初中数学人教版九年级上册24.3 正多边形和圆精品课时练习

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专题24.3 正多边形和圆
典例体系（本专题共77题52页）

一、知识点
1、正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示


2、特殊正多边形中各中心角、长度比：

中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2
二、考点点拨与训练
考点1：正多边形的边数计算
典例：（2020·江苏宿豫·初三期末）如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】连接AO、BO、CO，
∵AC是⊙O内接正四边形的一边，
∴∠AOC＝360°÷4＝90°，
∵BC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∴n＝360°÷30°＝12；
故选：D．

方法或规律点拨
本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．
巩固练习
1．（2020·上海市建平中学西校初三月考）如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为．
2．（2020·云南麒麟·初三一模）若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十八边形
【答案】C
【解析】由题意可得：
边数为．
则这个多边形是正十边形．
故选：C．
3．（2019·河北初三月考）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：

∵正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，
∴半径之比为，
设AB是正多边形的一边，OC⊥AB， ，
在直角△AOC中，，
∴∠AOC=30°，
∴∠AOB=60°，
则正多边形边数是：，
∴多边形的内角和为：，
故选：A．
4．（2020·上海浦东新·初三二模）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，
∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．
故选：B．
5．（2019·浙江温州·初三月考）一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】解：正多边形的边数为360°÷72°＝5，
故选：B．
6．（2019·福建莆田八中初三期末）若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是(　　)
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【解析】．
故这个正多边形的边数为12．
故选：B．
7．（2020·湖北仙桃·月考）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .

【答案】15.
【解析】连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360°÷6=60°，
∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，
∴∠BOC=360°÷10=36°，
∴∠AOB=60°-36°=24°，
即360°÷n=24°，∴n=15，
故答案为：15.

8．（2019·河北路南·初三三模）如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝_____．

【答案】9
【解析】∵正n边形的中心角＝＝40°，
n＝＝9．
故答案为：9．
9．（2019·全国初三课时练习）如果正n边形的中心角是40°，那么n=_______.
【答案】9
【解析】解：．
故答案是：9．
考点2：正多边形的有关计算
典例：（2020·江西九江·初三其他）在下列正多边形中，是中心，定义：为相应正多边形的基本三角形．如图1，是正三角形的基本三角形；如图2，是正方形的基本三角形；如图3，为正边形…的基本三角形．将基本绕点逆时针旋转角度得．

（1）若线段与线段相交点，则：
图1中的取值范围是________；
图3中的取值范围是________；
（2）在图1中，求证
（3）在图2中，正方形边长为4，，边上的一点旋转后的对应点为，若有最小值时，求出该最小值及此时的长度；
（4）如图3，当时，直接写出的值．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）最小值：，此时＝2+；（4）
【解析】（1）由题意图1中，∵△ABC是等边三角形，O是中心，
∴∠AOB＝120°
∴∠α的取值范围是：0°＜α≤120°，
图3中，∵ABCDEF…是正n边形，O是中心，
∴∠BOC＝，
∴∠α的取值范围是：0°＜α≤，
故答案为：0°＜α≤120°，0°＜α≤．
（2）如图1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，连接．

∵∠OEB＝∠OF＝90°，
根据题意，O是中心，∴OB＝OC，
∴∠OBE＝∠，
∴△OBE≌△OF（AAS），
∴OE＝OF，BE＝F
∵，
∴Rt△≌Rt△（HL），
∴，
∴．
（3）如图2中，作点O关于BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接交BC于点，连接，此时的值最小．

∵∠＝135°，∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝∠＝45°，
∴∥BC，
∵OK⊥BC，OB＝OC，
∴BK＝CK＝2，OB＝2，
∵∥，OK＝KE，
∴，
∴＝＝，
∴＝2+，
在Rt△中，＝．
∵，
∴有最小值，最小值为，此时＝2+．
（4）如图3中，

∵ABCDEF…是正n边形，O是中心，
∴∠BOC＝，
∵OC⊥， ，
∴∠＝∠＝∠BOC＝，
∴α＝．
方法或规律点拨
本题属于多边形综合题，考查了正多边形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
巩固练习
1．（2020·云南盈江·初三学业考试）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则的值为（ ）（）

