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】D
【解析】
连接OE、OF、OD、OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝11，∠A＝90°，
∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，
∴∠OMA＝∠OFA＝90°＝∠A，
∵OM＝OF，
∴四边形AFOM是正方形，
∴AM＝OM＝5，
当点E在圆O最外端时，即：DE与圆O相切时，∠ADE最大，
∵OE ＝OF，OD＝OD，
∴Rt△OFD≌Rt△OED，
∴DE＝DF＝AD –AF＝11－5＝6，
故选：D．
10．（2020·四川南充·初三月考）点是的直径延长线上一点，切于，交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，
∵OA=OD，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵切于，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
11．（2020·福建省福州第十九中学初三其他）如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为（ ）
A．20.5° B．22.5° C．24° D．30°
【答案】B
【解析】解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴OA＝BC，
∵OA＝OB，
∴OB＝BC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BOC＝45°，
∴∠BDC＝BOC＝22.5°，
故选：B．
12．（2020·江苏东台·月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若AOC=80°，则ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
【答案】B．
【解析】根据AE是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，可以先得出∠BAD为直角．再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠B，从而得到∠ADB的度数．由题意得：∠BAD=90°，∵∠B=∠AOC=40°，∴∠ADB=90°-∠B=50°．故选B．
13．（2020·扬州平山实验学校月考）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是_________．
【答案】25
【解析】解：∵是的切线，
∴∠OAC=90°
∵，
∴∠AOD=50°，
∴∠B=∠AOD=25°
故答案为：25．
14．（2020·东莞外国语学校初三二模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为
【答案】5．
【解析】如答图，由题意，⊙O与BC相切，记切点为M，作直线OM，分别交AD、劣弧于点H、N，再连接OF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，而MN⊥BC，∴MN⊥AD.∴在⊙O中，FH=EF=4.
设球半径为r，则OH=8﹣r，
在Rt△OFH中，由勾股定理得，r2﹣（8﹣r）2=42，解得r=5.
15．（2020·广西大化·初三学业考试）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．
【答案】44°
【解析】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为44°
16．（2020·黄山市徽州区第二中学一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线与点D．若AB=4，∠D=30°，
（1）∠A的度数；
（2）求AC长．
【答案】（1）∠A=30°；（2）
【解析】解：连结OC，∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°，而∠D=30°，∴∠COD=60°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，∴∠A=30°；
（2）作OE⊥AC于E．
∵AB=4，∴AO=2，∴30°，
∴．
17．（2020·江苏宿豫·期中）如图，AB是的直径，AC是的弦过点C的切线交AB的延长线于点D，若，试求的度数．
【答案】
【解析】解：连结OC，
为的切线
又
又，
，
而，
．
18．（2019·吉林长春·东北师大附中其他）如图，矩形是的内接四边形，点是劣弧上的一点，连结过点作的切线交线段的延长线于点．
（1）连接，则的直径长为 ；
（2）若，求的长．
【答案】（1）5；（2）
【解析】解：（1）如图，连接AC，
∵∠ABC=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∴AC===5，
故答案为：5；
（2）∵CF切于点．
，
，
在中，．
19．（2019·滨海县第一初级中学月考）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过弧BD上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．
（1）若∠DAB＝50°，求∠ATC的度数；
（2）若⊙O半径为2，TC＝，求AD的长．
【答案】（1）65°；（2）2．
【解析】（1）连接OT，
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
又∵AT平分∠BAD，
∴∠DAT=∠OAT，
∴∠DAT=∠OTA，
∴OT∥AC，
又∵CT⊥AC，
∴CT⊥OT，
∴CT为⊙O的切线；
（2）过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，
又∵CT⊥AC，
∴OE∥CT，
∴四边形OTCE为矩形，
∵CT=，
∴OE=，
又∵OA=2
，∴在Rt△OAE中，AE＝，
∴AD=2AE=2．
20．（2020·江苏崇川·南通田家炳中学初三月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）15．
【解析】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．
（2）连接CD．
∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=10，∴AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，
在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，
∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，
∴BC==15．
考点6：切线的判定
典例：（2020·西安市铁一中学初三二模）如图，在中，，平分，交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点．
（1）求证：与相切．
（2）连接并延长，交于点，若，且，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】解：（1）证明：作于，如图，
平分，，，
，
而为的半径，
与相切；
（2）作于，如图，设的半径为，
易得四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，解得，
即的半径为2．
方法或规律点拨
本题考查了切线的判定、矩形的判定、30°角所对的直角边等于斜边的一半等内容，证明AB是的切线是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·无锡市江南中学初三二模）已知：Rt△ABC，∠C＝90°．
（1）点E在BC边上，且△ACE的周长为AC＋BC，以线段AE上一点O为圆心的⊙O恰与AB、BC边都相切．请用无刻度的直尺和圆规确定点E、O的位置；
（2）若BC＝8，AC＝4，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）如图，点E、O即为所求作点，
（2）解：设AE＝BE＝x，则CE＝8－x
在Rt△ACE中，42＋（8－x）2＝x2
x＝5
在Rt△ABC中，AB＝＝
∵S△ABE＝S△AOB＋S△BOE
∴×5×4＝×r＋×5r
∴r＝．
2．（2020·山东大学附属中学其他）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∵点F是ED的中点，
∴CF＝EF＝DF，
∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC＋∠AEO＝90°，
∴∠OCA＋∠FCE＝90°，即OC⊥FC，
∴CF与⊙O相切；
（2）证明：连接AD
∵OD⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠ACD＝90°，
∵∠AEO＝∠DEC，
∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，
∵AO＝BO，
∴AD＝BD，
∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD．
3．（2020·江苏东台·月考）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED＝EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．
【答案】（1）∠DOA =100°；（2）证明见解析.
【解析】解：（1）∵∠DBA=50°，
∴∠DOA=2∠DBA=100°；
（2）证明：连接OE，
在△EAO和△EDO中，
AO=DO，EA=ED，EO=EO，
∴△EAO≌△EDO，
得到∠EDO=∠EAO=90°，
∴直线ED与⊙O相切．
4．（2020·首都师范大学附属中学三模）下面是小东设计的“过圆外一点作圆的两条切线”的尺规作图过程．
己知：和外一点．
求作：的切线．
作法：如图，
①连接；
②分别以点为圆心，大于的相等的长为半径作弧，两弧交于两点；
③作直线，交于点．
④以点为圆心，长为半径作圆，交于两点；
⑤作直线．
则就是所求作的的切线．
根据小东设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
完成下面的证明．
证明：是线段的垂直平分线，
点是线段的中点．
_ 是的直径．
( _) (填推理的依据)
半径半径．
是的切线( _) (填推理的依据)
【答案】（1）详见解析；（2）OP，直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【解析】解：（1）补全图形如图．
（2）完成下面的证明．
证明：∵MN是线段的垂直平分线，
∴点是线段的中点．
∴OP是的直径
∴（直径所对的圆周角是直角），
∴半径半径．
∴是的切线(经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线) ．
5．（2020·浙江越城·期中）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）AC=5，AD=5；（2）直线PC与⊙O相切
【解析】解：(1)、①如图，连接BD， ∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在RT△ABC中，AC=
②∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形
∴AD=AB=×10=5cm；
(2)、直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC， ∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA
∵PC=PE
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE
∵CD平分∠ACB
∴∠ACE=∠ECB
∴∠PCB=∠ACO
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°， OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．
6．（2020·江苏镇江·其他）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE∥AC，交劣弧于点E，过点E作射线l⊥AB，交弦BC于点D，在射线l上取点F，使FC＝FD．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）当△CFD为等边三角形时，判断以O，A，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形OACE是菱形；理由见解析．
【解析】（1）证明：连接CO，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC．
∵CF＝DF，
∴∠DCF＝∠CDF．
∵∠BDP＝∠CDF，
∴∠DCF＝∠BDP．
又∵l⊥AB，
∴∠BPD＝90°．
从而∠BDP+∠ABC＝90°，
∴∠DCF+∠OCB＝90°，
即∠OCF＝90°，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，CE，
以O，A，C，E为顶点的四边形是菱形，
∵△CFD为等边三角形，
∴∠DCF＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣60°＝30°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝90°﹣∠OCB＝60°，
∴△ACO是等边三角形，
∴AO＝AC＝OE
∵OE∥AC，
∴四边形OACE是菱形．
7．（2020·江苏宿豫·期中）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】（1）证明：连接AD．
∵点D为弧BC的中点，
∴，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r．
过点O作OF⊥AE于F，
则四边形OFED为矩形
∴OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r，
∵在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2，
∴（8﹣r）2+42＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
8．（2020·无锡市大桥实验学校月考）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD=∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=2，CA=4，求弦AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）直线AC是⊙O的切线，
理由如下：如图，连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC，
又∵∠CAD=∠ABC，
∴∠OAB=∠CAD=∠ABC，
∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC，
∴AC⊥OA，
又∵OA是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD于E，
∵OC2=AC2+AO2，
∴(OA+2)2=16+OA2，
∴OA=3，
∴OC=5，BC=8，
∵S△OAC=OAAC=OCAE，
∴AE=，
∴OE=，
∴BE=BO+OE=，
∴AB=．
9．（2020·西安市铁一中学初三三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BO平分∠ABC，交AC于点O，以O为圆心，OC为半径作圆，交OB于点E．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）连接CE并延长，交AB于点F，若CF⊥AB，且CF＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】（1）证明：作OD⊥AB于D，如图，
∵BO平分∠ABC，OC⊥BC，OD⊥AB，
∴OD＝OC，
而OC为⊙O的半径，
∴AB与⊙O相切；
（2）作OH⊥CE于H，如图，设⊙O的半径为r，
∵CF⊥AB，OD⊥AB
∴四边形OHFD为矩形，
∴HF＝OD＝r，
∵OC＝OE，OH⊥CE，
∴∠OCH＝∠EOH，
∵OH∥BF，
∴∠CBO＝∠BOH，
∵∠COH+∠BOH+∠CBO＝90°，
∴∠COH＝30°，
在Rt△OCH中，CH＝CF﹣HF＝3﹣r，
∵CH＝OC，
∴3﹣r＝r，解得r＝2，
即⊙O的半径为2．
10．（2020·重庆永川·初三三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）6．
【解析】解：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．
11．（2020·江苏丹徒·初三期中）如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD＝，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）1.
