初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.4 弧长及扇形的面积精品综合训练题

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专题24.4 弧长和扇形面积
典例体系（本专题共91题57页）

一、知识点
1.弧长和扇形面积的计算
扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝
2.圆锥与侧面展开图
（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
（2）计算公式：S侧=πrl，S=πr（l+r）
二、考点点拨与训练
考点1：计算弧长
典例：（2020·吉林长春·初三一模）如图，BC为⊙O直径，点A是⊙O上任意一点（不与点B、C重合），以BC、AB为邻边的平行四边形ABCD的顶点D在⊙O外．
（1）当AD与⊙O相切时，求∠B的大小．
（2）若⊙O的半径为2，BC＝2AB，直接写出的长．

【答案】（1）∠B＝45°；（2）
【解析】解：（1）连接OA，如图1所示：

∵AD与⊙O相切，
∴AD⊥OA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴OA⊥BC，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°；
（2）连接AC，如图2所示：

∵BC为⊙O直径，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝2AB，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
∴的长为＝．
方法或规律点拨
本题是与圆有关的综合题，涉及圆的基本性质、平行四边形的性质、切线性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、弧长公式等知识，综合性强，难易适中，认真分析，寻找这些知识的关联点并灵活运用是解答的关键．
巩固练习
1．（2020·黄山市徽州区第二中学一模）如图，在 Rt△ABC 中BC=2，以 BC 的中点 O 为圆心的⊙O 分别与 AB，AC 相切于 D，E 两点，的长为（ ）

A． B． C．π D．2π
【答案】B
【解析】连接OE、OD，

设半径为r，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵O是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD=AE= AC，
∴AC=2r，
同理可知：AB=2r，
∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵BC=2
∴由勾股定理可知AB=2，
∴r=1，
∴= =
故选B
2．（2020·辽宁龙城·一模）如图，菱形OABC的边长为4，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧的长度为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接OB，

∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝BC＝AB＝OA＝4，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴劣弧的长为π，
故选：D．
3．（2020·江苏镇江市索普初级中学月考）如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为_____．

【答案】
【解析】连接CF，DF，

则△CFD是等边三角形，
∴∠FCD=60°，
∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°，
∴∠BCF=48°，
∴的长=，
故答案为．
4．（2020·江苏南京·月考）如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作的外接圆，则的长等于_____．

【答案】
【解析】∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝
∴的长为：＝
故答案为：．

5．（2020·山西太原五中一模）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为_____cm．

【答案】6π
【解析】利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长（cm）
故答案为6π
6．（2020·广东其他）如图，，动线段的端点A，B分别在射线上，点C线段的中点，点B由点O开始沿方向运动，此时点A向点O运动，当点A到达O时，运动停止，若，则中点C所经过的路径长是_______________．

【答案】cm
【解析】解：连接OC，


∵，C为AB中点，
∴OC=，
∴点C所经过的路径为以O为圆心，以OC为半径的弧，且弧所对的圆心角为90°，
∴中点C所经过的路径长为cm．
故答案为：cm
7．（2018·华中师范大学第一附属中学光谷分校月考）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC向上平移4个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时旋转90°后的△A2B2C2，并求出点A旋转到A2所经过的路线长．

【答案】（1）见解析；（2）图见解析，
【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
点A旋转到A2所经过的路线长为：．
8．（2020·山东滨州·月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）将△ABC向右平移2个单位长度后得到的△A1B1C1；则A1坐标为______．
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；则C2坐标为______．
（3）求在（2）的旋转变换中，点C到达C2的路径长（结果保留π）．
【答案】（1）详见解析，（2，5）；（2）详见解析，（2，3）；（3）
【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．A1（2，5）．
故答案为（2，5）．
（2）△A2B2C2即为所求．则C2（2，3）．
故答案为（2，3）．
（3）点C的运动路径为．

9．（2020·山东滨州·月考）如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转，得到Rt△DEC，使点A的对应点D恰好落在AB边上．