A．0 B．0.14 C．0.5 D．1
【答案】B
【解析】∵⊙O的半径为1，
∴⊙O的面积S＝，
∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，
∴过A作AC⊥OB，
∴AC＝OA＝，
∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×＝3，
∴则S−S1＝−3=0.14，
故选B．

2．（2020·河北遵化·初三三模）如图，以正六边形的对角线为边，再作一个正六边形，若，则的长为（ ）

A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】如解图，连接.
∵六边形是正六边形，
∴，，，CF平分∠AFE，
∴.
∴.
∵六边形是正六边形，
∴.
∵，
∴.
又∵，，
∴.
∴.
∵，
∴.
故选：C.

3．（2018·甘肃静宁·初三期末）正多边形的一个中心角为度，那么这个正多边形的一个内角等于________度．
【答案】144
【解析】解：由于正多边形的中心角等于，，
所以正多边形为正边形，
又因为其外角和为，
所以其外角为，
其每个内角为．
故答案为．
4．（2020·江苏省泰兴市黄桥初级中学月考）正十边形的一个中心角的度数是_____°．
【答案】36
【解析】正十边形的中心角为：，
故答案为．
5．（2020·东莞外国语学校二模）如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为__________．

【答案】
【解析】设正多边形的中心是O，其一边是AB，

∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB＝8mm，∠AOB＝60°，
∴cos∠BAC＝，
∴AM＝8×＝4（mm），
∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，
∴AM＝MC＝AC，
∴AC＝2AM＝8（mm）．
故答案为：.
6．（2020·西安高新一中沣东中学初三三模）如图，已知正六边形ABCDEF，则∠ADF＝_____度．

【答案】30
【解析】解：由题意知：AD是正六边形的外接圆的直径，
找到AD的中点O，连接OF，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOF＝＝60°，
∴∠ADF＝∠AOF＝×60°＝30°．
故答案为：30．

7．（2020·山东曹县·初三三模）如图，正五边形内接于，为上一点，连接，则的度数为__________.

【答案】
【解析】如图，连接OA，OE．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOE= =72°，
∴∠APE= ∠AOE=36°

8．（2020·贵州紫云·初三期末）圆内接正六边形一边所对的圆周角的度数是__________．
【答案】30°或150°
【解析】解：圆内接正六边形的边所对的圆心角360°÷6=60°，
圆内接正六边形的一条边所对的弧可能是劣弧，也可能是优弧，
根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
所以圆内接正六边形的一条边所对的圆周角的度数是30°或150°，
故答案为30°或150°．
9．（2020·山东岚山·初三其他）若正六边形的边长是5，则其较长的一条对角线长为_______．
【答案】10
【解析】解：如图所示为正六边形最长的三条对角线，

由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角形，
∴AD=2AB=10，
故答案为：10．
10．（2020·湖南新邵·初三月考）如图所示，正六边形内接于，连接，，则的度数是___________．

【答案】30°
【解析】解：连接FO，如图所示：
∵正六边形内接于，
∴∠AOF＝360°÷6＝60°
又∵∠FDA＝∠AOF，
∴∠FDA＝30°
故答案为：30°．

11．（2020·扬州中学教育集团树人学校初三二模）如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝_______°．

【答案】54°．
【解析】如图,连接A7O,A4O，
∵正十边形的各边都相等，
∴∠A7OA4=×360∘=108∘，
∴∠A4A1A7=×108∘=54∘.
故答案为54.

12．（2020·浙江三门·初三其他）如图，⊙O的半径为r，则它的内接正六边形ABCDEF的周长为____．

【答案】6r
【解析】解：如图，连接

为等边三角形，

内接正六边形ABCDEF的周长为：
故答案为：

13．（2020·江苏东台·月考）已知⊙O的半径2，则其内接正三角形的面积为 ．
【答案】3．
【解析】如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，
则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，
∴OD=OB=1，
∴BD=，
∴BC=2BD=2，
∴△ABC的面积=3S△OBC=3××BC×OD=3××2×1=3．

