初中数学人教版九年级上册25.1.2 概率精品综合训练题

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第25章 重点突破训练：概率问题的应用举例
考点体系（本专题共45题41页）

考点1：游戏公平性问题
典例：（2020·内蒙古呼伦贝尔初三二模）小明、小亮两人用如图所示的两个分隔均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，转盘停止后，将两个指针所指数字相加（若指针恰好停在分割线上，则重转一次）．如果这两个数字之和小于8（不包括8），则小明获胜；否则小亮获胜．

（1）填空：转动转盘B，转盘停止后，指针指向偶数的概率为　 　．
（2）用列表法（或树状图）分别求出两人获胜的概率．
（3）这个游戏对双方公平吗？若你认为不公平，如何修改规则才能使该游戏对双方公平？
【答案】（1）；（2）P（小明获胜）＝，P（小亮获胜）＝；（3）游戏不公平，改为：两个数字之和小于等于8时，小明获胜，否则小亮获胜．
【解析】解：（1）转盘B一共有三种等可能的情况，指针为偶数的情况只有一种：数字6，即指针指向偶数的概率为；
（2）树状图：转盘A一共有四种等可能的情况，转盘B一共有三种等可能的情况，结果共有12种等可能的情况，

两数之和小于8的情况有3种，即，其余情况是小亮获胜，即；
列表法：转盘A一共有四种等可能的情况，转盘B一共有三种等可能的情况，结果共有12种等可能的情况，

两数之和小于8的情况有3种，即，其余情况是小亮获胜，即；
（3）∵两者获胜的概率不相同，∴游戏不公平，可将游戏规则改为：两个数字之和小于等于8时，小明获胜，否则小亮获胜．
方法或规律点拨
本题主要考察了求事件发生的概率、列表法或树状图法求概率、游戏公平性判断，解题的关键在于无一遗漏地列出可能发生的情况．
巩固练习
1．（2020·全国初三课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．袋中装有一个红球和两个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，充分摇动后，再从中随机摸出一个球，两次摸到不同颜色的球的概率是
B．甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是如果甲、乙两人的手势相同，那么丙获胜，如果甲、乙两人的手势不同，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲、乙的获胜者．这个游戏规则对甲、乙、丙三人是公平的
C．连续抛两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”和“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，这三种结果发生的概率是相同的
D．一个小组的八名同学通过依次抽签（卡片外观一样，抽到不放回）决定一名同学获得元旦奖品，先抽和后抽的同学获得奖品的概率是相同的，抽签的先后不影响公平
【答案】C
【解析】A.两次摸球所有可能出现的结果，用表列举如下：

∵有9种等可能的结果，两次摸球颜色不同有4种，
∴两次摸球颜色不同的概率为．故该选项正确；
B.甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率也为，所以这个游戏规则对三人是公平的．故该选项正确；
C.设正面朝上为A，反面朝上为B，画树状图如下：

∴P（两枚正面朝上）（两枚反面朝上），
P（―枚正面朝上，一枚反面朝上）．故该选项错误；
D.等可能事件，每人抽签获奖的概率均为．故该选项正确，
故选C．
2．（2020·柘城县实验中学初三其他）“十•一”假期，某超市为了吸引顾客，设立了一个转盘游戏进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就获得一次转盘机会，小亮根据摇奖情况制作了一个统计图（如图），请你求出每转动一次转盘获得购物券的平均数是（　　）

A．43.5元 B．26元 C．18元 D．43元
【答案】B
【解析】解：根据题意得：每转动一次转盘获得购物券的平均数＝100×10%+50×20%+20×30%+0×40%＝26元．
故选：B．
3．（2020·全国初三课时练习）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其它差异).从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示.若x＋y为奇数，则甲获胜；若x＋y为偶数，则乙获胜.
(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
【答案】(1)见解析；(2)这个游戏对双方公平，理由见解析.
【解析】(1)列表如下：

1
2
3
4
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
由表格可知(x，y)所有可能出现的结果共有16种；
(2)这个游戏对双方公平，理由如下：
由列表法可知，在16种可能出现的结果中，它们出现的可能性相等，
∵x＋y为奇数的有8种情况，∴P(甲获胜)＝，
∵x＋y为偶数的有8种情况，∴P(乙获胜)＝ ，
∴P(甲获胜)＝P(乙获胜)，
∴这个游戏对双方公平.
4．（2020·全国初三课时练习）小丽和小刚都想参加学校组织的暑期实践活动，但只有一个名额，小丽提议：将一个转盘9等分，分別将9个区间标上1至9个9号码，随意转动－次转盘，根据指针指向区间决定谁去参加活动，具体规则：若指针指向偶数区间，小刚去参加活动；若指针指向奇数区间，小丽去参加活动．
(1)求小刚去参加活动的概率是多少?
(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由．

【答案】（1）；（2）这个游戏不公平，理由见解析．
【解析】（1）小刚转动一次转盘的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，指针指向偶数区间的结果共有4种
则小刚去参加活动的概率是；
（2）这个游戏不公平，理由如下：
小丽转动一次转盘的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，指针指向奇数区间的结果共有5种
则小丽去参加活动的概率是