（1）求点A旋转到点D所经过的路线的长；
（2）若点F为AD的中点，作射线CF，将射线CF绕点C顺时针方向旋转90°，交DE于点G，求CG的长．
【答案】（1）点A旋转到点D所经过的路线的长为；（2）CG＝1．
【解析】（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，
∴AC＝AB＝1，∠A＝60°，
∵CA＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴点A旋转到点D所经过的路线的长＝＝．
（2）∵△ACD是等边三角形，AF＝FD，
∴∠ACF＝∠FCD＝∠DCB＝30°，
∵∠FCG＝90°，
∴∠DCG＝60°，
∵∠CDG＝∠A＝60°，
∴△DCG是等边三角形，
∴CG＝CD＝AC＝1．
10．（2020·广西其他）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）画出关于轴对称的；
（2）画出绕点逆时针旋转90°后的；
（3）在（2）的条件下，点运动的路径对应的弧长为______（结果保留）．
【答案】（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示；见解析；（2）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2如图所示；见解析；（3）．
【解析】解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示：

（2）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2，如图所示：

（3）∵OC＝，
∴点C经过路径长．
考点2：由弧长求扇形半径（圆心角）
典例：（2020·扬州中学教育集团树人学校初三二模）如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）

A．（）° B．（）° C．（）° D．（）°
【答案】D
【解析】解：设∠ABC的度数大小由60变为n，
则AC=，由AC=AB，
解得n=
故选D．
方法或规律点拨
本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式l=是解题的关键．
巩固练习
1．（2019·乐清市英华学校月考）在⊙O中，∠AOB=120°，弧AB的长为，则⊙O的半径是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】C
【解析】解：由题意得：
，
解得：；
故选C．
2．（2019·河北涿鹿·期末）起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10cm，当物体向上提升3πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：设半径OA绕轴心旋转的角度为n°
根据题意可得
解得n=54
即半径OA绕轴心旋转的角度为54°
故选A．
3．（2020·辽宁双台子·初三一模）一个扇形的弧长是π，半径是2，则此扇形的圆心角的度数是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．120°
【答案】B
【解析】解：∵弧长是π，半径是2，
∴，
解得：
故选：B．
4．（2020·扬州市江都区国际学校初三三模）已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（　　）
A．60° B．30° C．90° D．120°
【答案】A
【解析】解：∵
∴°
故选：A
5．（2020·浙江泰顺·初三二模）一段圆弧的半径是12，弧长是，则这段圆弧所对的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：根据弧长公式有：4π＝,
解得：n＝60．
故选：A．
6．（2020·安定区中华路中学三模）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是___度．
【答案】150
【解析】根据扇形的面积公式可得：
，
解得r=24cm，
再根据弧长公式，
解得.
故答案为：150.
7．（2020·甘肃肃州·初三二模）已知一个扇形的弧长为，扇形的面积是，则它的半径为________．
【答案】4
【解析】解：由扇形的面积公式可得：
，解得，
故答案为4．
8．（2020·哈尔滨市第四十七中学初三三模）已知扇形的半径为5，弧长为，那么这个扇形的圆心角为__________度．
【答案】120
【解析】解：扇形的半径为5，弧长为，
设扇形的圆心角为n，
可得，
解得n=120．
故答案为：120．
9．（2020·黑龙江哈尔滨·初三二模）一个扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为_______度．
【答案】120
【解析】解：设扇形圆心角度数为n，半径为r，
∵弧长为，面积为，
∴，，
解得n=120，r=9，
故答案为：120
10．（2020·黑龙江哈尔滨·一模）已知扇形半径是，弧长为，则扇形的圆心角为__________度．
【答案】80
【解析】根据
解得n=80
故答案为：80
11．（2020·全国单元测试）已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为，求圆心角的度数．
【答案】
【解析】解：圆心角的度数．
考点3：图形中扇形和不规则图形面积计算
典例：（2020·江苏东台·初三月考）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠C=67.5°，求阴影部分的面积．

【答案】（1）详见解析；（2） S阴影=4π﹣8．
【解析】
（1）证明：如图1，连接OD，

，





是的切线，


（2）如图2，连接OE，






的半径为4，

方法或规律点拨
本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、扇形的面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
巩固练习
1．（2019·阳江市江城区教育教学研究室二模）如图，是的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接OD．

