人教A版 (2019)7.3* 复数的三角表示学案

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【新教材】7.3.1 复数的三角表示式（人教A版）1. 掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化; 2. 培养学生的转化，推理及运算能力;3. 通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.1.数学抽象：复数三角表示的理解;2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化. 重点：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化． 难点：复数三角表达式的理解.一、    预习导入阅读课本83-85页，填写。1 .复数的辐角 以x轴的正半轴为始边、_____________________为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。适合于 ____________的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz, 即____________.2.复数的三角表达式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成____________的形式．其中，r是复数的_______；θ是复数z＝a＋bi的辐角．____________叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来____________叫做复数的代数表示式，简称代数形式．注意：复数三角形式的特点____________________________________.3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们____________与____________分别相等．1．复数1＋i化成三角形式，正确的是(　　)A．2(cos ＋isin )B．2(cos ＋isin )C．2(cos ＋isin )D．2(cos ＋isin )2．两个复数z1、z2的模与辐角分别相等，是z1＝z2成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．复数－2(sin 10°＋icos 10°)的三角形式为___________．题型一  复数的三角形式例1　下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1) z1＝ cos 60°＋isin 30° ；(2) z2＝2(cos －isin )；(3) z3＝－sin θ＋icos θ .跟踪训练一1．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1＝2(cos π＋isin π) ；(2) z2＝(cosπ－isinπ)；(3) z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．题型二  复数的代数形式表示成三角形式例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）；   （2）.跟踪训练二1．把下列复数表示成三角形式：(1)1；(2)－2i；(3)－i; (4)－2(sin＋icos)．题型三  把复数表示成代数形式例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：（1）；（2）.跟踪训练三1．把下列复数表示成代数形式：(1)z1＝3(cos ＋isin )；(2)z2＝2[cos(－)＋isin (－)]；(3)z3＝5(cos 135°＋isin 135°)．1．复数的辐角主值是（    ）A． B．  C． D．2．将复数化成代数形式，正确的是（    ）A．4 B．-4 C． D．3．复数的代数形式是_____________.4．复数的模是_____________.5．复数的代数形式与三角形式互化：（1）；（2）.答案小试牛刀1. B.2．A.3. 2(cos 260°＋isin 260°).自主探究例1　【答案】(1) z1＝(cos ＋isin )．  (2) z2＝2(cos ＋isin).    (3) z3＝cos (＋θ)＋isin (＋θ) .【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式．z1＝cos 60°＋isin 30°＝＋i，模r＝＝，cos θ＝，与z1对应的点在第一象限，所以取θ＝.即z1＝cos 60°＋isin 30°＝(cos ＋isin )．(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z2(2cos ，－2sin )在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－”变换到第四象限．所以z2＝2(cos －isin )＝2[(cos(2π－)＋isin (2π－)]＝2(cos ＋isin)．(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“＋θ”将θ变换到第二象限．所以z3＝ －sin θ＋icos θ＝cos (＋θ)＋isin (＋θ) .跟踪训练一1．【答案】(1)是三角形式．  (2) z2＝(cosπ＋isin π)．  (3) z3＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．【解析】(1)z1＝2(cos π＋isin π)符合三角形式的结构特征，是三角形式．(2)由“加号连”知，不是三角形式．z2＝(cosπ－isinπ)＝－－i，模r＝，cos θ＝－.复数对应的点在第三象限，所以取θ＝π，即z2＝(cos π－isinπ)＝(cosπ＋isin π)．(3) 由“模非负”知，不是三角形式．复平面上的点Z1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．例2【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;【解析】（1）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第一象限，所以.于是.（2）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第四象限，所以.于是.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.跟踪训练二1．【答案】(1) 1＝cos 0＋isin 0.   (2)－2i＝2(cos ＋isin )．(3)－i＝2[cos(－)＋isin(－)]．  (4)－2(sin ＋icos)＝2(cos ＋isin )．【解析】(1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg(1)＝0.所以1＝cos 0＋isin 0. (2) r＝2，对应的点在y轴的负半轴上，所以arg(－2i)＝.所以－2i＝2(cos ＋isin )．(3) r＝2，对应的点在第四象限，且cos θ＝，所以取θ＝－.所以－i＝2[cos(－)＋isin(－)]．(4)－2(sin＋icos)＝－＋i，r＝2，对应的点在第二象限，且cos θ＝－，所以取θ＝.所以－2(sin ＋icos)＝2(cos ＋isin )．例3【答案】（1）复数的模，一个辐角，作图见解析,（2）复数的模，一个辐角，作图见解析,【解析】（1）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示. 所以.（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示. 所以.跟踪训练三1．【答案】(1)z1＝＋i.   (2)z2＝－2i.    (3)z3＝－＋i.【解析】(1)z1＝3(cos ＋isin)＝3×＋3×i＝＋i.(2)z2＝2[cos(－)＋isin(－)]＝2×0＋2×(－1)i＝－2i.(3)z3＝5(cos 135°＋isin 135°)＝5×(－)＋5×i＝－＋i.当堂检测 1-2.BD　3．4．35．【答案】（1）.（2）【解析】（1），所以.（2）所以=.