这个游戏不公平．
5．（2020·全国初三课时练习）甲、乙两同学玩转盘游戏时，把质地相同的两个盘A、B分别平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两同学分别同时转动两个转盘各1次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为偶数时甲胜；数字之积为奇数时乙胜．若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘．
（1）用树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由

【答案】（1） ；（2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
【解析】解：（1）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中指针所在区域的数字之积为偶数的结果数为4，
所以甲胜的概率＝＝；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
理由如下：
∵甲胜的概率＝，
∴乙胜的概率＝，
∵≠，
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
6．（2020·吉林长春初三其他）小石和小丁利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有，，，这些卡片除了字母外完全相同．从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机 摸出一张卡片记下字母．如果两次摸到的卡片字母相同则小石获胜，否则小丁获胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．
【答案】这个游戏不公平，理由见解析.
【解析】解法一：
这个游戏不公平，理由如下：
两次摸出卡片所有可能出现的结果如下表所示：
第二次
第一次















两次摸卡片的所有可能出现的结果有个，且每个结果发生的可能性都相等，
其中出现“两次摸到的卡片字母相同”的结果有个，“两次摸到的卡片字母不相同” 的结果有个．
∴，．
∴．
∴这个游戏不公平．
这个游戏不公平，理由如下：
两次摸出卡片所有可能出现的结果如下图所示：

两次摸卡片的所有可能出现的结果有个，且每个结果发生的可能性都相等，
其中出现“两次摸到的卡片字母相同”的结果有个，“两次摸到的卡片字母不相同”的结果有个．
∴，．
∴．
∴这个游戏不公平．
7．（2019·四川南充初三三模）学校选派25名志愿者准备参加社会服务工作，其中男生15人，女生10人，
(1)若从这25人中通过抽签选取一人作为联络员，求选到女生的概率．
(2)一项工作只在甲、乙两人中选一人，他俩以游戏方式决定谁参加．规则如下：将4张点数分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，背面朝上放于桌面，从中任取2张若点数之和为合数，则甲得1分；否则乙得1分．谁先满10分谁参加．这个游戏公平吗?请说明理由．
【答案】（1） ；（2）公平，理由见解析
【解析】(1) (选到女生)=
(2)这个游戏公平．理由如下
列表．

2
3
4
5
2
/
5
6※
7
3
5
/
7
8※
4
6※
7
/
9※
5
7
8※
9※
/
共有12种等可能结果．其中点数和为合数有6种，为质数有6种
∴ (点数和为合数)= (点数和为质数)=
∴这个游戏公平．
8．（2020·甘肃镇原初三学业考试）在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同．小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y．
（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=﹣x+6图象上的概率；
（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x、y满足xy＞6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．这个游戏规则公平吗？说明理由；若不公平，怎样修改游戏规则才对双方公平．
【答案】（1）；（2）不公平，游戏规则可改为：若x、y满足xy≥6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．
【解析】解：（1）画树形图：

所以共有12个点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），
其中满足y=﹣x+6的点有（2，4），（4，2），
所以点（x，y）在函数y=﹣x+6图象上的概率=；
（2）满足xy＞6的点有（2，4），（4，2），（4，3），（3，4），共4个；
满足xy＜6的点有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1），共6个，
所以P（小明胜）=；P（小红胜）=；
∵≠，
∴游戏规则不公平．
游戏规则可改为：若x、y满足xy≥6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．
9．（2020·四川邛崃初一期末）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有2、4、6、8、10、12、14、16这8个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时，无效，重转）．
（1）转动转盘，转出的数字是4的倍数的概率是多少；
（2）小明和小红进行游戏：各自转相同的次数，指针指向3的倍数则小明胜，指针指向4的倍数则小红胜，这个游戏公平吗？为什么？如果让你根据这个转盘来设计一个公平的游戏，你会怎么设计呢？

【答案】（1）；（2）游戏不公平，理由详见解析
【解析】解：（1）指针停止后指向的数有8种等可能的结果，其中是4的倍数的有4、8、12、16共4种，
所以
（2）这个游戏不公平，因为指针停止后指向的数有8种等可能的结果，其中是3的倍数的有6、12共2种，其概率是；其中是4的倍数的有4、8、12、16共4种，其概率是，所以游戏不公平，
设计一个公平的游戏可为：各自转相同的次数，指针指向不是4的倍数则小明胜，指针指向是4的倍数则小红胜．
10．（2019·河北河间初三期末）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3(如图所示)．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．
(1)用树状图法或列表法求出小颖参加比赛的概率；
(2)你认为游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．