【解析】（1）证明：如图，
∵O、D分别为中点，
∴OD为中位线
即：DE为切线
（2）如图，
BD=CD=
作OH⊥BD，由垂径定理得
由平行得∠ODH=30°，
设OH=x，则OD=2x，
解得：
∴半径为1
12．（2020·山东泗水·初三期中）如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB延长线上，FE⊥AB，BE=EF=2，FE的延长线交CD延长线于点G，DG=GE=3，连接FD．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：DF是⊙O的切线．
【答案】（1）2；（2）证明见解析
【解析】解：（1）设⊙O半径为R，则OD=OB=R，
在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得：OG2=OE2+EG2，
∴（R+3）2=（R+2）2+32，
R=2，
即⊙O半径是2．
（2）∵OB=OD=2，
∴OG=2+3=5，GF=2+3=5=OG，
∵在△FDG和△OEG中
∴△FDG≌△OEG（SAS），
∴∠FDG=∠OEG=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
13．（2019·江西寻乌·其他）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD=OC．
（1）当∠B=30°时，请判断四边形OCAD的形状，为什么？
（2）当∠B等于多少度时，AD与⊙O相切？请说明理由．
【答案】（1）菱形，见解析；（2）45°，见解析
【解析】解：（1）四边形OCAD是菱形．
理由：∵OA=OC，AD=OC，
∴OA=AD，
∴∠OAC=∠OCA，∠AOD=∠ADO，
∵OD∥AC，
∴∠OAC=∠AOD，
∴∠OAC=∠OCA=∠AOD=∠ADO，
∴∠AOC=∠OAD，
∴OC∥AD，
∴四边形OCAD是平行四边形，
∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
∴OC=OA=AC，
∴AC=OC，
∴四边形OCAD是菱形．
（2）∵AD与⊙O相切，
∴∠OAD=90°，
∵AD∥OC，
∴∠AOC=90°，
∴∠B=∠AOC=45°．
14．（2020·绍兴市越城区成章中学期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙D的半径AD＝2．
【解析】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）解：连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2，
∴⊙D的半径AD＝2．
15．（2020·福建思明·厦门双十中学二模）如图，在四边形ABCD中，，，，为的外接圆.
（1）如图1，求证AD是的切线；
（2）如图2，CD交于点E，过点A作，垂足为F，交BC于点G，若，，求的长.
【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【解析】（1）证明：如图1，连接OA,OB,OC
在和中，
∴
∴
∴AO平分，
∵
又∵
∴
∴是的切线
（2）如图2，连接.
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
在和中
∴
∴，.
设，在，，，
∴，即，
∴，
∴.
考点7：切线长定理
典例：（2020·天津和平·初三二模）已知，是的直径，，是的切线，切点分别是点，.
（1）如图①，若，求的度数；
（2）如图②，若是劣弧上一点，，求的度数.
【答案】解：（1）.（2）60.
【解析】（1）∵，是的切线，
∴.
∴.
∵为切线，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴.
（2）如图，连接.
∴.
∵，，
∴.
∴.
∴.
∵，是的切线，
∴，.
∴.
∵，
∴.
方法或规律点拨
本题综合运用了切线长定理、切线的性质、圆的内接四边形的性质以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，主要考查学生的推理和计算能力．
巩固练习
1．（2021·湖南长沙·明达中学月考）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA
【答案】D
【解析】由切线长定理可得：∠1＝∠2，PA＝PB，从而AB⊥OP．
因此A．B．C都正确．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故选D．
2．（2019·黑龙江甘南·初三期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【解析】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20．
故选：C．
3．（2020·四川广安二中初三期末）如图，PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E，CD分别交PA、PB于点C、D．下列关系：①PA=PB；②∠ACO=∠DCO；③∠BOE和∠BDE互补；④△PCD的周长是线段PB长度的2倍.则其中说法正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】根据切线长定理可知PA=PB，故①正确；
同理可知CA=CE，可知CO为∠ACE的角平分线，所以∠ACO=∠DCO，故②正确；
同理可知DE=BD，由切线的性质可知∠OBD=∠OED=90°，可根据四边形的内角和为360°知∠BOE+∠BDE=180°，即∠BOE和∠BDE互补，故③正确；
根据切线长定理可得CE=CA，BD=DE，而△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PB，故④正确.
故选D.
4．（2020·全国初三课时练习）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.
5．（2020·全国初三课时练习）如图，⊙O为的内切圆，，点分别为上的点，且为⊙O的切线，则的周长为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．8
【答案】C
【解析】解：设和圆的切点分别是．
根据切线长定理，得，．
则有，解得．
所以的周长为．
故选C．
6．（2020·全国初三课时练习）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则直角梯形周长为（ ）
A．14 B．10 C．8 D．12
【答案】A
【解析】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE=EF，BC=CF，
∵EF+FC+CD+ED=12，
∴AE+ED+CD+BC=12，
∵AD=CD=BC=AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2=CE2，即（4-x）2+42=（4+x）2，解得：x=1，
∵AE+EF+FC+BC+AB=14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故选：A．
7．（2020·全国初三课时练习）如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，
∵AC、AB都与圆O相切，
∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠CAO=∠BAO=60°，
∴∠AOB=30°，
在Rt△AOB中，AB=3cm，∠AOB=30°，
∴OA=6cm，
根据勾股定理得：OB=3，
则光盘的直径为6，
故选D.
8．（2019·河北河间·初三期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【答案】C
【解析】∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故选：C．
9．（2020·湖南永州·中考真题）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：如图， 是的两条切线，
故①正确，
故②正确，
是的两条切线，
取的中点，连接，
则
所以：以为圆心，为半径作圆，则共圆，故③正确，
M是外接圆的圆心，
与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是个，
故选C．
10．（2020·张家界市民族中学初三月考）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】C
【解析】∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，
∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．
故选C．
11．（2020·广东东莞·初三学业考试）如图，、切于点、，，切于点，交、于、两点，则的周长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【解析】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故选C．
12．（2020·重庆北碚·初三月考）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故选：D
13．（2020·山西寿阳·初三期末）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，则△PEF的周长为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
【答案】C
【解析】解： ∵PA，PB是圆的切线．∴PA=PB，
同理，AE=EC，FC=FB．
三角形PEF的周长=PE+EF+PF=PE+PF+CF+EC=PE+AE+PF+FB=PA+PB=2PA=20cm．
故选C．
14．（2020·江苏东台·月考）如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=__________ cm．
【答案】5
【解析】如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；
∴PA=PB=5cm，
故答案为5．
15．（2019·滨海县第一初级中学月考）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为________ ．
【答案】10
【解析】因为P为圆外一点，PA和PB为圆的切线，所以，
同理，，，
所以，
所以，
所以
故答案为：10
16．（2020·云南一模）如图，PA 、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是_____．
【答案】4．
【解析】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，
∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=2，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=4．
故填空答案：4．
17．（2020·安徽铜陵·初三期末）如图，、、均为⊙的切线，分别是切点，，则的周长为____．
【答案】10
【解析】解：∵AD，AE、CB均为⊙O的切线，D，E，F分别是切点，
∴EC=FC，BF=BD，AD=AE，
∵△ABC的周长=AC+BC+AB=AC+CF+BF+AB，
∴△ABC的周长=AC+EC+BD+AB=AE+AD=2AD，
∵AD=5，
∴△ABC的周长为10．
故答案为：10
18．（2020·北京密云·初三二模）已知：点A、点B在直线的两侧．
（点A到直线的距离小于点B到直线的距离）．
如图，
（1）作点B关于直线的对称点C；
（2）以点C为圆心，的长为半径作，交于点E；
（3）过点A作的切线，交于点F，交直线于点P；
（4）连接、．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
①是的切线； ②平分；
③； ④．
所有正确结论的序号是___________________________．
【答案】①②④
【解析】由轴对称的性质得：，，即
由作图可知，为的半径
由圆的切线的判定得：是的切线，则结论①正确
如图，连接CF，设PC与的交点为点D
是的切线
，即
由切线长定理得
在和中，
，即平分，则结论②正确
由轴对称的性质得：垂直平分BC
在中，
，则结论③错误
是等腰三角形
（等腰三角形的三线合一）
，则结论④正确
综上，所有正确结论的序号是①②④
故答案为：①②④．
19．（2020·全国初三课时练习）如图，都为⊙O的切线，切点分别为，且．
（1）求的周长；
（2）求的度数．
【答案】（1）12；（2）64°
【解析】解：（1）∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，
∴DE=DA+EB，
∴PE+PD+DE=PA+PB=12，
即△PDE的周长为12；
（2）连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOE=∠BOF，∠FOD=∠AOD=∠AOF，
∵∠APB=52°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-52°=128°，
∴∠DOE=∠FOE+∠FOD=（∠BOF+∠AOF）=∠BOA=64°．
20．（2020·新疆乌鲁木齐·初三三模）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．
（1）如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；
（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；
（3）用文字叙述上面证明的结论： ；
（4）若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长．
【答案】（1）=；（2）答案见解析；（3）圆外切四边形的对边之和相等；（4）4；10；12；6
【解析】解：（1）∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，
∴猜想AB+CD=AD+BC，
故答案为：=．
已知:四边形的四边分别与相切于点
求证:
证明:与相切，
同理:
由（2）可知：圆外切四边形的对边和相等．
故答案为：圆外切四边形的对边和相等；
解:相邻的三条边的比为，
设此三边为
根据圆外切四边形的性质得:第四边的长为:
圆外切四边形的周长为，
解得
此四边形的四边长分别为:.