∵CD⊥AB，
∴（垂径定理），
∴S△OCE=S△ODE，
∴阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°（圆周角定理），
∴OC=2，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故选：D．
2．（2020·山东初三一模）如图，菱形的边长为4，且，、、、分别为、、、的中点，以、、、四点为圆心，半径为2作圆，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵点E为BC的中点，且AE⊥BC，
∴AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴∠B=60°，BE=EC=BC=2，
∴AE=，
∴
，
∴图中阴影部分的面积是：．
故选：D．
3．（2020·厦门市翔安区教师进修学校（厦门市翔安区教育研究中心）其他）如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（　　）

A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
【答案】A
【解析】
如图，连接OC.
∵C是弧AB的中点，∠AOB＝90°，
∴∠COB＝45°，
∵四边形CDEF是正方形，且其边长为2
∴∠ODC＝90°,CD=2
∴在Rt△ODC中，OD=CD=2，OC==4
∴S阴影＝S扇形OBC－S△ODC＝-×(2)²=2π－4，
故选A.
4．（2020·广西西乡塘·期末）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝12，
∴×π×+π×+AC×BC﹣π×＝12，
∴AC×BC＝24，
AB＝．
故选：A．
5．（2020·福建宁化·期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为8π，则此扇形的半径为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】由题意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，
设扇形半径为r，故阴影部分的面积为，
故解得：，（不合题意，舍去），
故选D．
6．（2020·湖北江岸·月考）如图，平行四边形中，，以点为圆心长为半径画弧交于点，以点为圆心长为半径画弧交于点，三角形的面积为，阴影部分的面积为_____．（取3进行运算）

【答案】40
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=8cm，∠B+∠C=180°，
∵三角形的面积为，
∴平行四边形的面积为=56，
∵以点为圆心长为半径画弧交于点，以点为圆心长为半径画弧交于点，
∴，
，
∴
=
=+﹣56
=﹣56
=96-56
=40（），
故答案为：40．
7．（2019·乐清市英华学校期中）如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．若，则阴影部分的面积为_____．

【答案】
【解析】

解：作于点F，
在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．，
，，，
，
，，，，
，
阴影部分的面积是：，
故答案为．
8．（2020·河南二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=，以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E，则图中阴影部分面积是______________．

【答案】
【解析】连接BE，

∵在中，，，；
∴，；
∵；
∴是等边三角形；
∴图中阴影部分面积是：．
故答案为：．
9．（2020·高邮市外国语学校初中部月考）已知扇形的圆心角为150°，它的面积为240πcm2，那么扇形的半径为__________．
【答案】24cm．
【解析】解：∵扇形的圆心角为150°，它的面积为240πcm2，
∴设扇形的半径为：r，则：240π=
解得：r=24cm．
故答案为：24cm．
10．（2020·丹阳市横塘初级中学月考）如图，三圆同心于O，AB=6cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积为________cm2．


【答案】
【解析】解：阴影部分的面积
故答案为：．
11．（2020·山东济南·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．

【答案】6
【解析】解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，
设正六边形的边长为r，
∴，


解得r＝6．（负根舍去）
则正六边形的边长为6．
故答案为：
12．（2020·福建省福州屏东中学二模）如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为______

【答案】
【解析】解：连接CD，

∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∵点D为AB的中点，
∴DC=AB=BD=1，CD⊥AB，∠DCA=45°，
∴∠CDH=∠BDG，∠DCH=∠B，
在△DCH和△DBG中，
，
∴△DCH≌△DBG（ASA），
∴S四边形DGCH=S△BDC=S△ABC=×AB•CD=×2×1=．
∴S阴影=S扇形DEF-S△BDC=-=-．
故答案为-．
13．（2020·广东二模）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是_____．

【答案】
【解析】解：如图，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB＝2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，
∴∠3＝∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，，
∴△ABG≌△DBH(ASA)，
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝．
故答案是：．
14．（2020·全国月考）如图，在扇形ABO中，∠AOB＝90°，C是弧AB的中点，若OD：OB＝1：3，OA＝3，则图中阴影部分的面积为_____．

【答案】π﹣．
【解析】解：连接，过作于，
，是弧的中点，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．

15．（2020·广东其他）如图，四边形和都是正方形，点分别在上，点F在扇形的上，已知正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为________________．