【答案】(1)P(小颖去)＝；(2)不公平，见解析.
【解析】（1）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，
∴P（和小于4）==，
∴小颖参加比赛的概率为：；
（2）不公平，
∵P（小颖）=，
P（小亮）=．
∴P（和小于4）≠P（和大于等于4），
∴游戏不公平；
可改为：若两个数字之和小于5，则小颖去参赛；否则，小亮去参赛．
考点2：转盘问题
典例：（2020·山东河口）新冠疫情以来，各地政府为活跃消费市场，释放消费潜力，各商家采取各种促销以此来对冲疫情影响．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券（若指向边界则重转），凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．
（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；
（2）某顾客在此商场购物220元，通过转转盘获得购物券和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？谈谈你的理由．

【答案】（1）；（2）选择转转盘对顾客更合算，理由见解析
【解析】解：（1）∵转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，
∴P（转动一次转盘获得购物券）＝；
（2）∵P（红色）＝，
P（黄色）＝，
P（绿色）＝，
∴200×+100×+50×＝40（元）
∵40元＞30元，
∴选择转转盘对顾客更合算．
方法或规律点拨
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
巩固练习
1．（2020·山东肥城初三三模）为提升学生的数学素养，某学校开展了“数学素养”竞赛活动.九年级名学生参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于分(满分分)．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表，根据表中所给信息，解答下列问题：
成绩(分)分组
频数
频率












表中___ _ _ ， _；
这组数据的中位数落在_____ _范围内；
若成绩不小于分为优秀，请估计九年级大约有多少名学生获得优秀成绩？
竞赛中有这样一道题目： 如图，有两个转盘在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字的扇形区域内”概率是，则转盘中标有数字的扇形的圆心角的度数是 ．

【答案】，； 中位数在内； 名；
【解析】解：（1）调查学生总数：（名），
的频数：，即，
的频率：，即，
故答案为：20，0.2．
（2）共50名学生，中位数落在“”范围内．
（3）调查学生中，成绩不小于分的频率：，
所以根据样本估计总体，九年级获得优秀成绩的学生人数：（名），
即九年级大约有360名学生获得优秀成绩．
（4）设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为，
根据题意得：，
解得，
所以转盘B中指针落在标有数字1的扇形的圆心角的度数为：．
故答案为：．
2．（2019·河南焦作初一期末）如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形盘，被分成16等份，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，奖金依次为100、50、20元．
（1）分别计算获一、二、三等奖的概率．
（2）老李一次性购物满了300元，摇奖一次，获奖的概率是多少？请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况？

【答案】（1）一等奖： ，二等奖： ，三等奖：；（2），①未中奖，②中一等奖，③中二等奖，④中三等奖
【解析】解：（1）∵摇奖机是一个圆形盘，被分成16等份，其中红色区域占1份，
∴获一等奖的概率，
同理得，获二等奖的概率，获三等奖的概率；
（2）由（1）知，获奖的概率，
老李摇奖共有4种情况：①未中奖，②中一等奖，③中二等奖，④中三等奖．
3．（2020·阳新县陶港镇陶港中学初三月考）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得元、元、元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券元．

（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；
（2）如果你在该商场消费元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．
【答案】（1）11.875元；（2）选择转转盘．
【解析】解：（元）；
∵元元，
∴选择转转盘．
4．（2018·山东鄄城初一期末）如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形转盘，被分成16等分，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分获一、二、三获奖，奖金依次为60、50、40元．
（1）分别计算获一、二、三等奖的概率．
（2）老李一次性购物满了300元，摇奖一次，获奖的概率是多少？请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况？

【答案】（1），，；（2），老李摇奖共有四种结果，一等奖、二等奖、三等奖、不中奖
【解析】解：（1）整个圆周被分成了16份，红色为1份，
∴获得一等奖的概率为：；
整个圆周被分成了16份，黄色为2份，
∴获得二等奖的概率为：＝；
整个圆周被分成了16份，蓝色为4份，
∴获得三等奖的概率为＝；
（2）∵共分成了16份，其中有奖的有1+2+4＝7份，
∴P（获奖）＝；
老李摇奖共有四种结果，一等奖、二等奖、三等奖、不中奖．
5．（2019·浙江湖州初三期中）某商场为了吸引更多的顾客,安排了一个抽奖活动,并规定:顾客每购买100元商品,就能获得一次抽奖的机会.抽奖规则如下:在抽奖箱内,有100个牌子,分别写有1,2,3,…,100共100个数字,抽到末位数是5的可获20元购物券,抽到数字是88的可获200元购物券,抽到66或99的可获100元购物券.某顾客购物用了130元,他获得购物券的概率是多少?他获得20元、100元、200元购物券的概率分别是多少?
【答案】P(获得购物券)=，P(获得20元购物券)=，P(获得100元购物券)=，P(获得200元购物券)=
【解析】解：顾客的消费额在100元到200元之间,因此可以获得一次抽奖的机会.
在抽奖箱内,写有66,88,99的牌子各有1个,末位数字是5的牌子有10个.
因此P(获得购物券)=,P(获得20元购物券)=,P(获得100元购物券)=,P(获得200元购物券)=.
6．（2019·全国初三单元测试）“五·一”期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得45元、30元、25元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书．