21．（2020·新疆昌吉·初三其他）如图，在中，，以为直径的⊙O交于点，切线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】解：（1）证明：连接，
是切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：连接．
，
，
是⊙O的直径，，
是⊙O的切线，
，
，
，
，
在中，，
设，在中，，
在中，，
，
解得，
．
考点8：切线的性质与判定的综合
典例：（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校初三期末）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D＝30°．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．
【答案】（1）见解析；（2）MF＝.
【解析】（1）如图，连接OE，OF，
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴，
∴∠DOF＝∠DOE，
∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OFD＝90°，
∴OF⊥FD．
∴FD为⊙O的切线.
（2）如图，连接OM，MF，
∵O是AB中点，M是BE中点，
∴OM∥AE．
∴∠MOB＝∠A＝30°．
∵OM过圆心，M是BE中点，
∴OM⊥BE．
∴MB=OB=1，
∴OM==，
∵∠OFD=90°，∠D=30°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠MOF＝∠DOF+∠MOB=90°，
∴MF＝＝＝．
方法或规律点拨
本题考查切线的判定与性质、垂径定理、三角形中位线的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题关键.
巩固练习
1．（2021·湖南长沙·明达中学月考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段CD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连接CO，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴CO∥AD，
∴CO⊥CD，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAB＝30°，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∴AC＝AB＝3．
∵∠CAD＝30°
∴
2．（2019·河北涿鹿·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．
【答案】（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）CE长度为1
【解析】解：（1）DE与⊙O相切；理由如下：连接OD，如图，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）如图，连接OF；
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF=OD=3，
在Rt△OFA中，∵AO2=OF2+AF2，
∴，
∴AC=AB=AO+BO=8，CE=AC﹣AF﹣EF=8﹣4﹣3=1．
答：CE长度为1．
3．（2020·西藏日喀则·一模）如图，在中，AB=AC，∠C=30°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE=5，求⊙D的半径．
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】（1）连接AD，
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30° ，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30° ，
∴∠ADC=60°，
∴∠DAC=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）连接AE ，
∵AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形
∴AE=DE，∠AED=60° ，
∴∠EAC=∠AED﹣∠C=30° ，
∴∠EAC=∠C，
∴AE=CE=5，
∴⊙D的半径AD=5．
4．（2019·广东一模）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．
（1）求证：AC平分∠DAO；
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =-2
【解析】解：（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD
又∵AD⊥CD，
∴AD//OC
∴∠DAC=∠OCA
又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA
∴∠DAC=∠OAC
∴AC平分∠DAO
（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，
∴∠EOC=∠DAO=105°
∵∠E=30°，∴∠OCE=45°
②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG
∵OC=，∠OCE=45°
∴CG=OG=2
∴FG=2
∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=
∴EF=GE-FG=-2
5．（2019·黑龙江甘南·初三期末）如图，点D、O在△ABC的边AC上，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，连结DE、OB，且DE∥OB．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）设OB与⊙O交于点F，连结EF，若AD＝OD，DE＝4，求弦EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【解析】（1）证明：连接OE，
∵以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∵DE∥OB，
∴∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，
∵OE＝OD，
∴∠EDO＝∠DEO，
∴∠BOC＝∠BOE，
∵OB＝OB，OC＝OE，
∴△OCB≌△OEB（SAS），
∴∠OCB＝∠OEB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AEO＝90°，AD＝OD，
∴ED＝AO＝OD，
∴OD＝DE＝4，
∵DE∥OF，DE＝OD＝OF，
∴四边形DOFE是平行四边形，
∴EF＝OD＝4，
∴弦EF的长为4．
6．（2020·陕西旬阳·初三期末）如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且＝，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交与点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若AG＝6，GE＝6，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】解：（1）如图，连接OE，
∵，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OE∥BF，
∵BF⊥GF，
∴OE⊥GF，
∴GF是⊙O的切线；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△GOE中，∵AG＝6，GE＝6，
∴由OG2＝GE2+OE2可得（6+r）2＝（6）2+r2，
解得：r＝3，
故⊙O的半径为3．
7．（2020·四川阿坝·初三期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．
(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数；
(2)求证：DE=DB．
【答案】（1）35°；（2）证明见解析.
【解析】（1）∵点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，
∴∠CAD=，
∵，
∴∠CBD=∠CAD=35°；
（2）∵E是内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BED，
∴DE=DB.
8．（2020·江西寻乌·期末）如图，中，，以为直径作半圆交与点，点为的中点，连结.
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）6.
【解析】（1）证明：连接OD，OE，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
则DE为圆O的切线；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC= AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，
则AD=AC-DC=6．
9．（2020·无锡市大桥实验学校月考）如图，在中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）4.8．
【解析】解：连接OD，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE；
（2）连接AD，如（1）图，
∵AB为直径，AB=AC，
∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，
∴CD=BD=，∠ADC=90°，
∵AB=AC=，
由勾股定理，得：，
∵，
∴；
10．（2020·江苏泰州·月考）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于点E，交AC于点F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．
（1）求证：ABCD；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）证明： ， ，
，
；
（2）证明：连接 并延长交 于 ，连接 ，如图1所示：
则 为 的直径，
，
，
，
， ，
，
，
，即 ，
是 的半径，
是 的切线；
11．（2019·云南官渡·二模）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）菱形，理由见解析．
【解析】解：（1）连接BC、OC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，∴∠OAC+∠B=90°，
∵CD为切线，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，
∵PE⊥AB，∴∠APE=∠DPC=∠B，
∴∠DPC=∠ACD，∴AP=DC；
（2）以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴△OBC为等边三角形，∴∠AOC=120°，
连接OF，AF，
∵F是的中点，∴∠AOF=∠COF=60°，∴△AOF与△COF均为等边三角形，
∴AF=AO=OC=CF，
∴四边形OACF为菱形．
专题24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
典例体系（本专题共129题97页）
一、知识点
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)d
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
3.切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
4.切线的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
二、考点点拨与训练
考点1：点与圆的位置关系
典例：（2020·全国初三课时练习）如图，在中，，点为的中点．
（1）以点为圆心，4为半径作，则点分别与有怎样的位置关系？
（2）若以点为圆心作，使三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，求的半径的取值范围．
【答案】（1）在圆上，点在圆外，点在圆内 （2）
【解析】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M，
，
，
∵以点C为圆心，4为半径作⊙C，
∴AC=4，则A在圆上，
∵，
则M在圆内，
BC=5＞4，则B在圆外；
（2）以点为圆心作，使三点中至少有一点在内时，；
当至少有一点在外时，，
故的半径的取值范围为：．
方法或规律点拨
本题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．
巩固练习
1．（2020·江苏东台·月考）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是
A．点A在圆外 B．点A在圆上
C．点A在圆内 D．不能确定
【答案】C
【解析】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选C．
2．（2019·温州市南浦实验中学月考）已知⊙O的半径是5 cm，P是⊙O外一点，则OP的长可能是（ ）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
【答案】D
【解析】解：因为点在圆外，
所以：
故选D．
3．（2020·福州·福建师范大学附属中学初中部月考）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O内 D．不能确定
【答案】C
【解析】解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．
故选C．
4．（2021·沭阳县修远中学月考）如图，已知矩形中ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，若以A为圆心、5cm长为半径画⊙A，则点C与⊙A的位置关系为( )
A．点C在⊙A上 B．点C在⊙A外 C．点C在⊙A内 D．无法判断
【答案】A
【解析】解：连接AC，
∵AB=3cm，BC=AD=4cm，
∴AC=5cm，
∴点C在⊙A上，
故选A．
5．（2020·福建福州十八中初三月考）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定
【答案】B
【解析】解：根据点到圆心的距离与半径的关系进行判定,由题目可求出点到圆心的距离d=OA=5,d=r,d
A．圆可以经过点 B．点可以在圆的内部
C．点可以在圆的内部 D．点可以在圆内部
【答案】B
【解析】解：∵点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，∴点可以在圆的内部，故A错误，B正确；∵过点的圆记为圆，∴点可以在圆的外部，故C错误；∵过点的圆记为圆，∴点可以在圆的外部，故D错误．
故选B．
7．（2020·全国初三课时练习）已知⊙O的半径OA长为，若OB＝，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵⊙O的半径OA长为，若OB＝，
∴OA＜OB，
∴点B在圆外，
故选A．
8-．（2020·江苏东台·月考）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
【答案】.