【答案】
【解析】解：如图，连接AF，

正方形的边长为1，点F在扇形的上

四边形AEFG为正方形
且，即，解得
正方形的面积为1，正方形AEFG的面积为，扇形的面积为
阴影部分的面积=.
故答案为：.
16．（2020·江苏泰州·初三月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝_____．

【答案】
【解析】解：连接OC．

∵AB⊥CD，
∴，CE＝DE＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC//BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD＝＝2，
∴S阴＝＝，
故答案为：．
17．（2018·开江县中小学教学研究室一模）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为的，所对的圆心角的度数为，弓形（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为_____________．（结果保留）

【答案】
【解析】连接OA、OB，

∵∴∠AOB=90°，
∴=()，
()，
则弓形ACB胶皮面积为()．
故答案为：()．
18．（2020·西藏日喀则·一模）如图，折扇完全打开后，OA，OB的夹角为120°，OA的长为18cm，AC的长为9cm，求图中阴影部分的面积S．

【答案】81πcm2
【解析】解：∵OA=18，AC=9，
∴OC=OA-AC=9
∴（cm2）
答：阴影部分的面积S为81πcm2．
考点4：图形变换过程中形成的图象面积计算
典例：（2020·江苏新沂·初三三模）（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2．将ABC绕顶点A顺时针方向旋转至的位置，点B，A，在同一条直线上，则线段BC扫过的区域面积为 ．

（2）①在ABC，∠ACB=45°，∠ABC=30°，AB=4cm，则BC= ；
②将ABC绕点A顺时针旋转120°得到，在旋转过程中求线段BC所扫过的面积．

【答案】（1）；（2）①；②
【解析】
解：（1）中，，，，
，，
，

．
故答案为：．
（2）①过点A作，

在中，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
②．
方法或规律点拨
本题考查了旋转的性质，以及弧长的计算，扇形的面积的计算，（1）中推出扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·广东宝安·初三三模）如图，中，，，，分别为边的中点，将绕点顺时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，
∴△OBH≌△O1BH1，
利用勾股定理可求得BH=，
所以利用扇形面积公式可得．
故选C．
2．（2020·全国课时练习）如图，在中，，将△AOC绕点O顺时针旋转后得到，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积
故选B．
3．（2020·北京海淀区101中学温泉校区初三三模）如图，将绕点按顺时针旋转得到，已知，，则线段扫过的图形的面积为(　　　)

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：绕点旋转得到△，
△，
，．
扫过的图形的面积，
扫过的图形的面积，
扫过的图形的面积．
故选：．
4．（2020·恩施市白果乡初级中学其他）有一张矩形纸片，其中，以为直径的半圆，正好与对边相切，如图（甲），将它沿折叠，使点落在上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是_______．

【答案】
【解析】如图，点O为半圆的圆心，过点O作作OH⊥DK于H，
∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，
∴AD=2CD，
∵∠C=90º，
∴∠DAC=30º，
∴∠ODK=30º，
∵OD=OK，
∴∠DOK=120º，∠ODK=∠OKD=30º
∴扇形ODK的面积为，
∵∠ODK=∠OKD=30º，OD=2，
∴OH=1，DH=KH=，
∴DK=
∴△ODK的面积为
∴半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是，
故答案为：．

5．（2020·福建省福州延安中学初三期中）如图，在中， ，将以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，点经过的路径为点经过的路径为，则图中阴影部分的面积为__________．

【答案】
【解析】由题意可得．
则阴影部分的面积为
6．（2019·广东潮州·其他）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为_______．（结果保留）．

【答案】
【解析】解：，△是绕圆心逆时针旋转得到的，
，△，
，，
，
，
，，
，
，
，
阴影部分面积；
故答案为：．
7．（2020·沭阳县怀文中学初三月考）如图，将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形点经过的路径为弧．若则图中阴影部分的面积为________________________．

【答案】
【解析】∵将四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°后得到四边形AEFG，
∴S四边形ABCD=S四边形AGFE，AG=AD=6，
∴图中阴影部分的面积=S扇形DAG=．
故答案为：．
8．（2020·广西兴业·初三其他）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2．

【答案】
【解析】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=OB=1
则边BC扫过区域的面积为：
故答案为．
9．（2020·山东中区·初三二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为_____．