如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得10元的购书券．
（1）写出转动一次转盘获得45元购书券的概率；
（2）转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合算？请说明理由．
【答案】（1）；（2）转转盘，理由见详解.
【解析】解：（1）P（获得45元购书券）=；
（2）同理可得得30元的概率是，得25元的概率是，
所以可得转转盘能得的平均钱数为：45×+30×+25×=15（元），
∵15元>10元，
∴转转盘对读者更合算．
7．（2019·全国初三单元测试）某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．

(1)求转动一次转盘获得购物券的概率；
(2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？
【答案】（1）P（转动一次转盘获得购物券）=；（2）选择转转盘对顾客更合算．
【解析】解：（1）∵转盘被均匀分为份，转动一次转盘获得购物券的有种情况，∴转动一次转盘获得购物券概率=．
（2）因为红色概率=，黄色概率=，绿色概率=，元，
∴选择转转盘对顾客更合算．
考点3：统计与概率的综合问题
典例：（2020·山东庆云初三月考）市种子培育基地用、、三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广，通过试验知道，型号种子的发芽率为80%，根据试验数据绘制了下面两个不完整的统计图（图1、图2）：

（1）型号种子的发芽数是_________粒：
（2）通过计算说明，应选哪种型号的种子进行推广（精确到1%）；
（3）如果将已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到型号发芽种子的概率．
【答案】（1）480；（2）应选A型号的种子进行推广，理由见解析；（3）从中随机取出一粒，求取到C型号发芽种子的概率为．
【解析】解：（1）C型号种子百分比为：1-30%-30%=40%
C型号种子数为：150040%=600（粒）
型号种子的发芽数是：60080%=480（粒）
（2）分别计算三种种子的发芽率：
A型号：，B型号：，C型号：；
所以应选A型号的种子进行推广．
（3）在已发芽的种子中；有A型号的420粒，B型号的370粒，C型号的480粒；
故从中随机取出一粒，求取到C型号发芽种子的概率为．
方法或规律点拨
本题重点考察数据的整理和分析，读懂扇形统计图和直方图，以及概率的计算方式，灵活运用即可．
巩固练习
1．（2020·北京西城初三二模）某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标，，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：

注“●”表示患者，“▲”表示非患者．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这40名被调查者中，
①指标低于0．4的有　　人；
②将20名患者的指标的平均数记作，方差记作，20名非患者的指标的平均数记作，方差记作，则 ， (填“>”，“=”或“<”)；
（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标低于0．3的大约有 人；
（3）若将“指标低于0．3，且指标低于0．8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率多少．
【答案】（1）①9；② <，>；（2）100；（3）0.25
【解析】解：（1）①经统计指标低于0．4的有9人 ,故答案为9；
②观察统计图可以发现，大约在0.3左右，大约在0.6左右，故＜；
观察图表可以发现，x指标的离散程度大于y指标，故＞；
故答案为<、>；
（2）由统计图可知：在20名未患病的样本中，指标低于0．3的大约有4人，则概率为；所以的500名未患这种疾病的人中，估计指标低于0．3的大约有500×=100人．
故答案为100；
（3）通过统计图可以发现有五名患病者没在“指标低于0．3，且指标低于0．8”，漏判；则被漏判的概率为=0.25.
答：被漏判的概率为0.25.
2．（2020·福建省泉州实验中学初三三模）完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理，也叫做加法原理．完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积，这就是分步计数原理，也叫做乘法原理．
小王同学参加某高中学校进行的自主招生考试，本次考试共有1000人参加．
（1）1000人参加自招考试，有300人可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次，小王想获得至少30分的加分，那么概率为多少？
（2）若该高中的中考录取分数线为530分，小王估得中考分数可能在500-509，510-519，520-529三个分段，
①若小王的中考分数在510~519分段，则小王被该高中录取的概率为多少？
②若小王的中考分数在三个分数段对应的概率分别为，，，则小王被该高中录取的概率为多少？
加分
人数
10
30
20
90
30
150
60
30
【答案】（1）；（2）①；②．
【解析】解：（1）∵1000人参加自招考试，获得至少30分的加分的人数有：150+30=180（人），
∴小王获得至少30分的加分的概率为：；
（2）①∵小王的中考分数在510~519分段，而该高中的中考录取分数线为530分，
∴小王被该高中录取，需要获得至少20分的加分，
∴小王被该高中录取的概率为：；
②∵该高中的中考录取分数线为530分，小王估得中考分数可能在500-509，510-519，520-529三个分段，且三个分数段对应的概率分别为，，，
而小王获得至少10分的加分概率为：；获得至少20分的加分概率为：；获得至少30分的加分概率为：，
∴小王被该高中录取的概率为：×+×+×=．
3．（2020·安徽初三二模）某中学开展黄梅戏演唱比赛，组委会将本次比赛的成绩（单位：分）进行整理，并绘制成如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
成绩
频数
频率