【解析】根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是.
9．（2020·扬州平山实验学校月考）已知，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，r为半径画圆，矩形的四个顶点恰好有一个在⊙A外，则半径r的范围是________．
【答案】4≤r＜5
【解析】解：由题意可知，r必须大于或等于AD，且小于AC，
∵ 矩形ABCD中，AD=4，AB＝3，
∴ AC==5，
∴ r的范围为：4≤r＜5，
故答案为：4≤r＜5．
10．（2020·全国初三课时练习）的圆心是原点，半径为5，点在上，如果点在第一象限内，那么______.
【答案】4
【解析】解：如图
由题意得：OA=5，OB=3，
由勾股定理可得：AB=
即a=4
11．（2020·江苏兴化·月考）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）点M的坐标为 ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
【答案】（1）（2，0）；（2）点D在⊙M内．
【解析】（1）圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；
（2）圆的半径
线段MD=
所以点D在⊙M内．
考点2：三角形的外接圆的有关问题
典例：（2020·河北桥西·初三其他）如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．
（1）判断：∠ABC ∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；
（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．
【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）45°＜α＜90°
【解析】解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，
而∠ADC+∠EDC＝180°，
∴∠ABC＝∠PDC．
故答案是：＝；
（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD．
由（1）知：∠ABC＝∠PDC，
又∵BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AC＝CE．
又∵∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，
∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，
而45°＜α＜135°，
故：45°＜α＜90°．
方法或规律点拨
本题考查的是圆的综合运用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识，难度不大．
巩固练习
1．（2020·扬州平山实验学校月考）如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为
故选：D．
2．（2020·全国初三课时练习）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
【答案】B
【解析】A．OA=OB=OE,所以点O为△ABE的外接圆圆心；
B．OA=OC≠OF，所以点不是△ACF的外接圆圆心；
C．OA=OB=OD,所以点O为△ABD的外接圆圆心；
D．OA=OD=OE,所以点O为△ADE的外接圆圆心；
故选B
3．（2020·全国初三课时练习）如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【答案】D
【解析】解：由图可知，△ABC是锐角三角形，
∴△ABC的外心只能在其内部，
由此排除A选项和B选项，
由勾股定理得，BP＝CP＝≠PA，
∴排除C选项，
故选D．
4．（2020·福建仙游·初三二模）过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
【答案】A
【解析】设圆的半径为r，则根据勾股定理可知：
，解得r=，
因此圆心的纵坐标为，
因此圆心的坐标为（4，）.
故选A
5．（2020·湖北枣阳·初二期末）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
【答案】A
【解析】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选A．
6．（2020·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学初三三模）小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD．下列说法不正确的是（ ）
A．∠A＝60° B．△ACD是直角三角形
C．BC＝CD D．点B是△ACD的外心
【答案】C
【解析】解：由作图可知：AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，(故A正确)
∵BA=BC=BD，
∴△ACD是直角三角形，（故B正确），点B是△ACD的外心．（故D正确）；
∴tanA==，
∴AC=，
∴BC=，（故C错误）
故选C．
7．（2020·江苏连云港·中考真题）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．
故选：D．
8．（2020·河北初三二模）如图，已知点是的外心，点、分别是、的中点，连接、分别交于点、，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，
∵点E是的外心，
∴，
∴，是等腰三角形，
∵点、分别是、的中点，
∴，，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴，，
在中，∵，
∴是直角三角形，，
∴，
故选：B．
9．（2020·广东天河·初三月考）如图，是的外接圆，则点是的（ ）．
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】A
【解析】解：∵是的外接圆，∴点O是的三条边的垂直平分线的交点．
10．（2020·上饶市广信区第七中学初三月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为，点A的坐标是，，把绕点A按顺时针方向旋转后，得到，则的外接圆圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，取AB'中点P，过点P分别作PE⊥x轴，垂足为点E，连接PO'，
∵把绕点A按顺时针方向旋转后，得到，
∴AB＝AB'，∠BAB'＝90°，∠B'O'A＝∠BOA＝90°，
∵点P为AB'的中点，
∴PA＝PB'＝PO'＝AB'，
∴的外接圆圆心为点P，
∵∠BAO＝60°，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝90°－∠BAO＝30°，
∴OA＝AB，
∵点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∴AB'＝AB＝2OA＝2，
∴PA＝AB'＝1，
∵∠BAB'＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠PAE＝180°－∠BAB'－∠BAO＝30°，
∴PE＝PA＝,
∴在Rt△PEA中，，
∴点P的坐标为．
11．（2020·宁夏银川·初三月考）已知是的三边长，外接圆的圆心在的一条边上的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：∵外接圆的圆心在△ABC一条边上，
∴△ABC是直角三角形，
A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误；
故选C.
12．（2020·宁夏银川·初三月考）三角形的外心具有的性质是（ ）
A．到三边的距离相等 B．是三条角平分线的交点
C．到三个顶点的距离相等 D．外心在三角形内
【答案】C
【解析】解：∵三角形的外心是任意两边垂直平分线的交点，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴到三个顶点距离相等，
故选：C．
13．（2020·江苏东台·月考）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______．
【答案】8或10．
【解析】由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长==20，因此这个三角形的外接圆半径为10．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
故答案为10或8．
14．（2020·浙江温州·月考）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是_____．
【答案】
【解析】如图，
根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点．结合图形发现其外心的位置，再根据勾股定理得外接圆的半径==．
故答案为.
15．（2020·江苏省泰兴市黄桥初级中学月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．经画图操作可知的外心坐标可能是( )
【答案】（−2，−1）
【解析】解：∵△ABC的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
∴如图，AB和BC的垂直平分线的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（−2，−1），
故答案为：（−2，−1）．
16．（2020·江苏兴化·月考）中，两条直角边的长分别是6cm和8cm，则的外接圆的半径是_____cm．
【答案】5
【解析】由勾股定理得：的斜边长为，
直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点，
的外接圆的半径为，
故答案为：5．
17．（2020·扬州平山实验学校月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为___________．
【答案】（6，6）
【解析】解：如图∵圆M是△ABC的外接圆
∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN=CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）
∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）．
故答案为（6，6）．
18．（2019·吉林长春·东北师大附中其他）若三角形的三条边长分别为5，12，13，则这个三角形外接圆的半径为_____．
【答案】6.5．
【解析】解：∵三角形的三条边长分别为5，12，13，，
∴此三角形是以13为斜边的直角三角形，
∴这个三角形外接圆的半径为13÷2＝6.5．
故答案为6.5．
19．（2019·银川市第三中学一模）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．
【答案】
【解析】如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故答案为：．
20．（2020·江苏鼓楼·初三一模）如图，内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．
（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长．
【答案】（1）5；（2）12
【解析】解：（1）如图1，连接OB、OC，
∵BD＝6，DC＝4，
∴BC＝10，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴OB＝BC＝5；
（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，
∴BF＝FC＝5，
∴DF＝1，
∵∠BOC＝90°，BF＝FC，
∴OF＝BC＝5，
∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，
∴四边形OFDE为矩形，
∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，
在Rt△AOE中，AE＝＝7，
∴AD＝AE+DE＝12．
21．（2020·河北路北·初三一模）如图，在中，，点从点出发沿向点运动，点从点出发沿向点运动，点和点同时出发，速度相同，到达点或点后运动停止．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）若的外心在其内部时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】解：（1）∵点、点分别从点、点同时出发，在线段上作等速运动，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
（3）若△ABD的外心在其内部时，则△ABD是锐角三角形．
∴∠BAD=140°-∠BDA＜90°．
∴∠BDA＞50°，
又∵∠BDA＜90°，
∴50°＜∠BDA＜90°．
22．（2020·广东顺德·江义初中初三一模）在△ABC中，AB＝AC
（1）求作一点P，使点P为△ABC的外接圆圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠A＝50°，求∠PBC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠PBC的度数为40°
【解析】解：（1）如图，点P即为△ABC的外接圆圆心；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠BAC＝25°，
∵PA＝PB，
∴∠BPD＝2∠BAP＝50°，
∵∠BDP＝90°，
∴∠PBD＝90°﹣50°＝40°．
即∠PBC＝40°
答：∠PBC的度数为40°．
23．（2020·江苏海陵·泰州中学附属初中月考）已知：在△ABC中，AB=AC．点A在以BC为直径的⊙O外．
（1）请仅用无刻度的直尺画出点O的位置（保留画图痕迹）；
（2）若的外接圆的圆心M，OM=4，BC=6，求△ABC的面积．
【答案】（1）答案见解析；（2）27
【解析】解：（1）如图，点O即为所求．
（2）∵点M是△ABC的外心，∴AM＝MC，
由题意，在Rt△OMC中，∵∠MOC＝90°，OM＝4，OC＝3，
∴CM＝，
∴OA＝AM+OM＝5+4＝9，
∴S△ABC＝•BC•AO＝×9×6＝27．
考点3：确定圆的条件
典例：（2019·江苏鼓楼·初三期中）如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．
（1）求证：点P的运动路径是一个圆；
（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）≤PC≤
【解析】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示：
则HP是△ABO的中位线，
∴HP＝OB＝1，
∴P点到H点的距离固定为1，
∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；
（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，
∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，
∴PC＝PA＝AB，
当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，
∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，
∴AP'＝AM＝，
∴PC＝；
当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，
∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，
∴AP''＝AN＝，
∴PC＝；
∴PC长的取值范围是≤PC≤．
方法或规律点拨
本题考查确定圆的条件、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东广饶·初三其他）下列四个命题：
①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③三角形有且只有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤过三点有且只有一个圆．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①等边三角形是中心对称图形不是中心对称图形，故错误；
②在圆中一条弦所对的圆周角有两个，则在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，故错误；
③三角形有且只有一个外接圆，故正确；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
⑤过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，故错误；
故是真命题的是③，
故选：A.