【答案】
【解析】作AF⊥BC于F，
∵∠ABC＝45°，
∴AF＝BF＝AB＝，
在Rt△AFC中，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AF＝2，FC＝＝，
由旋转的性质可知，S△ABC＝S△EDC，
∴图中线段AB扫过的阴影部分的面积＝扇形DCB的面积+△EDC的面积﹣△ABC的面积﹣扇形ACE的面积
＝扇形DCB的面积﹣扇形ACE的面积
＝﹣
＝，
故答案为：．

10．（2020·洛阳市第二外国语学校初三二模）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为_____．(答案用根号表示)

【答案】6π﹣
【解析】连接OD，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，OD＝2OC＝6，
∴
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝

∴阴影部分的面积为6π﹣，
故答案为6π﹣．

11．（2020·江苏宿豫·初三期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形ABCD的中心在原点O处，且AB∥x轴，点P在正方形ABCD的边上，点P从点A处沿A→B→C→D→A→B→…匀速运动，以点P为圆心，以1为半径长画圆，在运动过程中：
（1）当⊙P第1次与x轴相切时，则圆心P的坐标为　 　；（直接写出结果）
（2）当圆心P的运动路程为2019时，判断⊙P与y轴的位置关系，并说明理由；
（3）当⊙P第一次回到出发的位置时，即⊙P运动一周，求⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积．

【答案】（1）（﹣2，1）；（2）相切；理由见解析；（3）28+π．
【解析】（1）∵边长为4的正方形ABCD的中心在原点O处，且AB∥x轴，
∴A（2，2），B（-2，2），C（-2，-2），D（2，-2），
∵当⊙P第1次与x轴相切时，圆心P在正方形的BC边上，且点P到x轴的距离为1，
∴圆心P的坐标为（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）
（2）⊙P与y轴相切，
理由：∵正方形ABCD的边长为4，
∴⊙P运动一周时，圆心P的运动路程为4×4＝16，
∵2019÷16=126……3，
∴⊙P运动了126周多，且AP＝3，
∴圆心P在AB上，
∴圆心P的坐标为（﹣1，2），
∴圆心P到y轴的距离d＝3-2=1，
∵⊙P的半径r＝1，
∴d＝r，
∴⊙P与y轴相切；
（3）如图，阴影部分面积S＝4×6+1×4×2﹣2×2+＝28+π，
∴⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积为28+π．

12．（2020·武汉市黄陂区第六中学初三其他）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC向上平移4个单位后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，则点A所经过的路径长　 　；线段AC扫过的面积　 　；
（3）直接写出△ABC的外接圆的半径　 　．

【答案】（1）见解析；（2）；；（3）．
【解析】解：如图：
（1）△A1B1C1即为所求；


（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，
则点A所经过的路径长为：＝；
线段AC扫过的面积为：＝；
故答案为：，；
（3）△ABC的外接圆的半径为：OC＝＝．
故答案为：．
13．（2020·黑龙江初三月考）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，其中点，，将绕点逆时针旋转后得到．

（1）画出；
（2）在旋转过程中点所经过的路径长为________；
（3）求在旋转过程中线段、扫过的图形面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】解：（1）如图所示：

（2）由勾股定理得，，
所以，点所经过的路程长；
由勾股定理得：，
∵所扫过的面积，扫过的面积，
∴线段、扫过的图形面积之和．
考点5：圆锥侧面积计算
典例： （2020·西藏日喀则·一模）如图，已知用一块圆心角为270°的扇形铁皮做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，做成的烟囱帽底面圆直径是60cm，则这个烟囱帽的侧面积是 _________ cm2．