2
0.04


0.16

20
0.40

16
0.32

4

合计
50
1

请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求出,的值并补全频数分布直方图．
（2）将此次比赛成绩分为三组：；；若按照这样的分组方式绘制扇形统计图，则其中组所在扇形的圆心角的度数是多少？
（3）学校准备从不低于90分的参赛选手中任选2人参加市级黄梅戏演唱比赛，求都取得了95分的小欣和小怡同时被选上的概率．
【答案】（1）a=8，b=0.08；补图见解析；（2）144°；（3）．
【解析】（1），．
补全频数分布直方图如下：

（2）．
故C组所在扇形的圆心角的度数为．
（3）由题意知，不低于90分的学生共有4人，设这四名学生分别为，,,，其中小欣和小怡分别用,表示，根据题意，画树状图如下．

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小欣和小怡同时被选上的结果有2种，故小欣和小怡同时被选上的概率是．
4．（2019·四川省广安友谊中学初三月考）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请把图2补充完整；
王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？
如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率(要求写出用树状图或列表分析过程)

【答案】（1）12；3；补充图见详解
（2）4个班平均作品数为： （件）；估计全年级共征集到作品： （件）
（3）恰好抽中一男一女的概率为，过程见详解.
【解析】(1)所调查的四个班总数为：(件)，B作品的件数为：12-2-5-2=3(件)；补充图如下
（2）王老师所调查的4个班平均作品数为： （件）
估计全年级共征集到作品： （件）
（3）列表如下：

共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，
所以 即恰好抽中一男一女的概率为.
5．（2019·黑龙江五常初三月考）胜利中学从全校学生中随机选取一部分学生，对他们每周上网的时间t进行调查，调查情况分为:小时；小时小时；小时小时；小时四种，并将统计结果制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题:

求参加调查的学生的人数；
求扇形图中组扇形的圆心角度数，并通过计算补全条形统计图；
在所调查的学生中，随机选取一名学生，求他每周上网时间大于小时的概率．
【答案】（1）200；（2）108°，图详见解析；（3）
【解析】（人）
答:参加调查的学生有名；
(人)
扇形图中组扇形的圆心角度数为：，
补全条形统计图如下：

．
6．（2019·广东惠来初三期中）某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)扇形统计图中，D类所占圆心角为 ;
(3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一 位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率.

【答案】(1)补图见解析；(2)36°；(3).
【解析】解：(1)补全条形统计图:

(2)36°;
(3)树状图如下：

所选的两位同学恰好是一男一女的概率为.
7．（2019·全国初三单元测试）节能灯根据使用寿命分为优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品，质检部门对某批次的--种节能灯（共200个）的使用寿命进行追踪调查，并：将结果整理成下表（假设节能灯的使用寿命均不超过9000小时）.
寿命t/时
频数
频率

10
0.05

20
a

80
0.4

b
0.15

60
c
合计
200
1
（1）根据表中的数据，求a，b，c的值；
（2）某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这个，节能灯恰好不是次品的概率.
【答案】（1）a=0.1，b=30，c=0.3；（2）0.85
【解析】（1），，.
（2）这批节能灯中，优等品有60个，正品有110个，次品有30个.
所以此人购买的这个节能灯恰好不是次品的概率.
8．（2020·广东宝安初三三模）某学校为了丰富学生课余生活，决定开设以下体育课外活动项目：A．版画、B．保龄球、C．航模、D．园艺种植，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有___人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）图（1）中，B：保龄球所对应的圆心角的度数为 ．
（4）在平时的保龄球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加保龄球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
【答案】（1）200；（2）见解析；（3）144°；（4）
【解析】解：（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，
∴这次被调查的学生共有：（人）；
故答案为：200；
（2）C项目对应人数为：200-20-80-40=60（人）；
补充如图．

（3）
∴保龄球所对应的圆心角的度数为
（4）画树状图得：

∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）
9．（2020·全国初三课时练习）中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为　 　度，并将条形统计图补充完整．
（2）此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
【答案】（1）72；补图见解析；（2）.
【解析】解：（1）360°（1﹣40%﹣25%﹣15%）=72°；
故答案为72；
全年级总人数为45÷15%=300（人），“良好”的人数为300×40%=120（人），将条形统计图补充完整，如图所示：

（2）画树状图，如图所示：
共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个，∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁）==．

10．（2020·河南沁阳初三其他）为庆祝建国70周年，东营市某中学决定举办校园艺术节．学生从“书法”、“绘画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加．为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了_________名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；
（4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率．
【答案】（1）200；（2）见解析；（3）；（4）见解析，
【解析】解：（1））∵被抽到的学生中，报名“书法”类的人数有20人，
占整个被抽取到学生总数的10%，
∴在这次调查中，一共抽取了学生为：20÷10%=200（人）.
故答案为：200；
（2）被抽到的学生中报名“绘画”类的人数为：
（人），
报名“舞蹈”类的人数为：（人）.
补全条形统计图如图所示：

（3）被抽到的学生中，报名“声乐”类的人数为70人，
∴扇形统计图中，“声乐”类对应扇形圆心角的度数为：
；
（4）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D，
画树状图如图所示：

