高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系学案设计

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线；

2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示；

3．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．

1.教学重点：两条直线的三种位置关系，异面直线的定义，直线与平面的三种位置关系，两个平面之间的两种位置关系；

2.教学难点：异面直线的定义，两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示。

1．异面直线

(1)定义：不同在                   的两条直线．

(2)异面直线的画法：

2．空间两条直线的位置关系

3．直线与平面的位置关系

4．两个平面的位置关系

一、探索新知

思考1：我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面，12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，如图所示的长方体，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？

（一）两直线的位置关系

观察1：黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？

观察2：旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系？

1.定义：不同在                 内的两条直线叫做异面直线（skew lines）

2.空间两条直线的位置关系：

3.异面直线的画法：   

     为表示异面直线不共面的特点，常以        衬托。

练习：关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？

 A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；

 B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线；

 C. 分别在不同平面内的两条直线；

 D. 不在同一个平面内的两条直线；

 E. 不同在任何一个平面内的两条直线.

思考2：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？

练习：如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果以阴影部分为底面将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？

（二）直线与平面的位置关系

观察:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？

思考：在长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B所在直线与长方体六个面所在平面有几种位置关系？

4. 直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

方法;判断直线与平面的位置关系关键在于——判断直线与平面的交点个数。

5.   图形表示：

符号表示：

（三）平面与平面之间的位置关系

观察1:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间

的位置关系有几种？

观察2：教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系？

6.两个平面的位置关系只有两种：即两个平面平行，两个平面相交.

（1）两个平面平行---      公共点；

（2）两个平面相交---        公共直线.

图形表示：

符号表示：

注意：画两个互相平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。

探究：如图，在长方体中，连接，

请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子，

并用符号表示这些位置关系。

例1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系。

例2.如图 直线AB与直线a具有怎样的位置关系？为什么？

方法总结：判断两直线是异面直线的方法：

与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。

1．判断正误

(1)在空间中，直线不平行就意味着相交．(　　)

(2)直线在平面外是指直线与平面没有交点．(　　)

(3)两个平面相交的时候，一定交于一条直线．(　　)

2．圆柱的两个底面的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　 B．平行

C．平行或异面   D．相交或异面

3．下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.

其中错误命题的序号为        ．

4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B与正方体六个面所在平面的关系．

这节课你的收获是什么？

参考答案：

思考1.，，

1.任何一个平面   

3.

平面

练习 E

思考2.不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。

练习：共3对：AB与CD，AB与GH，EF与GH

思考3.直线与平面的位置关系只有三种：

①直线在平面内---有无数个公共点；

②直线与平面相交---有且只有一个公共点；

③直线与平面平行---没有公共点。

5.

观察2 桌面与地面平行，墙面与地面：相交。

6.

探究：，

例1.解：在（1）中，

在（1）中，

例2.解：直线AB与a是异面直线。理由如下。

若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行。

设它们确定的平面为，则 。由于经过点B与直线a有且仅有一个平面，因此平面与平面重合，从而，进而，这与矛盾。

所以直线AB与a是异面直线。

达标检测

1.【答案】　(1)×　(2)×　(3)√

2【答案】B　

【解析】圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．

3.【答案】①②　

【解析】①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．

4.【解析】　根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．