【答案】
【解析】解：∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则=60π，
解得：r=40cm，
∴这个烟囱帽的侧面积是×60π×40=cm2
故答案为： ．
方法或规律点拨
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解．
巩固练习
1．（2020·黄山市徽州区第二中学一模）已知圆锥的底面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．18πcm2 B．27πcm2 C．18cm2 D．27cm2
【答案】A
【解析】∵圆锥的底面积为9πcm2，
∴圆锥的底面半径为3，
∵母线长为6cm，
∴侧面积为3×6π=18πcm2，
故选A；
2．（2020·江苏宿迁·二模）一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，∴圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为2cm，故圆锥底面圆的周长为4πcm，故圆锥侧面展开图的面积为S＝×4×4π＝8π(cm2).故选C.
3．（2020·长沙麓山国际实验学校初三期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是
A．25π B．65π C．90π D．130π
【答案】B
【解析】解：由已知得，母线长l=13，半径r为5，
∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．
故选B．
4．（2019·江苏金坛·初三期中）若将半径为12cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【答案】D
【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2=12π（cm），∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6（cm），故选D．
5．（2020·福建福州十八中三模）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是__________________（结果取整数）．
【答案】63
【解析】解：圆锥的母线长=，
所以这个圆锥的侧面积=×2π×4×5=20π≈63．
故答案为63．
6．（2020·广西玉林·一模）已知某圆锥的底面半径为3cm，母线长6cm，则它的侧面展开图的面积为________．
【答案】18πcm2
【解析】底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×6=18πcm2.
7．（2020·江苏南京·月考）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为_____．
【答案】15π
【解析】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴母线长为5，
∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，
故答案为：15π
8．（2020·江苏镇江·其他）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面积为_____．（结果保留π）
【答案】6π
【解析】解：圆锥的侧面积＝×3×2π×2＝6π．
故答案为：6π．
9．（2020·江苏省泰兴市黄桥初级中学初三月考）圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为_________ （结果保留π）．
【答案】3π
【解析】解：圆锥的底面周长=2π×1=2π，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为2π，
则圆锥侧面积=×2π×3=3π，
故答案为：3π．
10．（2020·江苏泰州·初三月考）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于_____．
【答案】30π
【解析】解：圆锥侧面积＝×2π×5×6＝30π．
故答案为30π．
11．（2020·浙江长兴·初三一模）如图是一个圆锥形雪糕冰激凌外壳（不计厚度），已知其母线长为，底面圆半径为．则这个冰激凌外壳的侧面积等于_______．（结果保留）

【答案】
【解析】这个冰激凌外壳的侧面积为，
故答案为．
考点6：有圆锥的侧面积求圆锥的母线等元素
典例：（2019·广东郁南·初三月考）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（　　）
A．90° B．100° C．120° D．60°
【答案】C
【解析】设圆心角的度数是n度．则=4π，
解得：n=120．
故选C.
方法或规律点拨
本题考查扇形弧长公式.利用转化思想将圆锥的底面圆周长转化为圆锥侧面展开图扇形的弧长是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·江苏泰州·初三月考）如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）

A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】∵正方形的边长为4
∴
∵是正方形的对角线
∴
∴
∴圆锥底面周长为，解得
∴该圆锥的底面圆的半径是，
故选：D．
2．（2020·全国课时练习）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
【答案】B
【解析】设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为n，有=2πr=πR，
∴n=180°．
故选B．
3．（2020·山东岚山·初三期末）圆锥形纸帽的底面直径是18cm，母线长为27cm，则它的侧面展开图的圆心角为（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【解析】解：根据圆锥侧面展开图的面公式为：πrl=π×9×27=243π，
∵展开图是扇形，扇形半径等于圆锥母线长度，
∴扇形面积为：
解得：n=120．
故选：C．
考点7：圆锥的母线、底面半径等计算
典例：（2020·绍兴市越城区成章中学期中）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点、、，若该圆弧所在圆的圆心为点，请你利用网格图回答下列问题：
（1）圆心的坐标为_____；
（2）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．

【答案】（1）；（2）该圆锥底面圆的半径长为．
【解析】（1）连接、，分别作、的垂直平分线，两直线交于点，则点即为该圆弧所在圆的圆心，可知点的坐标为．
故答案是：；
（2）∵圆的半径长．
∴，，
，
．
设圆锥的底面圆的半径长为，
∴，
解得：，
答：该圆锥底面圆的半径长为．