共有16个等可能的结果，小东和小颖选中同一种乐器的结果有4个，
∴小东和小颖选中同一种乐器的概率为．
考点4：与函数有关的概率问题
典例：（2020·江苏新北初三一模）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和﹣2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，0和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，记点P的坐标为（x，y）．
（1）从乙袋中摸出一个球，则小球上数字为正数的概率是　；
（2）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标，求点P在一次函数y＝x+1图象上的概率．
【答案】（1）；（2）图见解析，
【解析】解：（1）从乙袋中摸出一个球，则小球上数字为正数的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：

共有6种等可能的结果，其中点P在一次函数y＝x+1图象上的结果有2个，
∴点P在一次函数y＝x+1图象上的概率＝＝．
方法或规律点拨
本题考查了列表法和树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征，正确的画出树状图是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·安徽铜陵初三期末）如图，有三张不透明的卡片，除正面标记有不同数字外，其它均相同．将这三张卡片反面朝上洗匀后，从中随机抽取一张；放回洗匀后，再随机抽取一张．我们把第一次抽取的卡片上标记的数字记作，第二次抽取的卡片上标记的数字记作．
（1）写出为负数的概率；
（2）求使得一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）

【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）共有3个数，其中负数有2个，那么为负数的概率为
（2）画树状图可知，

两次抽取卡片试验共有9种不同结果 ,每种可能性相同
“一次函数图象经过第二、三、四象限”等价于“且”
抽取卡片满足，有 4 种情况
所以，一次函数图象经过第二、三、四象限的概率是．
2．（2020·北京八中初三月考）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y=-x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）画树状图：

共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；
（2）在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），
所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率=；
（3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），
所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，
所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=．
4．（2020·金昌市金川总校第五中学）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y，这样确定了点P的坐标．
（1）小红摸出标有数3的小球的概率是_______；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出由x，y确定的点所有可能的结果．并求点在函数图象上的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）小红摸出标有数3的小球的概率是；
故答案为：;
（2）画树状图为：

由列表或画树状图可知，P点的坐标可能是（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3），（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）共12种情况，其中在函数的图象上的有2种，即（1，4），（4，1），
所以点P（x，y）在函数图象上的概率是.
5．（2020·四川宜宾初三期末）正面标有数字，,3,4背面完全相同的4张卡片，洗匀后背面向上放置在桌面上.甲同学抽取一张卡片，正面的数字记为a，然后将卡片背面向上放回桌面，洗匀后，乙同学再抽取一张卡片，正面的数字记为b.
（1）请用列表或画树状图的方法把所有结果表示出来；
（2）求出点在函数图象上的概率.
【答案】（1）共有16种机会均等的结果；（2）（点在函数的图象上）=
【解析】（1）解：列表如下：


























∴共有16种机会均等的结果
（2）点，，，在函数的图象上
∴（点在函数的图象上）= =
6．（2019·贵州安顺初三期末）有甲乙两个不透明的布袋，甲布袋装有个形状和重量完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋装有个形状和重量完全相同的小球，分别标有数字，和．先从甲布袋中随机取出一个小球，将小球上标有的数字记作；再从乙布袋中随机取出一个小球，再将小球标有的数字记作．
（1）用画树状图或列表法写出两次摸球的数字可能出现的所有结果；
（2）若从甲、乙两布袋中取出的小球上面的数记作点的坐标，求点在一次函数图象上的概率是多少？
【答案】（1）（1，﹣1），（1，0），（1，﹣3），（2，﹣1），（2，0），（2，﹣3）；（2）
【解析】解：（1）画树状图得：

则点可能出现的所有坐标：
（1，﹣1），（1，0），（1，﹣3），（2，﹣1），（2，0），（2，﹣3）；
（2）∵在所有的6种等可能结果中，落在y=﹣2x+1图象上的有
（1，﹣1）、（2，﹣3）两种结果，
∴点（x，y）在一次函数y=﹣2x+1图象上的概率是
37．（2020·金昌市金川总校初三期中）有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的．

（1）写出为负数的概率；
（2）求一次函数的图象经过二、三、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）∵共有3张牌，两张为负数，
∴k为负数的概率是；
（2）画树状图

共有6种情况，其中满足一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，
即k＜0，b＜0的情况有2种，
所以一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限的概率为．
8．（2019·云南初三二模）如图，有四张正面标有数字，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从中随机抽取一张卡片记下数字，再从余下的卡片中随机抽取一张卡片记下数字．
(1)第一次抽到数字2的卡片的概率是 ；
(2)设第一次抽到的数字为，第二次抽到的数字为，点的坐标为，请用树状图或列表法求点在第三象限的概率．

【答案】(1)；(1)
【解析】 (1) ∵数字-2，3，-1，2四个数中，只有一个2，
∴第一次抽到数字是2的概率为；
(2)列表如下：
第一次
第二次

3

2





3









2




可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相同，
点在第三象限有两种可能结果，，
∴．
9．（2019·景泰县第四中学初三一模）在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．
（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；
（2）求点（x，y）在函数y=﹣x+5图象上的概率．
【答案】（1）（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）；（2）
【解析】解：（1）列表得：