2．（2020·江苏苏州·初三月考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【答案】B
【解析】由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.
3．（2019·浙江鄞州·初三期中）下列命题中是真命题的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三边的距离相等
C．等弧所对的圆周角相等 D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】C
【解析】解：选项A中，不在同一直线的三点确定一个圆，故选项A错误；
选项B中，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项B错误；
选项C中，等弧所对的圆周角相等，故选项C正确；
选项D中，平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故选项D错误；
故选C.
4．（2019·湖州市第五中学一模）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
【答案】C
【解析】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故选：C．
5．（2019·石家庄市第十七中学初三期中）在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．0或1
【答案】D
【解析】解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；
当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；
故选D．
6．（2019·江苏鼓楼·初三期中）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选：D．
7．（2019·南通市启秀中学初三月考）有下列命题中：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④长度相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于这条弦；⑥弦的垂直平分线经过圆心；⑦相等的圆周角所对的弧相等.其中正确的有（ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．7个
【答案】B
【解析】①直径是弦，是真命题；
②不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原命题是假命题；
③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，是真命题；
④在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；
⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；
⑥弦的垂直平分线经过圆心，是真命题；
⑦在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；
故选B．
8．（2020·全国初三单元测试）平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．
（1）在图中清晰标出点P的位置；
（2）点P的坐标是_________.
【答案】（1）见解析；（2）（6，6）.
【解析】解：弦AB的垂直平分线是y=6，弦CD的垂直平分线是x=6，
因而交点P的坐标是（6，6）．
考点4：直线与圆的位置关系
典例：（2020·广州市白云区桃园中学初三期中）如图，在直角△ABC中，∠C=90∘，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
(1)若∠A=25∘，求弧DE的度数；
(2)若BC=2，AC=6，求BD的长．
【答案】(1)40°（2）2105
【解析】解：（1）连接CD，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵BC=CD,
∴∠BDC=65°,
∴∠BCD=50°，
∴弧DE的度数是90°-50°=40°；
（2）作CH⊥BD，如图，则BH=DH，
在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=22+62=210，
∵ 12CH•AB=12BC•AC，
∴CH=2×6210=3105，
在Rt△BCH中，BH=22-（3105）2=105，
∴BD=2BH=2105.
方法或规律点拨
本题考查了勾股定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键.
巩固练习
1．（2020·河北丰南·二模）已知的半径为5，直线与有公共点，则圆心到直线的距离不可能为（ ）
A．5 B．5.5 C．4.5 D．1
【答案】B
【解析】∵直线与有公共点
∴直线与应是相交或相切的位置关系
∴圆心距小于等于半径
∵5.5>5
∴B选项错误
故选B．
2．（2020·江苏崇川·南通田家炳中学初三月考）圆的最大的弦长为12cm，如果直线与圆相离，且直线与圆心的距离为d，那么（ ）
A．d＜6cm B．6cm＜d＜12cm C．d>6cm D．d＞12cm
【答案】C
【解析】解：由题意得，圆的直径为12，那么圆的半径为6．
则当直线与圆相离时，直线与圆心的距离d>6 cm．
故选：C．
3．（2020·全国初三课时练习）已知某直线到圆心的距离为，圆的周长为，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】B
【解析】解：∵圆的周长为10πcm，
∴圆的半径为5cm，
∵圆心到直线l的距离为5cm，
∴d=r，
∴直线与圆相切，
∴直线l和这个圆的公共点的个数为1个．
故选：B．
4．（2020·全国初三课时练习）已知的半径为为直线上的一点，若，则直线与的位置关系是（ ）
A．一定相交 B．一定相切 C．一定相离 D．可能相交，也可能相切或相离
【答案】D
【解析】因为垂线段最短，圆心到直线的距离为垂线段的长度，所以此时垂线段的长度和半径的大小关系不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能．
故选D．
5．（2020·全国初三课时练习）已知的半径等于，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】A
【解析】∵⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线的距离为9cm，
即圆心O到直线的距离大于圆的半径，
∴直线和⊙O相离，
∴直线与⊙O没有公共点．
故选：A．
6．（2020·全国初三课时练习）在中，，以点为圆心，为半径作圆．若与边只有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】如图，过点作于点．
，．
①如果以点为圆心，为半径的圆与斜边相切，则．此时．
②当时，圆与边也只有一个公共点．
综上，或．
故选D．
7．（2020·武汉市黄陂区第六中学初三其他）已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
【答案】B
【解析】解：∵m＝3＜半径＝4，
∴直线与圆相交，
故选：B．
8．（2020·四川峨眉山·初三二模）如图，已知⊙是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点，设，则的取值范围是（ ）
A．≤≤ B．≤≤
C．≤≤ D．＞
【答案】B
【解析】设切点为C，连接OC，则
圆的半径OC=1，OC⊥PC，
∵∠AOB=45°，OA∥PC，
∴∠OPC=45°，
∴PC=OC=1，
∴OP=，
同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数
所以x的取值范围是0＜x≤
故选：B．
9．（2020·江苏海陵·初三期末）的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【解析】∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
10．（2020·首都师范大学附属中学三模）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当时，可得到形状唯一确定的；
②当时，可得到形状唯一确定的；
③当时，可得到形状唯一确定的；
④当时，可得到形状唯一确定的；
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】C
【解析】解：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ的形状不能唯一确定，故①错误；
②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，以P为圆心，9为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故②正确；
③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故③正确；
④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故④正确；
故选：C．
11．（2020·全国初三课时练习）已知⊙O的半径OA＝5cm，延长OA到B，AB＝2cm，以OB为一边作∠OBC＝45°，那么BC所在直线与⊙O的位置关系是_____．
【答案】相交
【解析】过O作OC⊥BC，
在Rt△OBC中，
∠B=45°，OB=5+2=7，
∴OC=＜5，
∴BC所在直线与⊙O的位置关系是相交，
故答案为相交．
12．（2020·上海静安·初三二模）已知矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，BC＝8，分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切，那么⊙D的半径长r的取值范围是______．
【答案】8＜r＜9
【解析】解：设⊙O的半径为r1，⊙D半径为r，
由⊙O与直线AD相交、与直线CD相离可知：3＜r1＜4，
由题意可知：r＞r1，否则⊙D与⊙O不能内切，
∵OD＝AC＝5，
∴圆心距d＝5，
∴d＝r﹣r1，
∴r＝5+r1，
∴8＜r＜9，
故答案为：8＜r＜9．
13．（2020·内蒙古包头·初三二模）问题：如图1，在中，，点是射线上任意一点，是等边三角形，且点在的内部，连接．探究线段与之间的数量关系．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
当点与点重合时(如图2)，请你补全图形．由的度数为_______________，点落在_______________，容易得出与之间的数量关系为_______________
当是的平分线时，判断与之间的数量关系并证明
当点在如图3的位置时，请你画出图形，研究三点是否在以为圆心的同一个圆上，写出你的猜想并加以证明．
【答案】（1）60°；AB的中点处；BE=DE；（2）BE=DE，理由见解析；（3）A、B、D在以E为圆心的同一个圆上，画图和理由见解析
【解析】解：（1）如图，
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=CE，
∴点E落在AB的中点处；
∴AE=CE=BE=DE，
故答案为：60°；AB的中点处；BE=DE；
（2）BE=DE，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°=∠ABC=∠CAD，
∴AD=BD，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AD，
∴DE=DB，
∵∠C=90°，
∴∠ADC=∠ADE=60°，
∴∠BDE=60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴BE=DE；
（3）如图为所画图形，
猜想：A、B、D在以E为圆心的同一个圆上，
理由是：设AB中点为F，连接CF，EF，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠1=60°，CF=AF=AB，
∴△ACF是等边三角形．
∴AC=AF，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠2=60°，AD=AE，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠CAD=∠FAE，
在△ACD和△AFE中，
，
∴△ACD≌△AFE（SAS），
∴∠ACD=∠AFE=90°，
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，
∴BE=DE，
∴点E在BD的垂直平分线上，
∴A、B、D在以点E为圆心的同一个圆上.
