高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系学案

【新教材】 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（人教A版）

1．了解直线与直线之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；

2．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；

3．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．

1.数学抽象：异面直线的理解；

2.逻辑推理：判断空间点、直线、平面之间的位置关系；

3.直观想象：空间图形中点、直线、平面之间的位置关系.

重点：了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；

难点：会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.

一、    预习导入

阅读课本128-131页，填写。

1.异面直线

(1)定义:不同在_______________________的两条直线叫做异面直线.

(2)画法:

2.空间两条直线的位置关系

3.直线与平面的位置关系

4.平面与平面的位置关系

1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(　 　)

(A)异面 (B)平行

(C)相交 (D)以上都有可能

2.直线l与平面α有两个公共点,则(　 　)

(A)l∈α      (B)l∥α

(C)l与α相交 (D)l⊂α

3.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是(　 　)

(A)平行      (B)相交

(C)平行或相交 (D)不能确定

4.直线a⊂平面α,直线b⊄平面α,则a,b的位置关系是　　　　　　　　. 

题型一  直线与直线的位置关系

例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系:(1)AB与CC1;(2)A1B1与DC; (3)A1C与D1B.

跟踪训练一

1、正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB异面且垂直的棱有(　　)

(A)8条   (B)6条   (C)4条   (D)3条

题型二  直线与平面的位置关系

例2如图所示,ABCD-A1B1C1D1为正方体,试判定BC1与六个面的位置关系.

跟踪训练二

1、   下列说法中,正确的个数是(　　)

①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条也和这个平面相交　②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行　③若直线a在平面α外,则a∥α.

(A)0       (B)1      (C)2          (D)3

题型三  平面与平面的位置关系

例3 α,β是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是(　　)

(A)平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β

(B)平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β

(C)若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β

(D)平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β

跟踪训练三

1、平面α与平面β平行且a⊂α,下列四种说法中,①a与β内的所有直线都平行;②a与β平行;③a与β内的无数条直线平行,其中正确的个数是(　　)

(A)0   (B)1  (C)2   (D)3

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)

(A)一条直线不相交   (B)两条直线不相交

(C)无数条直线不相交      (D)任意一条直线不相交

2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(　　)

(A)平行   (B)相交

(C)直线在平面内 (D)平行或直线在平面内

3. 下列命题中，正确命题的个数是（）

①平行于同一条直线的两个平面平行；

②平行于同一个平面的两个平面平行；

③一个平面内有一条直线与另一平面平行，则这两个平面平行；

④两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线平行.

(A) 0     (B) 1     (C) 2    (D) 3

4、如图所示,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图有　　　　.(填序号) 

5、已知空间四边形ABCD,AB≠AC,AE是△ABC中BC边上的高,DF是△BCD中BC边上的中线,求证:AE和DF是异面直线.

答案

小试牛刀

1. D

2．D

3．C

4. 平行、相交或异面

自主探究

例1【答案】见解析.

【解析】(1)因为C∈平面ABCD,AB⊂平面ABCD,又C∉AB,C1∉平面ABCD,所以AB与CC1异面.

(2)因为A1B1∥AB,AB∥DC,所以A1B1∥DC.

(3)因为A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,所以A1D1∥BC,则A1,B,C,D1在同一平面内.所以A1C与D1B相交.

跟踪训练一

1、【答案】C

【解析】如图所示,一共有12条棱,其中有三条与AB平行,

有四条与AB相交,还剩四条,这四条是CC1,DD1,A1D1,B1C1都是

与AB异面且垂直.故选C.

例2【答案】见解析．

【解析】因为B∈面BCC1B1,C1∈面BCC1B1,所以BC1⊂面BCC1B1.

又因为BC1与面ADD1A1无公共点,所以BC1∥面ADD1A1.

因为C1∈面CDD1C1,B∉面CDD1C1,所以BC1与面CDD1C1相交,

同理BC1与面ABB1A相交,

BC1与面ABCD相交,BC1与面A1B1C1D1相交.

跟踪训练二

1、【答案】B

【解析】由直线与平面的位置关系可知①正确;这条直线可能在经过另一条直线的平面内,所以②不正确,对于③包括两种情形,直线a∥α或直线a与α相交,故③不正确.故选B.

例3 【答案】 D

【解析】　对于A,α与β可能相交或平行,错;对于Β,α与β可能相交或平行,错;对于C,α与β可能相交或平行,错;D符合面面平行的定义,正确.选D.

跟踪训练三

1、【答案】C

【解析】因为α∥β,a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β,故②正确,所以a与β内的所有直线都没有公共点,所以a与β内的直线平行或异面,故①不正确,③正确.故选C.

当堂检测 

1-3. DDB

4. ②④

5．【答案】见解析

【解析】 假设AE和DF不是异面直线,则AE和DF共面,设过AE,DF的平面为β,若E,F重合,则E为BC的中点,所以AB=AC,与AB≠AC相矛盾.若E,F不重合,因为B∈EF,C∈EF,而EF⊂β,所以B∈β,C∈β,又A∈β,D∈β,所以A,B,C,D四点共面,这与题设ABCD为空间四边形矛盾,综上可知,假设不成立,所以AE与DF为异面直线.