14．（2020·浙江绍兴·月考）如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．

（1）求证：是的平分线；
（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．
【答案】(1)详见解析；(2)是， ；(3)
【解析】(1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC，
∴,都为圆，
∴∠AOC=∠BOC=120°，
∴∠ADC=∠BDC=60°，
∴DC是∠ADB的角平分线．
(2)是．
如图，延长DA至点E，使得AE=DB．
连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．
∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，
∴△EAC≌△DBC(SAS)，
∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，
故△EDC是等边三角形，
∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为
∴．

(3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称性
C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．
∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2,
由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,
∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．
∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，

在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，
则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，
同理D2H=
∴t=D1D2=．
∴x取最大值时,t取最大值．
即D与O、C共线时t取最大值,x=4．
所有t值中的最大值为．

考点3：与正多边形有关的作图问题
典例：（2020·全国初三课时练习）已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；

（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：
连接BE，如图，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∴，
∴，
∴，
∴BE为直径，
∴∠BFE=∠BCE=90°，
同理可得∠FBC=∠CEF=90°，
∴四边形BCEF为矩形．
方法或规律点拨
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质．
巩固练习
1．（2020·河北青县·初三二模）如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）

A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
【答案】D
【解析】甲：
∵BF是中垂线
∴四边形OCDE是菱形
∴△OCD, △OED都是等边三角形，
同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
乙：
∵AB=AO=BO=AF=OF
∴△OAB, △OAF都是等边三角形，
同理可得△OCD, △OED也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
故选D
2．（2019·云南官渡·二模）如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接AE，CE，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：连接OC，如图所示：

则OC⊥AE，
∴∠AOC=∠EOC=90°，
∴图中阴影部分的面积=×2×2=π+2；
故选：B．
3．（2020·西藏日喀则·一模）下列命题是假命题的是（ ）
A．半径为R的圆内接正方形的边长等于
B．正六边形的每个中心角都等于60°
C．正八边形是轴对称图形
D．正七边形是中心对称图形
【答案】D
【解析】A、半径为R的圆内接正方形的边长等于，正确，是真命题；
B、正六边形的每个中心角都等于60°，正确，是真命题；
C、正八边形是轴对称图形，正确，是真命题；
D、正七边形I不是中心对称图形，故错误，是假命题；
故选D．
4．（2020·天津南开·初三期末）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（　　）

A．cm B．5cm C．3cm D．10cm
【答案】B
【解析】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB角AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．

5．（2020·江西赣州·初三）如图，某同学在一个边长为a的正六边形内，随意摆放两个相同的斜边长为a、含有60°角的直角三角板，则 是（ ）．

A．6 B．5
C．4 D．3
【答案】B
【解析】解：边长为a的正六边形，则 ，
两个相同的斜边长为a、含有60°角的直角三角板的面积：
则；
故选：B
6．（2020·福建厦门一中初三二模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，那么圆O的面积估计值是（　　）
A． B．2 C．π D．2π
【答案】B
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示，

∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO是等边三角形，
∵圆O的半径为1，
∴OM＝1，
∴BM＝AM＝，
∴AB＝，
∴S＝6S△ABO＝6×××1＝2.
答：圆O的面积估计值是2.
故选：B．
7．（2020·江西新余·初三一模）如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．
（1）在图1中，过点O作AC的平行线；
（2）在图2中，过点E作AC的平行线．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】（1）如图所示（答案不唯一）：

（2）如图所示（答案不唯一）：

8．（2020·湖北江汉·三模）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;
②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.
【解析】(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；

(2)①如图所示，点F即为所求；

②如图所示，AH即为所求.

9．（2020·江西吉安·初三其他）如图， 已知多边形中，，，，，分别按请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图.
(1)在图①中，画出一个以为边的矩形；
(2) 在图②中， 若多边形是正六边形，试在上画出点，使

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】解：（1）图①中，即为以为边的矩形
（2）在图②中，点即为所求，使得

10．（2020·江苏海陵·初三一模）在8×6的正方形网格中，正方形边长为1单位，△ABC的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺作图．
(1)在图1中画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点均在格点上；
(2)在图2中画一个以点C为顶点的正方形，其余三点均在格点上，此正方形的面积与△ABC面积相等．