考点5：切线的性质
典例： （2019·江苏金坛·期中）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝40°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图1，求∠T和∠CDB的度数；
（2）如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的度数．
【答案】（1）∠T＝50°，∠CDB＝50°；（2）∠CDO＝30°．
【解析】（1）如图①，连接AC，
∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，
∵∠ABT＝40°，
∴∠T＝90°﹣∠ABT＝50°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝50°，
∴∠CDB＝∠CAB＝50°；
（2）如图②，连接AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝40°，
∴∠BCE＝∠BEC＝70°，
∴∠BAD＝∠BCD＝70°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝70°，
∵∠ADC＝∠ABC＝40°，
∴∠CDO＝∠ODA﹣∠ADC＝70°﹣40°＝30°．
方法或规律点拨
本题主要考查切线定理及圆的基本性质，关键是根据切线定理得到角的等量关系，然后利用等腰三角形的性质及圆周角的性质即可求解．
巩固练习
1．（2020·湖南湘西·中考真题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
【答案】B
【解析】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
2．（2020·浙江江北·初三学业考试）如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当与AB，BC相切时，如图，连结OA，OB，OC，
设此时点O到AC的距离为h，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB==10，
∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，
∴AC·BC=S△AOC+（AB+BC）×1，
∴×6×8=S△AOC+×（8+10）×1，
∴S△AOC=24-9=15=AC·h=×6×h，
∴h=5，
∴的平移距离为5-1=4，
故选：B．
3．（2020·黑龙江哈尔滨·月考）如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是（ ）
A．15° B．16° C．29° D．58°
【答案】C
【解析】解：∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB=90°，
∴∠AOB=90°-∠ABO=90°-32°=58°，
∵
∴∠ADC=∠AOB=29°．
故选：C
4．（2019·江苏金坛·期中）如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】D
【解析】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选D．
5．（2020·福州·福建师范大学附属中学初中部月考）如图，在⊙O中，AB为弦，OD⊥AB于D，∠BOD＝53°，过A作⊙O的切线交OD延长线于C，则∠C＝（ ）
A．27° B．30° C．37° D．53°
【答案】C
【解析】解：如图，连接OA，
∵OD⊥AB于D，OA＝OB，
∴∠AOC＝∠BOD＝53°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣53°＝37°，
故选：C．
6．（2020·无锡市大桥实验学校月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．
7．（2021·沭阳县修远中学月考）如图所示，AE切⊙D于点E，AC=CD=DB=10，则线段AE的长为（ ）
A．10 B．15 C．10 D．20
【答案】C
【解析】∵AE切⊙D于点E，
∴∠AED=90°，
∵AC=CD=DB=10，
∴AD=20，DE=10，
∴AE=．
故选C．
8．（2019·广东郁南·月考）如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【解析】解：连接OC，
∵DC是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=40°，
∴∠DOC=50°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠A=∠DOC=25°．
故选：B．
9．（2020·浙江松阳·初三其他）如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，点E在圆O上，连结DE．若圆O的半径为5，且AB＝11．当∠ADE最大时，DE的长度为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】D
【解析】
连接OE、OF、OD、OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝11，∠A＝90°，
∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，
∴∠OMA＝∠OFA＝90°＝∠A，
∵OM＝OF，
∴四边形AFOM是正方形，
∴AM＝OM＝5，
当点E在圆O最外端时，即：DE与圆O相切时，∠ADE最大，
∵OE ＝OF，OD＝OD，
∴Rt△OFD≌Rt△OED，
∴DE＝DF＝AD –AF＝11－5＝6，
故选：D．
10．（2020·四川南充·初三月考）点是的直径延长线上一点，切于，交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，
∵OA=OD，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵切于，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
11．（2020·福建省福州第十九中学初三其他）如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为（ ）
A．20.5° B．22.5° C．24° D．30°
【答案】B
【解析】解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴OA＝BC，
∵OA＝OB，
∴OB＝BC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BOC＝45°，
∴∠BDC＝BOC＝22.5°，
故选：B．
12．（2020·江苏东台·月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若AOC=80°，则ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
【答案】B．
【解析】根据AE是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，可以先得出∠BAD为直角．再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠B，从而得到∠ADB的度数．由题意得：∠BAD=90°，∵∠B=∠AOC=40°，∴∠ADB=90°-∠B=50°．故选B．
13．（2020·扬州平山实验学校月考）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是_________．
【答案】25
【解析】解：∵是的切线，
∴∠OAC=90°
∵，
∴∠AOD=50°，
∴∠B=∠AOD=25°
故答案为：25．
14．（2020·东莞外国语学校初三二模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为
【答案】5．
【解析】如答图，由题意，⊙O与BC相切，记切点为M，作直线OM，分别交AD、劣弧于点H、N，再连接OF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，而MN⊥BC，∴MN⊥AD.∴在⊙O中，FH=EF=4.
设球半径为r，则OH=8﹣r，
在Rt△OFH中，由勾股定理得，r2﹣（8﹣r）2=42，解得r=5.
15．（2020·广西大化·初三学业考试）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．
【答案】44°
【解析】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为44°
16．（2020·黄山市徽州区第二中学一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线与点D．若AB=4，∠D=30°，
（1）∠A的度数；
（2）求AC长．
【答案】（1）∠A=30°；（2）
【解析】解：连结OC，∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°，而∠D=30°，∴∠COD=60°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，∴∠A=30°；
（2）作OE⊥AC于E．
∵AB=4，∴AO=2，∴30°，
∴．
17．（2020·江苏宿豫·期中）如图，AB是的直径，AC是的弦过点C的切线交AB的延长线于点D，若，试求的度数．
【答案】
【解析】解：连结OC，
为的切线
又
又，
，
而，
．
18．（2019·吉林长春·东北师大附中其他）如图，矩形是的内接四边形，点是劣弧上的一点，连结过点作的切线交线段的延长线于点．
（1）连接，则的直径长为 ；
（2）若，求的长．
【答案】（1）5；（2）
【解析】解：（1）如图，连接AC，
∵∠ABC=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∴AC===5，
故答案为：5；
（2）∵CF切于点．
，
，
在中，．
19．（2019·滨海县第一初级中学月考）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过弧BD上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．
（1）若∠DAB＝50°，求∠ATC的度数；
（2）若⊙O半径为2，TC＝，求AD的长．
【答案】（1）65°；（2）2．
【解析】（1）连接OT，
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
又∵AT平分∠BAD，
∴∠DAT=∠OAT，
∴∠DAT=∠OTA，
∴OT∥AC，
又∵CT⊥AC，
∴CT⊥OT，
∴CT为⊙O的切线；
（2）过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，
又∵CT⊥AC，
∴OE∥CT，
∴四边形OTCE为矩形，
∵CT=，
∴OE=，
又∵OA=2
，∴在Rt△OAE中，AE＝，
∴AD=2AE=2．
20．（2020·江苏崇川·南通田家炳中学初三月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）15．
【解析】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．
（2）连接CD．
∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=10，∴AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，
在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，
∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，
∴BC==15．
考点6：切线的判定
典例：（2020·西安市铁一中学初三二模）如图，在中，，平分，交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点．
（1）求证：与相切．
（2）连接并延长，交于点，若，且，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】解：（1）证明：作于，如图，
平分，，，
，
而为的半径，
与相切；
（2）作于，如图，设的半径为，
易得四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，解得，
即的半径为2．
方法或规律点拨
本题考查了切线的判定、矩形的判定、30°角所对的直角边等于斜边的一半等内容，证明AB是的切线是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·无锡市江南中学初三二模）已知：Rt△ABC，∠C＝90°．
（1）点E在BC边上，且△ACE的周长为AC＋BC，以线段AE上一点O为圆心的⊙O恰与AB、BC边都相切．请用无刻度的直尺和圆规确定点E、O的位置；
（2）若BC＝8，AC＝4，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）如图，点E、O即为所求作点，
（2）解：设AE＝BE＝x，则CE＝8－x
在Rt△ACE中，42＋（8－x）2＝x2
x＝5
在Rt△ABC中，AB＝＝
∵S△ABE＝S△AOB＋S△BOE
∴×5×4＝×r＋×5r
∴r＝．
2．（2020·山东大学附属中学其他）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∵点F是ED的中点，
∴CF＝EF＝DF，
∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC＋∠AEO＝90°，
∴∠OCA＋∠FCE＝90°，即OC⊥FC，
∴CF与⊙O相切；
（2）证明：连接AD
∵OD⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠ACD＝90°，
∵∠AEO＝∠DEC，
∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，
∵AO＝BO，
∴AD＝BD，
∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD．
3．（2020·江苏东台·月考）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED＝EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．
【答案】（1）∠DOA =100°；（2）证明见解析.