点P所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种；
（2）∵共有12种等可能的结果，其中在函数y=-x+5图象上的有4种，
即：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）
∴点P（x，y）在函数y=-x+5图象上的概率为： P=
考点5：用频率估计概率的应用
典例：（2020·江苏徐州初二期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
59
96

295
480
601
摸到白球的频率

0.64
0.58
0.59
0.60
0.601
（1）上表中的________，________；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是_________（精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
【答案】（1），.（2）0.6. （3）8个.
【解析】（1）=0.59，.
（2）由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；.
（3）（个）.答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球.
方法或规律点拨
本题考查如何利用频率估计概率，解题关键是要注意频率和概率之间的关系.
巩固练习
1．（2020·全国初三课时练习）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
116
290
480
601
摸到白球的频率
　 　
0.64
0.58
　 　
0.60
0.601
（1）完成上表；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是　 （精确到0.1）；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】（1）0.59，0.58；（2）0.6；（3）黑球8个，白球12个．
【解析】（1）填表如下：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
116
290
480
601
摸到白球的频率
0.59
0.64
0.58
0.58
0.60
0.601
（2）“摸到白球”的概率的估计值是0.60；
（3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数＝20×0.6＝12（个），黑球20﹣12＝8（个）．
答：黑球8个，白球12个．
2．（2020·全国初三课时练习）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的红球和白球，其中红球有b个，将盒中的球摇匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回盒中，重复进行这过程，如表记录了某班一次摸球实验情况：
摸球总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
摸到红球数m
325
1336
3203
6335
8073
12628
摸到红球的频率（精确到0.001）
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
（1）由此估计任意摸出1个球为红球的概率约是　 　（精确到0.1）
（2）实验结束后，小明发现了一个一般性的结论：盒子中共有a个球，其中红球有b个，则摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率P可以表示为，这个结论也得到了老师的证实根据小明的发现，若在该盒子中再放入除颜色外与原来的球完全相同的2个红球和2个白球，摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率为P’，请通过计算比较P与P'的大小．
【答案】（1）0.9；（2）P＞P'
【解析】（1）根据给出的数据可得：任意摸出1个球为红球的概率约是0.9；
故答案为0.9；
（2）由（1）得：＝0.9，即b＝0.9a，
由题意得：P′＝，
p﹣p′＝﹣＝＝＝＝＝，
∵a＞0，
∴p﹣p′＞0，
∴P＞P'．
3．（2020·全国初三课时练习）某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下：
射击次数
20
40
60
80
100
120
140
160
射中9环以上的次数
15
33

63
79
97
111
130
射中9环以上的频率
0.75
0.83
0.80
0.79
0.79

0.79
0.81
（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；
（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），
并简述理由.
【答案】（1）48 0.81；（2）0.8．
【解析】解：（1）答案为：48，0.81；
（2）解：P（射中9环以上）=0.8
从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．
4．（2020·扬中市外国语中学初二期中）小亮与小明做投骰子（质地均匀的正方体）的实验与游戏．
（1）在实验中他们共做了50次试验，试验结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
10
9
6
9
8
8
填空：此次实验中，“1点朝上”的频率是 ；
② 小亮说：“根据试验，出现1点朝上的概率最大．”他的说法正确吗？为什么？
（2）小明也做了大量的同一试验，并统计了“1点朝上”的次数，获得的数据如下表：
试验总次数
100
200
500
1000
2000
5000
10000
1点朝上的次数
18
34
82
168
330
835
1660
1点朝上的频率
0.180
0.170
0.164
0.168
0.165
0.167
0.166
“1点朝上”的概率的估计值是 ．
【答案】（1）①0.2；②不正确；（2）0.166．
【解析】(1)①此次实验中，“1点朝上”的频率是：
故答案为：0.2；
②不正确，
因为在一次实验中频率并不等于概率，只有当实验中试验次数很大时，频率才趋近于概率.
(2)根据图表中数据可得出：“1点朝上”的概率的估计值是0.166.
故答案为：0.166.
5．（2019·江苏宜兴初二期中）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
70
128
171
302
481
599
903
摸到白球的频率
0.75
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的概率约为　　．（精确到0.1）
（2）估算盒子里有白球　　个．
（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其它完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%，那么可以推测出x最有可能是　　．
【答案】（1）0.6；（2）24；（3）10
【解析】解：（1）摸到白球的频率为：（0.75+0.64+0.57+0.604+0.601+0.599+0.602）÷7≈0.6
则当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6.
（2）40×0.6=24（个）
答：盒子里有白球24个；
故答案为24．
（3）由题意得： ，
解得：x=10．
答：可以推测出x最有可能是10；
故答案为：10.
6．（2019·浙江江干初三二模）某超市要进一批鸡蛋进行销售，有、两家农场可供货．为了比较两家提供的鸡蛋单个大小，超市分别对这两家农场的鸡蛋进行抽样检测，通过分析数据确定鸡蛋的供货商．
（1）下列抽样方式比较合理的是哪一种？请简述原因．
①分别从、两家提供的一箱鸡蛋中拿出最上面的两层（共40枚）鸡蛋，并分别称出其中每一个鸡蛋的质量．
②分别从、两家提供的一箱鸡蛋中每一层随机抽4枚（共40枚）鸡蛋，并分别称出其中每个鸡蛋的质量．
（2）在用合理的方法抽出两家提供的鸡蛋各40枚后，分别称出每个鸡蛋的质量（单位：），结果如表所示（数据包括左端点不包括右端点）．