【答案】见解析.
【解析】（1）

（2）

考点4：同圆（正多边形）与多个正多边形（圆）问题
典例：（2020·全国初三课时练习）如图，⊙O的半径为，其内接正六边形，点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，连接．设运动时间为．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）填空：
①当________时，四边形为菱形；
②当_________时，四边形为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）①2；②0或4
【解析】（1）∵正六边形内接于的半径为4，
，
∵点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，．
在和中，



同理可证．
∴四边形是平行四边形．
（2）①2；②0或4 ，
①由对称性可知，当，时，四边形是菱形，此时．
②当时，点在点处， ，，此时四边形是矩形．
当时，点在点处，同理可得，此时四边形是矩形．综上所述，当或时，四边形是矩形．
方法或规律点拨
本题主要考查平行四边形、菱形、矩形的性质与判定，涉及动点问题，掌握各图形的性质及判定方法是解题关键．
巩固练习
1．（2020·湖北随州·）设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
2．（2020·浙江龙湾·初三学业考试）如图，是的内接正三角形，四边形是的内接正方形，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：连接OA．

∵△PQR是等边三角形，
∴=，
∴OP⊥QR，
∵AD∥CB∥QR，
∴OP⊥AD，
∴=，
∴∠AOP=45°，
∵△PQR是等边三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠POQ=120°，∠AOB=90°，
∴∠AOQ=120°-45°=75°，
∴∠BOQ=∠AOB-∠AOQ=90°-75°=15°，
故选：D．
3．（2019·河南初三其他）如图，在半径为6的⊙O中，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．27﹣9 B．18 C．54﹣18 D．54
【答案】C
【解析】解：设EF交AH于M、交HD于N，连接OF、OE、MN，如图所示：
根据题意得：△EFO是等边三角形，△HMN是等腰直角三角形，
∴EF＝OF＝6，
∴△EFO的高为：OF•sin60°＝6×＝，MN＝2（6﹣）＝12﹣，
∴FM＝（6﹣12+）＝﹣3，
∴阴影部分的面积＝4S△AFM＝4×（﹣3）×＝54﹣；
故选：C．

4．（2020·曲靖市马龙区通泉中学初三其他）如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC、CD别相交于点G、H．若AE＝6，则EG的长为（　　）

A． B．3﹣ C． D．2﹣3
【答案】B
【解析】连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，

∵正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，
∴正方形ABCD和等边△AEF都是轴对称图形，直径AC是对称轴，
∴∠COF＝60°，AC⊥BD，AC⊥EF，∠BCA＝45°，
∴PE＝PF＝EF＝3，
在Rt△OPF中，OP＝OF＝OC，
∵OP＝PF＝，
∴PC＝OP＝，
∵△PCG为等腰直角三角形，
∴PG＝PC＝，
∴EG＝PE﹣PG＝3﹣．
故选：B．
5．（2017·天津和平·初三三模）如图，和分别是的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（ ）

A．4
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B三点一定共线，设OM=1，则OD=ON=2．
∵∠ODM=∠OBN=30°，∴OB=4，DM=，DE=2，BN=2，BC=4，∴S△ABC=×4×6=12，∴S△DEF=×2×3=3==4．
故选A．

6．（2019·上海交大附中初三）如图，是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为________．

【答案】
【解析】

连接OA、OF，设OA=R，OF=；
AB与⊙O相切，五边形ABCDE是正五边形，AB=1，，AF=
在中，即
又，
．
故答案为．
7．（2020·四川马边·初三二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积为________．

【答案】π．
【解析】解：连接OA、OB,作OM⊥AB于M,如图所示：
则∠AOB==60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2,AM=AB=1，
∴OM=，
即正六边形外接圆的半径=2，
它的内切圆的半径=，
所以圆环的面积=；
故答案为π．
8．（2020·湖北巴东·月考）如图，⊙O内接正五边形ABCDE与等边三角形AFG，则∠FBC＝__________．

【答案】12°
【解析】解：连接OA，OB，OF，OC．

∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝360°＝72°，
∴∠AOC＝2×72°＝144°，
∵△AFG是正三角形，
∴∠AOF＝360°＝120°，
∴∠COF＝∠AOC−∠AOF＝144°−120°＝24°，
∴∠FBC＝∠COF＝×24°＝12°．
故答案为：12°．
9．（2020·四川青羊·初三二模）如图，作半径为2的⊙O的内接正四边形ABCD，然后作正四边形ABCD的内切圆，得第二个圆，再作第二个圆的内接正四边形A1B1C1D1，又作正四边形A1B1C1D1的内切圆，得第三个圆…，如此下去，则第六个圆的半径为_____．