【解析】解：（1）∵∠DBA=50°，
∴∠DOA=2∠DBA=100°；
（2）证明：连接OE，
在△EAO和△EDO中，
AO=DO，EA=ED，EO=EO，
∴△EAO≌△EDO，
得到∠EDO=∠EAO=90°，
∴直线ED与⊙O相切．
4．（2020·首都师范大学附属中学三模）下面是小东设计的“过圆外一点作圆的两条切线”的尺规作图过程．
己知：和外一点．
求作：的切线．
作法：如图，
①连接；
②分别以点为圆心，大于的相等的长为半径作弧，两弧交于两点；
③作直线，交于点．
④以点为圆心，长为半径作圆，交于两点；
⑤作直线．
则就是所求作的的切线．
根据小东设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
完成下面的证明．
证明：是线段的垂直平分线，
点是线段的中点．
_ 是的直径．
( _) (填推理的依据)
半径半径．
是的切线( _) (填推理的依据)
【答案】（1）详见解析；（2）OP，直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【解析】解：（1）补全图形如图．
（2）完成下面的证明．
证明：∵MN是线段的垂直平分线，
∴点是线段的中点．
∴OP是的直径
∴（直径所对的圆周角是直角），
∴半径半径．
∴是的切线(经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线) ．
5．（2020·浙江越城·期中）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）AC=5，AD=5；（2）直线PC与⊙O相切
【解析】解：(1)、①如图，连接BD， ∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在RT△ABC中，AC=
②∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形
∴AD=AB=×10=5cm；
(2)、直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC， ∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA
∵PC=PE
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE
∵CD平分∠ACB
∴∠ACE=∠ECB
∴∠PCB=∠ACO
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°， OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．
6．（2020·江苏镇江·其他）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE∥AC，交劣弧于点E，过点E作射线l⊥AB，交弦BC于点D，在射线l上取点F，使FC＝FD．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）当△CFD为等边三角形时，判断以O，A，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形OACE是菱形；理由见解析．
【解析】（1）证明：连接CO，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC．
∵CF＝DF，
∴∠DCF＝∠CDF．
∵∠BDP＝∠CDF，
∴∠DCF＝∠BDP．
又∵l⊥AB，
∴∠BPD＝90°．
从而∠BDP+∠ABC＝90°，
∴∠DCF+∠OCB＝90°，
即∠OCF＝90°，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，CE，
以O，A，C，E为顶点的四边形是菱形，
∵△CFD为等边三角形，
∴∠DCF＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣60°＝30°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝90°﹣∠OCB＝60°，
∴△ACO是等边三角形，
∴AO＝AC＝OE
∵OE∥AC，
∴四边形OACE是菱形．
7．（2020·江苏宿豫·期中）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】（1）证明：连接AD．
∵点D为弧BC的中点，
∴，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r．
过点O作OF⊥AE于F，
则四边形OFED为矩形
∴OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r，
∵在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2，
∴（8﹣r）2+42＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
8．（2020·无锡市大桥实验学校月考）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD=∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=2，CA=4，求弦AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）直线AC是⊙O的切线，
理由如下：如图，连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC，
又∵∠CAD=∠ABC，
∴∠OAB=∠CAD=∠ABC，
∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC，
∴AC⊥OA，
又∵OA是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD于E，
∵OC2=AC2+AO2，
∴(OA+2)2=16+OA2，
∴OA=3，
∴OC=5，BC=8，
∵S△OAC=OAAC=OCAE，
∴AE=，
∴OE=，
∴BE=BO+OE=，
∴AB=．
9．（2020·西安市铁一中学初三三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BO平分∠ABC，交AC于点O，以O为圆心，OC为半径作圆，交OB于点E．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）连接CE并延长，交AB于点F，若CF⊥AB，且CF＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】（1）证明：作OD⊥AB于D，如图，
∵BO平分∠ABC，OC⊥BC，OD⊥AB，
∴OD＝OC，
而OC为⊙O的半径，
∴AB与⊙O相切；
（2）作OH⊥CE于H，如图，设⊙O的半径为r，
∵CF⊥AB，OD⊥AB
∴四边形OHFD为矩形，
∴HF＝OD＝r，
∵OC＝OE，OH⊥CE，
∴∠OCH＝∠EOH，
∵OH∥BF，
∴∠CBO＝∠BOH，
∵∠COH+∠BOH+∠CBO＝90°，
∴∠COH＝30°，
在Rt△OCH中，CH＝CF﹣HF＝3﹣r，
∵CH＝OC，
∴3﹣r＝r，解得r＝2，
即⊙O的半径为2．
10．（2020·重庆永川·初三三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）6．
【解析】解：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．
11．（2020·江苏丹徒·初三期中）如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD＝，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）1.
【解析】（1）证明：如图，
∵O、D分别为中点，
∴OD为中位线
即：DE为切线
（2）如图，
BD=CD=
作OH⊥BD，由垂径定理得
由平行得∠ODH=30°，
设OH=x，则OD=2x，
解得：
∴半径为1
12．（2020·山东泗水·初三期中）如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB延长线上，FE⊥AB，BE=EF=2，FE的延长线交CD延长线于点G，DG=GE=3，连接FD．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：DF是⊙O的切线．
【答案】（1）2；（2）证明见解析
【解析】解：（1）设⊙O半径为R，则OD=OB=R，
在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得：OG2=OE2+EG2，
∴（R+3）2=（R+2）2+32，
R=2，
即⊙O半径是2．
（2）∵OB=OD=2，
∴OG=2+3=5，GF=2+3=5=OG，
∵在△FDG和△OEG中
∴△FDG≌△OEG（SAS），
∴∠FDG=∠OEG=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
13．（2019·江西寻乌·其他）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD=OC．
（1）当∠B=30°时，请判断四边形OCAD的形状，为什么？
（2）当∠B等于多少度时，AD与⊙O相切？请说明理由．
【答案】（1）菱形，见解析；（2）45°，见解析
【解析】解：（1）四边形OCAD是菱形．
理由：∵OA=OC，AD=OC，
∴OA=AD，
∴∠OAC=∠OCA，∠AOD=∠ADO，
∵OD∥AC，
∴∠OAC=∠AOD，
∴∠OAC=∠OCA=∠AOD=∠ADO，
∴∠AOC=∠OAD，
∴OC∥AD，
∴四边形OCAD是平行四边形，
∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
∴OC=OA=AC，
∴AC=OC，
∴四边形OCAD是菱形．
（2）∵AD与⊙O相切，
∴∠OAD=90°，
∵AD∥OC，
∴∠AOC=90°，
∴∠B=∠AOC=45°．
14．（2020·绍兴市越城区成章中学期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙D的半径AD＝2．
【解析】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）解：连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2，
∴⊙D的半径AD＝2．
15．（2020·福建思明·厦门双十中学二模）如图，在四边形ABCD中，，，，为的外接圆.
（1）如图1，求证AD是的切线；
（2）如图2，CD交于点E，过点A作，垂足为F，交BC于点G，若，，求的长.
【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【解析】（1）证明：如图1，连接OA,OB,OC
在和中，
∴
∴
∴AO平分，
∵
又∵
∴
∴是的切线
（2）如图2，连接.
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
在和中
∴
∴，.
设，在，，，
∴，即，
∴，
∴.
考点7：切线长定理
典例：（2020·天津和平·初三二模）已知，是的直径，，是的切线，切点分别是点，.
（1）如图①，若，求的度数；
（2）如图②，若是劣弧上一点，，求的度数.
【答案】解：（1）.（2）60.
【解析】（1）∵，是的切线，
∴.
∴.
∵为切线，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴.
（2）如图，连接.
∴.
∵，，
∴.
∴.
∴.
∵，是的切线，
∴，.
∴.
∵，
∴.
方法或规律点拨
本题综合运用了切线长定理、切线的性质、圆的内接四边形的性质以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，主要考查学生的推理和计算能力．
巩固练习
1．（2021·湖南长沙·明达中学月考）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA
【答案】D
【解析】由切线长定理可得：∠1＝∠2，PA＝PB，从而AB⊥OP．
因此A．B．C都正确．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故选D．
2．（2019·黑龙江甘南·初三期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【解析】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20．
故选：C．
3．（2020·四川广安二中初三期末）如图，PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E，CD分别交PA、PB于点C、D．下列关系：①PA=PB；②∠ACO=∠DCO；③∠BOE和∠BDE互补；④△PCD的周长是线段PB长度的2倍.则其中说法正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】根据切线长定理可知PA=PB，故①正确；
同理可知CA=CE，可知CO为∠ACE的角平分线，所以∠ACO=∠DCO，故②正确；
同理可知DE=BD，由切线的性质可知∠OBD=∠OED=90°，可根据四边形的内角和为360°知∠BOE+∠BDE=180°，即∠BOE和∠BDE互补，故③正确；
根据切线长定理可得CE=CA，BD=DE，而△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PB，故④正确.
故选D.
4．（2020·全国初三课时练习）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.
5．（2020·全国初三课时练习）如图，⊙O为的内切圆，，点分别为上的点，且为⊙O的切线，则的周长为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．8
【答案】C
【解析】解：设和圆的切点分别是．
根据切线长定理，得，．
则有，解得．
所以的周长为．
故选C．
6．（2020·全国初三课时练习）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则直角梯形周长为（ ）
A．14 B．10 C．8 D．12
【答案】A
【解析】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE=EF，BC=CF，
∵EF+FC+CD+ED=12，
∴AE+ED+CD+BC=12，
∵AD=CD=BC=AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2=CE2，即（4-x）2+42=（4+x）2，解得：x=1，
∵AE+EF+FC+BC+AB=14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故选：A．
7．（2020·全国初三课时练习）如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，
∵AC、AB都与圆O相切，
∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠CAO=∠BAO=60°，
∴∠AOB=30°，
在Rt△AOB中，AB=3cm，∠AOB=30°，
∴OA=6cm，
根据勾股定理得：OB=3，
则光盘的直径为6，
故选D.