或规律点拨
本题主要考查垂径定理以及弧长公式，掌握圆锥的底面周长与侧面扇形弧长的关系，是解题的关键．方法巩固练习
1．（2020·江苏宿豫·初三期中）用半径为24，圆心角为60°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为_____．
【答案】4
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得：
2πr＝ ，
解得r＝4．
故答案为：4．
2．（2020·银川唐徕回民中学初三二模）将半径为10cm，弧长为10π的扇形围成圆锥（接缝忽略不计）那么圆锥的母线与圆锥高的夹角是______．
【答案】30°
【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得：，解得：r=5，
∵5=，即圆锥的底面圆的半径是母线长的一半，
∴这个圆锥的母线与圆锥高的夹角是30°．
故答案为：30°．
3．（2020·无锡市大桥实验学校初三月考）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________．

【答案】
【解析】连接OA，OB，
则∠BAO=∠BAC==60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=1，
∵∠BAC=120°，
∴的长为：，
设圆锥底面圆的半径为r


故答案为．

4．（2020·高邮市外国语学校初中部月考）已知圆锥的母线长AB=6cm，底面半径OB=2cm，则它的侧面展开扇形的圆心角为_____°．
【答案】120
【解析】∵圆锥的底面半径为2cm，
∴圆锥的底面周长为4π，
设扇形的圆心角为n°，
∴，
解得n=120．
答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．
故答案为：120．
5．（2020·台州市椒江区前所中学初三月考）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体展开图的圆心角是_____．

【答案】120°．
【解析】解：∵圆锥的底面直径为2cm，半径为1cm，
∴圆锥的底面周长为2πcm，
∵圆锥的高是cm，
∴圆锥的母线长为3cm，
设扇形的圆心角为n°，
∴＝2π，
解得n＝120．
故这个几何体展开图的圆心角是120°．
故答案为：120°．
6．（2020·宁夏金凤·其他）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为_______．

【答案】
【解析】∵圆锥的底面半径为1，
∴圆锥的底面周长为2π，
∵圆锥的高是2，
∴圆锥的母线长为3，
设扇形的圆心角为n°，
∴=2π，
解得n=120．
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．
故答案为120°．
7．（2020·江苏新北·初三一模）若一个圆锥的底面圆的周长是4cm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是_______度．
【答案】120．
【解析】
解：由题意知：弧长=圆锥底面周长=2×2π=4πcm，
扇形的圆心角=弧长×180÷母线长÷π=4π×180÷6π=120°．
故答案为：120．
8．（2020·盘锦市双台子区第一中学月考）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为__________．
【答案】120
【解析】设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．
由题意得S底面面积=πr2，
l底面周长=2πr，
S扇形=3S底面面积=3πr2，
l扇形弧长=l底面周长=2πr．
由S扇形=l扇形弧长×R=3πr2=×2πr×R，
故R=3r．
由l扇形弧长=得：
2πr=
解得n=120°．
故答案为：120°．
考点8：圆锥的表面的最短距离问题
典例：（2019·河北初三二模）如图在正六边形中，有两点同时、同速从中点出发，P沿方向运动，Q点沿方向指向运动，10秒后，两点与多边形中心连线及多边形（延长线）所围成图形的面积如图（阴影部分的面积）有两部分为，则之间的数量关系是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接OB，OC，作OW⊥BC于W，OT⊥CD于T．
在正六边形ABCDEF中，
∵AM＝BM，
∴OM⊥AB，
∵OW⊥BC，OT⊥CD，
∴OM＝OW＝OT，
∵点P，Q同时，同速从AB中点M出发，
∴MQ＝MB＋BC＋PC，
∴•MQ•OM＝•（BM＋BC＋PC）•OM，
又BC=BG+CG
∴S△OMQ＝S△OBM＋S△OBG＋S△OGC＋S△OCP=S△OBM＋S△OBG＋S2，
∵S1＝S△OGC＋S△OCP，
∴S1＝S2．
故选：C．

方法或规律点拨
本题考查正多边形与圆，多边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
巩固练习
1．（2020·山东东营·初三一模）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（ ）

A．8 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解析】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．
底面圆的周长等于：
解得：n=120°；
连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD=60°．

AB=6， BD=3，
∴
AC=2AD=，
即这根绳子的最短长度是，
故这根绳子的长度可能是11，
故选：B．

2．（2020·山东初三月考）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ ）

A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形，则线段为所求的最短路程．
设．
，
即．
为弧中点，
，，
，
最短路线长为．
故选：A．