【答案】
【解析】解：由题意第一个圆的半径为2，
第二个圆的半径为，
第三个圆的半径为，
，
第六个圆的半径为．
故答案为．
10．（2017·天津和平·初三一模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为_____．

【答案】
【解析】解：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
根据正方形的性质可得AB=BC=4，∠ABC=90°，可得AC是直径，AC=4，
即OE=OF=2，再由OM⊥EF，可得EM=MF，
根据等边三角形的性质可得∠GEF=60°，在RT△OME中，OE=2，∠OEM=∠CEF=30°，即可求得OM=，EM=OM=，
由垂径定理的EF=．

11．（2020·全国初三课时练习）如图，是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为______；
连接BE，BE是否为的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）是，n=12.
【解析】解：（）连接、、，

设半径为，
，，
是等腰直角三角形，，
是等边三角形，，
∴．
（）若是，则，
又∵，∴，，
故是⊙内接正十二边形．
考点5：正多边形的图形变换问题
典例： （2019·江苏六合·初三月考）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为2，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间距离的最小值是_____．

【答案】4﹣2．
【解析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于4-2小于等于4，
∴B，M之间距离的最小值是4-2．
故答案为：4-2．

方法或规律点拨
本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
巩固练习
1．（2020·江苏南京·初三一模）如图，将正六边形ABCDEF绕点D逆时针旋转27°得正六边形A′B′C′DE′F′，则∠1＝___°．

【答案】147
【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形
∴∠B=∠C=∠CDE=
∵六边形A′B′C′DE′F′是正六边形
∴∠E′=∠F′=
∵∠E′DE=27°
∴∠CDE′=120°-27°=93°，
∴在六边形BCDE′F′G中（如图），

∠1=（6-2）×180°-（∠B+∠C+∠CDE′+∠D E′F′+∠F′）
=720°-（120°+120°+93°+120°+120°）
=147°
故答案为：147．
2．（2020·全国初三课时练习）如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】试题分析：根据题意得：正六边形的面积=6×2=12，故纸片的剩余部分拼成的五边形的面积=12﹣2=10；故选D．
3．（2020·全国初三课时练习）如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（　　）

A．12° B．16° C．20° D．24°
【答案】A
【解析】解: 如图
设圆心为O,连接OA, OB,点E落在圆上的点E'处.
AB=OA=OB,
∠OAB=,同理∠OAE'=,
∠EAB=,
∠EAO=∠EAB-∠OAB=,
∠EAE'=∠OAE'-∠EAO=-=
点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,
点C旋转的角度为,
故选A.
4．（2020·福建省泉州实验中学初一期中）如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（　　）个五边形完成这一圆环．

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】解：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，
∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°，
∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴360°÷36°＝10，
∴排成圆环需要10个正五边形，
故排成圆环还需7个五边形．
故选：B．

5．（2020·河北滦州·初三一模）如图，将正五边形绕中心顺时针旋转角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则的最小角度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵旋转后的图形既是轴对称又是中心对称图形，
∴旋转后的正五边形的五个顶点与旋转前的正五边形的五个顶点构成的图形是正十边形，
∵正五边形的中心角是72°，正十边形的中心角是36°，
∴的最小角度为36°．
故选：B．
6．（2019·湖北洪山·初三期中）下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（ ）
A．正方形 B．正五边形
C．正六边形 D．正八边形
【答案】B
【解析】选项A，正方形的最小旋转角度为90°，绕其中心旋转90°后，能和自身重合；
选项B，正五边形的最小旋转角度为 72°，绕其中心旋转72°后，能和自身重合；
选项C，正六边形的最小旋转角度为60°，绕其中心旋转60°后，能和自身重合；
选项D，正八边形的最小旋转角度为45°，绕其中心旋转45°后，能和自身重合.
故选B．
7．（2020·浙江余杭·育海外国语学校初三一模）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（　　）