8．（2019·河北河间·初三期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【答案】C
【解析】∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故选：C．
9．（2020·湖南永州·中考真题）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：如图， 是的两条切线，
故①正确，
故②正确，
是的两条切线，
取的中点，连接，
则
所以：以为圆心，为半径作圆，则共圆，故③正确，
M是外接圆的圆心，
与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是个，
故选C．
10．（2020·张家界市民族中学初三月考）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】C
【解析】∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，
∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．
故选C．
11．（2020·广东东莞·初三学业考试）如图，、切于点、，，切于点，交、于、两点，则的周长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【解析】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故选C．
12．（2020·重庆北碚·初三月考）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故选：D
13．（2020·山西寿阳·初三期末）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，则△PEF的周长为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
【答案】C
【解析】解： ∵PA，PB是圆的切线．∴PA=PB，
同理，AE=EC，FC=FB．
三角形PEF的周长=PE+EF+PF=PE+PF+CF+EC=PE+AE+PF+FB=PA+PB=2PA=20cm．
故选C．
14．（2020·江苏东台·月考）如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=__________ cm．
【答案】5
【解析】如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；
∴PA=PB=5cm，
故答案为5．
15．（2019·滨海县第一初级中学月考）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为________ ．
【答案】10
【解析】因为P为圆外一点，PA和PB为圆的切线，所以，
同理，，，
所以，
所以，
所以
故答案为：10
16．（2020·云南一模）如图，PA 、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是_____．
【答案】4．
【解析】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，
∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=2，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=4．
故填空答案：4．
17．（2020·安徽铜陵·初三期末）如图，、、均为⊙的切线，分别是切点，，则的周长为____．
【答案】10
【解析】解：∵AD，AE、CB均为⊙O的切线，D，E，F分别是切点，
∴EC=FC，BF=BD，AD=AE，
∵△ABC的周长=AC+BC+AB=AC+CF+BF+AB，
∴△ABC的周长=AC+EC+BD+AB=AE+AD=2AD，
∵AD=5，
∴△ABC的周长为10．
故答案为：10
18．（2020·北京密云·初三二模）已知：点A、点B在直线的两侧．
（点A到直线的距离小于点B到直线的距离）．
如图，
（1）作点B关于直线的对称点C；
（2）以点C为圆心，的长为半径作，交于点E；
（3）过点A作的切线，交于点F，交直线于点P；
（4）连接、．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
①是的切线； ②平分；
③； ④．
所有正确结论的序号是___________________________．
【答案】①②④
【解析】由轴对称的性质得：，，即
由作图可知，为的半径
由圆的切线的判定得：是的切线，则结论①正确
如图，连接CF，设PC与的交点为点D
是的切线
，即
由切线长定理得
在和中，
，即平分，则结论②正确
由轴对称的性质得：垂直平分BC
在中，
，则结论③错误
是等腰三角形
（等腰三角形的三线合一）
，则结论④正确
综上，所有正确结论的序号是①②④
故答案为：①②④．
19．（2020·全国初三课时练习）如图，都为⊙O的切线，切点分别为，且．
（1）求的周长；
（2）求的度数．
【答案】（1）12；（2）64°
【解析】解：（1）∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，
∴DE=DA+EB，
∴PE+PD+DE=PA+PB=12，
即△PDE的周长为12；
（2）连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOE=∠BOF，∠FOD=∠AOD=∠AOF，
∵∠APB=52°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-52°=128°，
∴∠DOE=∠FOE+∠FOD=（∠BOF+∠AOF）=∠BOA=64°．
20．（2020·新疆乌鲁木齐·初三三模）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．
（1）如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；
（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；
（3）用文字叙述上面证明的结论： ；
（4）若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长．
【答案】（1）=；（2）答案见解析；（3）圆外切四边形的对边之和相等；（4）4；10；12；6
【解析】解：（1）∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，
∴猜想AB+CD=AD+BC，
故答案为：=．
已知:四边形的四边分别与相切于点
求证:
证明:与相切，
同理:
由（2）可知：圆外切四边形的对边和相等．
故答案为：圆外切四边形的对边和相等；
解:相邻的三条边的比为，
设此三边为
根据圆外切四边形的性质得:第四边的长为:
圆外切四边形的周长为，
解得
此四边形的四边长分别为:.
21．（2020·新疆昌吉·初三其他）如图，在中，，以为直径的⊙O交于点，切线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】解：（1）证明：连接，
是切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：连接．
，
，
是⊙O的直径，，
是⊙O的切线，
，
，
，
，
在中，，
设，在中，，
在中，，
，
解得，
．
考点8：切线的性质与判定的综合
典例：（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校初三期末）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D＝30°．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．
【答案】（1）见解析；（2）MF＝.
【解析】（1）如图，连接OE，OF，
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴，
∴∠DOF＝∠DOE，
∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OFD＝90°，
∴OF⊥FD．
∴FD为⊙O的切线.
（2）如图，连接OM，MF，
∵O是AB中点，M是BE中点，
∴OM∥AE．
∴∠MOB＝∠A＝30°．
∵OM过圆心，M是BE中点，
∴OM⊥BE．
∴MB=OB=1，
∴OM==，
∵∠OFD=90°，∠D=30°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠MOF＝∠DOF+∠MOB=90°，
∴MF＝＝＝．
方法或规律点拨
本题考查切线的判定与性质、垂径定理、三角形中位线的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题关键.
巩固练习
1．（2021·湖南长沙·明达中学月考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段CD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连接CO，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴CO∥AD，
∴CO⊥CD，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAB＝30°，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∴AC＝AB＝3．
∵∠CAD＝30°
∴
2．（2019·河北涿鹿·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．
【答案】（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）CE长度为1
【解析】解：（1）DE与⊙O相切；理由如下：连接OD，如图，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）如图，连接OF；
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF=OD=3，
在Rt△OFA中，∵AO2=OF2+AF2，
∴，
∴AC=AB=AO+BO=8，CE=AC﹣AF﹣EF=8﹣4﹣3=1．
答：CE长度为1．
3．（2020·西藏日喀则·一模）如图，在中，AB=AC，∠C=30°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE=5，求⊙D的半径．
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】（1）连接AD，
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30° ，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30° ，
∴∠ADC=60°，
∴∠DAC=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）连接AE ，
∵AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形
∴AE=DE，∠AED=60° ，
∴∠EAC=∠AED﹣∠C=30° ，
∴∠EAC=∠C，
∴AE=CE=5，
∴⊙D的半径AD=5．
4．（2019·广东一模）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．
（1）求证：AC平分∠DAO；
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =-2
【解析】解：（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD
又∵AD⊥CD，
∴AD//OC
∴∠DAC=∠OCA
又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA
∴∠DAC=∠OAC
∴AC平分∠DAO
（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，
∴∠EOC=∠DAO=105°
∵∠E=30°，∴∠OCE=45°
②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG
∵OC=，∠OCE=45°
∴CG=OG=2
∴FG=2
∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=
∴EF=GE-FG=-2
5．（2019·黑龙江甘南·初三期末）如图，点D、O在△ABC的边AC上，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，连结DE、OB，且DE∥OB．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）设OB与⊙O交于点F，连结EF，若AD＝OD，DE＝4，求弦EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【解析】（1）证明：连接OE，
∵以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∵DE∥OB，
∴∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，
∵OE＝OD，
∴∠EDO＝∠DEO，
∴∠BOC＝∠BOE，
∵OB＝OB，OC＝OE，
∴△OCB≌△OEB（SAS），
∴∠OCB＝∠OEB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AEO＝90°，AD＝OD，
∴ED＝AO＝OD，
∴OD＝DE＝4，
∵DE∥OF，DE＝OD＝OF，
∴四边形DOFE是平行四边形，
∴EF＝OD＝4，
∴弦EF的长为4．
6．（2020·陕西旬阳·初三期末）如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且＝，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交与点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若AG＝6，GE＝6，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】解：（1）如图，连接OE，
∵，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OE∥BF，
∵BF⊥GF，
∴OE⊥GF，
∴GF是⊙O的切线；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△GOE中，∵AG＝6，GE＝6，
∴由OG2＝GE2+OE2可得（6+r）2＝（6）2+r2，
解得：r＝3，
故⊙O的半径为3．
7．（2020·四川阿坝·初三期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．
(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数；
(2)求证：DE=DB．
【答案】（1）35°；（2）证明见解析.
【解析】（1）∵点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，
∴∠CAD=，
∵，
∴∠CBD=∠CAD=35°；
（2）∵E是内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BED，
∴DE=DB.
8．（2020·江西寻乌·期末）如图，中，，以为直径作半圆交与点，点为的中点，连结.
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）6.
【解析】（1）证明：连接OD，OE，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
则DE为圆O的切线；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC= AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，
则AD=AC-DC=6．
9．（2020·无锡市大桥实验学校月考）如图，在中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）4.8．
【解析】解：连接OD，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE；
（2）连接AD，如（1）图，
∵AB为直径，AB=AC，
∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，
∴CD=BD=，∠ADC=90°，
∵AB=AC=，
由勾股定理，得：，
∵，
∴；
10．（2020·江苏泰州·月考）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于点E，交AC于点F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．
（1）求证：ABCD；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）证明： ， ，
，
；
（2）证明：连接 并延长交 于 ，连接 ，如图1所示：
则 为 的直径，
，
，
，
， ，
，
，
，即 ，
是 的半径，
是 的切线；
11．（2019·云南官渡·二模）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）菱形，理由见解析．
【解析】解：（1）连接BC、OC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，∴∠OAC+∠B=90°，
∵CD为切线，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，
∵PE⊥AB，∴∠APE=∠DPC=∠B，
∴∠DPC=∠ACD，∴AP=DC；
（2）以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴△OBC为等边三角形，∴∠AOC=120°，
连接OF，AF，
∵F是的中点，∴∠AOF=∠COF=60°，∴△AOF与△COF均为等边三角形，
∴AF=AO=OC=CF，
∴四边形OACF为菱形．
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