45～47
47～49
49～51
51～53
53～55
农场鸡蛋
2
8
15
10
5
农场鸡蛋
4
6
12
14
4
①如果从这两家农场提供的鸡蛋中随机拿一个，分别估计两家鸡蛋质量在（单位：）范围内的概率（数据包括左端点不包括右端点）；
②如果你是超市经营者，试通过数据分析，确定选择哪家农场提供的鸡蛋．
【答案】（1）②；（2）①，；②选择农场，见解析．
【解析】（1）根据样本的抽取具有随机性，可知抽样方法②比较合理；
（2）①根据频率估计概率可得：；；
②由①可得，A农场质量落在50±3 （单位：g）范围内的鸡蛋数量的频率比B农场高，
即A农场的鸡蛋质量在50±3 范围内的比较多，重量比较集中，
因此选择A农场的鸡蛋．
7．（2020·云南盘龙初三一模）有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域．
（1）某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表：
实验次数(次)
10
100
2000
5000
10000
50000
100000
白色区域次数(次)
3
34
680
1600
3405
16500
33000
落在白色区域频率
0.3
0.34
0.34
0.32
0.34
0.33
0.33
请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为___________．(精确到0.01)；
（2）若该圆形转盘白色扇形的圆心角为120度，黑色扇形的圆心角为，转动转盘两次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．
【答案】（1）0.33；（2）．
【解析】（1）根据7次实验的结果，落在白色区域的概率分别是0.3、0.34、0.34、0.32、0.34、0.33、0.33，
所以这几次实验的平均数是（0.3+0.34+0.34+0.32+0.34+0.33+0.33）÷7≈0.33，
故转动该转盘指针落在白色区域的概率为0.33.
（2）白色扇形的圆心角为120°，占一个圆的三分之一，黑色扇形的圆心角为，占一个圆的三分之二，因此，把一个圆平均分成三份；
设白色扇形区域为白，黑色扇形区域为黑1、黑2，可得下面的图表：
列表：

从列表可知：共有9种等可能的结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种，分别为：(白，黑1)，(白，黑2)，(黑1，白)，(黑2，白)．
(一白一黑)．
答：指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为．
8．（2019·河北竞秀初三学业考试）今年5月12日是“母亲节”，某校开展“感恩母亲，做点家务”活动为了了解同学们在母亲节这一天做家务情况，学校随机抽查了部分同学，并用得到的数据制成如下不完整的统计表：
做家务时间（小时）
人数
所占百分比
组：0.5
15
30%
组：1
31
62%
组：1.5

4%
组：2
2

合计

100%
（1）统计表中的__________，__________；
（2）小君计算被抽查同学做家务时间的平均数是这样的：
第一步：计算平均数的公式是，
第二步：该问题中，，，，；
第三步：（小时）
小君计算的过程正确吗？如果不正确，请你计算出正确的做家务时间的平均数；
（3）现从，两组中任选2人，求这2人都在组中的概率（用树形图法或列表法）．
【答案】（1）2，50；（2）小君的计算过程不正确，被抽查同学做家务时间的平均数为0.91小时；（3）
【解析】解：（1抽查的总人数为：15÷30%=50（人），
x=50×4%=2（人）
y=50×100%=50（人）
故答案为：2，50；
（2）小君的计算过程不正确．
被抽查同学做家务时间的平均数为：
（小时）
∴被抽查同学做家务时间的平均数为0.91小时．
（3）组、组各有两人，不妨设为、、、，列表如下：
第二次
第一次
























共有12种等可能的结果，其中2人都在组的按情况有2种，
∴2人都在组中的概率为：
9．（2018·内蒙古满洲里初三期末）李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
_____
_____
_____
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是______．（结果都保留小数点后两位）
（2）估算袋中白球的个数为________．
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率．
【答案】表格内数据：0.26，0.25，0.25 （1）0.25；（2）3；（3）．
【解析】（1）251÷1000=0.251;
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近0.25,
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25;
（2）设袋中白球为x个,
=0.25,
x=3．
答：估计袋中有3个白球．
（3）由题意画树状图得:

由树状图可知,所有可能出现的结果共有16种,这些结果出现的可能性相等,其中两次都摸出白球的有9种情况．
所以P(两次都摸出白球)=．