A．0.5 B．0.7 C．﹣1 D．﹣1
【答案】D
【解析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，

观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，
当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或﹣1，
故选：D．
8．（2020·浙江临安·初三期末）如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B的度数是（　　）

A．100° B．80° C．60° D．50°
【答案】B
【解析】试题分析：如图，翻折△ACD，点A落在A′处，可知∠A=∠A′=100°，然后由圆内接四边形可知∠A′+∠B=180°，解得∠B=80°.
故选：B

9．（2019·河北迁安·初三一模）如图，将边长为5的正六边形沿直线折叠，则图中阴影部分周长为（ ）

A．20 B．24 C．30 D．35
【答案】C
【解析】由翻折不变性可知，阴影部分的周长等于正六边形ABCDEF的周长=5×6=30，
故选C．
10．（2020·江苏镇江市索普初级中学月考）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC＝20°，将劣弧沿弦AC所在的直线翻折，交AB于点D，则弧的度数等于（　　）

A．40° B．50 C．80° D．100
【答案】D
【解析】解：如图，连接BC，

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°．
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，优弧所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠B＝∠CDB＝70°，
∴∠DCA＝∠CDB﹣∠A＝70°﹣20°＝50°，
∴弧的度数为100°
故选D．
11．（2016·石家庄市第九中学初三二模）如图，边长为的正六边形ABCDEF的顶点A、B在圆O上，顶点C、D、E、F在该圆内，∠AOB＝36°，将正六边形ABCDEF绕点A逆时针旋转，当点F第一次落在圆上时，点E运动的路线长是_____（结果保留π）．

【答案】
【解析】如图，

∵∠AOB＝36°，
∴∠OAB＝72°；
同理可证：∠OAF′＝72°，
∴∠F′AB＝144°；
∵边长为的正六边形ABCDEF，
∴∠FAB＝120°，
∴∠FAF′＝144°﹣120°＝24°，AE＝，
∴当点F第一次落在圆上时，点F运动的路线长为：．
故答案为．
考点6：与正多边形有关的阴影面积计算
典例：（2019·河北初三二模）如图在正六边形中，有两点同时、同速从中点出发，P沿方向运动，Q点沿方向指向运动，10秒后，两点与多边形中心连线及多边形（延长线）所围成图形的面积如图（阴影部分的面积）有两部分为，则之间的数量关系是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接OB，OC，作OW⊥BC于W，OT⊥CD于T．
在正六边形ABCDEF中，
∵AM＝BM，
∴OM⊥AB，
∵OW⊥BC，OT⊥CD，
∴OM＝OW＝OT，
∵点P，Q同时，同速从AB中点M出发，
∴MQ＝MB＋BC＋PC，
∴•MQ•OM＝•（BM＋BC＋PC）•OM，
又BC=BG+CG
∴S△OMQ＝S△OBM＋S△OBG＋S△OGC＋S△OCP=S△OBM＋S△OBG＋S2，
∵S1＝S△OGC＋S△OCP，
∴S1＝S2．
故选：C．

方法或规律点拨
本题考查正多边形与圆，多边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
巩固练习
1．（2019·黑龙江南岗·初三其他）如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】解：因为是正六边形，所以△OAB是边长为a的等边三角形，
即两个空白三角形面积为S△OAB，即=5．
故选C．

2．（2020·浙江湖州·初三二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现将它沿AB方向平移1个单位，得到正六边形A′B′C′D′E′F′，则阴影部分A′BCDE′F′的面积是（　　）

A．3 B．4 C． D．2
【答案】B
【解析】解：连接A′E′，BD，过F′作F′H⊥A′E′于H，

则四边形A′E′DB是矩形，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，∠A′F′E′＝120°，
∴∠F′A′E′＝30°，
∴F′H＝1，A′H＝，
∴A′E′＝2，
∵将它沿AB方向平移1个单位，
∴A′B＝1，
∴阴影部分A′BCDE′F′的面积＝S△A′F′E′+S矩形A′E′DB+S△BCD＝2××2×1+1×2＝4，
故选：B．
3．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，以正六边形的对角线为边，向右作等边三角形，若四边形的面积为4，则五边形的面积为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】解：如图，连接GC并延长交BD于点H，连接AE，