3．（2018·江苏泰兴市实验初级中学初三期中）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【解析】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．
底面圆的周长等于：2π×2= ，
解得：n=120°；
连结AC，过B作BD⊥AC于D，

则∠ABD=60°．
由AB=6，可求得BD=3，
∴AD═3 ，
AC=2AD=6 ，即这根绳子的最短长度是6 ，
故这根绳子的长度可能是11.
故选：D．
4．（2020·无锡市大桥实验学校初三月考）已知圆锥的高为，母线为，且，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿折叠，使点恰好落在上的点，则弧长与圆锥的底面周长的比值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接AF，如图，

设OB=5a，AB=18a，∠BAC=n°
∴，
解得n=100
即∠BAC=100°
∵将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在上F点，
∴BA=BF
而AB=AF
∴△ABF为等边三角形
∴∠BAF=60°
∴∠FAC=40°
∴的长度=
∴弧长CF与圆锥的底面周长的比值=
故选：B
4．（2020·宁夏银川九中初三二模）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为_____．

【答案】3．
【解析】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝6π，
以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π，
设展开后的圆心角是n°，则，
解得：n＝180，
即展开后∠BAC＝×180°＝90°，
AP＝AC＝3，AB＝6，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，
由勾股定理得：BP＝，
故答案为：．
5．（2020·山东省青岛第二十六中学初三其他）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为__________．

【答案】
【解析】如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程．
设∠BAB′＝n°．
∵＝4，
∴n＝120即∠BAB′＝120°．
∵E为弧BB′中点，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
∴BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝，
∴最短路线长为．
故答案为：．

6．（2019·山东宁阳·初三二模）圆锥的底面周长为，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为______．
【答案】1．
【解析】解：如图，连接AA′，∵底面周长为，∴弧长==，∴n=60°即∠AOA′=60°，∴∠A=60°，∵OA=OA′，∴△AOA′是等边三角形，∴AA′=2，∵PP′是△OAA′的中位线，∴PP′=AA′=1，故答案为1．

7．（2020·枣阳市太平三中初三零模）如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm的等边三角形ABC，点D是母线AC的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是_______cm．

【答案】25
【解析】解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=nπ×4180，
∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，
∴在圆锥侧面展开图中AD=2，AB=4，∠BAD=90°，
∴在圆锥侧面展开图中BD=20=25，
∴这只蚂蚁爬行的最短距离是25cm．
故答案为：25．
8．（2019·海口市长流中学中考模拟）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为6 cm，母线OE（OF）长为9cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA = 3cm．在母线OE上的点B处有一只蚂蚁，且EB = 1cm．这只蚂蚁从点B处沿圆锥表面爬行到A点，则爬行的最短距离为 cm．

【答案】213．
【解析】如图，过点A作AH⊥OB于H．

∵OE=OF=9cm，FA=3cm，EB=1cm，
∴OA=6cm，OB=8cm．
圆锥的底面周长是π×6=6π，则6π=nπ×9180，
∴n=120°，
即圆锥侧面展开图的圆心角是120°．
∴∠EOF=60°，
∴AH=OA•sin60°=6×32=33（cm），OH=OA•cos60°=6×12=3（cm），
∴BH=OB-OH=5cm，
∴在直角△ABH中，由勾股定理得到：AB=AH2+BH2=213（cm）．
9．（2020·全国课时练习）已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．

【答案】
【解析】解：设扇形的圆心角为n，圆锥的
在Rt△AOS中，∵r=20cm，h=cm，
∴由勾股定理可得母线l==80cm，
而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=.
∴n=90°
即△SAA′是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：AA'==80cm．
∴蚂蚁爬行的最短距离为80cm．
10．（2018·江西广丰·初三期末）如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍，

（1）求它的侧面展开图的圆心角．
（2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长
【答案】（1）它的侧面展开图的圆心角为90°；（2）BB′＝8．
【解析】解：（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2πr＝，
而l＝2r，
所以2πr＝，解得n＝90，
所以它的侧面展开图的圆心角为90°；
（2）连接BB′，如图，
此时BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径，
∵r＝4，
∴l＝2r＝8，
∵∠BAB′＝90°，
∴△ABB′为等腰直角三角形，
∴BB′＝AB＝8．