∵ABCDEF正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=AF，
∠F=∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=120°，
∵△BDG是等边三角形，
∴BG=DG=BD
又CG=CG，
∴△BCG≌△DCG（SSS），
∵∠GBC=∠DBC=30°，
∴△GBC≌△DBC（SAS），
∴S△BCG=S△DCG=S△BCD=2，
∴S△AEF=2，
设CH=x，则BC=CG=2x，BH=，
∴BD=，
∴CG•BH=2，
即×2x×=2，
∴，
∴S四边形ABDE=AB•BD=2x•2=4=8，
∴五边形ABDEF的面积为：2+8=10．
故选：C．
4．（2020·富顺第三中学校初三二模）如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接AC，

设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC为圆的直径，
∴AC=AB=a，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：，
故选C.
5．（2019·云南官渡·初三二模）如图，是正八边形的外接圆，连接，．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接OC，如图所示：

则OC⊥AE，
∴∠AOC=∠EOC=90°，
∴图中阴影部分的面积=×2×2=π+2；
故选：B．
6．（2019·湖北黄冈·初三）如图，设是正五边形，五角星（阴影部分）的面积为1，设与的交点为，与的交点为，则四边形的面积等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如下图所示，连接QR

根据五角星的对称性可得：AP=AR，QP=QR，AP=PQ
∴四边形APQR为菱形
∴S△APR=S△QPR=S1
∵五角星（阴影部分）的面积为1
∴6S1＋2S2=1
∴S四边形APQD=3S1＋S2=（6S1＋2S2）=
故选D．
7．（2019·福建思明·厦门一中初三一模） 如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是AB，CD的中点，△AGF绕正六边形的中心经逆时针旋转后与△CHB重合，则旋转角度是（　　）

A．60° B．90° C．120° D．180°
【答案】C
【解析】解：如图
∵正六边形，O为中心
∴
∵将绕正六边形的中心经逆时针旋转后与重合
∴旋转角为∠BOF=∠AOB＋∠AOF=120°
故选：

9．（2020·广西田东·初三一模）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是_____．

【答案】8+8
【解析】解设直角三角形边是x,由勾股定理知22,解得x=,
所以周长等于8+8.
10．（2020·河北初三二模）如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转 45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转______，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为，则所得正八边形的面积为_______．

【答案】
【解析】解：由题意得：正n边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形；则将一个正七边形绕其中心最少旋转所得图形与原图的重叠部分是正多边形；
由题意得：旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形，
设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为x
∴x+x+x=4，解得x=4-2
∴减去的每个等腰直角三角形的面积为：
∴正八边形的面积为：正方形的面积-4×等腰直角三角形的面积
=4×4-4（）
=．
故答案为，．
11．（2020·四川省内江市第六中学初三三模）如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为__．

【答案】
【解析】由题意得：四边形 为等腰梯形.

平分



又为直径


四边形周长为10


12．（2020·山西寿阳·初三期末）已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为，则⊙O的半径为______．

【答案】4cm
【解析】解：连接OA，交BE与G,连接OF，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴ , OA⊥BF，,
∴ ,
∴,
∵,
∴是等边三角形，
∵,
∴ ，
设OA=AF=a，
则AG=，FG=，
∵ OA⊥BF，
∴BF=2FG=，
∴
即，
∴

故答案为：D
14．（2019·衡阳市逸夫中学）如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为12，正六边形的周长为______．

【答案】24
【解析】解：连接DO并延长，交BF于点G．

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴阴影部分为正三角形，
设正三角形边长是a，则，，
则阴影部分面积是，
即：，
解得，
则，
因而半径，
∴
∴正六边形的周长．
故答案为：24．
15．（2020·江苏铜山·初三期中）如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n个正多边形的面积为______________．

【答案】n+12a
【解析】第一个图形的面积为a，第二个图形的面积为32a，第三个图形的面积为2a，第四个图形的面积为52a，则第n个图形的面积为n+12a.
16．（2020·山东济宁·初三月考）如图，正六边形内接于，若的面积是4，则正六边形的面积是__________．

【答案】12
【解析】如图，过F作于G

由正六边形的性质得：
在等腰中，
，即是直角三角形

又在中，



故答案为：12.